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第七章 三角函数（高效培优单元自测·提升卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1．若角
的始边与
轴的非负半轴重合，终边经过点
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为角
的终边经过点
，
则
，
，
则
故选：D.
2．函数
图象的一个对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】已知
，余弦函数
的对称中心为
，
令
，解得
，
则函数
的对称中心为
，排除
选项，
时，
，对应选项
，
对于
选项，当
时，
，
故点
不在函数图象上，不是对称中心，
错误
故选：D
3．若下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A 选项，
，A 错误；
对于B 选项，
，
，
则
，B 正确；
对于C 选项，
，
，
则
，C 错误；
对于D 选项，
，
，
所以
，D 错误.
故选：B
4．已知
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】D
【详解】因为
，
所以
，
又
，所以
，所以
，
由同角三角函数的基本关系知
，
则
.
故选：D.
5．已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象向右平移
个单位长度后得到的图象关于
轴对称
D．
的图象向左平移
个单位长度后得到的图象关于原点中心对称
【答案】D
【详解】观察图象，得
，则
，而
，解得
，
，
由
，得
，解得
，
令函数
的最小正周期为
，由
，得
，
因此
，
，
对于A，当
时，
，而当
，
即
时，函数
取到最小值
，A 错误；
对于B，
，而当
时，函数
取到最小值
，B 错误；
对于C，
是奇函数，图象关于原点对称，C 错误；
对于D，
是奇函数，图象关于原点对称，D 正确.
故选：D
6．车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随
着生产力的进步，现在常借助车床实施加工．现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为
，高为
．将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于
离旋转轴
处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为（ ）
．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】加工后木块的横截面的形状如图所示，
其中 O 为横截面的中心，
,
，
，计算可得
,
:
,
所以加工后木块的体积为
.
故选： B .
7．当
时，若存在实数
，使得
成立，则实数
的最小值为（ ）
A．5
B．8
C．12
D．16
【答案】B
【详解】
，则
，
因为
，
所以
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值是8.
故选：B．
8．将
的图象向右平移
个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的
，得到函数
的图象，若函数
的图象与直线
在
上有4 个交点，记这4 个交点的横坐标
从小到大依次为
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将函数
的图象向右平移
个单位，
得
，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的
，纵坐标不变，得
，
函数
的图象与直线
在
上有4 个交点，
因为
，所以
，对称轴为
，且
，所以
可知这4 个交点对应的相位
成对地关于中心
对称
，
又因为
,
在
上有4 个交点，记这4 个交点的横坐标从小到大依次为
，
，
，
，
则
，则
，
所以
.
故选：B.
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．在
中，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】因为
，
所以
，故A 错误；
，故B 正确；
，故C 正确；
因为
，
所以
，故D 正确.
故选：BCD.
10．（多选题）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式
确定，其中
，
，
.小球从最低点出发，经过2 秒后，第一次回到最低点，
则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．
秒与
秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2
C．当
时，若小球有且只有三次到达最高点，则
D．当
时，若
时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则
【答案】ACD
【详解】由题可知小球运动的周期
，又
，所以
，解得
，
当
时，
，即
，
，所以
，
则
，故A 错误；
因为
，
，
所以
秒与
秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为
，故B 正确；
若
，则
，又当
时，小球有且只有三次到达最高点，
所以
，解得
，即
，故C 错误；
因为
，令
，
，
则
，
，
满足
且
时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，
此时
，故D 错误.
故选：ACD.
11．已知函数
，满足
，且对任意
，都有
，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
在
上的值域为
C．
的单调递增区间为
D．若方程
在区间
上恰有五个不等的实根，则
的取值范围为
【答案】AC
【详解】对于A，因为函数
满足
，
所以
的图象关于点
对称，则有
，
即
．
对任意
，都有
，则
为最大值，
所以
，
则有
，因为
，所以
，
所以函数
的解析式为
．
对于A，当
时，
，此时
取得最小值，
故
的图象关于直线
对称，A 正确；
对于B，因为
，所以
，
所以
，所以函数
的值域为
，B 错误；
对于C，令
，
解得
，
所以
的单调递增区间为
，C 正确；
对于D，
，则
，
令
则
在
上的图象如下，
当
时，
，
由图可知，要使得函数图象在
上与直线的交点只有5 个，
那么应在点
（包括
）的横坐标之间时符合题意．
所以令
，则
或
，
同理令
，解得
或
，
所以点
的横坐标依次为
，
所以
，解得
，D 错误．
故选：AC．
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.）
12．已知
，则
．
【答案】
【详解】 因为
，
，
所以
．
故答案为：
13．已知函数
的最大值为
，最小值为
，则
的值为
【答案】
【详解】
，
，
令
，定义域为
，
，
，
，
所以
是奇函数，所以
，
而
，
，
所以
.
故答案为：
.
14．已知函数
，
，
，
，使得
成立，
则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【详解】当
时，
，
当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，不一定
，使得
成立，
比如当
时，
，因为
，所以不存在这样的
；
当
时，
，
因为
，
，使得
成立，
所以
，
于是有
或
，
所以实数a 的取值范围是
.
故答案为：
四、解答题：（本题共5 小题，共计77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（1）已知角
的终边与单位圆在第四象限交于点
，且点
的坐标为
．求
的值．
（2）证明：
．
【答案】（1）
；（2）证明详见解析
【分析】
【详解】（1）解：因为点
在单位圆上，所以
，所以
，
又角
的终边在第四象限，所以
，故
.
由三角函数定义，
，
.
，
故
.
（2）证明：
.
所以
.
16．降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克
风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已
知某噪声的声波曲线是
，其中的振幅为2，且经过点
.
(1)求该噪声声波曲线的解析式
以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式
；
(2)先将函数
图象上各点的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移
个单位，
得到函数
的图象，当
时，函数
恰有两个不同的零点
，求实数
的范围
和
的值.
【答案】(1)
,
；
(2)
,
.
【分析】
【详解】（1）由
的振幅为2，且经过点
，得
，
，
则
，
，解得
，
，
而
，因此
，
，
又
与
关于
轴对称，所以
.
（2）依题意，
，
当
时，
，
，
而
，在
上
递减，在
上
递增，
则当
时，
恰有两个不同的零点
，
由
，得
，则
，
所以
.
17．已知函数
.
(1)求不等式
的解集；
(2)设函数
，对任意的
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】
【详解】（1）不等式
，即
，则
，
从而
，
解得
，
故不等式
的解集为
.
（2）因为
，所以
，所以
，
所以
，即
.
设
，则
.
设函数
，则
.
当
，即
时，
在
上单调递增，
则
，解得
，又
，所以
，即
不符合题意.
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，解得
，
又
，所以
.
当
，即
时，
在
上单调递减，
则
，解得
，
又
，所以
.
综上，
的取值范围是
.
18．我们将满足下列条件的函数
称为“
伴随函数”：存在一个正常数
，对于任意的
都有
且
．
(1)是否存在正常数
，使得
是“
伴随函数”？若存在，请求出一个
的值；若不是，请说
明理由；
(2)已知
是“
伴随函数”，且
的最小值为
．
（i）求
的解析式；
（ii）若
为方程
在
上的根，求
的值．
【答案】(1)存在，
(2)（i）
；（ii）答案见解析
【分析】
【详解】（1）存在正常数
，使得
是“
伴随函数”．
因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以一个
的值为
．
（2）（i）由
得，
，
所以
是周期为
的函数，且最小正周期为
．
所以
．
由
得，
，所以
为
的一条对称轴，
所以
，
．
因为
，所以
，所以
．
（ii）易知
在
上的图象如图所示，
根据周期性结合图象，可知方程
在
上的根之和为：
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
19．已知函数
，在同一周期内，当
时，函数
取得最大值；
当
时，函数
取得最小值．
(1)将函数
的图象向右平移
个单位长度，横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标伸长到原来的2 倍，得到
函数
的图象，求函数
的解析式；
(2)若
时，函数
有两个零点，求实数
的取值范围；
(3)当
时，方程
有解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）由同一周期内，函数
取得最大值和取得最小值的横坐标差可得
，
，
，
当
时，
取最大值，则
，
，
，
，
向右平移
个单位得
，
横坐标伸长到原来的
倍，则对应
的系数变成原来的
，得
，
纵坐标伸长到原来的2 倍，得
．
（2）当
时，
，
当
时，
从
递减到
，
当
时，
从
递增到2，
当
时，
从2 递减到1，
当
时，
在
和
上各有一个解；
当
时，
在
和
上各有一个解；
综上，
．
（3）当
时，
，故
，
令
，则
，
转化为
在
上有解，
即
，设
，则对勾函数在
上单调递减，在
上单调递增，
，
在
单调递减，在
单调递增，
当
时取最小值
，
当
时，
，当
时，
，
在
上的取值范围是
．
