文档文本内容
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3.2 函数与方程、不等式之间的关系
课程标准
学习目标
1、函数零点的概念
2、二次函数的零点及其对应方程、不等式解
集之间的关系
3、函数零点存在定理
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程的关系
2.会根据函数零点的情况求参数
3.结合二次函数的图像，会判断一元二次方程根的存
在性及一元二次不等式的解法
4.了解二分法是求定理近似解的方法，会用二分法求
一个函数在给定区间内零点近似值
知识点01 函数的零点
（1）函数零点的概念
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α 处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α 为函数y＝f(x)的零点．
（2）函数零点的意义
不难看出，α 是函数f(x)零点的充分必要条件是，(α，0)是函数图像与x 轴的公共点．因此，由函数的
图像可以方便地看出函数值等于0 的方程的解集，以及函数值与0 比较相对大小的不等式的解集．因此我
们有：
方程f(x)＝0 有实数根
函数
⇔
y＝f(x)的图像与x 轴有交点
函数
⇔
y＝f(x)有零点．
注：(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，也就是函数y1＝f(x)与y2＝g(x)的图像交点
2
的横坐标．
(2)如果方程f(x)＝0 有两个相等的实数根x，那么x 称为函数y＝f(x)的二阶零点(二重零点).如x＝2 就是
函数f(x)＝(x－2)2的二阶零点．
【即学即练1】（2024·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）对于函数
，下列说法中正确
的是（ ）
A．当
时，函数的零点为
、
B．函数一定有两个零点
C．函数可能无零点
D．函数的零点个数是1 或2
知识点02 一元二次不等式与对应函数、方程
三个“二次”之间的关系
从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x
轴上方的图像上的点的横坐标的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x
轴下方的图像上的点的横坐标的集合．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c 的
图像与x 轴交点的横坐标的集合，也就是二次函数的零点构成的集合．
从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数的图像与x 轴交点的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx
＋c＞0(a＞0)的解集，就是大于大根或者小于小根的实数x 的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是大于
小根且小于大根的实数x 的集合．简记为“大于取两边，小于取中间”．
因此，利用二次函数的图像和一元二次方程根的情况就可以解一元二次不等式．具体如下表所示：
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋
c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c＝
0(a＞0)的根
有两个不相等的实数根(x1＜
x2)
有两个相等的实数根(x1＝x2＝
－)
无实数根
ax2＋bx＋c＞
0(a ＞0) 的解
集
{x|x＞x2或x＜x1}
R
ax2＋bx＋c＜
0(a ＞0) 的解
集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
注：(1)图表具体表明了一元二次不等式的解集与对应的二次函数图像、一元二次方程的亲密关系，此
3
图表是解一元二次不等式的依据之一．
(2)x1，x2具有三重身份：对应的一元二次方程的实根；对应的二次函数的零点；对应的一元二次不等
式解集区间的端点．
【即学即练2】（2024·全国·高一随堂练习）求下列不等式的解集：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
知识点03 函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值
异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0 (
∈a，b)，f(x0)＝0.
注：(1)一般地，解析式是多项式的函数的图像都是连续不断的．需要注意的是，反比例函数y＝的图
像不是连续不断的．
(2)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续
不断的曲线；②f(a)·f(b)＜0.这两个条件缺一不可．
(3)若函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则由f(a)·f(b)＜0 可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内
存在零点；但是，由函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0.
(4)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y
＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c (
∈a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0 的
根．
【即学即练3】（2024·高一课时练习）函数
的零点所在的区间为( )
A．
B．
C．
D．
知识点04 二分法
（1）二分法的概念
对于图像在区间[a，b]上不间断，且满足f(a)f(b)＜0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在
的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）用二分法求函数零点的近似值
先确定零点的初始区间(a，b)(依据是：如果函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是连续不断的，并且f(a)
与f(b)的符号相反，则f(x)在(a，b)内存在零点)，然后多次将区间(a，b)一分为二，直至找到零点的准确值
或满足题中的精度要求的零点的近似值．
4
注：即用区间中点将区间(a，b)一分为二，从而得到两个区间和，其中一个区间一定包含零点．如果f
＞0，f(a)＜0，我们便认为区间包含零点，如下图所示：
不断重复相似步骤，直到找到零点的准确值或满足题中的精度要求的零点的近似值．
注：(1)我们把x＝称为区间(a，b)的中点．在这里，区间的中点是个实数，而不是点．
(2)用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值异号)
适用，对函数的不变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值同号)不适用．如函数f(x)＝(x－1)2的零点
就不能用二分法求解．
(3)二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，即使函数的零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐
逼近函数的零点．
【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）已知函数
在区间
内有一个零点，且
的部分函数值数据如下：
，
，
，
，
，
，
，要使
零点的近似值精确度为
，则对区间
的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6 次，
B．6 次，
C．7 次，
D．7 次，
难点：函数零点的应用
示例：已知函数f(x)＝{
|x|，x ≤m，
x
2−2mx + 4 m，x＞m，
其中m＞0.若存在实数b，使得关于x 的方程f(x)＝b 有
三个不同的根，则m 的取值范围是________.
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【题型1：利用二次函数解不等式】
例1．（2024·江苏泰州·高一泰州中学校考阶段练习）解不等式
(1)
；
(2)
；
(3)
变式1．（2024·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考阶段练习）设
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
变式2．（2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）已知
的解集是
，
(1)求实数
与
的值
(2)求
的解集．
【方法技巧与总结】
二次函数的零点与不等式解集之间的关系
借助相对应的二次函数与一元二次方程的关系，可提炼出一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)(a≠0)或
ax2＋bx＋c＜0(≤0)(a≠0)的求解方法．当a＞0 时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二
次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0 的根；
②画出对应函数图像的简图；
③由图像得出不等式的解集．
求解过程中，必须考虑对应的二次函数图像的开口方向(a＞0 或a＜0)，对应的一元二次方程的判别式
符号、两根的大小关系，不等号的方向(＞，≥，＜，≤)，即一看(看二次项系数正负)，二算(求对应一元
二次方程的根)，三写(利用对应二次函数的图像写出对应不等式的解集).
【题型2：求函数的零点】
例2．（2024·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）函数
的零点是（ ）
6
A．
B．
C．
D．
变式1．（2024·全国·高一随堂练习）求下列函数的零点：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
变式2．（2024·广东梅州·高三统考阶段练习）函数
的零点有 个．
变式3.（2023·全国·高一专题练习）函数
的零点是
变式4．（2024·全国·高一专题练习）若函数
的一个零点是1，则它的另一个零点是
．
变式5．（2024·江苏·高一假期作业）求下列函数的零点．
(1)
；
(2)
；
(3)
，其图象如图所示．
变式6.（2024·全国·高一专题练习）若
求函数
的零点．
【方法技巧与总结】
函数零点的求法
(1)代数法：求出方程f(x)＝0 的实数根，即为函数f(x)的零点．
(2)几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图像联系起来，利用
函数的性质求零点．
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【题型3：求函数零点个数】
例3．（2023 春·陕西西安·高二校考期中）直线
与函数
图象的交点个数为 ．
变式1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
的图象是连续不断的，有如下的
对应值表，那
么函数
在区间
上的零点至少有（ ）
x
1
2
3
4
5
6
7
123.5
21.5
－7.82
11.57
－53.7
－126.7
－129.6
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
变式2．【多选】（2024·江苏·高一假期作业）对于函数
，下列说法中正确的是（ ）
A．函数一定有两个零点
B．
时，函数一定有两个零点
C．
时，函数一定有两个零点
D．函数的零点个数是1 或2
变式3．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
.
(1)作出函数
的图象；
(2)就a 的取值范围讨论函数
的零点的个数．
变式4.（2023·全国·高一专题练习）若函数
，则方程
的实根个数为（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式5．【多选】（2024·湖北荆门·高一钟祥市第一中学校考阶段练习）已知函数
有两个
不同零点
，则（ ）
A．
B．
且
C．若
，则
D．函数
有四个零点或两个零点
变式6．（2024·云南大理·高二云南省下关第一中学校考开学考试）已知
，定义域和值域均为
的函数
和
的图象如图所示，给出下列四个结论，不正确结论的是（ ）
8
A．方程
有且仅有三个解
B．方程
有且仅有两个解
C．方程
有且仅有五个解
D．方程
有且仅有一个解
变式7．【多选】（2024·全国·高一课堂例题）已知
，关于
的方程
，
则下列四个命题是真命题的为（ ）
A．存在实数
，使得方程恰有3 个不同的实数解
B．存在实数
，使得方程恰有4 个不同的实数解
C．存在实数
，使得方程恰有5 个不同的实数解
D．存在实数
，使得方程恰有8 个不同的实数解
【方法技巧与总结】
判断函数零点个数的三种方法
(1)方程法：若方程f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判
定零点的个数．
(2)图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像，根
据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0 即可判断函数y＝
f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内
只有一个零点．
【题型4：判断函数零点所在的区间】
例4.（2023 秋·北京·高一校考期中）函数
在下列哪个区间存在零点（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．（2024 秋·四川广安·高三四川省广安友谊中学校考阶段练习）函数
的一个零点在
内，另一个零点在（ ）内.
A．
B．
C．
D．
9
变式2．（2024·高一校考课时练习）函数
与
图象交点横坐标的大致区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．（2024·高一课时练习）已知
唯一的零点同时在区间
和
内，下列说法错误的是
（ ）
A．函数
在
内有零点
B．函数
在
内无零点
C．函数
在
内有零点
D．函数
在
内无零点
变式4．【多选】（2024·新疆·高一校联考期末）已知函数
的图象是一条连续不断的曲线，且有如下
对应值表：
1
3
5
7
24
13
1
则一定包含
的零点的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，
则在该区间内至少有一个零点．
【题型5：根据函数的零点求参数范围】
例5．（2024·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）已知函数
的零点在区间
内，常数
的取值范围为 .
变式1．（2024·广西北海·高一统考期末）若函数
在区间
上存在一个零点，则实数m 的
取值范围是 .
变式2．（2024·全国·高三对口高考）方程
在区间
上有解，则实数a 的取值范围为
．
变式3．（2024·江苏南通·高一校考期中）函数
的一个零点在区间
内，则实数m
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10
变式4．（2024·全国·高一专题练习）若函数
在区间
内有零点，则实数
的取值
范围是 .
变式5．（2024·安徽淮北·高一淮北一中校考期末）已知函数
的两个零点都在
内，则实数
的取值范围为 ．
变式6．（2024·高一课时练习）若函数
的零点在区间
内，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7．（2024·广西梧州·校考一模）若函数
在区间
内恰有一个零点，则实数a
的取值范围是 ．
变式8．（2024·湖北·高一校联考阶段练习）已知函数
在区间
上有零点，则实数a
的取值范围是 ．
变式9．（2024·全国·高三专题练习）若函数
在
上有3 个零点，则实数a 的取值范
围为 .
变式10．（2024·高一课时练习）已知二次函数
，求下列条件下，实数
的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在
内，另一个零点在
内．
变式11．（2024·全国·高一期末）已知函数
，
.若存在
，
，
使得
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式12.（2023 秋·北京·高一校考期中）已知函数
若关于
的函数
有且只有
三个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型6：用二分法求函数零点的近似值(方程的近似解)】
例6.（2023 秋·高一课时练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（
）
11
A．
B．
C．
D．
变式1．（2024·全国·高一专题练习）求方程
在区间
内的实根，取区间中点
，那
么下一个有根区间是 ．
变式2．（2024·全国·高一专题练习）下列是函数
在区间
上一些点的函数值. 由此可判断：方程
的一个近似解为 (精确度0.1)．
x
1
1.25
1.375
1.4065
1.438
0.165
x
1.5
1.625
1.75
1.875
2
0.625
1.982
2.645
4.35
6
变式3．（2024·全国·高一专题练习）若函数
的一个正零点附近的函数值用二分法计
算，其参考数据如下：
那么方程
的一个近似根（精确度0.1）为（ ）
A．1.2
B．1.4
C．1.3
D．1.5
【方法技巧与总结】
1.二分法求函数的近似零点的步骤
在函数零点存在定理的条件满足时，给定近似的精度
，用二分法求零点
的近似值
，使得
的一般步骤如下：
第一步：检查
是否成立。
如果成立，取
，计算结果；如果不成立，转到第二步；
12
第二步：计算区间
的中点
对应的函数值，
若
，则取
，计算结束；若
，转到第三步；
第三步：若
，将
的值赋值给
（用
表示，下同），回到第一
步；
否则必有
，将将
的值赋值给
，回到第一步.
【注意】用
可知，令
，
与函数的零点
之间的误差
一定小于
，
原因是
，
也可以是
2.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
①需依据图像估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).
②取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，
直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
3.二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点，中值计算两边看．
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．
一、单选题
1．（22-23 高一上·北京·期末）函数
的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（21-22 高三下·四川德阳·期末）函数
有两个零点的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
13
C．
或
D．
3．（24-25 高一上·全国·课堂例题）根据表格中的数据，可以判断方程
的一个根所在的区间是
（ ）
x
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5
A．
B．
C．
D．
4．（2024·四川成都·二模）已知函数
，若存在m 使得关于x 的方程
有两不同的根，
则t 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高一上·浙江杭州·期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定
理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊
兹·布劳威尔（L·E·J·Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数
，存在一个点
，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数
有两个零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·上海松江·二模）已知某个三角形的三边长为
、
及，其中
.若
，
是函数
的两个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024 高三下·全国·竞赛）当
取得最小值时，
的值为（ ）
14
A．
B．
C．
D．
9．（23-24 高三下·河南郑州·阶段练习）若定义域为
的奇函数
满足
，则
在
上的零点个数至少为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
10．（24-25 高三上·广东广州·开学考试）已知函数
，若方程
有3 个不同的实根，则实数m 取值范围值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．（23-24 高一下·云南曲靖·期中）已知不等式
的解集为
，则以下选项正确的
有（ ）
A．
B．
C．函数
有两个零点2 和3
D．
的解集为
或x> 1
2}
12．（23-24 高二下·河北沧州·期末）已知函数
关于
的方程
有从小到大
排列的四个不同的实数根
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为
D．
的最大值为
13．（24-25 高三上·吉林长春·阶段练习）已知定义域为R 的函数
满足
不恒为零，且
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
的图象关于直线
对称
D．
在
上有6 个零点
14．（23-24 高一上·陕西宝鸡·期末）若函数
在
时，值域也为
，则称
为
的
15
“保值区间”.下列结论正确的是（ ）
A．函数
不存在保值区间
B．函数
有无数多个保值区间
C．若函数
存在保值区间
，则
D．若函数
存在保值区间，则
三、填空题
15．（23-24 高一上·上海·期末）若函数
在区间
的一个零点的近似值用二分法逐次计
算列表如下：
那么方程
的一个近似解为
（精确到0.1）
16．（23-24 高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程
的正实数跟的近似解（精确度
）时，若
我们选取初始区间是
，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ．
17．（23-24 高一上·海南海口·阶段练习）已知
，在区间
上有一个零点
，则
.若用二分法求
的近似值（精确度0.1），则至少需要将区间等分 次.
18．（23-24 高一上·北京·阶段练习）已知函数
图象是连续不断的，并且是
上的增函数，有如下
的对应值表
1
2
3
4
①
；②
在
上存在零点；
③
有且仅有1 个零点；④
可能无零点则正确的序号为________．
19．（20-21 高一上·内蒙古赤峰·期末）若函数
在
上有两个零点，则
的取值范围
为
20．（24-25 高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数
在区间
有零点，则
的取值范围
是 .
四、解答题
16
21．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
.
(1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值；
(3)若
有两个根，且一个根大于2，一个根小于2，求实数m 的取值范围.
22．（23-24 高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数
(1)判断
的奇偶性并证明；
(2)解方程
.
23．（19-20 高三下·广西·阶段练习）已知函数
.
（1）若
，求不等式
的解集；
（2）若方程
有实数根，求
的取值范围.
24．（24-25 高一上·上海·随堂练习）已知函数y = f (x)，其中
．
(1)直接写出
的零点；
(2)讨论关于x 的方程
的解的个数；
(3)若方程
有四个不同的根
，
，
，
，直接写出这四个根的和．
25．（20-21 高一·全国·课后作业）已知函数
，求满足下列条件的a 的取值范围.
（1）函数f(x)没有零点；
（2）函数f(x)有两个零点；
（3）函数f(x)有三个零点；
（4）函数f(x)有四个零点.
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26．（20-21 高一上·浙江嘉兴·期中）设常数
，函数
．
（1）若
，写出
的单调递减区间（不必证明）；
（2）若
，且关于
的不等式
对所有
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）当
时，若方程
有三个不相等的实数根
．且
，求实数
的值．
