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6.2.2 导数与函数的极值、最值
课程标准
学习目标
（1）理解函数极值、极值点的有关概念，掌握利用
导数求函数极值的方法；
（2）注意结合函数的图象理解用导数求函数极值的
方法，培养用数形结合的思想方法去分析问题和解决
问题的思维习惯；
（3）了解函数最值的有关概念；
（4）会用函数的导数求函数的最值。
（1）了解函数的极大（小）值与导数的关系；
（2）理解极大值、极小值的概念掌握；
（3）掌握不超过三次的多项式函数的极大（小）
值的求法；
（4）了解函数的最值与极值的区别和联系；
（5）理解函数最值的概念并掌握指定区间上不超
过三次的多项式函数的最大（小）值的求法。
知识点01 函数的极值点、极值
1、极值与极值点的定义
一般地，设函数
的定义域为
，设
，如果对于
附近的任意不同于
的
，都有：
（1）
，则称
为函数
的一个极大值点，且
在
处取极大值；
（2）
，则称
为函数
的一个极小值点，且
在
处取极小值；
极大值点与极小值点都成为极值点，极大值与极小值都成为极值。
2、函数的导数与极值关系
一般地，如果
是
的极值点，且
在
处可导，则必有
（1）函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的；
（2）极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点；
（3）极大值与极小值没有必然的的大小关系，一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，且
在某一点的极小值可能大于某一点的极大值；
（4）
只是可导函数
在
处取得极值的必要条件，不是充分条件。
3、函数的单调性与极值
一般地，设函数
在
处可导，且
（1）如果对于
左侧附近的任意
，都有
；对于
右侧附近的任意
，都有
，那么
此时
是
的极大值点；
（2）如果对于
左侧附近的任意
，都有
；对于
右侧附近的任意
，都有
，那么
此时
是
的极小值点。
（3）如果
在
的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则
一定不是
的极值点。
【即学即练1】（23-24 高二上·山西忻州·期末）函数
的极大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 函数的最值
1、函数最值的定义
（1）最大值：如果在函数
的定义域
内存在一点
使得任意一点
，使得对任意的
，总有
，那么称
为函数在定义域上的最大值。
（2）最小值：如果在函数
的定义域
内存在一点
使得任意一点
，使得对任意的
，总有
，那么称
为函数在定义域上的最小值。
2、对函数最值的定义理解
（1）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值。
（2）函数的最大值和最小值是一个整体性概念。
（3）函数
在
上连续，是函数
在
上有最大值或最小值的充分而非必要条件。
3、函数极值与最值的关系
一般地，如果函数
在定义域内的第一点都可导，且函数存在最值，则函数的最之巅一定是某个
极值点；如果函数
的定义域为
且存在最值，函数
在
内可导，那么函数的最
值点要么是区间端点
或
，那么是极值点。
【即学即练2】（22-23 高二下·新疆喀什·阶段练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．若
在
上有极大值，则极大值一定是
上的最大值．
B．若
在
上有极小值，则极小值一定是
上的最小值．
C．若
在
上有极大值，则极大值一定是在
和
处取得．
D．若
在
上连续，则
在
上存在最大值和最小值．
【题型一：导函数图象与极值的关系】
例1．（22-23 高二下·北京·期末）已知函数
的导函数
的图像如图所示，则
（ ）
A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值
C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值
变式1-1．（22-23 高二下·广东梅州·期末）设
是
的导函数，
的图象如图所示，则下列说
法正确的是（ ）
A．
有两个极值点 B．
C．
为
的极小值 D．
有一个极大值
变式1-2．（23-24 高二上·安徽·期末）已知函数
为连续可导函数，
的图像如
图所示，以下命题正确的是（ ）
A．
是函数的极大值 B．
是函数的极小值
C．
在区间
上单调递增 D．
的零点是
和
变式1-3．（23-24 高二上·湖南长沙·期末）（多选）已知函数
的导函数
的图象如图所示，下
列说法正确的是（ ）
A．函数
在
上单调递增 B．函数
在
上单调递减
C．函数
在
处取得极大值 D．函数
有最大值
【方法技巧与总结】
只是可导函数
在
处取得极值的必要条件，不是充分条件。只有当
两侧的导函数异号
才可确定其为极值点。
【题型二：求函数的极值或极值点】
例2．（23-24 高三上·广东东莞·阶段练习）若函数
，则
的极大值点为 .
变式2-1．（23-24 高二下·湖南长沙·开学考试）函数
的极值点是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-2．（23-24 高二下·江苏南京·开学考试）设
，函数
的单调增区间是
．
（1）求实数a；
（2）求函数
的极值．
变式2-3．（23-24 高二上·山东滨州·期末）已知函数
.
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）求
的极值.
【方法技巧与总结】
利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数
；
（2）求方程
的所有实数根；
（3）观察在每个根
附近，从左到右导函数
的符号如何变化．
①如果
的符号由正变负，则
是极大值；
②如果由负变正，则
是极小值．
③如果在
的根
的左右侧
的符号不变，则不是极值点．
【题型三：已知函数的极值求参数】
例3．（23-24 高二上·陕西西安·期末）已知函数
在
时取得极大值4，则
．
变式3-1．（23-24 高二上·山西吕梁·期末）若函数
在
处有极小值，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
变式3-2．（23-24 高二上·陕西榆林·开学考试）若-2 是函数
的极大值点，则实数
的
取值范围是 .
变式3-3．（23-24 高二上·安徽·期末）已知函数
在
上有两个极值点，则
实数
的取值范围是 ．
变式3-4．（2022 高三·全国·专题练习）已知
没有极值，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
1、已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：
①求函数的导数
；②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数
注意：求出参数后，一定要验证是够满足题目的条件。
2、对于函数在某区间内无机制的问题，往往转化为其导数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即
转化为
或
在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立。
【题型四：利用导数求函数的最值】
例4．（22-23 高二下·黑龙江鹤岗·期中）函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．0 D．
变式4-1．（22-23 高二下·河南·期中）已知函数
，则
的最大值为（ ）
A．
B． C．
D．
变式4-2．（22-23 高二下·吉林长春·阶段练习）函数
的最小值为（ ）
A．1 B．
C．0 D．
变式4-3．（23-24 高二上·江苏宿迁·期末）已知函数
的图象在点
处的切线方程
是
.
（1）求
，
的值；
（2）求函数
在区间
上的最大值与最小值.
变式4-4．（23-24 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）求
在
上的最小值
．
【方法技巧与总结】
利用导数求函数最值的方法
（1）若函数
的图象是一条连续不断的曲线，在曲线
内只有一个导数值为0 的点，且在这
一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点.
（2）求一个函数在闭区间上的最值时，一定是找出该区间上导数值为0 的点，无需判断出是极大值点还是
极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，期中最大的就是函数的最大值，最小
的就是函数的最小值。
【题型五：已知函数的最值求参数】
例5．（2024 高二下·全国·专题练习）若函数
在区间
内存在最小值，则实数
的取值范围是 .
变式5-1．（23-24 高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数
在区间
上的最小值为
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-2．（22-23 高二下·重庆江北·阶段练习）若函数
在区间
上的最小值为2e，则a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-3．（22-23 高二下·陕西西安·期中）已知函数
在区间
内有最值，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-4．（22-23 高二下·湖北·期末）已知1 是函数
（a，b，
）的极值点，
在
处的切线与直线
垂直.
（1）求a，b 的值；
（2）若函数
在
上有最大值2，在
上有最小值也有最大值，求实数m 的取值范围.
【方法技巧与总结】
已知函数的最值求参数问题常用方法有函数图象法、导数法等。
（1）图象法是较为直观的一种方法，通过观察函数的图象来判断函数的极值及其对应的参数值；
（2）导数法：对于已知的函数，我们可以先求出其导数，然后找出导数为零的点或者导数变号的点，这
些点就是函数取得极值的地方。接下来，可以通过这些点进行一些判断，例如使用二阶导数来判断极值类
型，从而得到函数的最值及其对应的参数值。
【题型六：函数极值与最值综合应用】
例6．（四川省宜宾市2023 届高三三模数学（理科）试题）已知函数
.
（1）讨论函数
的极值点个数；
（2）若
，
的最小值是
，求实数m 的所有可能值.
变式6-1．（23-24 高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数
.
（1）若
在
处取得极值，求
的极值；
（2）若
在
上的最小值为
，求
的取值范围.
变式6-2．（22-23 高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数
，且
是函数
的两个极值点.
（1）求
与
的值；
（2）若函数
在
上有最小值为
，在
上有最大值，求
的取值范围.
变式6-3．（23-24 高二上·福建福州·期末）已知函数
.
（1）若曲线
在
处的切线与y 轴垂直，求实数a 的值；
（2）若函数
存在极大值为
，求实数a 的值.
【方法技巧与总结】
在函数极值与最值的综合问题时，一定要准确区分极值与最值的关系。
一、单选题
1．（23-24 高二上·江苏徐州·期末）己知函数
的定义域为
，导函数
的图象如图所示，则函
数
的极小值点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24 高二上·陕西榆林·期末）已知函数
的极小值为（ ）
A． B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·陕西·阶段练习）函数390<417 的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二上·江苏泰州·期末）已知函数
在
处取得极小值1，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三下·福建·开学考试）已知函数
在区间
上存在最小值，则实数a
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（22-23 高二下·甘肃兰州·阶段练习）定义在
上的函数
在区间
上的最大
值为
，则
的值为（ ）
A．7 B．
C．9 D．
7．（23-24 高二上·江苏盐城·期末）已知函数
的导函数
，若
是函数
的极大值点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（22-23 高二下·陕西榆林·期末）若函数
存在最小值，且其最小值记为
，则
的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．（23-24 高二上·江苏镇江·期末）已知函数
的定义域为R，函数
的导函数
的图象如图所
示，则下列选项正确的是（ ）
A．函数
的单调递减区间是
B．函数
的单调递增区间是
，
C．
处是函数
的极值点 D．
时，函数的导函数小于0
10．（2024 高二下·全国·专题练习）对于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
是增函数，无极值
B．
是减函数，无极值
C．
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
D．
是极大值，
是极小值
11．（23-24 高二上·江苏泰州·期末）已知函数
，则（ ）
A．当
时，函数
恰有1 个零点 B．当
时，函数
恰有2 个极值点
C．当
时，函数
恰有2 个零点 D．当函数
恰有2 个零点时，必有一个零点为2
三、填空题
12．（22-23 高二上·浙江·期中）函数
的最小值是 .
13．（2024 高二下·全国·专题练习）已知函数
，其中
.若
在区间[1，4]上
的最小值为8，则a 的值为 .
14．（23-24 高二上·河北邢台·阶段练习）若函数
在区间
内只有极小值，无极大值，
则实数
的取值范围是 .
四、解答题
15．（23-24 高二下·安徽淮南·开学考试）已知函数
，且当
时，
有极值
．
（1）求
的解析式；
（2）求
在
上的最大值和最小值．
16．（23-24 高二上·山西·期末）已知函数
，且
为极值点.
（1）求实数
的值；
（2）判断
是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值.
17．（23-24 高二下·河北·开学考试）已知函数
．
（1）讨论
的极值；
（2）求
在
上的最小值
．
18．（23-24 高二上·浙江绍兴·期末）已知函数
．
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）若函数
在
内存在两个极值点，求实数a 的取值范围．
19．（22-23 高二下·天津静海·阶段练习）已知函数
，
．
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若函数
在
上的最小值是
，求a 的值．
（3）讨论
在
上的最大值
