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6.2.1 导数与函数的单调性
课程标准
学习目标
（1）理解在某区间上函数的单调性与导数的关
系；
（2）能够利用导数求函数的单调区间。
（1）掌握利用导数判断或证明函数单调性的方
法；
（2）能够利用导数求函数的单调区间；
（3）能够根据函数的单调性求参数；
（4）理解函数图象与其导函数图象之间的关系；
（5）通过利用导数判断函数单调性法则的学习提
升数学抽象核心素养。
知识点01 导数与函数单调性的关系
1、导数与函数单调性定义：
在某个区间
内，如果
，那么函数
在这个区间内单调递增；
如果
，那么函数
在这个区间内单调递减．
2、对导数与函数单调性概念理解；
（1）在某区间内
（
）是函数
在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数
在
上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有
（
）
且
在
上的任何子区间内都不恒为零．
【即学即练1】（22-23 高二下·四川成都·期末）函数
在
上是（ ）
A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数 C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数
知识点02 函数图象变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小与函数图象的变化关系
函数图象
导数
导数为正，且绝对值
越来越大
导数为正，且绝对值
越来越小
导数为负，且绝对值
越来越大
导数为负，且绝对值
越来越小
函数值
函数值变化越来越快
函数值变化越来越慢
函数值变化越来越快
函数值变化越来越慢
图象特点
越来越陡峭
越来越平缓
越来越陡峭
越来越平缓
【即学即练2】（23-24 高二·全国·课时练习）已知函数
在
上有导函数，
图象如图所示，则下
列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型一：求不含参函数的单调区间】
例1．（23-24 高二上·陕西西安·期末）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（23-24 高二上·山东青岛·阶段练习）函数
在
上的单调递增区间为
．
变式1-2．（23-24 高二上·江苏宿迁·期末）函数
的单调增区间为 .
变式1-3．（23-24 高三上·贵州黔东南·阶段练习）（多选）下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
求函数单调区间的步骤
（1）确定函数
的定义域；
（2）求
（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式
，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式
，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
【题型二：求含参函数的单调区间】
例2．（23-24 高二下·全国·课时练习）已知函数
讨论
的单调性.
变式2-1．（2024 高二·上海·专题练习）设函数
，其中
.
（1）当
时，求函数
在
处的切线方程；
（2）讨论
的单调性；
变式2-2．（23-24 高二下·全国·课前预习）已知函数
.
（1）若
，求曲线
在点
处的切线；
（2）讨论
的单调性；
变式2-3．（23-24 高二上·河北石家庄·期末）设函数
．
（1）若
，求
的导数；
（2）讨论函数
的单调性．
【方法技巧与总结】
讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号
变化部分，即导数的主要部分，简称导主。讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，
一般需要分四个层次来分类：
（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；
（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；
（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；
（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。
【题型三：已知函数的单调性求参数】
例3．（23-24 高二上·湖南常德·期末）若函数
在区间
上是减函数，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．（23-24 高二上·浙江宁波·期中）若函数
在区间
上有单调递增区间，则
实数
的取值范围是 ．
变式3-2．（2024 高二下·全国·专题练习）若函数
恰好有三个单调区间，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-3．（22-23 高二下·辽宁阜新·期末）若函数
在区间
上单调，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．不存在这样的实数
变式3-4．（23-24 高二上·河南许昌·期末）若函数
在其定义域的一个子区间
上，不是单调函数，则实数k 的取值范围是 ．
【方法技巧与总结】
已知函数的单调性求参数
1、函数
在区间D 上单调增（单减）⇒f
'(x)≥0（≤0）在区间D 上恒成立；
2、函数
在区间D 上存在单调增（单减）区间⇒f
'(x)>0（<0）在区间D 上能成立；
3、已知函数
在区间D 内单调⇒f '( x )不存在变号零点
4、已知函数
在区间D 内不单调⇒f '( x )存在变号零点
【题型四：原函数与导函数图象关系】
例4．（23-24 高二下·湖南株洲·开学考试）设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，则
的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．（23-24 高二上·山西长治·期末）函数
的导函数
的图象如图所示，那么该函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．（22-23 高二下·海南·期中）设函数
在定义域内可导，
的图象如图所示，则其导函
数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-3．（22-23 高二下·全国·阶段）已知函数
的图象如图所示，则其导函数
的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数
的图象如图所示（其中
是函数
的
导函数），下面四个图象中可能是
图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
通过图象研究函数单调性的方法：
（1）观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
（2）观察导函数的图象重在找出导函数图象与
轴的交点，分析导数的正负。
【题型五：利用单调性解不等式】
例5．（23-24 高二上·江苏泰州·期末）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-1．（23-24 高二上·湖北武汉·期中）已知函数的定义域为
，
，对任意
，
，
则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-2．（23-24 高三上·北京·期中）设
，
分别是定义域为
的奇函数和偶函数，当
时
，且
，则不等式
的解集为 .
变式5-3．（23-24 高二上·江苏盐城·期末）设函数
的定义域为
，其导函数为
，且满足
，
，则不等式
的解集为 .
变式5-4．（23-24 高三上·上海浦东新·期中）定义在
上的函数
满足
，其中
为
的导函数，若
，则
的解集为 .
【方法技巧与总结】
利用题目条件构造辅助函数，把求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性
解不等式。
【题型六：利用单调性比较函数值大小】
例6．（23-24 高二上·江苏宿迁·期末）函数
是定义在
上的奇函数，对任意实数
恒有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-1．（23-24 高二上·河北石家庄·期末）已知
，则a，b，c 大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-2．（23-24 高二上·湖南长沙·期末）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-3．（23-24 高三上·广东深圳·期末）设
则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-4．（23-24 高二上·湖北武汉·期中）已知
，
，
，试比较
，
，的
大小（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
利用题目条件构造辅助函数，把比较函数值大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单
调性比较大小。
一、单选题
1．（23-24 高二上·山西大同·期末）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二上·江苏南京·期末）若定义在
上的函数
的图象如图所示，则函数
的增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二上·重庆·期末）已知函数
的导函数为
，
的图象如图所示，则
的图象
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高二下·河南焦作·期末）已知函数
，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高二下·陕西·开学考试）已知函数
的导函数为
，且
，则必有（
）
A．函数
为增函数 B．函数
为增函数
C．函数
为减函数 D．函数
为减函数
6．（2024 高二下·全国·专题练习）若
是区间
上的单调函数，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
7．（2023·全国·模拟预测）已知定义在
上的偶函数
，对
，都有
，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高二上·福建·期末）定义在
上的函数
，
是它的导函数，且恒有
成立．则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（23-24 高二下·云南·开学考试）下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（23-24 高二上·安徽滁州·期末）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，且对任意的
，
都有
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24 高二上·安徽滁州·期末）已知函数
为定义在
上的奇函数，若当
时，
，且
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
D．不等式
解集为
三、填空题
12．（22-23 高二下·河南省直辖县级单位·期末）
的单调增区间为 .
13．（23-24 高二上·江苏盐城·期末）已知函数
，若
在
上单调递增，则实数a
的取值范围是 ．
14．（23-24 高二上·江苏盐城·期末）已知定义在
上的可导函数
的导函数为
，满足
且
为偶函数，
为奇函数，若
，则不等式
的解集为
．
四、解答题
15．（23-24 高二上·陕西西安·期末）已知函数
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）求函数
的单调区间．
16．（23-24 高二上·河北沧州·期末）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若函数
在
上单调递增，求实数a 的取值范围．
17．（23-24 高二上·广东深圳·期末）已知函数
．
（1）若函数
的图象在点
处的切线与直线
垂直，求
的单调递增区间；
（2）若函数
在
上为增函数，求实数k 的取值范围．
18．（23-24 高二下·江苏·阶段练习）（1）已知函数
，在区间
上存在减
区间，求
的取值范围；
（2）已知函数
．讨论函数的单调性；
19．（23-24 高二上·重庆·期末）已知函数
.
（1）若曲线
在点
处的切线与直线
平行,求出这条切线的方程；
（2）讨论函数
的单调性.
