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第七章 三角函数（高效培优单元自测·强化卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1．角
的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与
轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点
，若
，则点
的横坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，点
的横坐标是
.
故选：C
2．下列函数中，与函数
的奇偶性和定义域都相同的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
是定义在R 上的奇函数，
对于A，函数
不是奇函数，A 错误；
对于B，函数
定义域不是R，B 错误；
对于C，函数
的定义域为
，但不是奇函数，，C 错误；
对于D，函数
是定义在
上的奇函数，D 正确 .
故选：D.
3．
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°
＝－
＋
＝
．
故选：C.
4．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，
，
，又
，
因为
在
单调递减，
所以
，即
，所以
.
故选：D.
5．将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，则
图象的一条对称
轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意
，
对于A，
，所以
是
图象的一条对称轴；
对于B，
，所以
不是
图象的一条对称轴；
对于C，
，所以
不是
图象的一条对称轴；
对于D，
，所以
不是
图象的一条对称轴.
故选：A.
6．以等边三角形每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就
是勒洛三角形．如图，已知等边三角形
的边长为2，则该勒洛三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】等边三角形
的面积为
，
单个弓形的面积为
，
所以勒洛三角形的面积为
.
故选：C
7．
，则实数
（ ）
A．2
B．0
C．
D．
【答案】D
【详解】解：∵
，∴
，
，
∵
，∴
，
∴
，
即
∴
对
恒成立，
∴
，∴
，
，∴
，
故选：D．
8．已知定义域为
的单调函数
满足：
，则函数
的零点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】根据题意，对任意的
，都有
，
由
是定义在
上的单调函数，得
为定值．
设
，则
，
因为
，所以
，解得
，
所以
．
因为函数
的零点的个数，即函数
与
的图象的交点个数．
所以可作出函数
和
的大致图象，如图．
结合图象可知，这两个函数的图象有3 个交点．
故选：C．
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．若角A，B，C 是
的三个内角，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】因为
，则
，
所以
，
，A 正确，B 错误；
由于
，
则
，C 错误；
由于
，
所以
，D 正确.
故选：AD
10．已知函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．将
的图象向左平移
个单位长度后，得到函数
的图象
C．直线
是
图象的一条对称轴
D．
图象的对称中心为
【答案】AD
【详解】由函数图象可知，函数的最大值为，因为
，所以
.
设函数的周期为
，则
，则
，所以
，
此时
.
已知函数图象过点
，则
，
即
，所以
，则
，
因为
，所以
，那么
.
对于A，
，所以选项A 正确；
对于B，将
的图象向左平移
个单位长度，
得到
，
所以选项B 错误；
对于C，因为
，所以直线
不是
图象的一条对称轴，选项
C 错误；
对于D，令
，解得
，此时
，
所以
图象的对称中心为
，选项D 正确.
故选：AD.
11．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．
已知摩天轮最高点距离地面高度为
，转盘直径为
，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置
有若干个座舱，转一周需要
．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，
后距离地面的高度
为
（单位：
），下述结论正确的是（ ）
A．
B．甲进舱10 分钟后距离地面的高度是
C．若在
，
时刻游客距离地面的高度相等，则
的最小值为30
D．在运行一周的过程中，
的时间超过
【答案】ACD
【详解】A 选项，根据题意，设
，
转盘直径为
，
，最高点距离地面高度为
，
，转一周需要
，
，
，又游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，
即过
，
，故
，又
，所以
，
所以
，故A 正确；
B 选项，
，故进舱10 分钟后距离地面的高度是
，故B 错误；
C 选项，
，即
，
即
，
由余弦函数的对称性得
，即
，
所以则
的最小值为30，故C 正确；
D 选项，令
，
即
，
因为
，所以
，
故
，解得
，
在运行一周的过程中，
的时间为
，
所以
的时间超过
，故D 正确；
故选：ACD.
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.）
12．设
，则
（结果用含
的式子表示）.
【答案】
【详解】原式
故答案为：
13．已知函数
的最小正周期为
，
时函数图像位于最低点，则
．
【答案】
【详解】由题意
，
，则
．
当
时，根据
时，函数图象位于最低点，可得
，
所以
．
当
时，根据
时函数图像位于最低点，
可得
，
故
．
综上，
．
故答案为：.
14．若不等式
对
恒成立，则
.
【答案】
【详解】当
时，函数
的零点为
和
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
不等式
对
恒成立，
则函数
满足
，有
，
解得
，所以
.
故答案为：
四、解答题：（本题共5 小题，共计77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13 分）已知锐角
满足
．
(1)求
、
的值；
(2)若角
的终边与角
的终边关于
轴对称，求
的值．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
为锐角，所以
，
，
由已知条件可得
，解得
.
（2）因为角
的终边与角
的终边关于
轴对称，则
，
由（1）可知
，
所以
，
所以
.
16．（15 分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在
通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天
的时间与水深关系表：
时
刻
0
：
0
0
3
：
0
0
6
：
0
0
9
：
0
0
12
：
00
15
：
00
18
：
00
21
：
00
24
：
00
水
深
/
米
4
.
5
6
.
5
4
.
5
2
.
5
4.
5
6.
5
4.
5
2.
5
4.
5
(1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数
，画出函数图
象，并求出函数解析式；
(2)现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为
米，安全条例规定至少要有
米的间隙（船底与
海底的距离），该船何时能进入港口？（参考数据：
)
【答案】(1)作图见解析，
(2)该船在
或
时可以进入港口
【分析】
【详解】（1）由表中数据可画出函数图象如下．
由图象可知
，
，
函数的最小正周期为
，可得
，则
，
又因为
时取最大值
，即
，可得
，则
，
因为
，故
，故
.
（2）货船需要的安全水深为
米，所以当
时就可以进港．
令
，可得
，
所以
，解得
，
当
时，
；当
时，
，
所以该船在
或
时可以进入港口．
17．（15 分）已知函数
．
(1)写出由
的图象变换得到
的图象的过程；
(2)求
在
上的单调减区间；
(3)若
，且
，求
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）方法一：由
的图象变换得到
的图象的过程为，
先将
的图象向左平移
个单位可得
的图象，
再将
的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），可得
的图象，
最后将
的图象的每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）可得函数
的图象；
方法二：由
的图象变换得到
的图象的过程为，
先将
的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），可得
的图象，
再将
的图象向左平移
个单位可得函数
的图象，
最后将
的图象的每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）可得函数
的图象；
（2）法一：因为
，所以
，
因为y＝sinx 在
上单调递减，在
和
上单调递增，
令
，可得
，
所以函数
在
上的单调减区间为
．（注意端点开闭均可）
法二： 由
，
，可得
，
，
所以函数
的单调递减区间为
，
，
因为
，所以
，
，
即函数f（x）在[0，π]上的单调减区间为
．（注意端点开闭均可）
（3）因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
，
所以
，
即
，所以
．
18．（17 分）已知函数
．
(1)若
，求函数
的最小正周期；
(2)若函数
在区间
上为严格增函数，求
的取值范围；
(3)若函数
在
（
且
）上满足“关于x 的方程
在
上至少存在2024 个
根”，且在所有满足上述条件的
中，
的最小值不小于2024，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）由于
，且
，
所以
的最小正周期为
.
（2）由
，且
，得
，
若函数
在区间
上严格递增，
则只需保证
，求得
，则
，
则
的范围为
．
（3）由关于
的方程
在区间
上至少存在2024 个根，
则关于
的方程
至少有2024 个根，
则至少存在
个
使得
，
因函数
的最小正周期为
，
故
至少包含2023 个周期，即
又在所有满足上述条件的
中，
的最小值不小于2024，则
，
得
，
所以
的取值范围为
．
19．（17 分）如图，是函数
（
，
，
）图象的一部分
(1)求函数
的解析式；
(2)函数
在区间
上有且仅有两个零点，求实数
的取值范围；
(3)若关于x 的方程
在
上有解，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）由图可得
，
函数
的最小正周期为
，则
，
所以
，因为
，
则
，因为
，所以
，解得
，
所以
.
（2）令
，则
因为函数
在区间
上有且仅有两个零点
所以方程
在
有且仅有两个实根.
令
，得
或
所以方程
的正根从小到大排列分别是
所以
，解得
（3）由
，
可得
，
即
，
即
，
即
，其中
，
因为
，则
，令
，
则有
，则关于t 的方程
在
上有解，
由
可得
，
令
，则
，
因为
，
在
上均为减函数，
所以函数
在
上为减函数，且当趋向于
时，
趋向于正无穷大，
则
，所以
，解得
，
故实数a 的取值范围是
.
