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第二章 等式与不等式（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．一元二次方程
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知p：
，那么p 的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，则
（ ）
A．有最大值
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
4．若不等式
的解集为
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在R 上定义运算⊗：
，
时，不等式
有解，则实数a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
，则下列结论错误的是（ ）
A．
的取值范围为
B．
的取值范围为
C．
的取值范围为
D．
取值范围为
7．若关于
的不等式
的解集中恰有3 个整数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
或
8．设
，已知
或
，则
的最小值为（以
表示数集
中最大的数）（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．某单位有10000 名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占
，如果对
每个人的血样逐一化验，就需要化验10000 次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5 人一组分组，
然后将各组5 个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5 个人全部阴性；如果混合血样呈阳
性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次，则下列正确的是（ ）
A．按照统计专家的化验方法能减少化验次数
B．按照统计专家的化验方法不能减少化验次数
C．如果携带病毒的人只占
，按照
个人一组，
取7 时化验次数最少
D．如果携带病毒的人只占
，按照
个人一组，
取8 时化验次数最少
11．已知集合
有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式
的解集为
，则
D．若不等式
的解集为
，且
，则
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知
，且
，则
的取值范围是 ．
13．若对于任意的实数
，
恒成立，则实数
的取值范围为 .
14．定义：区间
、
、
、
的长度均为
．若不等式
的解集中所
有区间长度总和为，则用
的代数式表示
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．设
.
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)解关于
的不等式
（
）.
16．（1）已知
，
，
，求证：
．
（2）已知
，
，
，
，求证：
．
17．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为
，底
面积为
，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲
工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400 元，左右两面新建墙体报价为每平方米
150 元，屋顶和地面以及其他报价共计7200 元．设屋子的左右两侧墙的长度均为
．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为
元
．若无论左右两面
墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围．
18．对于四个正数
，如果
，那么称
是
的“下位序列”.
(1)对于
，试问
是否为
的“下位序列”，请说明理由；
(2)设
均为正数，且
是
的“下位序列”，试判断：
，
之间的大小关系，并说明
理由；
(3)已知正整数
满足条件：对集合
内的每个元素
，总存在正整数
，使得
是
的“下位序列”，且
是
的“下位序列”，求
的最小值.
19．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
，
，当且仅当
时，等号成
立.我们从不等式
出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般
形式为：
，且
，
，当且仅当
时，等号成立.
(1)若
，求
的最小值；
(2)求
的最大值；
(3)若
，
，不等式
恒成立，求m 的取值范围.
