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第一章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．点
在空间直角坐标系中的（ ）
A．
轴上
B．
平面上
C．
平面上
D．第一象限内
【答案】B
【分析】根据坐标平面和坐标轴上点的坐标特点即可判断.
【详解】因为点
的竖坐标为0，所以该点在
平面上.
故选：B.
2．已知平面
的法向量为
，则直线
和平面
的位置关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
与
相交但不垂直
【答案】A
【分析】得出
，即可判断.
【详解】由题意得，
，则
，则
.
故选：A
3．已知平面
的一个法向量为
，平面
的一个法向量为
，若
，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】通过
，列出等式求解即可.
【详解】由题意可知，
，所以
，
解得
，所以
.
故选：A.
4．已知四面体
，M、N 分别是
的中点，且
，用
表示
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得.
【详解】因为M、N 分别是
的中点，所以
，
所以
.
故选：D
5．已知向量
，
，
，当
时，向量
在向量上的投影的数量为
（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】由向量数量积的几何意义即可求.
【详解】向量
，
，
，
所以
，解得
，所以
，
，
所以向量
在向量上的投影的数量为
.
故选：B.
6．在平行六面体
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由空间向量线性运算，可得
，利用数量积运算性质即可得出．
【详解】
，
又
，
，
，
，
，
；
故选：A
7．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且
､
均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为
，
、
、
、
均与曲池的底面
垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和
，对应的圆心角为
，则图中异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解即可.
【详解】设上底面圆心为
，下底面圆心为
，连接
、
、
，
以
为坐标原点，分别以
、
、
所在直线为
、
、
轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则
、
、
、
，
所以
，
，
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：A.
8．如图，已知正方体
的棱长为
为
上三等分点且靠近
点，在侧面
内作边
长为1 的正方形
，
是侧面
内一动点，且点
到平面
的距离与线段PF 的长度相等．
则当点
运动时，
的最小值是（ ）
A．12
B．13
C．14
D．17
【答案】B
【分析】构建合适空间直角坐标系，过
作
，垂足为
，设
且
，利用
得
，再应用空间两点的距离求法求
的最小值.
【详解】建立空间直角坐标系，如图所示，过
作
，垂足为
，
设
，则
，
，且
，
由
，即
，化简得
，
，
所以当
时，
取最小值13．
故选：B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知点
，
，则（ ）
A．
为
B．线段
的中点坐标为
C．点B 到x 轴的距离为5
D．直线
的一个方向向量为
【答案】ABC
【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A；根据中点坐标公式即可判断B；根据空间点到坐标轴距离公
式即可判断C，根据向量共线的坐标表示即可判断D。
【详解】对A，由题意得
，则
，故A 正确；
对B，线段
的中点坐标为
，即
，故B 正确；
对C，点B 到x 轴的距离为
，故C 正确；
对D，因为
，且
，则
与向量
不共线，故D 错误.
故选：ABC.
10．若
构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】AD
【分析】根据空间共面向量定理和空间向量基底的定义逐一验证即可.
【详解】对于A：设
，则
，由
无解，
故不存在
，使得
，所以
，
，
不共面，故A 正确；
对于B：
，所以
，
，
共面，故B 错误；
对于C：
，所以
，
，共面，故C 错误；
对于D：设
，则
，由
无解，
故不存在
，使得
，所以
，
，
不共面，故D 正确.
故选：AD.
11．如图，在棱长为1 的正方体
中，点P 在线段
上（含端点）运动，下列选项中正确
的有（ ）
A．线段
长度的最大值是
B．点P 到平面
的距离是定值
C．直线
与BD 所成角的最小值是
D．直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围是
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，设
，且
，利用空间两点间的距离通过求函数最大值即可
判断A；由
∥平面
得到点P 到平面
的距离即为点
到平面
的距离，并通过等体积法求
得距离可判断B；利用空间向量表示线线角、线面角并利用函数单调性求得最值或范围，从而判断CD.
【详解】如图，以
为坐标原点，以
所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则
设
，且
.
对于A，
，
当
时，
.故A 正确；
对于B，正方体
中，
∥
，
平面
，
平面
，
所以
∥平面
，因为
，所以点P 到平面
的距离是等于点
到平面
的距离,
设
到平面
的距离为，由
得，
，得
，故B 不正确；
设
，且
.
对于C，
，
，
设直线
与BD 的所成角为
，
则
令
，则
，
函数
，
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，所以
，故C 正确；
对于D，设平面
的法向量
，则
取
，得
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为：
因为
在
上单调递增
，故D 正确
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．向量
且
，则实数
.
【答案】
/
【分析】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解.
【详解】
，
，
因为
，所以
，
即
，
有
，
故实数
.
故答案为：
13．在空间直角坐标系中，若
，
，
，
四点共面，则
．
【答案】-1
【分析】表达出
，
，
，根据四点共面得到
，列出方程，求出答案.
【详解】依题意，得
，
，
．
若
四点共面，则
，即
，
所以
，所以
．
故答案为：-1
14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架
，
的边长都是1，且它们所在的平面互相垂
直.活动弹子
，
分别在正方形对角线
和
上移动，且
和
的长度保持相等，记
，则当
的长最小时，平面
与平面
夹角的余弦值为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式可求得
，借助二次函数，求出
最小时对应的
的值，然后找出二面角的平面角,借助向量夹角公式计算求解即可.
【详解】以
原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，由
，
得
，则
，
当
时，
取得最小值，此时，
为中点，
，
取
的中点
，连接
，则
，
由
，
，得
，
，
所以
是平面
与平面
的夹角或其补角，
而
，
，
因此
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值是
.
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．如图所示，四棱柱
中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两
两夹角为60°．设
，
，
．
(1)用
为基底表示向量
，并求
的长；
(2)求
的值．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）先求出
，两边平方得到
，求出
的长；
（2）
，平方，进而求出
，
，利用空间向量夹角公式得到
.
【详解】（1）记
，
，
，
则
，
，
∴
，
，
，
∴
，即
的长为
；
（2）
，故
，
故
，
由（1）知
，
，
故
，
∴
．
16．如图，在正三棱柱
中，
，
为
的中点．
(1)求点
到直线
的距离；
(2)求异面直线
与
所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取
的中点
，连接
，即可证明
平面
，建立空间直角坐标，利用空间向
量法求出点
到直线
的距离；
（2）求出直线
与
的方向向量，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）取
的中点
，连接
，因为三棱柱
为正三棱柱，
所以
为正三角形，所以
,
又
平面
，
平面
，所以平面
平面
，
又平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
以
为坐标原点，直线
，
分别为
，
轴，在面
内过
作
的平行线作为
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
．
所以
，
，
所以
，
，
，
则点
到直线
的距离
.
（2）因为
，
．
所以
．
所以异面直线
与BD 所成角的余弦值为
．
17．如图，在三棱锥
中，
，
，
，点E 为
的中点.
(1)求证：
；
(2)若平面
平面
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）取
中点
，由题意可证
，
，进而可证
平面
，再由线面垂
直的性质定理可证
；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出直线AC 的方向向量与平面BCE 的法向量，利用空间向量求线面角
即可.
【详解】（1）取
中点
，连接
，则
，
因为
，所以
，
因为
为
中点，所以
，
因为
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
．
（2）因为平面
平面
，平面
平面
，且
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
由（1）知
，所以
两两垂直．
以点
为坐标原点，直线
分别为
轴，
轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
所以
．
设平面
的一个法向量
，则有
，即
，
令
，则
，
，所以
．
设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
18．如图，在五边形ABCDE 中，四边形ABCD 是正方形，
是以AD 为底边的等腰三角形，
，
，以AD 为折痕，把
折起，使点E 到达点F 的位置，得到四棱锥
．
(1)当
时，求四棱锥
外接球的表面积．
(2)当
时，
①求
的面积；
②求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)①6；②
【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合
及
，利用数量积的坐标运算及模的坐标运
算求出
，设四棱锥
外接球的球心
，半径为
，利用
，解得
，代入球的表面积公式即可的解．
（2）①结合
及
，利用数量积的坐标运算及模的坐标运算求出
，利用向量
法求得
，利用同角三角函数基本关系求得
，利用模的坐标运算得
，代入三角形面积公式求解即可；
②分别求出平面FAD 与平面FAC 的法向量，利用向量法求出平面夹角的余弦值.
【详解】（1）以A 为坐标原点，
所在直线为x 轴，
所在直线为y 轴，垂直于ABCD 为z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
设
，则
，
，
因为
，所以
，解得
，
又
，所以
，
又
，所以
，
解得
，则
，
设四棱锥
外接球的球心
，半径为
，
则
，解得
，
所以四棱锥
外接球的表面积为
．
（2）①由（1）知，
，
，
则
，解得
,
又
，
，
因为
，
所以
，所以
，即
，
所以
，
，则
，
所以
，
所以
，
所以
的面积为
；
②设平面
的法向量为
，
，
，
则
，即
，令
，则
．
设平面
的法向量为
，
，
，
则
，即
，令
，则
．
所以
，故平面
与平面
夹角的余弦值为
．
19．如果
与
是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量
，存在唯一的一组实数
与，使
得
，其中的
称为向量
的一个基，系数
称为向量
在基
下的坐
标.已知
分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量
在基
下的坐标为
.且
是空间中的另一个基.
(1)求向量
在基
下的坐标；
(2)若向量
在基
下的坐标为
，向量与
共线，且
.
①求向量在基
下的坐标；
②若向量
在基
下的坐标为
，且与的夹角为锐角，将
的起点平移至同一点
后，以
为邻边的三角形区域绕旋转一周得到旋转体
，求
的体积.
【答案】(1)
(2)①
或
；②
【分析】（1）向量
在基
下的坐标为
，再根据向量的线性运算可求；
（2）①根据向量的线性运算，先求
在基
下的坐标，设
，再利用向量模长的坐标表
示求得
，即可得到向量在基
下的坐标；②由题知旋转体
是两个同底的圆锥，然后根据圆锥体
积计算公式求解即可.
【详解】（1）设向量
在基
下的坐标为
，
则
因为
可得方程组
，解得
所以向量
在基
下的坐标为
.
（2）①向量
在基
下的坐标为
，
即
则
.
因为向量与
共线，可设
，
解得
，
所以在基
下的坐标为
或
.
②
，
因为
与的夹角为锐角，从而
，所以
，
在上的投影大小为
以、
为邻边的三角形区域以为轴旋转一周得到的旋转体
是两个同底的圆锥，
该圆锥的半径
，
两个圆锥高值和为
，
所以旋转体
的体积为
