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8.2.1 两角和与差的余弦
课程标准
学习目标
（1）能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公
式的过程，进一步体会向量方法的作用；
（2）能利用两角和与差的余弦公式进行化简求
值；
（3）两角和与差的公式的逆用、变形用。
（1）经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两
角差的余弦公式的意义；
（2）能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦
公式，了解它们的内在联系；
（3）掌握两角和与差的余弦公式的正用、逆用、
变形用，能利用两角和与差的余弦公式求值、计
算。
知识点01 两角差的余弦公式
1、公式与简记：
，简记为
；
2、公式理解：
（1）公式中的
，
是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合；
（2）
一般不成立，但在特殊情况下也可能成立。
如：
，
时，
.
（3）要掌握公式的逆用：如
【即学即练1】（23-24 高三·河南周口·月考）已知
，
，
，
是第四象限角，
则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知得
，
，
则
.故选：C.
知识点02 两角和的余弦公式
1、公式与简记：
，简记为
；
2、公式理解记忆：
（1）两角和的余弦公式中
，
也是任意角；
（2）理顺公式间的联系：
；
（3）注意公式的结构特征和符号规律：对公式
，
，用口诀“余余正正号相反”记忆公式。
【即学即练2】（23-24 高一上·河南郑州·期末）已知
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由诱导公式得
，因为
，
，
所以
，
所以
.故选：A
【题型一：求两角和差的余弦公式】
例1．（23-24 高二上·安徽淮北·期中）已知
，
均为锐角，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
均为锐角，且
，
，
所以
，
，
所以
.故选：C
变式1-1．（22-23 高一下·江苏镇江·期中）已知
且
都是第二象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
且
都是第二象限角，
所以
，
，
所以
.故选：C.
变式1-2．（23-24 高二上·陕西汉中·开学考试）已知角
是第一象限角，
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为角
是第一象限角，
，所以
，
所以
.故选：B
变式1-3．（22-23 高一下·北京·月考）已知
，
，则
．
【答案】
【解析】因为
，
，所以
，
所以
.
变式1-4．（23-24 高一上·海南·期末）已知角
的顶点在坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边经
过点
.
（1）求
的值；
（2）若
且
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由角的终边经过点
，可知
，
所以
.
（2）由角的终边经过点
，可知
,
由
且
，可知
，
所以
.
【方法技巧与总结】
直接利用两角和差与的余弦公式求余弦值时，要深刻理解公式的特征，不要死记。
【题型二：求非特殊角的余弦值】
例2．（23-24 高一上·湖北荆州·期末）
．
【答案】
【解析】
.
变式2-1．（22-23 高一下·北京密云·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
.故选：A.
变式2-2．（2023 高一上·全国·专题练习）
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
故选：D
变式2-3．（22-23 高一下·江西南昌·期末）设
时刻，时针和分针所夹的角为
，则
（）
A．0 B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为时针每12 小时转动
，所以每小时转
，即钟表的一大格的夹角是
.
而
时刻，时针和分针相差2.5 个大格，
所以
时刻，时针和分针所夹的角的度数是
，
则
.
故选：C.
变式2-4．（22-23 高一·全国·随堂练习）求下列各式的值：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）
.
（2）
.
【方法技巧与总结】
将给特殊角转化为特殊角的和与差，正用公式直接求值。
【题型三：两角和差余弦公式的逆用】
例3．（23-24 高一下·上海·假期作业）计算：
.
【答案】
/
【解析】
.
变式3-1．（23-24 高一上·广东深圳·期末）计算：
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
.故选：A.
变式3-2．（22-23 高一下·江苏苏州·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
.故选：A.
变式3-3．（22-23 高一下·江苏连云港·阶段练习）
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
.故选：
A
变式3-4．（23-24 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知
，则a 的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，故选：A
【方法技巧与总结】
在两角和与差的余弦公式中，
，
可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时长将两角的
和或差视为一个整体。
【题型四：用和差余弦公式化简求值】
例4．（23-24 高一下·安徽·开学考试）已知角
，
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
，
，
，故选：A.
变式4-1．（2022·全国·模拟预测）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，故选：A．
变式4-2．（23-24 高一上·广东广州·期末）已知
，则
．
【答案】
【解析】由
可得，
，
所以
，
化简得
，
故
变式4-3．（22-23 高一下·山东聊城·期中）
的值为 .
【答案】
【解析】
.
变式4-4．（23-24 高三上·辽宁沈阳·期末）若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
，
得
，
，
相加得
，解得
，故选：B.
【方法技巧与总结】
解决化简求值问题的策略：
（1）对于非特殊角的三角函数式的化简求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合
三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形；
（2）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母
形式进行约分。
【题型五：用和差余弦公式凑角求值】
例5．（23-24 高一上·浙江嘉兴·期末）已知
都是锐角，
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
都是锐角，则
，
则
，
所以
.
故选：B.
变式5-1．（23-24 高一上·安徽·期末）若
，
，
，
，则
.
【答案】
【解析】由
，
，得
，而
，
，
则
，
，
因此
，
，
所以
.
变式5-2．（23-24 高一上·重庆·期末）已知
满足
，则
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
.
变式5-3．（2023·广东广州·模拟预测）已知
，且
为钝角，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
又因为
，所以
所以
，
所以
即
，故选：D.
变式5-4．（23-24 高一上·云南德宏·期末）已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由于
，所以
，
而
，所以
，
所以
，
所以
.故选：B
【方法技巧与总结】
凑角求值一般有两种情况，一是给出两个三角函数值，求某角的三角函数值；二是仅给出一个三角函数值，
求某角的三角函数值。
已知条件中的角度称为“已知角”，问题中的角度称为“未知角”或“所求角”，凑角求值的关键便是确
定“已知角”与“未知角”的联系，再通过这种联系求解。
【题型六：用和差余弦公式给值求角】
例6．（22-23 高一上·吉林·期末）已知
为钝角，
为钝角满足
，则
．
【答案】
【解析】由于
为钝角，
为钝角，
，
所以
，
所以
．
又因为
为钝角，
为钝角，所以
，所以
．
变式6-1．（23-24 高三下·四川泸州·开学考试）已知
，且
为锐角，则
（
）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，且
为锐角，
由公式
，得：
；
；
由两角和差公式得：
，
从而
，
因为
为锐角，所以
，且
，得
.故选：A.
变式6-2．（23-24 高三上·重庆·阶段练习）已知角
，
均在
内，
，
，则
角
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，且
，所以
，
因为
，所以
，所以
为钝角，
所以
，
则
，
且
，则
.故选：C
变式6-3．（2023 高一上·全国·专题练习）设
，且
，
则
等于（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【解析】由
，
得
，
平方得
，
，
相加得
，即
，
又由
，
知
，则
，即
，
故
，故选：A．
变式6-4．（23-24 高一·全国·课时练习）已知
，且
，
，求
的
值．
【答案】
【解析】因为
，则
，又
，
，
于是
，
，
因此
，
所以
.
【方法技巧与总结】
利用三角函数值求角的解题步骤：
（1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
（2）求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；
（3）结合三角函数值及角的范围求角。
一、单选题
1．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）已知单位圆
上一点
，现将点
绕圆心逆时针旋
转
到点
，则点
的横坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令坐标原点为
，以射线
为终边的角为
，则以射线
为终边的角为
，
则
，
，
所以点
的横坐标为
.故选：C
2．（23-24 高一下·河南·开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【解析】由
，得
，
因为
，所以
，则
，
故选：A
3．（23-24 高一上·山东滨州·期末）已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由于
，所以
，所以
，
由
可得
，
故
，故选：A
4．（2024 高一下·江苏·专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，角
与角
均以Ox 为始边，它们的终边关
于y 轴对称，若
，
( )
A．1 B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵角
与
的终边关于y 轴对称，
，
∴
和
不可能在三、四象限，
①若
终边在第一象限，则
，
由
，得
，
∴
，
，
∴
；
②若
在第二象限，则
，
∴
，即
，
∴
，
，
∴
．故选：C
5．（23-24 高一上·浙江衢州·期末）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
因此
，
于是有
，
故选：C
6．（23-24 高一上·河北保定·期中）记
为
的内角，若
是方程
的两根，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题知有
且
,
，
.故选：D.
7．（2024·全国·模拟预测）已知
，
，
满足
，且
，
，
则
的值为（ ）
A．－2 B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】由
，即
，可得
，
则
，可得
，
因为
，即
，
可得
，
又因为
，即
，所以
．故选：B．
8．（22-23 高一下·江苏南京·期末）已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
所以
，解得
，
所以
，故选：C
二、多选题
9．（22-23 高一·全国·单元测试）下列选项中能满足
的是）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】由两角和的余弦公式，得
，
所以
或
，所以AB 正确，CD 错误.故选：AB
10．（23-24 高一上·广东深圳·期末）已知
是
的三个内角，下列条件是“
”
的一个充分不必要条件的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于A 选项，由
可得
，
则
可以是锐角或者钝角，无法判断
的符号，故A 项错误；
对于B 选项，由
可得
，
因
，故
是钝角，
都是锐角，即有
；
反过来，由
可得
中必有一个钝角，
当
时,
，故B 项正确；
对于C 选项，当
时，如果取
,则
，
此时
，不合题意，故C 项错误；
对于D 选项，由
可得
,即
，
因
,
,
则
，即
中必有一个是钝角，从而
是锐角，即
必成立，
反过来，由
可得
中必有一个钝角，
当
时,
，故D 项正确.故选：BD.
11．（22-23 高一·江西南昌·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．存在
，
的值，使
B．不存在无穷多个
，
的值，使
C．对于任意的
，
，都有
D．不存在
，
的值，使
【答案】AD
【解析】令
，则
，
，
此时
，故A 正确；
令
，
，
，
此时
，故B 错误；
由两角和的余弦公式可知，对于任意的
和
，
，故C 错误；
不存在
，
的值，使
，
若存在
和
，则与两角和的余弦公式矛盾，故D 正确.故选：AD.
三、填空题
12．（23-24 高一下·山东济宁·开学考试）已知
，若
，则
．
【答案】
【解析】由题意得
，因为
，则
，
由
，
，则
，
所以
.
13．（23-24 高一上·浙江温州·期末）已知
，
，则
【答案】
【解析】因为
，
，所以
，
则
．
14．（22-23 高一下·广东惠州·期中）
．
【答案】
【解析】
四、解答题
15．（2024 高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）由
.
（2）由
.
（3）由
（4）由
.
16．（2024 高一下·江苏·专题练习）（1）已知
，求
和
的值．
（2）已知
，且
，
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
，可得
，
又因为
，可得
，
所以
，
.
（2）因为
，所以
，
由
，
，可得
，
，
所以
.
17．（23-24 高一上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系
中，锐角
和钝角
的顶点与原点重合，
始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点
，
.
（1）求
，
的值；
（2）求
的值.
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）根据题意可知：
，
，则
，
同理
，
，则
；
（2）易知
，
所以
.
18．（23-24 高一上·广东广州·期末）已知角
是第二象限角，它的终边与单位圆交于点
．
（1）若
，求
的值：
（2）若
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为角
为第二象限角，
为其终边和单位圆交点，且
，
所以
，
.
由诱导公式得：原式
.
（2）因为角
为第二象限角，且
，
所以
为第一象限角，且
.
所以
即
.
19．（23-24 高一上·安徽阜阳·期末）已知
.
（1）化简
；
（2）若
均为锐角，
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）原式
（2）由（1）得
，所以
，
因为
均为锐角，所以
，
又
，所以
，
由
，得
，
所以
，
又
为锐角，故
.
