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第05 讲 平面向量线性运算的应用
课程标准
学习目标
1．会用向量法计算或证明平面几何中的相
关问题．
2．会用向量法解决某些简单的物理学中的
问题．
1.通过向量在几何中应用的学习，培养数学运算及数
学建模核心素养．
2．通过向量在物理中的应用，培养数学建模的核心素
养.
知识点01 向量在平面几何中的应用
(1)证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(a≠0)⇔b＝λa⇔x1y2＝
x2y1[a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)]．
(2)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝.
(3)要证A，B，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB＝λAC，或若O 为平面上任一点，则只
需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使OC＝λOA＋μOB.
（4）用向量运算解决平面几何问题的“三步法”
第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向
量问题.
第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系.
第三步：把运算结果“翻译”成几何关系.
【即学即练1】 在四边形
中，若
，则四边形
为（ ）
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A．平行四边形
B．梯形
C．菱形
D．矩形
知识点02 向量在物理中的应用
(1)力向量
力向量包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．
(2)速度向量
一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示．
(3)将物理量转化为向量之后，可以按照向量的运算法则进行计算．
【即学即练2】
已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，
再加上一个力f4，则f4＝( )
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
题型01 利用平面向量判断几何图形形状
【典例1】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知在四边形
中，
，
，
，则四边形
为（ ）
A．梯形
B．正方形
C．平行四边形
D．矩形
【变式1】在ΔABC中,
,则ΔABC是
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
【变式2】若
且
，则四边形
的形状为（ ）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
【变式3】在四边形
中，对角线
与
交于点
，若
，则四边形
一
定是（ ）
A．矩形
B．梯形
C．平行四边形
D．菱形
题型02 利用平面向量证明平行关系
【典例2】在
中，点
，
分别在线段
，
上，
，
.求证：
.
【变式1】如图，在四边形ABCD 中，点E，F，G，H 分别为BD，AB，AC 和CD 的中点.求证：四边形
EFGH 为平行四边形.
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【变式2】如图，已知
是
的三条高，且交于点
，
于点
，
于点
，求证：
．
题型03 利用平面向量求线段的长
【典例3】如图，在
中，点E 为边
上一点，点F 为线段
延长线上一点，且
，连接
交
于点D，求证：
.
【变式1】在梯形
中，
，
，点E，F 分别是
，
的中点，求证：
.
【变式2】用向量的方法证明如图，在
中，点E，F 分别是AD 和DC 边的中点，BE，BF 分别交
AC 于点R，T．你能发现AR，RT，TC 之间的关系吗？
题型04 利用平面向量求面积比
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【典例2】已知点
是
所在平面内一点，若
，则
与
的面积比为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·四川南充·阶段练习）已知点O 是
内部一点，并且满足
，
的面积为
，
的面积为
，则
.
【变式2】若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足3
－
－
＝
，则△ABM 与△ABC 的面积
之比为（ ）
A．1 2∶
B．1 3∶
C．1 4∶
D．2 5∶
题型05 利用平面向量解决力的问题
【典例3】如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是
，
，且
，
与水平夹角均为
，
，则物体的重力大小为
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）如图，两个力
和
同时作用在一个物体上，其中
的大小为
40N，方向向东，
的大小为30N，方向向北，求它们的合力．
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）如图，用两根绳子把质量为10kg 的物体W 吊在水平横杆AB 上，
，
.求物体平衡时，A 和B 处所受力的大小.（绳子的质量忽略不计，
）
【变式3】若向量
分别表示两个力
，则
（ ）
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A．
B．2
C．
D．
题型06 利用平面向量解决运动的问题
【典例4】一条河两岸平行，河的宽度为
米，一个人从岸边游向对岸.已知他在静水中游泳时，速度
大小为每分钟
米，水流速度大小为每分钟12 米.
①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小每分钟 米；
②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要 分钟.
【变式1】一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度
的大小为
，水流速度
的大小
为
，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为 km/h.
【变式2】一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A 处出发到河对岸．已知船在静水中的速度
的大小
为
，水流速度
的大小为
．设船行驶方向与水流方向的夹角为
，若船的航程最短，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】）如果一架飞机向西飞行
，再向东飞行
，记飞机飞行的路程为，位移为
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
1.已知两个力
，
的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与
的夹角为60°，那么
的大小为（
）
A．
N B．5N C．10N D．
N
2.一只鹰正以与水平方向成
角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上影
子的速度是50m/s，则鹰的飞行速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
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3.（多选）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（ ）
A．船垂直到达对岸所用时间最少
B．当船速的方向与河岸垂直时用时最少
C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样
D．船垂直到达对岸时航行的距离最短
4..若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：
.则△ABM 与△ABC 的面积之比为
.
5.如图所示，分别在平行四边形
的对角线
的延长线和反向延长线上取点
和点
，使
.
试用向量方法证明：四边形
是平行四边形.
6.如图，在
中，点E 为边
上一点，点F 为线段
延长线上一点，且
，连接
交
于
点D，求证：
.
7.如图，在细绳l 上作用着一个大小为200N 的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细
绳的另一端与水平面平行，求物重G 的大小．
8 飞机从A 地向西北飞行200km 到达B 地后，又从B 地向东飞行
km 到达C 地，再从C 地向南偏东
60°飞行
km 到达D 地，求飞机从D 地飞回A 地的位移．
