1
2.6.1 双曲线的标准方程
课程标准
学习目标
1.通过对双曲线的定义，标准方程的
学习，培养数学抽象素养
2.借助于双曲线标准方程的推导过
程，提升逻辑推理、数学运算素养
1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问
题
2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.
理解双曲线标准方程的推导过程并能运用标准方程
解决相关问题:
知识点01 双曲线的定义
1.定义：在平面内，到两个定点
、
的距离之差的绝对值等于常数
（
大于0 且
）的动
点
的轨迹叫作双曲线.
2.焦距：这两个定点
、
叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
注意：1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数
满足约束条件：
（
），则动
点轨迹仅表示双曲线中靠焦点
的一支；若
（
），则动点轨迹仅表示双曲
2
线中靠焦点
的一支；
2. 若常数
满足约束条件：
，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括
端点）；
3. 若常数
满足约束条件：
，则动点轨迹不存在；
4. 若常数
，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
【即学即练1】（23-24 高二上·江西·期末）已知点P 是双曲线C：x
2−y
2
15 =1上一点，F1，F2分别为C 的
左、右焦点，若|P F1|=7，则|P F2|=（ ）
A．5
B．13
C．5 或9
D．5 或6
【即学即练2】（23-24 高二上·河南洛阳·阶段练习）已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“
|| M F1|−| M F2||为定值”是“动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
知识点02 双曲线的标准方程
1、当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0,
0)
a
b
，其中
2
2
2
c
a
b
；
2、当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：
2
2
2
2
1
y
x
a
b
(
0,
0)
a
b
，其中
2
2
2
c
a
b
注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C 均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C 可化为
2
2
1
Ax
By
C
C
，即
2
2
1
x
y
C
C
A
B
，
所以只有A、B 异号，方程表示双曲线。
3
当
0,
0
C
C
A
B
时，双曲线的焦点在x 轴上；
当
0,
0
C
C
A
B
时，双曲线的焦点在y 轴上。
【即学即练3】（23-24 高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点(−1,0)，焦点分别为F1(−2,0)、F2(2,0)，
则双曲线的方程为（ ）
A．x
2
2 −y
2=1
B．x
2−y
2
2 =1
C．x
2
3 −y
2=1
D．x
2−y
2
3 =1
【即学即练4】（23-24 高二上·广东肇庆·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九
章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC 的“勾”
“股”分别为6，8，以AB 所在的直线为x轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则以A，B 为
焦点，且过点C 的双曲线方程为（ ）
A．x
2−y
2
24 =1
B．x
2
24 −y
2=1
C．x
2
49 −y
2
24 =1
D．x
2
4 −y
2
21 =1
难点：数形结合的运用
示例1：（23-24 高二下·安徽·期末）已知双曲线E：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F，直线l：y = x与
E 交于A，B 两点，且AF ⊥BF，则b
2
a
2 = .
4
【题型1：双曲线的定义】
例1．（2023 高三·全国·专题练习）已知动点M ( x , y)满足√( x +2)
2+ y
2−√( x−2)
2+ y
2= 4，则动点M的
轨迹是（ ）
A．射线
B．直线
C．椭圆
D．双曲线的一支
变式1．（22-23 高二上·全国·课后作业）到两定点F1(−3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6 的点M
的轨迹（ ）
A．椭圆
B．直线
C．双曲线
D．两条射线
变式2．（22-23 高二下·福建福州·期中）设P 是双曲线x
2
16 −y
2
20 =1上一点，F1，F2 分别是双曲线左、右两
个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1
B．17
C．1 或17
D．8
变式3．（23-24 高二上·广东东莞·期中）设F1
、F2
是两定点，|F1 F2|=6，动点P 满足|P F1|−|P F2|= 4，
则动点P 的轨迹是（ ）
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．一条射线
D．轨迹不存在
变式4.（23-24 高二上·全国·课后作业）如果双曲线x
2
64 −y
2
36 =1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P
到另一焦点F2的距离是 ．
变式5．（22-23 高二上·山西晋中·期末）与两圆x
2+ y
2= 4及x
2+ y
2−8 x +15=0都外切的圆的圆心的轨迹
为（ ）
A．椭圆
B．双曲线的一支
C．抛物线
D．圆
变式6．(多选)（23-24 高二上·河南焦作·阶段练习）平面内到两定点F1(−3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对
5
值等于常数2a 的点M 的轨迹（ ）
A．椭圆
B．一条直线
C．两条射线
D．双曲线
变式7 ．（多选）（21-22 高二上· 全国· 课后作业）已知F1(−3,0), F2(3,0)，满足条件
|P F1|−|P F2|=2m−1的动点P的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，m可以是（ ）
A．1
2
B．2
C．−1
D．−3
变式8．（23-24 高二下·北京·期中）双曲线x
2
9 −y
2
16 =1的左右焦点分别是F1与F2, M是双曲线右支的一点，
且|M F1|=7，则|M F2|= ．
变式9．（23-24 高二上·湖南岳阳·期末）如果双曲线x
2
4 −y
2
3 =1右支上一点P到左焦点F1的距离等于6，则
点P到另一个焦点F2的距离为
.
【题型2：双曲线的标准方程】
例2．（23-24 高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左，右焦点分别是
F1(−13,0)，F2(13,0)，点P在双曲线C上，且|P F1|−|P F2|=10，则双曲线C的方程是（ ）
A．x
2
5 −y
2
12 =1
B．x
2
12 −y
2
5 =1
C．x
2
144 −y
2
25 =1
D．x
2
25 −y
2
144 =1
变式1．（23-24 高二上·全国·课后作业）在双曲线的标准方程中，若a=6,b=8，则其标准方程是
（ ）
A．y
2
36 −x
2
64 =1
B．x
2
64 −y
2
36 =1
C．x
2
36 −y
2
64 =1
D．x
2
36 −y
2
64 =1或y
2
36 −x
2
64 =1
变式2．（21-22 高二下·广东佛山·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,5)，F2(0,−5)，P 是
双曲线上一点且满足||P F1|−|P F2||=6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．x
2
16 −y
2
9 =1
B．x
2
9 −y
2
16 =1
C．y
2
16 −x
2
9 =1
D．y
2
9 −x
2
16 =1
变式3．（22-23 高二上·北京·阶段练习）已知双曲线的一个焦点为(5,0)，一个顶点为(3,0)，则双曲线方程
的标准方程为（ ）
6
A．y
2
16 −x
2
9 =1
B．x
2
25 −y
2
9 =1
C．x
2
25 −y
2
16 =1
D．x
2
9 −y
2
16 =1
变式4．（22-23 高二上·北京海淀·期中）已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,4)，F2(0,−4)，P 是双曲
线上一点且||P F1|−|P F2||=6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．x
2
7 −y
2
9 =1
B．x
2
9 −y
2
7 =1
C．y
2
9 −x
2
7 =1
D．y
2
7 −x
2
9 =1
变式5．（22-23 高二上·江苏连云港·期末）经过点( 4√3
3
,2√3)且焦点为(0,−5)，(0,5)的双曲线的标准方
程是 ．
变式6．（22-23 高二下·上海黄浦·期中）双曲线Γ经过两点A (−√2,−√3)，B(
√15
3 ,√2)
，则双曲线Γ的
标准方程是 ．
变式7．（22-23 高二上·江苏扬州·期中）已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C 经过点(4 ,√13)，则双曲线
C 的标准方程为
.
变式8．（20-21 高二·全国·课后作业）已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(√5，0)
和(－√5，0)，点P在双曲线上，且P F1⊥P F2，△P F1 F2的面积为1，则双曲线的方程为 ．
变式9．（21-22 高二·全国·课后作业）求焦点在x 轴上，且经过点P(4,2)与Q(2√6,2√2)的双曲线的标
准方程．
【方法技巧与总结】
用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：
【题型3：双曲线定义的应用】
7
例3．（2024 高二·全国·专题练习）若曲线x
2
k + 4 +
y
2
k −1 =1表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）
A．[−4,1)
B．(−∞,−4)∪(1,+ ∞)
C．(−4,1)
D．(−∞,−4]∪[1,+∞)
变式1．（23-24 高二上·湖北十堰·阶段练习）方程
x
2
(4−t ) +
y
2
(t −2) =1所表示的曲线为C，有下列命题：①
若曲线C为椭圆，则2<t <4；②若曲线C为双曲线，则t >4或t <2；③曲线C不可能是圆；④若曲线C表示
焦点在y轴上的椭圆，则3<t <4.
以上命题正确的是（ ）
A．②③
B．①④
C．②④
D．①②④
变式2．（22-23 高二上·辽宁沈阳·期末）若方程x
2
k +1 +
y
2
k −2 =1表示双曲线，则实数k 的取值范围为
（ ）
A．(−1,2)
B．(−∞,−1)
C．(2,+∞)
D．(−∞,−1)∪(2,+∞)
变式3．（22-23 高二下·四川内江·阶段练习）方程x
2
1+m +
y
2
m−2 =1表示双曲线，则m的取值范围是
.
变式4．（23-24 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若方程x
2+m y
2−m=0表示双曲线，则实数m的取值范围是
.
变式5．（23-24 高二上·辽宁大连·阶段练习）若方程m x
2+(1−m) y
2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实
数m的取值范围为
.
变式6．（23-24 高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，方程x
2
k −1 +
y
2
k −3 =1表示焦点在x轴
上的双曲线，则k的取值范围为 ．
变式7．（21-22 高二·全国·课后作业）若方程y
2
4 −
x
2
m−1 =1表示双曲线，则实数m 的取值范围是
.
变式8．（22-23 高二上·江苏扬州·期中）已知x
2
m−3 +
y
2
11−m =1，当m为何值时，
(1)方程表示焦点在y轴上的椭圆；
(2)方程表示双曲线.
【题型4：焦点三角形】
8
例4．（2022·海南·模拟预测）设双曲线x
2
4 −y
2
3 =1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，
|P F1|=3|P F2|，则∠F1 P F2的大小为（ ）
A．30
∘
B．45
∘
C．60
∘
D．90
∘
变式1．（22-23 高二上·贵州贵阳·期末）设F1，F2分别是双曲线C：x
2−y
2
2 =1的左､右焦点，P 为C 上一
点且在第一象限若|P F1|=2|P F2|，则点P 的纵坐标为（ ）
A．1
B．√3
C．2
D．2√3
变式2．（2022·全国·模拟预测）设F1，F2是双曲线x
2
4 −y
2
12 =1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且
3|P F1|=5|P F2|，则△P F1 F2
的面积等于（ ）
A．24
B．15√2
C．12√3
D．30
变式3．（2022 高三·全国·专题练习）设F1, F2是双曲线C : x
2
4 −y
2
3 =1的两个焦点，O为坐标原点，点P
在C上，PQ⊥x轴于点Q，且Q在线段F1 F2上，|PQ|
2=|F1Q|⋅|F2Q|，则|F1 P|+|P F2|=（ ）
A．4
B．6
C．2√10
D．40
变式4.（20-21 高二上·上海宝山·阶段练习）已知椭圆x
2
m + y
2=1(m>1)和双曲线x
2
n −y
2=1(n>0)有相同
的焦点F1, F2，点P是它们的一个公共点，则△F1 P F2的形状是
三角形（填锐角，直角，钝角）.
变式5．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知双曲线y
2
3 −x
2
5 =1的两个焦点分别是F1, F2，点A ,B在双曲
线上，且线段AB经过焦点F1，|AB|=5，则△AB F2的周长为
.
变式6．（23-24 高二上·上海青浦·阶段练习）双曲线x
2−y
2
4 =1的左右两个焦点为F1，F2，第二象限内的
一点P 在双曲线上，且∠F1 P F2=2π
3
，则三角形F1 P F2的面积是 ．
变式7.（21-22 高二上·全国·课后作业）已知F1、F2是双曲线x
2
16 −y
2
9 =1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，
9
那么|P F2|+|Q F2|−|PQ|的值是 ．
【方法技巧与总结】
求双曲线中焦点三角形面积的方法：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③利用公式
＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式
＝×|F1F2|×|yP|(yP为P 点的纵坐标)求
得面积
④结论：S∆P F1 F2=
b
2
tan θ
2
【题型5：和差最值问题】
例5．（23-24 高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆C : x
2+( y −4)
2=1上有一动点P，双曲线
M : x
2
9 −y
2
7 =1的左焦点为F，且双曲线的右支上有一动点Q，则|PQ|+|QF|的最小值为（ ）
A．4√2−1
B．4√2−5
C．4√2+7
D．4√2+5
变式1．（21-22 高二上·山西运城·期中）已知椭圆x
2
9 + y
2
25 =1的一个焦点为F，双曲线x
2
4 −y
2
5 =1的左、
右焦点，分别为F1，F2，点P 是双曲线左支上一点，则△PF F2周长的最小值为（ ）
A．5
B．5+√3
C．10
D．14
变式2．（20-21 高二·全国·课后作业）已知F是双曲线x
2
4 −y
2
12 =1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支
上的动点，则| PF |+| PA |的最小值为（ ）
A．9
B．5
C．8
D．4
变式3．（20-21 高二上·山西运城·阶段练习）已知A(-4，0)，B 是圆x
2+( y −3)
2=1上的点，点P 在双曲
线x
2
4 −y
2
12 =1的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．9
B．2√5+ 4
C．8
D．7
变式4．（20-21 高二上·河南开封·期中）已知F是双曲线C：x
2
9 −y
2
7 =1的右焦点，P为C右支上一点，
A (4,1)，则|PA|+|PF|的最小值为（ ）
A．√65−3
B．√65−6
C．√65+6
D．2
10
变式5．（21-22 高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线x
2
3 −y
2=1的左右焦点分别为F1､F2，P为双曲线
右支上一点，点Q的坐标为(−2,3)，则|PQ|+|P F1|的最小值为 .
变式6．（20-21 高二·全国·课后作业）已知双曲线的方程为x
2−y
2
4 =1，如图所示，点A (−√5,0)，B是圆
x
2+( y −√5)
2=1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，则|MA|+|MB|的最小值为
变式7．（20-21 高二上·北京·期中）已知点A (−2,0)，B (2,0)，C (3,√11)，动点M 到A 的距离比到B 的
距离多2，则动点M 到B，C 两点的距离之和的最小值为 .
变式8．（20-21 高一下·江西景德镇·期末）若P是双曲线x
2−y
2
48 =1的右支上的一点,M , N分别是圆
( x +7)
2+ y
2=9和( x −7)
2+ y
2=1 上的点,则| PM |−| PN |的最大值为 .
【方法技巧与总结】
最值问题：利用三角形：和最小问题，两边之和≥第三边，三点共线，动点必须在中间。
差的绝对值最大问题，两边之差的绝对值≤第三边，三点共线，动点必须在两边。
【题型6：轨迹方程问题】
例6．（23-24 高二上·重庆·期中）已知M (−2,0)，圆C : x
2−4 x + y
2=0，动圆P经过M点且与圆C相切，
则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．x
2−y
2
3 =1(x ≥1)
B．x
2
3 −y
2=1(x ≥√3)
C．x
2−y
2
3 =1
D．x
2
3 −y
2=1
11
变式1．（24-25 高二·上海·随堂练习）已知动点M ( x , y)满足√( x +2)
2+ y
2−√( x−2)
2+ y
2= 4，则动点
M 的轨迹方程是 ．
变式2．（23-24 高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P 与两个定点F1(−2,0)和
F2(2,0)的连线的斜率之积等于1
4
，则点P 的轨迹方程为 ．
变式3．（2024 高二·全国·专题练习）已知点A (−2,0)点B(2,0)，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积
等于3
4
动点P的轨迹方程为 .
变式4．（23-24 高二上·河南周口·期末）动点M (x , y)与定点F (0,3)的距离和它到直线l: y = 4
3
的距离的比
是常数3
2
，则动点M 的轨迹方程是 ．
变式5．（22-23 高二·全国·课堂例题）如图，在△ABC中，已知|AB|= 4√2，且三内角A，B，C 满足
2sin A +sinC =2sin B，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C 的轨迹方程为 .
变式6．（23-24 高二上·全国·课后作业）已知动点M 与两定点A (−3,0)，B (3,0)构成△MAB，且直线MA，
MB的斜率之积为4，求动点M 的轨迹方程.
变式7 ．（2023 高三· 全国· 专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(−√17,0)，
F2(√17 ,0),|M F1|−|M F2|=2，点M的轨迹为C.求C的方程；
【方法技巧与总结】
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标(x , y)，根据题意列出关于x , y的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把x , y分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将¿代入f (x0, y0)=0.
12
一、单选题
1．（23-24 高二下·云南玉溪·期末）已知圆C1
：
(x +3)
2+ y
2=1
和圆C2
：
(x−3)
2+ y
2=9
，动圆M同时与圆
C1及圆C2相外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x
2−y
2
8 =1(x ≥1)
B．x
2−y
2
8 =1
C．x
2−y
2
8 =1(x ≤−1)
D．y
2
8 −x
2=1
2．（23-24 高二下·上海·阶段练习）设P是双曲线x
2
16 −y
2
20 =1上一点，F1, F2分别是双曲线左右两个焦点，
若|P F1|=9，则|P F2|等于（ ）
A．1
B．17
C．1 或17
D．5 或13
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线C : x
2
8 + y
2
m =1(m≠0,m≠8)，则“m∈(0,8)”是“曲线C的焦
点在x轴上的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2024·辽宁·二模）已知双曲线C：x
2−y
2= λ( λ≠0)的焦点为(0,±2)，则C 的方程为（ ）
A．x
2−y
2=1
B．y
2−x
2=1
C．x
2−y
2=2
D．y
2−x
2=2
5．（23-24 高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为4，焦点为(−4,0),(4,0)，则该双曲线的标准方
程为（ ）
A．x
2
4 −y
2
12 =1
B．x
2
12 −y
2
4 =1
C．x
2−y
2
5 =1
D．y
2
5 −x
2=1
6．（24-25 高三上·云南·阶段练习）设A ,B两点的坐标分别为(−3,0)，(3,0)，直线AM与BM相交于点M，
13
且它们的斜率之积为2
3
，则点M的轨迹方程为（ ）
A．x
2
9 + y
2
6 =1(x≠±3)
B．x
2
6 −y
2
9 =1(x≠±3)
C．y
2
9 + x
2
6 =1(x≠±3)
D．x
2
9 −y
2
6 =1(x≠±3)
7 ．（24-25 高二上· 全国· 课后作业）已知两定点A (−1,0),B (1,0)，动点P(x , y)满足
tan∠PAB⋅tan ∠PBA =−2，则点P的轨迹方程是（ ）
A．x
2−y
2
2 =1
B．x
2−y
2
2 =1( y ≠0)
C．x
2+ y
2
2 =1
D．x
2+ y
2
2 =1( y ≠0)
8．（2023 高三上·湖北孝感·专题练习）过点(2,2)且与椭圆9 x
2+3 y
2=27有相同焦点的双曲线方程为
（ ）
A．x
2
6 −y
2
8 =1
B．y
2
6 −x
2
8 =1
C．x
2
2 −y
2
4 =1
D．y
2
2 −x
2
4 =1
二、多选题
9．（23-24 高二上·吉林延边·期中）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与
到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e =1时，轨迹为抛
物线；当e>1时，轨迹为双曲线．现有方程m√x
2+ y
2−4 y + 4 =|x −3 y +1| 表示的曲线是双曲线，则实
数m的取值可能为（ ）
A．2√2
B．3
C．2√3
D．4
10 ．（23-24 高二上· 山东烟台· 期末）（多选）已知曲线Γ ：
x
2
1−m +
y
2
3+m =1（m∈R），则
（ ）
A．Γ 可能是等轴双曲线
B．若Γ 表示焦点在y 轴上的椭圆，则−1<m<1
C．Γ 可能是半径为√2的圆
D．若Γ 表示焦点在x 轴上的双曲线，则m<−3
11．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）满足下列条件的点P 的轨迹一定在双曲线上的有（ ）
14
A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5
B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2
C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1
D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝2
三、填空题
12．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知F1, F2
分别是双曲线C : x
2
a
2 −y
2
4 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，
P是C上一点，且|P F1|=6|P F2|，写出C的一个标准方程 ．
13．（23-24 高二下·广西南宁·期末）若双曲线C : x
2−y
2
3 =1的左、右焦点分别为F1，F2，P 是C 右支上
的动点，则|P F1|⋅|P F2|的最小值为 ．
14．（24-25 高二上·上海·课堂例题）双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的两个焦点为F1
、F2
，点
A (√3,1)在双曲线C 上，且满足⃗A F1⋅⃗A F2=0，则双曲线C 的标准方程为 ．
四、解答题
15．（24-25 高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线x
2
16 −y
2
4 =1有相同的焦点，且经过点(3√2,2)；
(2)过点P(3, 15
4 )，Q(−16
3 ,5)且焦点在坐标轴上．
16．（24-25 高二上·上海浦东新·阶段练习）已知p：点M (1,3)不在圆
(x +m)
2+( y −m)
2=16
的内部，q：
“曲线C1: x
2
m
2 +
y
2
2m+8 =1表示焦点在x轴上的椭圆”，s：“曲线C2:
x
2
m−t +
y
2
m−t −1 =1表示双曲线”．
(1)若p和q都成立，求实数m的取值范围；
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(2)若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．
17．（23-24 高三下·江苏南京·开学考试）已知圆M : x
2+ y
2+ 4 x−8=0，H (2,0)，G为M上的动点，线
段GH的垂直平分线交直线GM于点Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)设直线QH的倾斜角为α，直线QM的倾斜角为β，点Q不在x轴上，若α =2 β，求点Q的坐标.
18．（2024 高二·全国·专题练习）已知双曲线x
2
9 −y
2
16 =1的左、右焦点分别是F1，F2.
(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；
(2)如图，若P 是双曲线左支上的点，且∠F1 P F2=60
o，求△F1 P F2
的面积.
19．（23-24 高二上·湖北·阶段练习）已知圆M：x
2+ y
2+ 4 x =21，圆N：x
2+ y
2−4 x =5．
(1)求经过点P(−2,3)以及圆M与圆N交点的圆的方程；
(2)若动圆T和圆M、圆N均外切，求T点的轨迹方程.
