文档文本内容
1
3.3 函数的应用（一）
课程标准
学习目标
1.能够运用一次函数、二次函数、分段函数
的性质解决某些简单的实际问题.
（1）能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所
反映的实际背景，领悟其中的数学道理，弄
清题中出现的量及其数学含义.
（2）能根据实际问题的具体背景，进行数学
化设计，将实际问题转化为数学问题（即建
立数学模型），并运用函数的相关性质解决
问题。
（3）能处理有民生、经济、物里等方面的实
际问题。
2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际
意义的某些问题，培养学生分析问题，解决
问题的能力和运用数学的意识，也体见了函
敞知识的应用价值，也渗透了训练的价值.
3.通过对实际问题的研究解决，渗透了数学
建模的思想.提高了学生学习数学的兴趣，使
学生对函数思想等有了进一步的了解。
1.在实际情境中从数学的视角发现问题、分析问题，
建立模型，最终解决实际问题。
2.会根据函数模型的应用的计算求解，求得参数.
3.对所求的结果要进行检验，是否符合实际条件.
2
知识点01 一次函数模型
形如y＝kx＋b(k≠0)的函数模型是一次函数模型．应用一次函数的性质及图像解题时，应注意：
①一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况；
②一次函数的图像是一条直线．
【即学即练1】（2024·安徽合肥·高一校考期中）车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有
辆
次，其中电动车保管费是每辆一次
元，自行车保管费是每辆一次
元．
(1)若设停放的自行车的辆次为
，总的保管费收入为
元，试写出
关于
的函数关系式
(2)若估计前来停放的
辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于
，但不大于
，试求该
车管站这个星期日收入保管费总数的范围．
【答案】(1)
且
(2)
【分析】（1）由总的保管费收入等于停放的自行车保管费加停放的电动车保管费写出函数解析式和定义
域即可.
（2）根据题意确定函数的定义域，在此定义域范围内研究函数的值域即可.
【详解】（1）由题意得，
且
.
（2）若电动车的辆次数不小于
，但不大于
，
则
，即
且
，
∴
且
∵
，
∴
在
上单调递减，
当
时，函数取得最大值为1330，当
时，函数取得最小值为1225，
∴
的值域是
，即收入在
元至
元之间.
3
知识点02 二次函数模型
形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数模型是二次函数模型．二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实
际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，
从而解决利润最大、用料最省等问题．
【即学即练2】（2024·全国·高一随堂练习）某商店进了一匹服装，每件进价为60 元．每件售价为90 元，
每天售出30 件．在一定的范围内这批服装的售价每降低1 元，每天就多售出1 件．请写出每天的利润（单
位：元）与售价（单位：元）之间的函数关系式，并求当售价是多少元时，每天的利润最大．
【答案】
，其中
，且
为正整数，当售价是90 元时，每天的利润最大.
【分析】根据题意写出售价和利润的函数关系，利用二次函数的知识可求答案.
【详解】设售价为
元，利润为
元，则由题意
，
其中
，且
为正整数，当
时，
有最大值
；
即当售价是90 元时，每天的利润最大.
知识点03 分段函数模型
这个模型的实质是一次函数、反比例函数(形如y＝，k≠0)、二次函数中两种及以上的综合．
【即学即练3】（2024·山东临沂·高三校考期中）2023 年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉
出现并很快地传染开来（己有证据表明2023 年10 月、11 月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形
成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击，防控新冠肺炎，疫情早
在3 月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869 人），然而国外因国家体制，思想观念的不同，防
控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年
固定成本为150 万元，每生产
万件，需另投入成本为
．当年产量不足60 万件时，
（万元）；当年产量不小于60 万件时，
（万元）．通过市场
分析，若每件售价为400 元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润=销售收入-总成本）
(1)写出年利润
（万元）关于年产量
（万件）的函数解析式；
(2)年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．
【答案】(1)
(2)年产量为90 万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大值为600 万元
【分析】（1）根据题意列出分段函数解析式即可；
（2）利用配方法、基本不等式分类讨论进行求解即可.
4
【详解】（1）当
时，
．
当
时，
．
（2）当
时，
，
当
时，
取得最大值
（万元）
当
时，
当且仅当
，即
时等号成立．
综上，当
时，
取得最大值600 万元．
所以年产量为90 万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大值为600 万元．
知识点04 对勾函数模型
这个模型的实质是一次函数与反比例函数(形如y＝，k≠0)模型的综合．
注：解决实际应用问题的一般步骤
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的
数学模型；
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如图：
【即学即练4】（2024·山东青岛·高一青岛二中校考阶段练习）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常
需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40 年的隔热层，已知每厘
5
米厚的隔热层建造成本为8 万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：
cm）满足关系：
．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9 万元．设S 为隔热层建
造费用与40 年的能源消耗费用之和．
(1)求m 的值及用x 表示S；
(2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．
【答案】(1)
，
（
）；
(2)当隔热层的厚度为6.25cm 时，总费用取得最小值110 万元.
【分析】（1）利用给定条件，求出
的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.
（2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度.
【详解】（1）设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：
，而当
时，
，
则
，解得
，
显然建造费用为
，所以隔热层建造费用与40 年的能源消耗费用之和为：
（
）.
（2）由（1）知
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以当隔热层的厚度为6.25cm 时，总费用取得最小值110 万元．
难点：分段函数的应用
示例：为了鼓励大家节约用水，自2013 年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与
户年用水量的关系如下表所示．
分档
户年用水量/m3
综合用水单价/(元/m3)
第一阶梯
0～220(含)
3.45
第二阶梯
220～300(含)
4.83
第三阶梯
300 以上
5.83
记户年用水量为x m3时应缴纳的水费为f(x)元．
(1)写出f(x)的解析式；
6
(2)假设居住在上海的张明一家2015 年共用水260 m3，则张明一家2015 年应缴纳水费多少元？
【解析】 (1)不难看出，f(x)是一个分段函数，而且：
当0＜x≤220 时，有f(x)＝3.45x；
当220＜x≤300 时，有
f(x)＝220×3.45＋(x－220)×4.83
＝4.83x－303.6；
当x＞300 时，有
f(x)＝220×3.45＋(300－220)×4.83＋(x－300)×5.83
＝5.83x－603.6.
因此f(x)＝
{
3.45 x， 0＜x ≤220，
4．83 x−303.6， 220＜x ≤300，
5．83 x−603.6，x＞300。
(2)因为220＜260≤300，所以
f(260)＝4.83×260－303.6＝952.2，
因此张明一家2015 年应缴纳水费952.2 元．
【方法小结】(1)分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数
的分段表示是建模的关键．
(2)若求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数
的值域或最值确定本函数的值域或最值．分类讨论思想是本类问题的主要思想方法．
【题型1：一元一次函数模型】
例1.（2024 秋·北京·高一校考期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于
千克时，批发价为每千克
元，小王携带现金3000 元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为
千克，小王付款
7
后剩余现金为
元，则
与
之间的函数关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知函数关系式是
，
由题意可知最少买
千克，最多买
千克，
所以函数的定义域是
.
故
；
，故选:C.
变式1.（2024·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考开学考试）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融
（Shuey Rhon Rhon）分别是2023 年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融
玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400 元购进了冰墩
墩玩偶15 个和雪容融玩偶5 个，已知购进1 个冰墩墩玩偶和1 个雪容融玩偶共需136 元，销售时每个冰墩
墩玩偶可获利28 元，每个雪容融玩偶可获利20 元．
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5 倍．小雅计划
购进两种玩偶共40 个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)冰墩墩的进货价为72 元，雪容融的进货价为64 元
(2)冰墩墩进货24 个，雪容融进货16 个；最大利润是992 元
【分析】（1）先设冰墩墩的进货价为x 元，雪容融的进货价为y 元．再根据题意列出相应的二元一次方程
组，然后求解即可；
（2）先设冰墩墩进货a 个，则雪容融进货
个，利润为w 元，再根据题意可以写出w 和a 的函数关
系式，再根据题意求得a 的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得利润的最大值．
【详解】（1）设冰墩墩的进货价为x 元，雪容融的进货价为y 元．
得
，解得
，
所以冰墩墩的进货价为72 元，雪容融的进货价为64 元．
（2）设冰墩墩进货a 个，则雪容融进货
个，利润为w 元，
8
则
，
因为
，所以w 随a 增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5 倍，
即
，解得
，
所有当
时，w 最大，此时
，
，
答：冰墩墩进货24 个，雪容融进货16 个时，获得最大利润，最大利润为992 元．
变式2.（2024·上海崇明·高一统考期末）某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100
万元且不高于1600 万元的投资收益．该公司对科研课题组的奖励方案有如下3 条要求：
①奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加；
②奖金不低于10 万元且不超过200 万元；
③奖金不超过投资收益的20%．
(1)设奖励方案函数模型为
，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求
③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为：“
恒成立”．请你用用数学语言表述另外两条奖
励方案；
(2)判断函数
是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
(3)已知函数
符合公司奖励方案函数模型要求．在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组
最多可以获取多少奖金？
【答案】(1)答案见解析；
(2)不符合；
(3)195 万元.
【分析】（1）根据给定条件，利用函数单调性、值域的意义写出方案的前两个要求作答.
（2）根据给定函数，逐一判断方案中的3 个要求是否都满足作答.
（3）根据给定的函数模型，求出a 的取值范围，再求出最多可以获取的奖金作答.
【详解】（1）“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加”可以表述为：当
时，
是
的增函数；
“奖金不低于10 万元且不超过200 万元”表述为：函数值
.
（2）函数
在
上是增函数，
，
函数
的值域
，
由
得：
，解得
，因此对
，
不成立，
9
即对
，不等式
不恒成立，
所以函数
不符合公司奖励方案函数模型的要求.
（3）因为函数
符合公司奖励方案函数模型要求，则函数
在
上是增函数，
有
，
，
，解得
，
由
，不等式
恒成立，得
，
显然
，
，当且仅当
，即
时取等号，
于是
，解得
，从而
，
因此当
，
时，
，当且仅当
且
时取
等号，且
，
所以在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取195 万元奖金.
变式3.（2024·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考开学考试）由于受到手机更新换代的影响，某手机
店经销的Iphone6 手机二月售价比一月每台降价500 元，如果卖出相同数量的Iphone6 手机，那么一月销售
额为9 万元，二月销售额只有8 万元.
(1)一月Iphone6 手机每台售价为多少元?
(2)为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s 手机销售，已知Iphone6 每台进价为3500 元，Iphone6s 每台
进价为4000 元，预计用不多于7.6 万元且不少于7.4 万元的资金购进这两种手机共20 台，请问有几种进货
方案?
(3)该店计划4 月对Iphone6 的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6 手机再返还顾客现
金
元，而Iphone6s 按销售价4400 元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，
应取何值?
【答案】(1)一月Iphone4 每台售价为4500 元
(2)有5 种进货方案
(3)
【分析】（1）设一月Iphone6 手机的每台售价为
元，根据题意得到
，即可求解；
（2）设购进Iphone6 手机为
台，由题意得到
，求得
的范围，即
可求解；
（3）设总获利
元，得到
，结合
，即可求解.
【详解】（1）解：设一月Iphone6 手机的每台售价为
元，则二月Iphone6 手机的售价为
元，
10
根据题意，可得
，解得
（元），
即一月Iphone6 手机每台售价为
元.
（2）解：设购进Iphone6 手机为
台，则购进的Iphone6 手机为
台，
根据题意，可得
，解得
，
因为
，所以
的取值为
，共有种进货方案.
（3）解：二月Iphone6 手机每台售价为
（元），
设总获利
元，则
，
令
，可得
，
即当
时，（2）中所有的方案获利相同.
【方法技巧与总结】
利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点：
(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法．
(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．
【题型2：一元二次函数模型】
例2.（2024·全国·高一专题练习）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本
（万元）与年产量
（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为
，已知此生产线年产量
最大为
吨.
(1)求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本
(2)若每吨产品平均出厂价为
万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少
【答案】(1)当年产量为
吨时，其生产的总成本最低，最低成本为
万元
(2)当年产量为
吨时，可获得最大利润
万元
【分析】（1）根据已知条件求得总成本的表达式，利用二次函数的性质求得总成本的最小值并求得此时
对应的年产量.
（2）利用求得总利润的表达式，再根据二次函数的性质求得最大利润以及此时对应的年产量.
【详解】（1）因为
，
所以当年产量为
吨时，其生产的总成本最低，最低成本为
万元.
（2）设该工厂年获得总利润为
万元，
11
则
.
因为
在
上是增函数，
所以当
时，
有最大值为
.
故当年产量为
吨时，可获得最大利润
万元.
变式1.（2024·安徽阜阳·高二校考期中）某化学试剂厂以
千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件
要求
），每小时可获得的利润是
万元.
(1)要使生产该产品2 小时获得的利润不低于30 万元，求
的取值范围；
(2)要使生产120 千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)应以千克/小时的速度匀速生产，且最大利润为610 万元.
【分析】（1）根据题意，列不等式求出x 的范围即可；
（2）设总利润为
，得出
关于x 的函数解析式，配方得出最大值即可．
【详解】（1）根据题意，
有
，
得
，得
或
，
又
，得
．
（2）生产120 千克该产品获得的利润为
，
，
记
，
，
则
，
当且仅当
时
取得最大值
，
则获得的最大利润为
（万元），
变式2.（2024·全国·高一随堂练习）在距A 城市45km 的B 地发现金属矿．现知由A 至某方向有一条直线铁
路AX，B 到该铁路的距离为27km．欲运物资于A，B 之间，拟定在铁路线AX 上的某一地点C 筑一公路到
B．已知公路运费是铁路运费的2 倍，则地点C 到A 地的距离为多少时，总运费最低？
【答案】
km
12
【分析】先设出铁路每公里运费为m 和公路每公里运输费用为2m（m>0），然后列出解析式，最后求出取
得最值时AC 的距离即可.
【详解】设铁路每公里运费为m,则公路每公里运输费用为2m（m>0）.
作
于D，设C 到D 的距离为xkm.
因为
，所以
，
则
，
.
所以总费用
.
要使总费用最低，只需
最小即可.
设
，则
，
两边平方得
有解，
则
，因为
，解得
.
所以当
时，总运费最低，此时
为
，
解得
，所以
.
即地点C 到A 地的距离为
km 时，总运费最低.
变式3.（河南省安阳市2023-2024 学年高一上学期阶段性测试（一）数学试题）某人投资180 万元建成一
座海水养殖场用于海参养殖，建成后每年可获得销售收入130 万元，同时，经过预算可知
年内须
另外投入
万元的经营成本．
(1)该海水养殖场从第几年起开始盈利（总利润为正）?
(2)该海水养殖场总利润达到最大时是第几年?请求出总利润的最大值．
(3)该海水养殖场年平均利润达到最大时是第几年?请求出年平均利润的最大值．（注：总利润
销售总收
入-经营成本-投资费用）
【答案】(1)第3 年起至第17 年结束，该海水养殖场盈利
(2)总利润达到最大时是第10 年，总利润的最大值为
万元
(3)年平均利润达到最大时是第6 年，年平均利润的最大值为
万元/年
13
【分析】（1）先求得该海水养殖场总利润的解析式，利用一元二次不等式即可求得海水养殖场从第3 年起
开始盈利；
（2）利用二次函数的性质即可求得该海水养殖场总利润达到最大时是第10 年，总利润的最大值为
万
元.
（3）利用均值不等式即可求得该海水养殖场年平均利润达到最大时是第6 年，年平均利润的最大值为
（万元/年）．
【详解】（1）设该海水养殖场总利润为y，
则
，
由
，可得
，则
，
则第3 年起至第17 年结束，该海水养殖场盈利.
（2）由
，
可得当
时，y 取得最大值
万元.
故该海水养殖场总利润达到最大时是第10 年，总利润的最大值为
万元.
（3）
（万元/年），（当且仅当
时等号成立）
故该海水养殖场年平均利润达到最大时是第6 年，年平均利润的最大值为
（万元/年）．
【方法技巧与总结】
二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，
建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解
决实际问题．
【题型3：分段函数模型】
例3.（湖北省云学新高考联盟学校2023-2024 学年高一上学期10 月联考数学试题）
年，月
日，华
为
在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在
年月
日，
华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，
华为公司计划在
年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本
万，每生产
千部手机，需另投入成本
万元，且
由市场调
研知此款手机售价
万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出
年的利润
万元关于年产量
千部的表达式
14
(2)
年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少
【答案】(1)
；
(2)
年年产量为
千部时，企业所获利润最大，最大利润是
万元
【分析】（1）通过讨论
的范围，得出
的解析式；
（2）分别求出
在
和
上的最大值即可得出结论．
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
，
；
（2）若
，
，
当
时，
万元；
若
，
，
当且仅当
时，即
时，
万元，
因为
，
年年产量为
千部时，企业所获利润最大，最大利润是
万元．
变式1.（2024·江西·高一江西师大附中校考期中）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念
转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械
公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200 万元，最
大产能为100 台.每生产x 台，需另投入成本
万元，且
，由市
场调研知，该产品每台的售价为200 万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润
万元关于年产量x 台的函数解析式（利润
销售收入
成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
15
【答案】(1)
(2)综上可知，该产品的年产量为70 台时，公司所获利润最大，最大利润是1760 万元.
【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入-成本的公式，分
，
两种情况讨论，
即可求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较
大小，即可求解．
【详解】（1）由题意可得：当
时，
，
当
时，
，
故
．
（2）当
时，
，
得
时
万元；
当
时，
，当且仅当
，即
时等号成立，
此时
万元.
综上可知，该产品的年产量为70 台时，公司所获利润最大，最大利润是1760 万元.
变式2.（2024·全国·高一专题练习）麻城市某社区为鼓励大家节约用电，与供电公司约定两种电费收取方
案供用户选择：
方案一：每户每月收取管理费元，月用电量不超过
度时，每度
元；超过
度时，超过部分按每度
元收取：
方案二：不收取管理费，每度
元．
(1)彭湃家上月比较节约，只用了90 度电，分别按照这两种方案，计算应缴多少电费？并比较那种方案更
合适．
(2)求方案一的收费
元与用电量
度间的函数关系．若徐格拉底家九月份按方案一缴费60 元，问
徐格拉底家该月用电多少度？
(3)该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？
【答案】(1)第一种方案：
元；第二种方案：
元.应选择第一种方案．
(2)
度．
(3)该月用电量在
度到
度不含
度与
度范围内，选择方案一比选择方案二好．
16
【分析】（1）分别按两种方案计算，比较后选择费用较少的方案即可；
（2）方案一的收费
元与用电量
度间的函数关系为分段函数，分段求出函数的各段解析式，再
应用求解实际问题；
（3）两种方案的费用作差比较，判断符号即可.
【详解】（1）第一种方案：
元，
第二种方案：
元，
由
，故应选择第一种方案．
（2）当
时，
；
当
时，
.
综上，
.
当
时，令
，解得
舍去．
当
时，令
，解得
．
答：徐格拉底家该月用电
度．
（3）令
，
当
时，令
，即
，解得
，
．
当
时，令
，即
，解得
，
．
综上可得：
．
即该月用电量在
度到
度不含
度与
度范围内，选择方案一比选择方案二好．
变式3.（2024·重庆九龙坡·高一重庆实验外国语学校校考阶段练习）第 19 届亚运会 2023 年 9 月在杭州
市举办，本届亚运会以 “绿色、智能、节俭、文明” 为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分
发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速 发展，筹备期间，某公司带来了一种智能
设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知 该种设备年固定研发成本为 50 万元，每生产
一万台需另投入 80 万元，设该公司一年内生产该设备
万台且全部售完. 当
时，每万台的
年销售收入 （万元） 与年产量
（万台）满足关系式:
; 当
时，每万台的年销售
收入 （万元）与年产量
（万台）满足关系式:
(1)写出年利润
（万元）关于年产量
（万台）的函数解析式（利润=销售收入一成本）;
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大? 并求最大利润.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由题意，利用年销售收入减去固定成本及可变成本即可写出利润y（万元）关于年产量x(万
台）的函数解析式.
17
（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出
、
上的最值，进而确定年利润最大时对
应生产的台数及最大利润值.
【详解】（1）由题意，当
时，年收入为
，
当
时，年收入为
，
故年利润为
，
即
.
（2）当
时，
，
由函数图象开口向下，对称轴方程为
可知函数单调递增，
所以当
时，
，
当
时，
，
当且仅当
时，即
时等号成立，
因为
，所以当年产量为29 万台时，该公司获得年利润最大为1360 万元.
变式4.（山东省普通高中大联考2023-2024 学年高一上学期10 月月考数学试题）今年中秋国庆双节假期
“合体”，人们的出游意愿进一步增强，国内长线游预订人次占比为
.数据显示，中秋国庆假期，长线
游预订占比近六成预订出游平均时长在5 天以上.某旅游平台上，跨省游订单占比达
，较2023 年同期
提升10 个百分点.秋高气爽最适合登高爬山，某户外登山运动装备生产企业，2023 年的固定成本为1000 万
元，每生产x 千件装备，需另投入资金
（万元）.经计算与市场评估得
，调查发现，当生产10 千件装备时需另投入资金
万元.
每千件装备的市场售价为300 万元，从市场调查来看，2023 年最多能售出150 千件.
(1)写出2023 年利润W（万元）关于产量x（千件）的函数；（利润＝销售总额－总成本）
(2)当2023 年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当年产量为100 千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550 万元.
【分析】（1）由题可得
，进而结合条件可得利润
（万元）关于年产量
（千件）的函数；
18
（2）根据二次函数的性质及基本不等式分段求函数的最值即得.
【详解】（1）由题意知，当
时，
，所以
，
当
时，
；
当
时，
，
所以
；
（2）当
时，函数
在
上是增函数，在
上是减函数，
所以当
时，
有最大值，最大值为1500；
当
时，由基本不等式，得
，
当且仅当
时取等号，所以当
时，
有最大值，最大值为1550；
因为
，所以当年产量为100 千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550 万元.
【方法技巧与总结】
分段函数模型的应用
(1)分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段表示是
建模的关键．
(2)若求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数
的值域或最值确定本函数的值域或最值．分类讨论思想是本类问题的主要思想方法．
【题型4：对勾函数模型】
例4.（2024·全国·高二随堂练习）工厂需要围建一个面积为512
的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙
壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单
位：m）的函数．
(1)写出y 关于x 的函数解析式，并确定x 的取值范围；
(2)随着x 的变化，y 的变化有何规律？
(3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？
【答案】(1)
(2)见解析；
(3)
.
【分析】（1）利用题意建立函数关系即可；
（2）根据函数关系利用导数研究其单调性即可；
19
（3）根据（2）求函数的极值、最值即可.
【详解】（1）由题意可知与原有墙壁垂直的新墙长度为：
，
则
，
所以y 关于x 的函数解析式为
，
；
（2）由（1）
，
显然当
时，
，即此时随着x 的增大，y 也增大；
当
时，
，即此时随着x 的增大，y 减小；
（3）由（2）可知，当
时，y 可取得极小值也是最小值，此时
，
所以长和宽分别为32，16 时最省料，此时长宽比为
.
变式1.（2024·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）近日，随着假期来临，常州市政府积极
制定政策，决定政企联动，决定为某制衣有限公司在假期间加班生产提供
（万元）的专项补
贴．该制衣有限公司在收到市政府
（万元）补贴后，产量将增加到
（万件）．同时该制衣有限
公司生产（万件）产品需要投入成本为
（万元），并以每件
元的价格将其生产的产
品全部售出．注：收益=销售金额
政府专项补贴
成本．
(1)求该制衣有限公司假期间，加班生产所获收益
（万元）关于专项补贴
（万元）的表达式，并求当加
班生产所获收益不低于35 万元时，实数
的取值范围；
(2)常州市政府的专项补贴为多少万元时，该制衣有限公司假期间加班生产所获收益
（万元）最大？
【答案】(1)
，
(2)3 万元
【分析】（1）根据题意写出解析式，解不等式可得实数
的取值范围；
（2）化简解析式，利用均值不等式求最值即可得解.
【详解】（1）由题意可得
．
因为
，所以
．
由
，得
，即
，
所以
，又
，
所以实数
的取值范围是
．
20
（2）因为
．
又因为
，所以
，
所以
（当且仅当
时取“=”），
所以
，即当
万元时，
取最大值36 万元．
答：常州市政府的专项补贴为3 万元时，该制衣有限公司假期间加班生产所获收益最大．
变式2.（2024·江苏南京·高一南京市燕子矶中学校考阶段练习）某厂家拟在2023 年举行某产品的促销活动，
经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元
满足
（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是4 万件.已知生产该产品的固定投入为24 万
元，每生产一万件该产品需要再投入18 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5
倍（此处每件产品年平均成本按
元来计算）
(1)计算k 的值为多少，并将2023 年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数：
(2)该厂家2023 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)
，
；
(2)促销费用投入5 万元时，厂家的利润最大，最大利润为73 万元.
【分析】（1）由
，
可求得
的值，结合题意可得出
关于
的函数关系式.
（2）利用基本不等式可求出
的最大值及其对应的
值，即可得出结论.
【详解】（1）依题意，当
时，
，得
，则
，
所以，
，其中
，
所以
，
.
（2）
，当且仅当
时取等号，
所以该厂家2023 年的促销费用投入5 万元时，厂家的利润最大，最大利润为73 万元．
变式3.（2024·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体
原理是：在足浴盆右侧离中心
厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据
检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干
扰度与
成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与
成反比，比例系数为k，且当
时，对
左脚和右脚的干扰度之和为
(1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y 关于x 的表达式；
21
(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得
，当
时，
，代入上式，得
，可
得表达式．
（2）化简函数y，利用基本不等式求解最小值即可.
【详解】（1）由题意得
，
当
时，
，代入上式，得
所以
（2）
，
当且仅当
，即
时取“=”．
所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y 的最小值为
变式4.（2024·全国·高二随堂练习）为了安全起见，高速公路同一车道上行驶的前后两辆汽车之间的距离
不得小于
（单位：m），其中x（单位：km/h）是车速，k 为比例系数．经测定，当车速为60km/h 时，
安全车距为40m．假设每辆车的平均车长为5m．
(1)写出在安全许可的情况下，某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x 的函数；
(2)如果只考虑车流量，规定怎样的车速可以使得高速公路上的车流量最大？这种规定可行吗？
【答案】(1)
(2)详见解析；
【分析】（1）先求出从前一辆车通过开始，下一辆车通过路口用时，进而达到每小时通过的车辆求解；
（2）由（1）的函数，利用基本不等式求解.
22
【详解】（1）解：从前一辆车通过开始，下一辆车通过路口用时
小时，
则每小时通过的车辆为
辆，
又因为当车速为60km/h 时，安全车距为40m．
所以
，解得
，
所以某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x 的函数为：
，
（2）由
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
显然不行，因为没有达到高速公路提速的目的.
【方法技巧与总结】
应用函数y＝x＋模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax 与反比例函数f(x)＝叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f(x)＝ax＋
的形式．
[提醒] (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．
(2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
一、单选题
1．（24-25 高三上·四川成都·开学考试）某旅游旺地出租车的费用按下列规则制定：
①行程在3
以内的（含3
），车费10 元；
②行程在3
以上且不超过10
的，前3
车费10 元，以后每增加1
车费增加2 元（不足1
的按
1
计算）；
③行程超过10
，则超过的部分每公里车费3 元（不足1
的按1
计算）.
小明某天乘坐该地的出租车，共花费39 元，那么他的行程大约为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
23
【答案】C
【分析】首先设行程为
km，车费为
元，得到分段函数的解析式，再根据共花费39 元求解即可.
【详解】设行程为
km，车费为
元，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
.
小明某天乘坐该地的出租车，共花费39 元，
所以
，解得
km.
故选：C
2．（23-24 高一下·江西赣州·期中）春天，时令水果草莓上市了，某水果店统计了草莓上市以来前两周的
销售价格
（元/盒）与时间t（天）的关系：
一位顾客在这两周里在该水果店
购买了若干盒草莓，总共消费212 元，其中在后6 天买了4 盒，则前8 天一共买了（ ）
A．7 盒
B．6 盒
C．5 盒
D．4 盒
【答案】B
【分析】设前3 天共买了m 盒，第4 天到第8 天共买了n 盒，列式得
，结合m，n 均为非负整
数，求得
.
【详解】设前3 天共买了m 盒，第4 天到第8 天共买了n 盒，则
，整理得
，
因为m，n 均为非负整数，所以
是11 的整数倍，当
时，
，得
．
故选：B．
3．（2024·北京朝阳·二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力
满足公式
，其中
是空气密度，是该飞行器的迎风面积，是该飞行器相对于空气的速度，
是空气阻力系数（其大小取
决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率
. 当
不变，比原来
提高
时，下列说法正确的是（ ）
A．若
不变，则
比原来提高不超过
B．若
不变，则
比原来提高超过
C．为使
不变，则
比原来降低不超过
D．为使
不变，则
比原来降低超过
24
【答案】C
【分析】由题意可得
，
，结合选项，依次判断即可.
【详解】由题意，
，所以
，
，
A：当
，
不变，比原来提高
时，
则
，
所以
比原来提高超过
，故A 错误；
B：由选项A 的分析知，
，
所以
比原来提高不超过
，故B 错误；
C：当
，
不变，比原来提高
时，
，
所以
比原来降低不超过
，故C 正确；
D：由选项C 的分析知，
比原来降低不超过
，故D 错误.
故选：C
4．（23-24 高二下·山东滨州·期末）如图，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高为1．记等腰梯
形ABCD 位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为 f(t)，则f(t)随t 变化时的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据面积公式得出每段的函数解析式，进而得出答案.
25
【详解】当
时，
，是过原点，且开口向上的抛物线的一部分，故排除D；
当
时，
，为单调递增的一次函数的一部分，故排除BC；
当
时，
，是开口向下的抛物线的一部分；
故选：A
5．（2024 高二下·浙江·学业考试）有一支队伍长
，以
的速度前行，传令员传令需要从排尾跑到排头，
再立即返回排尾，速度为
，若传令员回到排尾时，队伍正好前进了
，则
（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】C
【分析】计算队伍前进的总时间，传令兵从排头到排尾的时间及从排尾到排头的时间
，根据传令兵往
返总时间与队伍前进时间相等即可求解.
【详解】设总时间为，传令员从排头到排尾所用时间为，从排尾到排头所用时间为
，
所以
，所以
，
解得
，即
，
所以
.
故选：C.
6．（23-24 高一上·天津·期末）近年来，人们对健康环境、生态环境的关注越来越高，因此，低碳环保、
城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表：若某户居民本月缴纳的电费为
150 元，则此户居民本月的用电量为（ ）
生活用电实行分段
计
电价
0~200 度用电量
0.3 元/度
201~400 度用电量
0.6 元/度
401 度以上用电量
0.9 元/度
A．250 度
B．350 度
C．450 度
D．500 度
【答案】B
【分析】根据题意，得到本月缴纳的电费和居民用电量的函数关系式，结合题意，列出方程，即可求解.
26
【详解】由题意，设某户居民用电量为
度，本月缴纳的电费为
，
可得
，
当某户居民本月缴纳的电费为150 元时，可得
，
解得
，即居民本月的用电量为
度.
故选：B.
7．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐
厅大厨Heston Blumenthal 对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量
曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与
油炸时间之间的关系.
在特定条件下，薯条品质得分
与煎炸时间（单位：min）满足函数关系
（a、b、c 是常
数），图2 记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（ ）
A．2.25min
B．2.75min
C．3.25min
D．3.75min
【答案】C
【分析】将三点坐标代入解析式求出参数，然后根据二次函数对称性可得.
【详解】由图2 知
，解得
，
，
，
所以
，
所以当
时，
取得最大值.
故选：C.
8．（21-22 高一上·浙江·阶段练习）如图，在
中，
于D，
，矩形的顶
点E 与A 点重合，
，将矩形
沿AB 平移，当点E 与点B 重合时，停止平移，设点E 平
27
移的距离为x，矩形
与
重合部分的面积为y，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分类讨论重合部分的形状，然后利用面积公式将y 关于x 的函数表示出来即可.
【详解】
于D，
，
,
,
且
故当
时，重合部分为三角形，
三角形的高
，
面积
，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A 选项；
当
时，重合部分为直角梯形，
上底长为
，
下底长为
，高为4，
故
，
函数图像为一条直线，故排除D 选项；
当
时，重合部分可以看作两个直角梯形，
左边直角梯形的上底长为
，
高为
两个梯形下底长均为
，
28
右边直角梯形上底长为
，
高为
，
故
，
图像为开口下的二次函数，且对称轴为
，故排除B 选项；
故选：C
二、多选题
9．（22-23 高一上·河北保定·期末）在大草原放牧的老杨要建个羊圈，羊圈既需要四周都用铁丝网围成长
方形又要达到平均每一头羊占地不小于6 平方米．他买了100m 固定高为2m 的铁丝网，建造羊圈时铁丝网
高度2m 不能改变，请问老杨养的羊数可为（ ）
A．80
B．90
C．100
D．140
【答案】ABC
【分析】设长方形的一边长为
m，则另一边长为(
)m,求出长方形面积的最大值即可得答案.
【详解】解：设长方形的一边长为
m，则另一边长为(
)m,
则长方形的面积
，
所以当
时，取最大值为
.
所以可养羊的只数
，又
，
所以
.
故选：ABC.
10．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入营运，
据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y（万元）与营运年数x 的关系为
，则下列判
断正确的是（ ）
A．车辆营运年数越多，收入越高
B．车辆在第6 年时，总收入最高
C．车辆在前5 年的平均收入最高
D．车辆每年都能盈利
【答案】BC
【分析】由题可知二次函数开口向下，对称轴为6，根据二次函数的图象和性质可以判断
；平均收
入为
，利用基本不等式即可求最大值，由此判断C.
【详解】由题意，
，是开口向下的二次函数，故A 错误；
对称轴x =6，故B 正确；
29
平均收入
，
当且仅当
时，等号成立，故C 正确；
当x＝1 时，y＝－14，故D 错误．
故选：BC
11．（23-24 高一上·贵州黔东南·期末）某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了
，
两种计件
工资核算方案，员工的计件工资
（单位：千元）与其生产的产品件数
（单位：百件）的函数关系如图
所示，则下列结论正确的是（ ）
A．当某员工生产的产品件数为800 时，该员工采用
，
方案核算的计件工资相同
B．当某员工生产的产品件数为500 时，该员工采用
方案核算的计件工资更多
C．当某员工生产的产品件数为200 时，该员工采用
方案核算的计件工资更多
D．当某员工生产的产品件数为1000 时，该员工的计件工资最多为14200 元
【答案】ACD
【分析】根据图象可直接判断A，B 选项；对C，计算出采用A，B 方案核算的计件工资可判断；对D，由
图可知产品件数为1000 时，A 方案核算的计件工资最多，求出函数关系式运算得解.
【详解】从图中可得，A 正确，B 错误；
若某员工生产的产品件数为200，则该员工采用A 方案核算的计件工资为3000 元，采用
方案核算的计件
工资为
元，
因为
，所以该员工采用
方案核算的计件工资更多，C 正确；
从图中易得当
时，员工采用A 方案核算的计件工资
（单位：千元）
与生产的产品件数
（单位：百件）的函数关系式为
，
则当
时，
，即当某员工生产的产品件数为1000 时，
该员工的计件工资最多为14200 元，D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（23-24 高一上·北京·期中）国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付
30
给旅行社飞机票每张900 元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1 人，机票每张减少10 元，直到达
到规定人数75 为止.写出飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式；
【答案】答案见解析
【分析】根据题意，函数是分段函数，分段求出关系式，再写成分段函数的形式即得.
【详解】由题意，当
时，
；当
时，
.
则机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式为：
.
故答案为：
.
13．（24-25 高一上·上海·随堂练习）某辆汽车以
的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路
行车安全，要求
）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为
，其中k 为常数．
若汽车以110 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为13L，欲使每小时的油耗不超过11L，则速度x 的取值范
围为 km/h．（结果保留整数）
【答案】
【分析】首先求出
的值，再解不等式
即可求得答案.
【详解】由
，解得
，
所以
，
所以
，故
．
故答案为：
.
14．（23-24 高三上·浙江金华·期末）某地区上年度电价为0.8 元
，年用电量为
，本年度
计划将电价下降到
之间，而用户期望电价为
．经测算下调电价后的新
增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为
）．该地区的电力成本价为
．已知
，为保证电力部门的收益比上年至少增长
，则最低的电价可定为
．
【答案】0.6/
【分析】设出电价定为
元
，由题意可得不等式
，解出后
结合
即可得.
31
【详解】设电价定为
元
，
，
则由题意可得
，
整理可得
，又
，
故
，即
，故最低的电价可定为
.
故答案为：
.
15．（24-25 高一上·上海·随堂练习）某地区上年度电价为0.8 元/kw·h，年用电量为akw·h，本年度计划将
电价降到0.55 元/kw·h 至0.75 元/kw·h 之间，而用户期望电价为0.40 元/kw·h.经测算，下调电价后新增用电
量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k），该地区电力的成本价为0.30 元/kw·h.本年度电
价下调后，试用实际电价x 表示电力部门的收益
，（指出x 的范围），设
，当电价最
低为 时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长
.注：收益=实际用电量（实际电价-成本
价）
【答案】
0.6 元/kw·h
【分析】第一空，依题意先求出本年度实际用电量，再表示本年度电力部门的收益即得；第二空，分别表
示出上年度电力部门实际收益和本年度预收益，根据题意列出不等式，在给定区间内求出不等式的解集即
得.
【详解】第一空，由题意得：本年度实际用电量为：
，
所以
；
第二空，上年度电力部门实际收益为：
，
本年度电力部门预收益为
，
依题意，知：
，
化简得
，即
，解得
或
，
又因为
，所以
，
即当电价最低为0.60 元/kw·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长
.
故答案为：
；0.6 元/kw·h.
四、解答题
16．（23-24 高一上·浙江台州·开学考试）某公司生产的某种时令商品每件成本为22 元，经过市场调研发
现，这种商品在未来40 天内的日销售量
（件）与
（天）的关系如表：
32
时间
（天）
1
3
6
10
36
日销售量
（件）
94
90
84
76
24
未来40 天内，前20 天每天的价格
（
且
为整数），后20 天每天的价格
（
且
为整数）．
(1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量
与时间
（天）之间的关系式；
(2)请预测示来40 天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少?
(3)在实际销售的前20 天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠
元利润（
）给希望工程．公司通
过销售记录发现，前20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间
（天）的增大而增大，求
的取值范
围．
【答案】(1)
(2)第18 天的日销售利润最大，最大日销售利润为450 元；
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分
和
两种情况，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，结合二次函
数的性质可得；
（3）根据前20 天的售价由“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式结合二次函数
的性质和
即可.
【详解】（1）通过表格可知m 与x 之间的关系为一次函数，
设一次函数为
，把
和
代入，
解得
，
∴
；
把
代入检验，
，符合题意，
∴日销售量m 与时间x（天）之间的关系式为
；
（2）设销售利润为W 元，
①当
时，
，
∴当
时，W 有最大值450，
②当
时，
，
∴当
时，W 随x 增大而减小，
33
∴
时，
，
∵
，
∴未来40 天中第18 天日销售利润最大，最大日销售利润为450 元；
（3）由题意知
二次函数开口向下，对称轴是
，
要使日销售利润随时间x 的增大而增大，则
，
∴
，
又
，
∴
．
17．（24-25 高一上·四川绵阳·开学考试）我市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知小龙虾养殖成本为8
元/千克，在整个销售旺季的80 天里，销售单价
（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为：
，为整数，日销售量
（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示：
(1)求日销售量
与时间的函数关系式？并注明的取值范围.
(2)哪一天的日销售利润
最大？最大利润是多少？
(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2280 元？
【答案】(1)
，
是整数；
(2)28，2312 元；
(3)17
【分析】（1）设解析式为
，代入
､
求解即可；
（2）分
、
结合二次函数的性质求解即可；
（3）法一：根据（2）的结论可得
，求解即可；
34
法二：根据（2）的结论令
，结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）解：设解析式为
，
将
､
代入，
得：
，
解得：
，
，其中
是整数；
（2）解：日销售利润
，则
，
①当
时，
，
当
时，
；
②当
时，
，
在
时随的增大函数值反而减小
当
时，
；
第28 天的日销售利润最大，最大利润为2312 元；
（3）解：法一：由（2）知：
当
时，
，当
时，
；
当
时，
，
由
，得
，
，
又是整数，
.
故该养殖户有17 天日销售利润不低于2280 元；
法二：由（2）知：
当
时，
，当
时，
；
当
时，
，
由
，得
.
35
由函数
的图象可知，
当
时，日销售利润不低于2280 元.
又是整数，
.
故该养殖户有17 天日销售利润不低于2280 元.
18．（23-24 高一上·江苏南通·开学考试）如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两
个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为
，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的
中缝空白的宽度为5cm，设广告牌的高为
，宽为
.
(1)试用
表示
，并求
的取值范围；
(2)用
表示广告牌的面积；
(3)广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积最小？
【答案】(1)
(2)
(3)140cm
【分析】（1）运用面积之和得到等式，再写成函数表达式即可；
（2）矩形面积公式写函数表达式；
（3）运用换元，结合基本不等式解题即可.
【详解】（1）每栏的高和宽分别为
，其中
两栏面积之和为：
，
整理得，
.
（2）
；
（3）令
，
36
则
；
当
时，取最小值为24500，此时
；
答：当广告牌的高取140cm 时，可使广告的面积S 最小.
19．（2024 高一上·江苏·专题练习）已知某公司某产品去年的年产量为50 万件，每件产品的售价为10 元，
固定成本为6 元，今年公司第一次投入50 万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入50 万元科技成
本，预计年产量每年递增5 万件，第
次投入后，每件产品的固定成本为
（
为常数，
），若产品的售价保持不变，第
次投入后的年利润为
万元.
(1)求
的表达式；
(2)从今年起第几年的利润最大？最大利润为多少万元？
【答案】(1)
(2)第6 年利润最大，最大利润为260 万元
【分析】（1）根据每只产品的固定成本为6 元及关系式为
，可求
的值，利用第
次投入后
的年利润为
万元，可建立函数关系式；
（2）先由（1）可得利润函数，再用基本不等式求最大利润.
【详解】（1）由
，当
时，有
，得
，
则
.
第
次投入后，年产量为
万件，销售价格为10 元，
每件产品的固定成本为
元，科技成本投入为
万元，
；
（2）由
.
当且仅当
，即
时取等号，
故第6 年利润最大，最大利润为260 万元.
37
20．（24-25 高一上·云南昆明·开学考试）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数
轴
右侧部分关于
轴的轴对称图形，与原函数
轴的交点及
轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这
个新函数叫做原函数的“新生函数”例如：图①是函数
的图象，则它的“新生函数”的图象如图②
所示，且它的“新生函数”的解析式为
，也可以写成
．
(1)在图③中画出函数
的“新生函数”的图象．
(2)函数
的“新生函数”与直线
有三个公共点，求
的值．
(3)已知
，
，
，
，函数
的“新生函数”图象与矩形
的边恰好有4 个交点，求
的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
或
(3)
或
【分析】（1）利用对称性，结合题意，画出函数的图象；
（2）利用数形结合，分直线与
相切，以及过点(0,2)两种情况求解
的取值；
（3）利用数形结合，结合图象的交点个数，列式求解.
【详解】（1）
与
轴的交点是(0,1)，且过点
，点
关于
轴的对称点是
,
首先作出以点(0,1)为端点，且过点
的射线，再作出以点(0,1)为端点，且过点
的射线，
如图画出函数的图象，
38
（2）首先利用对称性，作出函数
的“新生函数”，
如图，①当
与函数
相切时，此时有3 个交点，
联立
和
，得
，
令
，得
；
②当
过点(0,2)时，有3 个交点，此时
.
综上可知，
或
（3）函数
的“新生函数”的解析式为
，
，
情形一：如图所示，
当
时，
，所以
，解得：
，
情形二：如图所示，
当
时，
，所以
，解得：
，
39
综上可知，
的取值范围是
或
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键理解“新生函数”的定义，画出函数的图象，第二个关键是会利用数形
结合分析问题.
21．（24-25 高三上·北京顺义·阶段练习）《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴
战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展，为深入
践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，
某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：
）与肥料费用
（单位：元）满足如下关系：
其他总成本为
（单位：元），已知这种农作物
的市场售价为每5 元/
，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为
（单位：元）
(1)求
的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当投入的肥料费用为6 元时，该农作物单株获得的利润最大，为42 元
【分析】（1）代入售价和成本即可得到利润结果.
（2）由函数图像的性质即可得到最大值点和最大值.
【详解】（1）解：由题意可得，
所以函数
的关系式为
40
（2）当
时，
的图象为开口向上的抛物线，
对称轴为
，
所以当
时，
；
当
时，
，
当且仅当
，即
时等号成立，此时
.
综上：当投入的肥料费用为6 元时，该农作物单株获得的利润最大，为42 元.
22．（24-25 高三上·上海青浦·阶段练习）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用
雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始
报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4 段，分别为准备时间
、人的反应时间
、系统反应时间
、制动时间
，相应的距离分别为
、
、
、
.当车速为v
（米/秒），且
时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变
化，
）
阶段
0、准备
1、人的反应
2、系统反应
3、制动
时间
秒
秒
距离
米
米
(1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式
，并求
时，若汽车达到报警距
离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1
秒）
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80 米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒
以下？合多少千米/小时〈精确到1 千米/小时〉？
41
【答案】(1)
，3.1（秒）
(2)汽车的行驶速度应限制在20 米/秒以下，合72 千米/小时．
【分析】（1）根据题意可得
的表达式，利用基本不等式即可求出所求最短时间；
（2）由题意可列出相应不等式，化为一元二次不等式即可求得答案.
【详解】（1）由题意得
，
，
当
时，
，
若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，
则汽车撞上固定障碍物的时间
（秒），
即最短时间为3.1 秒；
（2）根据题意，要求对于任意
，
恒成立，
即对于任意
，
，即
恒成立，
由
得
，
，即
，
解得
，
（米/秒），
（千米/小时），
汽车的行驶速度应限制在20 米/秒以下，合72 千米/小时．
