1
2.5.1 椭圆的标准方程
课程标准
学习目标
1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养
数学抽象素养
2.借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推
理、数学运算素养
1.重点：掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实
际问题.
2.重点：掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方
程:
3.难点：理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标
准方程解决相关问题.
知识点01 椭圆的定义
1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2.焦点：两个定点F1，F2.
3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4.半焦距：焦距的一半．
【即学即练1】（23-24 高二上·吉林·阶段练习）椭圆x
2
16 + y
2
25 =1的焦点为F1, F2, P为椭圆上一点，若
|P F1|=3，则|P F2|=（ ）
A．4
B．3
C．5
D．7
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出结果.
2
【详解】椭圆x
2
16 + y
2
25 =1的长半轴长a=5，依题意，| P F1|+| P F2|=2a=10，而|P F1|=3，
所以|P F2|=7.
故选：D
【即学即练2 】（2023 高二· 全国· 专题练习）如果点P( x , y)在运动过程中，总满足关系式
√( x + 4)
2+ y
2+√( x−4)
2+ y
2=10，那么点P 的轨迹为（ ）
A．线段
B．直线
C．椭圆
D．圆
【答案】C
【分析】根据两点间距离公式结合椭圆的定义分析判断.
【详解】可设F1(−4,0)，F2(4,0)，则|F1 F2|=8，
可得√( x + 4)
2+ y
2+√( x−4)
2+ y
2=|P F1|+|P F2|=10>|F1 F2|，
由椭圆的定义可知：点P 的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且a=5，c = 4.
故选：C
知识点02 椭圆的标准方程
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
焦点
F1( －
c ，
0)
，
F 2( c ，
0)
F1(0
，－
c ) ，
F 2(0
，
c )
a，b，c 的关系
a2＝b2＋c2
【即学即练3】（23-24 高二上·河南南阳·阶段练习）焦点在x 轴上，中心为坐标原点，经过点(1, 3
2),
(0,−√3).则椭圆的标准方程为（ ）
A．x
2
4 + y
2
3 =1
B．x
2
2 + y
2
3 =1
3
C．x
2
4 −y
2
3 =1
D．x
2
4 + y
2=1
【答案】A
【分析】根据椭圆的几何性质即可求解b=√3，代入坐标即可求解a=2.
【详解】由于椭圆焦点在x 轴上，且经过点(0,−√3)，所以b=√3，
设椭圆方程为x
2
a
2 + y
2
3 =1(a>√3)，
将(1, 3
2)代入椭圆可得1
a
2 +
9
4
3 =1，解得a=2，
所以椭圆方程为x
2
4 + y
2
3 =1，
故选：A
【即学即练4】（23-24 高二上·全国·课后作业）过点(3,−2)且与x
2
9 + y
2
4 =1有相同焦点的椭圆方程为
（ ）
A．x
2
15 + y
2
10 =1
B．x
2
225 + y
2
100 =1
C．x
2
10 + y
2
15 =1
D．x
2
100 + y
2
225 =1
【答案】A
【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入(3,−2)，解方程组即可.
【详解】由x
2
9 + y
2
4 =1知，焦点为(√5,0)，(−√5,0)，即c =√5，a
2−b
2=5.
设所求椭圆方程为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1，则9
a
2 + 4
b
2 =1，解得b
2=10,a
2=15，
故所求椭圆方程为x
2
15 + y
2
10 =1.
故选：A.
难点：和差最值、取值范围问题
4
示例1：（23-24 高二上·山西太原·期中）已知椭圆C : x
2
9 + y
2
5 =1的左、右焦点分别为F1, F2，点M 在C 上，
点N 的坐标为(3,√5)，则|MN|+|M F1|的取值范围为（ ）
A．[√30,4 +√6]
B．[√30,6+√6]
C．[4+√6,6+√6]
D．[6+√6,9+√6]
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义转化|MN|+|M F1|，结合三点共线来求得|MN|+|M F1|的取值范围.
【详解】依题意，a=3,b=√5,c =2，F1(−2,0), F2(2,0)，N (3,√5)，
|N F2|=√1
2+(√5)
2=√6，|N F1|=√5
2+(√5)
2=√30，
所以|MN|+|M F1|≥|N F1|=√30，当M位于线段N F1与椭圆交点M 2处时等号成立.
根据椭圆的定义可知|MN|+|M F1|=|MN|+2a−|M F2|=6+|MN|−|M F2|，
如图所示，设N F2的延长线与椭圆相交于M 1，
则当M位于M 1时，6+|MN|−|M F2|取得最大值为6+|N F2|=6+√6，
综上所述，|MN|+|M F1|的取值范围为[√30,6+√6].
故选：B
【点睛】在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行
转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解.
5
【题型1：椭圆定义辨析】
例1．（23-24 高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆O1与圆O2内含，且圆心O1,O2不重合，动圆C与两圆相
切，则圆心C的轨迹为（ ）
A．直线
B．圆
C．双曲线
D．椭圆
【答案】D
【分析】运用圆与圆的位置关系的结论，结合椭圆定义可解.
【详解】由题意，记圆C半径为r．不妨令圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，且r1>r2，
则动圆C与圆O1内切，与圆O2外切，可得：|C O1|=r1−r ,|C O2|=r2+r，
两式相加得：|C O1|+|C O2|=r1+r2，且r1+r2>|O1O2|，故圆心C的轨迹为椭圆．
故选：D．
变式1．（23-24 高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆x
2
9 + y
2
4 =1上有一点P 到右焦点的距离为4，则点P 到左
焦点的距离为（ ）
A．6
B．3
C．4
D．2
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义即可求出.
【详解】由椭圆x
2
9 + y
2
4 =1，得a
2=9，即a=3，设左焦点为F1，右焦点为F2，
则|P F1|+|P F2|=2a=6，因为|P F2|= 4，所以|P F1|=2，即点P到左焦点的距离为2.
故选:D.
变式2．（23-24 高三下·湖南长沙·阶段练习）若复数z满足| z +2i|+| z−2i|=8，则复数z在复平面内所
对应点的轨迹是（ ）
6
A．椭圆
B．双曲线
C．圆
D．线段
【答案】A
【分析】根据题意，利用复数的几何意义，以及椭圆的定义，即可求解.
【详解】设P(x , y), F1(0,2), F2(0,−2)，复数z对应点P，
因为复数z满足| z +2i|+| z−2i|=8，
由复数的几何意义，可得|P F2|+|P F1|=8=2a>|F1 F2|= 4 =2c，
所以复数z对应的点满足椭圆的定义，复数z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆.
故选：A.
变式3．（24-25 高二上·上海·随堂练习）已知P 是椭圆x
2
100 + y
2
36 =1上的点，F1、F2是椭圆的两个焦点．
若|P F1|=6，则|P F2|= ．
【答案】14
【分析】利用椭圆的定义求解即可.
【详解】因为x
2
100 + y
2
36 =1,所以2a=20,又|P F1|=6,则|P F2|=20−6=14.
故答案为：14.
变式4．（23-24 高二上·北京·期中）椭圆4 x❑
2+9 y❑
2=36的焦点F1, F2的坐标为 ，若P为椭圆上
任意一点，则|P F1|+|P F2|=
.
【答案】 (±√5,0) 6
【分析】将椭圆化为标准方程即可求出焦点，再利用椭圆定义即可得到|P F1|+|P F2|.
【详解】该椭圆的方程是x
2
9 + y
2
4 =1，即a=3，b=2，故c =√5，所以焦点坐标为(±√5,0).
根据椭圆的定义，有|P F1|+|P F2|=2a=6.
故答案为：(±√5,0)，6.
变式5．（23-24 高二下·上海·阶段练习）已知点F1(−3,0), F2(3,0)，有|P F1|+|P F2|=6，则点P的轨迹
是
.
7
【答案】线段F1 F2
【分析】
根据|P F1|+|P F2|=|F1 F2|，得到轨迹.
【详解】由于|P F1|+|P F2|=6=|F1 F2|，故点P的轨迹为线段F1 F2.
故答案为：线段F1 F2
变式6．（多选）（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．方程x
2+ y
2−2 x + 4 y +6=0表示的曲线是圆
B．若两条直线平行，则它们的斜率相等
C．直线2 x−y +1=0的一个法向量的坐标是(−2,1)
D．平面内到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
【答案】ABD
【分析】根据圆的标准方程即可判断A，根据直线无斜率的情况即可判断B，根据法向量的定义即可求解
C，由椭圆定义即可求D.
【详解】对于A, 由x
2+ y
2−2 x + 4 y +6=0可得(x −1)
2+( y +2)
2=−1，故轨迹不存在，A 错误，
对于B，若两条直线都和y轴平行时，此时斜率不存在，故B 错误，
对于C，直线2 x−y +1=0的斜率为2，故一个法向量的坐标是(−2,1)，C 正确，
对于D，平面内到两定点距离之和（大于两个定点之间的距离）为常数的点的轨迹是椭圆，故D 错误，
故选：ABD
变式7．（多选）（23-24 高二上·河南焦作·阶段练习）下列是真命题的是（ ）
A．已知定点F1(−1,0), F2(1,0)，则满足|P F1|+|P F2|=√2的点P的轨迹为椭圆
B．已知定点F1(−2,0), F2(2,0)，则满足|P F1|+|P F2|= 4的点P的轨迹为线段
C．到定点F1(−3,0), F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点P到定点F1(−4,0), F2(4,0)的距离的和等于点M (5,3)到定点F1(−4,0), F2(4,0)的距离的和，则
点P的轨迹为椭圆
【答案】BD
【分析】根据椭圆定义可依次判断各个选项.
【详解】对于A，∵√2<2，根据椭圆定义，点P的轨迹不存在，故A 错误；
8
对于B，∵|F1 F2|= 4 ,∴点P的轨迹为线段F1 F2，故B 正确；
对于C，到定点F1(−3,0), F2(3,0)距离相等的点的轨迹为线段F1 F2的垂直平分线，故C错误；
对于D，∵M (5,3)到定点F1(−4,0), F2(4,0)的距离的和为√(5+ 4)
2+3
2+√(5−4)
2+3
2= 4√10>8，
所以点P的轨迹为椭圆，故D 正确．
故选：BD.
【方法技巧与总结】
椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．
【题型2：椭圆标准方程的求解】
例2．（23-24 高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是F1(−3,0)，F2(3,0)，椭圆上的点P到两
焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．x
2
64 + y
2
28 =1
B．x
2
16 + y
2
7 =1
C．x
2
16 + y
2
9 =1
D．x
2
4 + y
2
3 =1
【答案】B
【分析】利用椭圆的定义求解即可.
【详解】椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8，故2a=8,a= 4，
且F1(−3,0)，故c =3,b
2=a
2−c
2=7，
所以椭圆的标准方程为x
2
16 + y
2
7 =1.
故选：B
变式1．（23-24 高二上·四川巴中·期末）已知椭圆的焦点在x 轴上，a=2，c =1，则其标准方程为
（ ）
A．x
2
4 + y
2
3 =1
B．x
2
4 + y
2=1
C．x
2
2 + y
2=1
D．x
2
4 + y
2
2 =1
【答案】A
【分析】根据椭圆的性质即可求解.
【详解】由a=2，c =1可得b=√a
2−c
2=√3，
9
由于焦点在x 轴上，所以椭圆方程为x
2
4 + y
2
3 =1，
故选：A
变式2．（22-23 高二上·湖北武汉·阶段练习）已知F1(0,−1)，F2(0,1)是椭圆C 的两个焦点，过F2且垂
直于y 轴的直线交C 于A，B 两点，且|AB|=3，则椭圆C 的标准方程为 ．
【答案】y
2
4 + x
2
3 =1
【分析】根据题意，由椭圆的几何性质求出a、b的值，结合椭圆的标准方程计算可得答案．
【详解】解：根据题意，如图：
AB =3，由椭圆的对称性可得：| A F2|= 1
2 | AB|= 3
2，
又| F1 F2|=2，由勾股定理可得：| A F1|=√| F1 F2|
2+| A F2|
2=√2
2+( 3
2 )
2
= 5
2
，
所以2a=| A F1|+| A F2|= 4，a=2，
又c =1，则b=√a
2−c
2=√3，
椭圆标准方程为y
2
4 + x
2
3 =1．
故答案为：y
2
4 + x
2
3 =1．
变式3．（24-25 高二上·上海·随堂练习）已知椭圆的两个焦点为F1(−√5,0)，F2(√5,0)，M 是椭圆上一
点，若⃗M F1⊥⃗M F2，且|⃗M F1|⋅|⃗M F2|=8，则该椭圆的方程是 ．
【答案】x
2
9 + y
2
4 =1
【分析】先设点的坐标，再根据已知模长及向量垂直化简得出椭圆方程.
【详解】设点M (x , y),
10
又因为M F
→
1⊥M F
→
2,|M F
→
1|·|M F
→
2|=8,|F1 F
→
2|=2√5，
所以|M F
→
1|
2
+|M F
→
2|
2
=|F1 F
→
2|
2
=20，
所以(|M F
→
1|+|M F
→
2|)
2
=|M F
→
1|
2
+|M F
→
2|
2
+2|M F
→
1|·|M F
→
2|=20+16=36，
所以|M F
→
1|+|M F
→
2|=6，根据椭圆定义可得2a=6,c =√5,b
2=a
2−c
2=9−5= 4,
所以椭圆的方程是x
2
9 + y
2
4 =1.
故答案为：x
2
9 + y
2
4 =1.
变式4．（24-25 高二上·上海·单元测试）已知椭圆E：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的焦距为4，平行四边形ABCD
内接于椭圆E，且直线AB 与AD 的斜率之积为−1
2，则椭圆E 的方程为 ．
【答案】x
2
8 + y
2
4 =1
【分析】由条件列关于a,b,c的方程，解方程可得a,b，由此可得椭圆方程.
【详解】设A(x1, y1),B(x2, y2)，由对称性可得D(−x2,−y2)，
则x1
2
a
2 + y1
2
b
2 =1, x2
2
a
2 + y2
2
b
2 =1，
所以两式相减可得
y2
2−y1
2
x2
2−x1
2 =−b
2
a
2，
因为直线AB 与AD 的斜率之积为−1
2，
所以
y2−y1
x2−x1
⋅−y2−y1
−x2−x1
=−1
2，即
y2
2−y1
2
x2
2−x1
2 =−1
2，所以b
2
a
2 = 1
2，
设椭圆E的半焦距为c，
因为椭圆E的焦距为4，所以2c = 4，所以c =2，
又a
2=b
2+c
2，所以b
2= 4 ,a
2=8，
11
所以椭圆E的标准方程为x
2
8 + y
2
4 =1，
故答案为：x
2
8 + y
2
4 =1.
变式5．（23-24 高二下·全国·课堂例题）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别为(−3,0)，(3,0)，经过点(0,4)；
(2)经过点P(−2√3,1),Q(√3,−2)两点．
(3)过(−3,2)且与x
2
9 + y
2
4 =1有相同的焦点；．
【答案】(1) x
2
25 + y
2
16 =1
(2) x
2
15 + y
2
5 =1
(3) x
2
15 + y
2
10 =1
【分析】（1）设椭圆的标准方程为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，依题意求出a和b可得结果；
（2）过两点的椭圆方程，可设为m x
2+n y
2=1，代入计算即可．
（3）由焦点坐标得c值，设出椭圆方程将点(−3,2)代入方程待定系数可得．
【详解】（1）设椭圆的标准方程为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，
依题可得c =3，将(0,4)代入到方程x
2
a
2 + y
2
b
2 =1中得b= 4，
12
故a=√b
2+c
2=√16+9=5，
所以椭圆的标准方程为x
2
25 + y
2
16 =1．
（2）设方程为m x
2+n y
2=1(m>0,n>0,m≠n),
则¿，解得¿，则所求椭圆方程为x
2
15 + y
2
5 =1.
（3）由方程x
2
9 + y
2
4 =1可知，其焦点的坐标为(±√5,0)，即c =√5．
则b
2=a
2−5， 设所求椭圆方程x
2
a
2 +
y
2
a
2−5
=1(a
2>5)，
因为椭圆过点(−3,2)，代入方程得9
a
2 +
4
a
2−5
=1(a>b>0)，
解得a
2=15（a
2=3舍去），b
2=10，
故椭圆的标准方程为x
2
15 + y
2
10 =1；
变式6．（23-24 高二下·全国·课后作业）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过P(−2√3,1),Q(√3,−2)两点.
(2)经过点(2，3)，且与椭圆9 x
2+ 4 y
2=36有共同的焦点；
【答案】(1) x
2
15 + y
2
5 =1
(2) y
2
15 + x
2
10 =1
【分析】（1）由题意，设椭圆的一般式方程m x
2+n y
2=1(m>0，n>0)，代入两点，列出方程组，求解
即得；
（2）由已知椭圆求出半焦距并判断焦点位置，设出所求椭圆方程，列方程组，求解后即得.
【详解】（1）设所求椭圆的方程m x
2+n y
2=1(m>0，n>0)，
将P(−2√3,1),Q(√3,−2)代入上式得¿，解得¿，
所以所求椭圆的标准方程为x
2
15 + y
2
5 =1；
（2）椭圆9 x
2+ 4 y
2=36，即x
2
4 + y
2
9 =1，故c =√9−4 =√5，
13
则焦点为(0,√5)，(0,−√5)，
依题意，设所求椭圆的标准方程y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)，
则有¿，解得a
2=15,b
2=10，
所以所求椭圆的标准方程为y
2
15 + x
2
10 =1.
变式7．（24-25 高二上·全国·课前预习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(−2,0)，(2,0)，并且经过点(
5
2 ,−3
2)．
【答案】(1) y
2
4 + x
2=1
(2) x
2
10 + y
2
6 =1
【分析】（1）由条件可设椭圆方程为y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)，再由条件列方程求a,b，即可得椭圆方程；
（2）结合焦点坐标知可设椭圆方程为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，且c =2，结合椭圆定义可求2a，由此可求b
及椭圆方程.
【详解】（1）因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以¿解得¿
所以所求椭圆的标准方程为y
2
4 + x
2=1．
（2）由于椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，
设椭圆的半焦距为c，则c =2，
14
又2a=√(
5
2 +2)
2
+(−3
2)
2
+√(
5
2 −2)
2
+(−3
2)
2
=2√10，
所以a=√10，
所以b
2=a
2−c
2=10−4 =6，
所以所求椭圆的标准方程为x
2
10 + y
2
6 =1．
变式8．（23-24 高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(−4,0),(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10；
(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过(
√6
3 ,√3)和点(
2√2
3
,1)．
【答案】(1) x
2
25 + y
2
9 =1
(2) y
2
4 + x
2=1
(3) y
2
9 + x
2=1．
【分析】（1）由焦点坐标求c，由椭圆定义得2a即可求b
2，从而得方程；
（2）结合图形，已知点是长短轴的顶点，则可得a,b；
（3）设椭圆方程的简化形式m x
2+n y
2=1(m>0,n>0,m≠n)，待定系数解方程组可得.
【详解】（1）由题意，椭圆焦点在x轴上，且2a=10,a=5,c = 4，
则b
2=a
2−c
2=25−16=9，
∴椭圆方程为x
2
25 + y
2
9 =1；
（2）根据题意，所求椭圆的焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)，
则a=2,b=1，则椭圆的标准方程为y
2
4 + x
2=1；
（3）根据题意，要求椭圆经过（√6
3 ，√3）和点（2√2
3
，1）两点，
设其方程为m x
2+n y
2=1(m>0,n>0,m≠n)，
则有¿，解可得¿，
15
则所求椭圆的方程为y
2
9 + x
2=1．
【方法技巧与总结】
求椭圆方程有两种方法：
1.用定义法求椭圆的标准方程
先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：
①b2＝a2－c2；
②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；
③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.
2.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤
【题型3：椭圆定义的应用】
例3．（24-25 高二上·福建三明·阶段练习）已知方程x
2
2−m + y
2
m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的
取值范围是（ ）
A．(0,2)
B．(0,1)
C．(2,+∞)
D．(0,1)∪(1,2)
【答案】B
【分析】根据椭圆的标准方程，结合题意，建立方程组，可得答案.
【详解】由题意可得¿，解得0<m<1.
故选：B.
变式1．（24-25 高二上·江西·阶段练习）若方程
x
2
1+m +
y
2
2−m =1表示椭圆，则m 的取值范围为
（ ）
A．(−1,2)
B．(−2,1)
C．(−1, 3
2)∪(
3
2 ,2)
D．(−1, 1
2)∪(
1
2 ,2)
16
【答案】D
【分析】根据椭圆标准方程的形式求解即可.
【详解】因为方程x
2
1+m +
y
2
2−m =1表示椭圆，
所以¿，解得m∈(−1, 1
2)∪(
1
2 ,2)，
故选：D.
变式2．（23-24 高二上·云南昆明·阶段练习）方程x
2
4 +m +
y
2
2−m =1表示椭圆的充要条件是（ ）
A．−4<m<−1
B．m>−1
C．−4<m<2
D．−4<m<−1或−1<m<2
【答案】D
【分析】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得.
【详解】若x
2
4 +m +
y
2
2−m =1表示椭圆，则有¿，
解得−4<m<−1或−1<m<2.
故选：D.
变式3．（24-25 高二上·江西·阶段练习）如果方程2 x
2+k y
2=k表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取
值范围是 .
【答案】(2,+∞)
【分析】首先判断k ≠0，再将方程化为标准式，即可结合焦点的位置得到不等式，解得即可.
【详解】因为方程2 x
2+ k y
2=k表示焦点在x轴上的椭圆，显然k ≠0，则方程可化为
x
2
k
2
+ y
2=1，
所以k
2 >1，解得k >2，所以实数k的取值范围是(2,+∞).
故答案为：(2,+∞)
变式4．（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）方程x
2
2−k +
y
2
k −1 =1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取
值范围是 .
【答案】(1, 3
2)
【分析】根据焦点在x轴上的椭圆的特征，列不等式即可求解.
17
【详解】由题意可得¿解得1<k < 3
2，故实数k的取值范围是(1, 3
2).
故答案为：(1, 3
2).
变式5．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知α ∈(0,π )，椭圆C :
x
2
sinα +
y
2
cosα =1的焦点在x轴上，则C
的半焦距的取值范围是 ．
【答案】(0,1)
【分析】由椭圆性质可知sin α >cosα >0，则α ∈(
π
4 ,π
2 )，结合三角恒等变换可得半焦距及其取值范围.
【详解】依题意sinα >cosα >0，则α ∈(
π
4 ,π
2 )，
故半焦距c =√sinα −cosα =√√2sin(α −π
4 )，
因为α ∈(
π
4 ,π
2 )，所以α −π
4 ∈(0,π
4 )，
所以√2sin(α −π
4 )∈(0,1)，
即c =√√2sin(α −π
4 )∈(0,1)，
故答案为：(0,1).
变式6．（24-25 高二上·江苏徐州·阶段练习）讨论方程√(x−3)
2+ y
2＋√(x +3)
2+ y
2=m表示的曲线.
【答案】答案见详解
【分析】根据椭圆定义讨论判断.
【详解】√(x−3)
2+ y
2表示点P(x , y)到点A (3,0)的距离，√(x +3)
2+ y
2表示点P(x , y)到点B (−3,0)的距
离，
所以√(x −3)
2+ y
2+√(x +3)
2+ y
2表示点P(x , y)到点A (3,0)和B (−3,0)的距离之和，
当m>6时，方程√(x −3)
2+ y
2+√(x +3)
2+ y
2=m表示的曲线是椭圆；
当m=6时，方程√(x −3)
2+ y
2+√(x +3)
2+ y
2=m表示的曲线是线段AB；
18
当m<6时，方程√(x−3)
2+ y
2+√(x +3)
2+ y
2=m表示的曲线不存在.
【方法技巧与总结】
把方程写成椭圆的标准方程形式，得到
形式，要想表示：
1.焦点在
轴上的椭圆，必须要满足
，解这个不等式就可求出实数k 的取值范围．
2.焦点在x 轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数k 的取值范围
【题型4：焦点三角形问题】
例4．（23-24 高二下·上海·期末）已知椭圆y
2
25 + x
2
16 =1的焦点为F1、F2，P为该椭圆上任意一点（异于长
轴端点），则△P F1 F2的周长为（ ）
A．10
B．13
C．14
D．16
【答案】D
【分析】根据方程可得a,b,c，结合椭圆的定义运算求解.
【详解】由题意可知：a=5,b= 4 ,c =√a
2−b
2=3，
则|P F1|+|P F2|=2a=10,|F1 F2|=2c =6，
所以△P F1 F2的周长为|P F1|+|P F2|+|F1 F2|=16.
故选：D.
变式1．（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆C : x
2
16 + y
2
9 =1的左､右焦点分别为F1､F2，点P在
椭圆C上.若∠F1 P F2=60
∘，则△F1 P F2的面积为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．3√3
【答案】D
【分析】在△F1 P F2中，结合椭圆定义及勾股定理可得|P F1|⋅|P F2|=12，进而求得△F1 P F2的面积.
19
【详解】由椭圆定义可得|P F1|+|P F2|=2a=8,|F1 F2|=2c =2√16−9=2√7，
又因为∠F1 P F2=60
∘，所以由勾股定理可得|P F1|
2+|P F2|
2−2|P F1||P F2|cos60
∘=|F1 F2|
2，
即(|P F1|+|P F2|)
2−3|P F1|⋅|P F2|=|F1 F2|
2=28，解得|P F1|⋅|P F2|=12，
则△F1 P F2的面积为1
2|P F1|⋅|P F2|sin60
∘=3√3.
故选：D.
变式2．（23-24 高二上·吉林延边·期中）点P 是椭圆x
2
16 + y
2
7 =1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且
△P F1 F2的内切圆半径为1，当点P 在第一象限时，P 点的纵坐标为（ ）
A．2
B．7
3
C．5
3
D．9
4
【答案】B
【分析】根据椭圆方程求出a,b,c，由椭圆的定义可求出|P F1|+|F1 F2|+|P F2|=2a+2c，然后利用等面
积法可求出P 点的纵坐标.
【详解】由x
2
16 + y
2
7 =1，得a
2=16,b
2=7，
所以a= 4 ,b=√7,c =√16−7 =3，
所以|P F1|+|F1 F2|+|P F2|=2a+2c =8+6=14，
设△P F1 F2的内切圆半径为r，
因为1
2 (|P F1|+|F1 F2|+|P F2|)r = 1
2|F1 F2|yP
所以1
2 ×14×1= 1
2 ×6 yP，得yP= 7
3.
故选：B
20
变式3．（23-24 高二下·天津·阶段练习）设F1, F2是椭圆4 x
2
49 + y
2
6 =1的两个焦点，P是椭圆上的点，且
|P F1|:|P F2|= 4:3，则△P F1 F2的面积为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】B
【分析】由题意结合椭圆定义推导出△P F1 F2是直角三角形，再求面积即可.
【详解】由4 x
2
49 + y
2
6 =1可得：
x
2
49
4
+ y
2
6 =1，
则椭圆得长轴长为2a=7,2c =2√
49
4 −6=5，
∵| P F1|:| P F2|= 4:3，
∴可设| P F1|= 4 k，| P F2|=3k，
由题意可知3k + 4 k =7，∴k =1，
∴| P F1|= 4，| P F2|=3，∵| F1 F2|=5，
∴△P F1 F2是直角三角形，
其面积= 1
2 ×| P F1|×| P F2|= 1
2 ×3×4 =6．
故选：B．
变式4．（23-24 高二上·江西九江·期末）已知椭圆x
2
9 + y
2
5 =1的左、右焦点分别为F和F
'，点P在椭圆上且
在x轴的上方．若线段PF的中点Q在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则△PF F
'的面积为
（ ）
A．√15
2
B．2√3
C．√15
D．√17
【答案】C
【分析】由题意得到F
'Q垂直平分线段PF，则|F F
'|=|P F
'|= 4，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求
解．
【详解】
21
因为椭圆方程为x
2
9 + y
2
5 =1，
所以a=3，b=√5，c =√a
2−b
2=2，
又线段PF的中点Q在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，
所以F
'Q垂直平分线段PF，所以|F F
'|=|P F
'|= 4，
又因为|PF|+|P F
'|=6，所以|PF|=2，|QF|=1，
在直角三角形FQ F
'中，|Q F
'|=√16−1=√15，
于是△PF F
'的面积为1
2 ×|PF|×|Q F
'|= 1
2 ×2×√15=√15．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将线段PF的中点Q在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上转化为
F
'Q垂直平分线段PF，再结合椭圆定义求解.
变式5．（24-25 高二上·上海·课堂例题）已知椭圆x
2
4 + y
2
3 =1的两个焦点为F1、F2，过F2的直线交椭圆于
M、N 两点，则△F1 MN的周长为 ．
【答案】8
【分析】根据椭圆定义求解.
【详解】由椭圆x
2
4 + y
2
3 =1可知a
2= 4，即a=2，
由椭圆的定义可知，△F1 MN的周长为|M F1|+|M F2|+|N F1|+|N F2|=2a+2a= 4 a=8，
故答案为：8
变式6．（24-25 高二上·上海·课堂例题）（1）已知点P 在椭圆x
2
16 + y
2
4 =1上，F1与F2分别为左、右焦点.
22
若∠F1 P F2= 2π
3 ，则△F1 P F2的面积为 .
（2）若F 为椭圆C：x
2
25 + y
2
16 =1的右焦点，A、B 为椭圆C 上两个动点，则△ABF的周长的最大值为
.
【答案】 4√3 20
【分析】（1）焦点三角形中运用余弦定理可得|P F1||P F1|，由三角形面积公式得解；
（2）根据椭圆的定义及两边之和不下于第三边求解即可.
【详解】（1）由椭圆x
2
16 + y
2
4 =1可知，a
2=16,b
2= 4，
所以c
2=a
2−b
2=12，即2c = 4√3，2a=8，
由余弦定理得|F1 F2|
2=|P F1|
2+|P F2|
2−2|P F1||P F1|cos 2π
3 =(2a)
2−|P F1||P F1|=(2c)
2，
解得|P F1||P F1|=16，
所以S△F1 P F2= 1
2|P F1||P F1|sin 2π
3 = 1
2 ×16× √3
2 = 4√3.
（2）设椭圆的左焦点为F
'，
由椭圆C：x
2
25 + y
2
16 =1可得a
2=25，a=5，
则△ABF的周长为10−|A F
'|+10−|B F
'|+|AB|=20−(|A F
'|+|B F
'|)+|AB|，
由|A F
'|+|B F
'|≥|AB|，可得20−(|A F
'|+|B F
'|)+|AB|≤20，
当且仅当A ,B , F
'三点共线时等号成立，即△ABF的周长的最大值为20.
故答案为：4√3；20
变式7．（24-25 高二上·江西·阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的左、右焦点，
P 为C 上一点.
(1)若|F1 F2|=2，点P 的坐标为(0,−3)，求椭圆C 的标准方程；
(2)若P F1⊥P F2，△F1 P F2的面积为4，求b 的值.
23
【答案】(1) x
2
10 + y
2
9 =1
(2)b=2
【分析】（1）已知| F1 F2|=2可求出c，点P坐标可代入椭圆方程求出b，进而求出a；
（2）得到椭圆标准方程根据P F1⊥P F2，利用三角形面积公式S = 1
2 ×| P F1|×| P F2|和椭圆定义
| P F1|+| P F2|=2a以及勾股定理| P F1|
2+| P F2|
2=| F1 F2|
2=(2c)
2来求解b的值.
【详解】（1）已知| F1 F2|=2，因为| F1 F2|=2c，所以c =1.点P(0,−3)在椭圆上，将其代入椭圆方
程x
2
a
2 + y
2
b
2 =1，可得0
2
a
2 + (−3)
2
b
2
=1，即9
b
2 =1，解得b=3.
又因为c
2=a
2−b
2，c =1，b=3，所以a
2=b
2+c
2=9+1=10.
所以椭圆C的标准方程为x
2
10 + y
2
9 =1.
（2）因为P F1⊥P F2，所以△F1 P F2的面积S = 1
2 ×| P F1|×| P F2|= 4，则| P F1|×| P F2|=8.根
据椭圆定义，| P F1|+| P F2|=2a.
由勾股定理可得| P F1|
2+| P F2|
2=| F1 F2|
2=(2c)
2.
又(| P F1|+| P F2|)
2=| P F1|
2+| P F2|
2+2| P F1|×| P F2|，即(2a)
2=(2c)
2+16.
在椭圆中有c
2=a
2−b
2，将(2a)
2=(2c)
2+16变形为a
2=c
2+ 4，即b
2= 4，解得b=2.
【方法技巧与总结】
求椭圆中焦点三角形面积的方法：
①根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③利用公式
＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式
＝×|F1F2|×|yP|(yP为P 点的纵坐标)求
得面积
④结论：S∆P F1 F2=b
2tan θ
2
【题型5：和差最值问题】
24
例5．（23-24 高二上·福建宁德·期末）已知P是椭圆x
2
16 + y
2
12 =1上一动点，Q是圆( x +2)
2+ y
2=1上一动点，
点M (5,4)，则| PQ|−| PM |的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】由题意得圆(x +2)
2+ y
2=1的圆心是椭圆的左焦点，利用圆和椭圆的定义，结合图象得到
|PQ|≤|P F1|+1=8−|P F2|+1=9−|P F2|，然后由|PQ|−|PM|≤9−(|P F2|+|PM|)即可求解.
【详解】如图，由题意，椭圆的焦点为F1(−2,0)，F2(2,0)，
则圆(x +2)
2+ y
2=1的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得|P F1|=2a−|P F2|=8−|P F2|，所以
|PQ|≤|P F1|+1=8−|P F2|+1=9−|P F2|，
又|M F2|=√(5−2)
2+(4−0)
2=5，
所以|PQ|−|PM|≤9−(|P F2|+|PM|)≤9−|M F2|= 4.
故选：B.
变式1．（23-24 高二上·江苏南京·期末）已知点 M在椭圆 x
2
4 + y
2
3 =1上，点 A(0,−3
4)，B (1,0)，则
|MA|+|MB|的最大值为（ ）
A．11
4
B．4
C．21
4
D．5
【答案】C
【分析】作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可.
【详解】
25
作椭圆的左焦点B1(−1，0)，则|MA|+|MB|=|MA|+ 4−|M B1|≤4+|A B1|，
当且仅当点M为线段A B1的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得|A B1|=√4+ 9
16 = 5
4 ，
故|MA|+|MB|=|MA|+ 4−|M B1|≤4+|A B1|= 21
4 ，C 正确，
故选：C
变式2．（23-24 高二上·吉林长春·期末）已知B是椭圆x
2
3 + y
2=1的上顶点，点M是椭圆上的任意一点，则
|MB|的最大值为（ ）
A．2
B．2√2
C．3√2
2
D．9
2
【答案】C
【分析】设出M点坐标，利用坐标表示出|MB|并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求
解出|MB|的最大值.
【详解】设M (x0, y0)，B (0,1)，且x0
2
3 + y0
2=1，
所以|MB|=√(x0−0)
2+( y0−1)
2=√x0
2+( y0−1)
2=√3−3 y0
2+( y0−1)
2
=√−2 y0
2−2 y0+ 4 =√
−2( y0+ 1
2)
2
+ 9
2
，
又因为y0∈[−1,1]，所以当y0=−1
2时取最大值，
所以|MB|max =√
9
2 = 3√2
2
，
故选：C.
变式3．（23-24 高二上·江苏南通·阶段练习）P为椭圆C：x
2
4 + y
2=1上一点，A (1,0)，则|PA|最小值为
26
（ ）
A．1
B．1
2
C．2
3
D．√6
3
【答案】D
【分析】根据三角换元得P(2cosθ ,sinθ),θ∈R，即可根据两点距离公式求解.
【详解】设P(2cosθ ,sinθ),θ∈R，
则|PA|=√(2cosθ−1)
2+sin
2θ =√4 cos
2θ−4 cosθ+1+sin
2θ =√3cos
2θ−4 cosθ+2
=√3(cosθ−2
3)
2
+ 2
3
，
由于−1≤cosθ≤1，故当cosθ = 2
3时，|PA|取最小值√6
3 ，
故选：D
变式4．（2024 高二下·云南曲靖·学业考试）已知椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1的左、右焦点分别为F1, F2, P ,Q在椭
圆上且关于原点对称，则
1
|P F2|
+
4
|Q F2|的最大值与最小值之和为 ．
【答案】79
12/6 7
12
【分析】设P( x0, y0)，得出|Q F2|
|P F2|
∈[
1
3 ,3]，整理
1
|P F2|
+
4
|Q F2|
= 1
4 (|P F2|+|Q F2|)(
1
|P F2|
+
4
|Q F2|)，
令t =|Q F2|
|P F2|
∈[
1
3 ,3]，利用y =t + 4
t 单调性求值域，即可求解．
【详解】解：设P( x0, y0)，
∴|P F2|=√( x0−1)
2+( y0−0)
2=√x0
2−2 x0+1+3−3
4 x0
2=2−x0
2 ，
∴|Q F2|=|P F1|= 4−|P F2|, x0∈[−2,2]，
∴|P F2|∈[1,3]，
27
∴|Q F2|
|P F2|
= 4−|P F2|
|P F2|
=
4
|P F2|
−1∈[
1
3 ,3]，
∴
1
|P F2|
+
4
|Q F2|
= 1
4 (|P F2|+|Q F2|)(
1
|P F2|
+
4
|Q F2|)= 1
4(5+|Q F2|
|P F2|
+ 4|P F2|
|Q F2| )，
令t =|Q F2|
|P F2|
∈[
1
3 ,3]，
则y =t + 4
t 在[
1
3 ,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，
∴y ∈[4 , 37
3 ]，
∴
1
|P F2|
+
4
|Q F2|
∈[
9
4 , 13
3 ]，
则
1
|P F2|
+
4
|Q F2|的最大值与最小值之和为9
4 + 13
3 = 79
12，
故答案为：79
12．
变式5．（23-24 高二上·全国·期末）已知椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1的左､右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任
意一点，N为圆E:(x−3)
2+( y −2)
2=1上任意一点，则|MN|−|M F1|的最小值为 .
【答案】2√2−5/−5+2√2
【分析】根据椭圆定义可将|MN|−|M F1|转化为| MN |+| M F2|−4，再根据| MN |≥| ME|−1可得
|MN|−|M F1|的最小值为| E F2|−5，结合两点间距离公式即得答案.
【详解】由M为椭圆C上任意一点，则|M F1|+|M F2|= 4
又N为圆E:(x−3)
2+( y −2)
2=1上任意一点，则|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E 共线时取等号），
∴|MN|−|M F1|=|MN|−(4−|M F2|)=|MN|+|M F2|−4≥|ME|+|M F2|−5≥|E F2|−5，
当且仅当M、N、E、F2共线时等号成立.
28
∵F2(1,0)，E(3,2)，则| E F2|=√(3−1)
2+(2−0)
2=2√2，
∴|MN|−|M F1|的最小值为2√2−5．
故答案为：2√2−5．
变式6 ．（23-24 高二上· 江苏徐州· 期末）已知P 是椭圆C : y
2
16 + x
2
7 =1上的一个动点，点
A(1,−1),B(0,−3)，则PA + PB的最小值为 .
【答案】8−√17
【分析】根据椭圆方程以及点坐标，利用椭圆定义并结合三角形边长即可求得其最小值.
【详解】易知B(0,−3)为椭圆的下焦点，点A(1,−1)在椭圆内部；
设F(0,3)为椭圆的上焦点，连接PB , PF，
由椭圆定义可得PB+ PF =2a=8，则PB =8−PF，
所以PA + PB = PA +8−PF =8+ PA −PF ≥8−AF =8−√17，
当且仅当P , A , F三点共线时，取得最小值，如下图所示：
因此则PA + PB的最小值为8−√17.
故答案为：8−√17
变式7．（2024 高二上·全国·专题练习）设实数x , y满足x
2
5 + y
2
4 =1,√x
2+ y
2−2 y +1+√x
2+ y
2−2 x +1的
最小值为 .
【答案】2√5−√2
29
【分析】根据题意，利用椭圆的定义，即可求代数式的最小值，得到答案.
【详解】设P(x , y)，则P在椭圆x
2
5 + y
2
4 =1上，
因为√x
2+ y
2−2 y +1+√x
2+ y
2−2 x +1=√x
2+( y −1)
2+√(x−1)
2+ y
2，
设S (0,1), F2(1,0)，则F2为椭圆的右焦点，
如图所示，设椭圆的左焦点为F1(−1,0)，
则√x
2+ y
2−2 y +1+√x
2+ y
2−2 x +1=|PS|+|P F2|=2√5+|PS|−|P F1|≥2√5−|S F1|，
当且仅当P ,S , F1三点共线且S在P , F1之间时等号成立，
而|S F1|=√2，故√x
2+ y
2−2 y +1+√x
2+ y
2−2 x +1的最小值为2√5−√2.
故答案为：2√5−√2.
【方法技巧与总结】
总体理论依据：
1.线段公理——两点之间，线段最短。
2.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点
连线的垂直平分线
3.三角形两边之和大于第三边。
4.三角形两边之差小于第三边。
5.垂直线段最短
【题型6：轨迹方程问题】
例6．（24-25 高二上·江西·阶段练习）已知圆C1：(x +3)
2+ y
2=81和C2：(x −3)
2+ y
2=1，若动圆P 与这
两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M 的方程为（ ）
A．x
2
16 + y
2
7 =1
B．x
2
25 + y
2
9 =1
30
C．x
2
25 + y
2
16 =1
D．x
2
16 + y
2
9 =1
【答案】C
【分析】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断P 点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程.
【
详
解
】
圆C1：
(x +3)
2+ y
2=81和C2：
(x−3)
2+ y
2=1的
圆
心
、
半
径
分
别
为
C1(−3,0),r1=9,C2(3,0),r2=1，
由|C1C2|=6<9−1=8可知圆C2内含于圆C1内，
设动圆半径为R,
由题意，|C2 P|=r2+ R，|C1 P|=r1−R,
两式相加可得|PC1|+|PC2|=r1+r2=10>|C1C2|=6,
故P 点的轨迹为以C1,C2为焦点的椭圆，其中2a=10,2c =6，
所以a
2=25,b
2=a
2−c
2=16，
所以椭圆方程为x
2
25 + y
2
16 =1.
故选：C
变式1．（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）动点M (x , y)与定点F (4,0)的距离和M到定直线l: x = 25
4 的
距离的比是常数4
5 ，则动点M的轨迹方程是（ ）
A．x
2
25 + y
2
16 =1
B．x
2
25 + y
2
9 =1
C．x
2
16 + y
2
9 =1
D．x
2
16 + y
2
7 =1
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解.
【详解】设d是点M到直线l: x = 25
4 的距离，
根据题意，动点M的轨迹就是集合P =¿.
31
由此得
√( x−4)
2+ y
2
|
25
4 −x|
= 4
5 ，将上式两边平方并化简，得9 x
2+25 y
2=225，
即x
2
25 + y
2
9 =1.
所以动点M的轨迹方程为x
2
25 + y
2
9 =1.
故选：B.
变式2．（24-25 高二上·天津红桥·阶段练习）如图：已知圆 C :(x +1)²+ y ² =25内有一点 A (1,0)，Q 是
圆C 上的任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 相交点M ，当点Q 在圆C 上运动时，点M 的轨迹方程
为
【答案】4 x
2
25 + 4 y
2
21 =1
【分析】利用线段的中垂线性质，即可推导出动点到两定点的距离之和为定值，所以动点轨迹是椭圆，即
可出椭圆方程.
【详解】
连接MA，由线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M，可得|MA|=|MQ|，
则有|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5，
所以点M 的轨迹是以A ,C为焦点，以5 为长轴长的椭圆，
则a= 5
2 ,c =1，即b
2=a
2−c
2= 25
4 −1= 21
4 ，
32
所以点M 的轨迹方程为：
x
2
25
4
+ y
2
21
4
=1，即4 x
2
25 + 4 y
2
21 =1，
故答案为：4 x
2
25 + 4 y
2
21 =1.
变式3．（24-25 高二上·吉林长春·阶段练习）已知点A (−2,0)和点B (2,0)，P是动点，且直线AP与BP的
斜率之积等于−3
4 ，则动点P的轨迹方程为 ．
【答案】x
2
4 + y
2
3 =1( x≠±2)
【分析】设动点P( x , y)，斜率用坐标表示，由斜率之积为−3
4 可得出x , y之间的关系式，进而得P的轨迹
方程.
【详解】设动点P的坐标为( x , y)，又A (−2,0)，B (2,0)，
所以AP的斜率k AP=
y
x +2 ( x≠−2)，BP的斜率k BP=
y
x−2 ( x≠2)，
由题意可得
y
x +2 ×
y
x−2 =−3
4 ( x≠±2)，
化简，得点P的轨迹方程为x
2
4 + y
2
3 =1( x≠±2).
故答案为：x
2
4 + y
2
3 =1( x≠±2)
变式4．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知⊙M : x
2+2 x + y
2−35=0，过点N (1,0)且斜率不为零的直
线l交⊙M于A，B两点，过点N作NC // AM交BM于C，则|CM|+|CN|= ；点C的轨迹方程为
．
【答案】 6 x
2
9 + y
2
8 =1( y ≠0)
【分析】根据等腰三角形性质可得|CN|=|CB|，即可得|CM|+|CN|，再根据椭圆定义可得轨迹方程.
【详解】
33
如图所示，
由⊙M的方程得圆心M (−1,0)，半径为r =6，
因为NC // AM，所以∠MAN =∠CNB，
又|MA|=|MB|，所以∠MAN =∠MBA，
则∠CNB =∠MBA，所以|CN|=|CB|，
又|CM|+|CB|=r =6，
所以|CM|+|CN|=6>2=|MN|，
又AB斜率不为0，所以点C不在x轴上，
所以点C的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，且点C不在x轴上，
则c =1，a=3，所以b
2=a
2−c
2=8，
即点C的轨迹方程为x
2
9 + y
2
8 =1( y ≠0)，
故答案为：6，x
2
9 + y
2
8 =1( y ≠0).
变式5．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知过点A (−3,0)的直线与x =3相交于点C，过点B (3,0)的直线
与x =−3相交于点D，若直线CD 与圆x
2+ y
2=9相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为 ．
【答案】
x
2
9 + y
2
9
4
=1( y ≠0)
【分析】设点M (x , y)，C (3,m)，D (−3,n)，mn≠0，根据切线可得mn=9，结合交点运算求解即可.
【详解】设点M (x , y)，C (3,m)，D (−3,n)，mn≠0，
则直线CD 的方程为(m−n) x−6 y +3(m+n)=0，
因为直线CD 与圆x
2+ y
2=9相切，则
3|m+n|
√(m−n)
2+36
=3，可得mn=9；
又因为直线AC 与BD 的交点为M，
34
所以¿，解得¿，可得−36 y
2
x
2−9
=9，
所以点M 的轨迹方程为
x
2
9 + y
2
9
4
=1( y ≠0)．
故答案为：
x
2
9 + y
2
9
4
=1( y ≠0).
变式6．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知定点M (4,0), N (1,0)，动点P满足⃗MN ⋅⃗MP =6|⃗PN|.设点P
的轨迹为E，则轨迹E的方程为
.
【答案】x
2
4 + y
2
3 =1
【分析】设P(x , y)，利用平面向量数量积的坐标表示计算化简即可.
【详解】设动点P(x , y)，则⃗MP =(x−4 , y),⃗MN =(−3,0),⃗PN =(1−x ,−y).
又∵⃗MN ⋅⃗MP =6|⃗PN|，
∴−3(x −4)=6√(1−x)
2+(−y )
2.
化简得3 x
2+ 4 y
2=12，即x
2
4 + y
2
3 =1，
∴动点P的轨迹E的方程为x
2
4 + y
2
3 =1.
故答案为：x
2
4 + y
2
3 =1.
变式7．（24-25 高二上·全国·课后作业）如图所示，Rt△ABC的顶点A (−2,0)，直角顶点B(0,−2√2)，
顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．
(1)求边BC 所在直线的方程；
35
(2)M 为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M 的方程；
(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程．
【答案】(1)x−√2 y −4 =0
(2)(x−1)
2+ y
2=9
(3)4
9 x
2+ 4
5 y
2=1
【分析】（1）由已知，可得k AB=−√2，又AB⊥BC，则kCB= √2
2 ，即可求得BC 所在直线的方程；
（2）由BC 的直线方程，可得C (4,0)，则得圆心M (1,0)，又|AM|=3，即可求得圆M 的方程；
（3）由已知，可得|PN|是该圆的半径，因为动圆N 与圆M 内切，可得|MN|+|PN|=3>|MP|=2，则点
N 的轨迹是以M，P 为焦点的椭圆，即可由待定系数法求椭圆方程.
【详解】（1）因为点A (−2,0)，点B(0,−2√2)，
则k AB= −2√2−0
0−(−2) =−√2，又AB⊥BC，所以kCB= √2
2 ，
所以边BC 所在直线的方程为y = √2
2 x−2√2，
即x−√2 y −4 =0．
（2）因为边BC 所在直线的方程为x−√2 y −4 =0，
令y =0，得C (4,0)，
所以圆心M (1,0)，又因为|AM|=3，
∴圆M 的方程为(x−1)
2+ y
2=9．
（3）因为点P 为线段OA 的中点所以P(−1,0)，
又M (1,0)，且圆N 过点P(−1,0)，
所以|PN|是该圆的半径，
因为动圆N 与圆M 内切，所以|MN|=3−|PN|，
即|MN|+|PN|=3>|MP|=2，
所以点N 的轨迹是以M，P 为焦点的椭圆，且2a=3，
所以a= 3
2，c =1，b=√a
2−c
2=√
5
4 = √5
2 ，
36
所以圆心N 的轨迹方程为4
9 x
2+ 4
5 y
2=1．
【方法技巧与总结】
解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法：
1.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．
若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
2.方程法：直接根据条件列方程化简即可。
3.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，
只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为
相关点法．
一、单选题
1．（24-25 高二上·湖南·阶段练习）若椭圆x
2
λ + y
2
5 =1的右焦点坐标为(2,0)，则λ的值为（ ）
A．1
B．1 或3
C．9
D．1 或9
【答案】C
【分析】根据椭圆中a,b,c的关系即可求解.
【详解】根据右焦点坐标为(2,0)，可得c =2，且焦点在x轴上，
故λ =c
2+5=9，
故选：C
2 ．（23-24 高二上· 江苏南京· 期末）已知方程
x
2
2−m + y
2
m =1表示椭圆，则实数m的取值范围是
（ ）
A．(0,2)
B．(0,1)
C．(2,+∞)
D．(0,1)∪(1,2)
【答案】D
【分析】根据椭圆的标准方程即可求解m 的范围.
【详解】依题意¿，解得0<m<1或1<m<2
故选：D
37
3．（23-24 高二上·湖北孝感·阶段练习）已知椭圆x
2
9 + y
2
25 =1，则椭圆的焦点坐标为（ ）
A．(±3,0)
B．(± 4,0)
C．(0,± 4)
D．(0,±3)
【答案】C
【分析】判断焦点位置，求出c值即可求.
【详解】方程x
2
9 + y
2
25 =1可化为y
2
25 + x
2
9 =1，
则椭圆的焦点在y轴，且a
2=25,b
2=9，
则c =√a
2−b
2=√25−9= 4，
故其焦点坐标为(0,± 4)．
故选：C.
4．（23-24 高二下·贵州六盘水·期中）设F1，F2分别为椭圆C：x
2
16 + y
2
4 =1的两个焦点，过F1且不与坐标
轴重合的直线l椭圆C 于A，B 两点，则△AB F2的周长为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【分析】由椭圆定义求焦点三角形周长.
【详解】根据题意，椭圆中a= 4，
根据椭圆定义，△AB F2的周长为
|AB|+|B F2|+|A F2|=|B F1|+|A F1|+|B F2|+|A F2|= 4 a=16.
故选：C
5．（23-24 高二下·北京·阶段练习）设P 是椭圆：x
2
3 + y
2=1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之
和为（ ）
A．2√2
B．2√3
C．2√5
D．4√2
【答案】B
【分析】
根据椭圆定义即可得结果.
【详解】由椭圆方程可知：a=√3，
所以P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2√3.
故选：B.
38
6．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）已知a∈{3,6,7},b∈{2,4,5},则方程x
2
a
2 + y
2
b
2 =1可表示焦点在x轴上的
不同椭圆的个数为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义与性质判定即可.
【详解】由题意可知a>b，则有如下，
a=3,b=2;
a=6,b=2,4,5;
a=7,b=2,4,5，
共7 种情况.
故选：C
7．（24-25 高二上·全国·随堂练习）设P为椭圆x
2
4 + y
2
9 =1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则
|P F1|⋅|P F2|的最大值是（ ）
A．4
B．6
C．9
D．12
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求解即可.
【详解】椭圆x
2
4 + y
2
9 =1，
故|P F1|+|P F2|=6≥2√|P F1|⋅|P F2|，
故|P F1|⋅|P F2|≤9，当且仅当|P F1|=|P F2|=3时，等号成立.
故选：C
8．（23-24 高二下·湖北·开学考试）已知F1，F2是椭圆C : x
2+ y
2
4 =1的两个焦点，点M在C上，则
|M F1|⋅|M F2|的最大值为（ ）
A．1
B．4
C．9
D．6
【答案】B
39
【分析】由椭圆定义和基本不等式进行求解.
【详解】由椭圆定义得|M F1|+|M F2|=2a= 4，
由基本不等式得|M F1|⋅|M F2|≤(
|M F1|+|M F2|
2
)
2
= 4，
当且仅当|M F1|=|M F2|=2时，等号成立，
故|M F1|⋅|M F2|的最大值为4.
故选：B
二、多选题
9．（23-24 高二上·云南昆明·期末）设椭圆x
2
9 + y
2
3 =1的右焦点为F，直线y =m(0<m<√3)与椭圆交于
A，B 两点，则（ ）
A．| AF |+|BF |为定值B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C．当m= √3
2 时，△ABF为直角三角形
D．当m=1时，△ABF的面积为2√6
【答案】AC
【分析】由椭圆定义可判断A；由| AF |+|BF |为定值以及|AB|的范围可判断B；求出A，B的坐标，
由数量积公式得出⃗AF ⋅⃗BF =0，可判断C；求出A，B的坐标，由三角形面积公式可判断D.
【详解】设椭圆的左焦点为F '，则|AF '|=|BF |，所以| AF |+|BF |=| AF |+|AF '|为定值6，故A
正确；
△ABF的周长为| AB|+| AF |+|BF |，因为| AF |+|BF |为定值6，
易知|AB|的范围是(0,6)，所以△ABF的周长的范围是(6,12)，故B 错误；
将y = √3
2 与椭圆方程联立，可解得A(−3√3
2
, √3
2 )，B(
3√3
2
, √3
2 )，
又易知F (√6,0)，所以⃗AF ⋅⃗BF =(√6+ 3√3
2 )(√6−3√3
2 )+(
√3
2 )
2
=0，
所以△ABF为直角三角形，故C 正确；
将y =1与椭圆方程联立，解得A (−√6,1)，B(√6,1)，
40
所以S△ABF = 1
2 ×2√6×1=√6，故D 错误.
故选：AC．
10．（23-24 高二上·福建漳州·阶段练习）已知椭圆C：x
2
25 + y
2
4 =1的两个焦点为F1，F2，P是C上任意一
点，则（ ）
A．|P F1|+|P F2|= 4
B．|F1 F2|=2√21
C．|P F1|≤5+√21
D．|P F1|⋅|P F2|≤25
【答案】BCD
【分析】根据椭圆的定义可判定A、B，根据椭圆方程及二次函数的性质可判定C，根据基本不等式可判
定D.
【详解】对AB，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，
因为4<25，所以a
2=25，b
2= 4，c
2=25−4 =21，
所以|P F1|+|P F2|=2a=10，|F1 F2|=2c =2√21，故A 错误，B 正确；
对C，设P(x0, y0)，F1(−c ,0)，0≤|x0|≤5，
则x0
2
a
2 + y0
2
b
2 =1⇒|P F1|
2=(x0+c)
2+ y0
2=(x0+c)
2+b
2−b
2 x0
2
a
2 =(
c
a x0+a)
2
，
即|P F1|=|
√21
5
x0+5|≤√21+5，当x0=5时取得最大值，故C 正确；
对D，由椭圆定义及基本不等式可知：|P F1|⋅|P F2|≤(
|P F1|+|P F2|
2
)
2
=25，故D 正确．
故选：BCD
11．（23-24 高二上·河南·阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆M : x
2
9 + y
2
b
2 =1(0<b<3)的左、右焦点，点P
在M上，且|P F1|= 4，sin ∠F1 P F2= √15
4 ，则b的值可能为（ ）
A．√5
B．2
C．√3
D．√2
41
【答案】AC
【分析】根据椭圆的焦点三角形的性质，结合余弦定理即可求解.
【详解】由|P F1|+|P F2|=2a=6，|P F1|= 4，得|P F2|=2.
|F1 F2|
2= 4 c
2= 4(a
2−b
2)= 4(9−b
2),
由sin ∠F1 P F2= √15
4 ，得cos∠F1 P F2=± 1
4 .
在△F1 P F2中，由余弦定理得|F1 F2|
2=|P F1|
2+|P F2|
2−2|P F1||P F2|cos∠F1 P F2，
得b
2=5或b
2=3，所以b=√5或√3.
故选：AC
三、填空题
12．（23-24 高二下·上海宝山·期末）设P 是椭圆x
2
4 + y
2=1第一象限部分上的一点，过P 分别向x 轴、y 轴
作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN 的面积的最大值为 .
【答案】1
【分析】写出椭圆的参数方程，所以点P(2cosθ ,sinθ)，进而表示出矩形OMPN的面积，结合三角函数
的知识求解最大值即可.
【详解】椭圆x
2
4 + y
2=1的参数方程为¿（θ为参数），
则可设点P(2cosθ ,sinθ),
所以矩形OMPN的面积为S =|2cosθ|·|sinθ|，
所以S =|2cosθ|·|sinθ|=|sin 2θ|≤1，
因为点P在第一象限，所以当且仅当θ = π
4 ，即P(√2, √2
2 )时，等号成立，
故矩形OMPN面积的最大值为1.
42
故答案为：1.
13．（23-24 高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆x
2
a
2 + y
2
12 =1(a>2√3)的左、右焦点分别为F1，F2，若过
F1且斜率为3
4 的直线与椭圆在第一象限交于点P，且⃗P F2⋅⃗F2 F1=0，则a的值为 ．
【答案】4
【分析】由向量垂直的充要条件得出⃗P F2⊥⃗F2 F1，然后根据椭圆的定义求出|F2 F1|=2√a
2−12，再根
据直线P F1的斜率为3
4 ，得到tan∠P F1 F2= 3
4 ，cos∠P F1 F2= 4
5 ，最后利用椭圆定义得到：
|P F2|+|P F1|=2a，从而列出关于a的方程，解出a的值即可．
【详解】
由⃗P F2⋅⃗F2 F1=0，∴⃗P F2⊥⃗F2 F1，
又直线P F1的斜率为3
4 ，
则tan∠P F1 F2= 3
4 ，∴cos∠P F1 F2= 4
5 ，
又椭圆方程为：x
2
a
2 + y
2
12 =1(a>2√3)，∴|F2 F1|=2√a
2−12.
∴¿,解得¿，
又|P F2|+|P F1|=2a，∴4√a
2−12=2a，∴ a
2=16，即a= 4.
故答案为：4．
14．（23-24 高二下·安徽六安·开学考试）在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC顶点A (−4,0)和C (4,0)，
43
顶点B在椭圆x
2
25 + y
2
9 =1上，则sin A +sinC
sin B
= ．
【答案】5
4
【分析】先利用椭圆的定义求得a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．
【详解】
由椭圆x
2
25 + y
2
9 =1可知A (−4,0)和C (4,0)为其焦点，
△ABC的顶点B在椭圆x
2
25 + y
2
9 =1上，则|BA |+|BC |=2×5=10,| AC |=8，
则对于△ABC，有a+c =10，b=8，
由正弦定理得sin A +sinC
sin B
= a+c
b
= 10
8 = 5
4 ，
故答案为：5
4 ．
四、解答题
15．（23-24 高二下·上海·阶段练习）已知点P(1,0)
(1)若A是直线l:ax +by +c =0上任一点，求|PA|的最小值
(2)若B是圆C :(x−a)
2+( y −b)
2=r
2(r >0)上任一点，求|PB|的最小值
(3)若E是椭圆Γ : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上任一点，求|PE|的最小值
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据题意，结合点到直线的距离公式，分类讨论，即可求解；
（2）根据题意，结合圆的几何性质，分类讨论，即可求解；
（3）根据题意，结合椭圆的标准方程和几何性质，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：若P(1,0)在直线上|PA|min=0；
若P(1,0)不在直线上，|PA|min= |a+c|
√a
2+b
2.
（2）解：若P(1,0)在圆内，则|PB|的最小值r −√(a−1)
2+b
2；
44
若P(1,0)在圆上，则|PB|的最小值0；
若P(1,0)在圆外，则|PB|的最小值√(a−1)
2+b
2−r.
（3）解：若P(1,0)在椭圆上，则|PE|的最小值为0；
若P(1,0)不在椭圆上，设E (x , y)，
则|PE|=√(x−1)
2+ y
2=√
x
2−2 x +1+b
2(1−x
2
a
2)=√
c
2
a
2 x
2−2 x +b
2+1(−a≤x ≤a)，
因为a>b>0，所以开口向上，对称轴为
x =−
−2
2(1−b
2
a
2)
= a
2
c
2，
当a
2
c
2 ≤a时，即a≤c
2时，x = a
2
c
2时取最小值为√
a
2b
2−b
2−b
4
a
2−b
2
；
当a
2
c
2 >a时，即a>c
2时，x =a取最小值|a−1|，
所以|PE|=¿.
16．（21-22 高二下·全国·期末）已知椭圆C：x
2
4 + y
2=1的左焦点为F，点A 在C 上，过点A 作AB⊥x轴，
垂足为B，其中点B 异于点A，且⃗BD =2⃗BA.
(1)求动点D 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线l与C 交于M，N 两点，与动点D 的轨迹交于P，Q 两点，求|PQ|
2−4|MN|的最大值.
【答案】(1)x
2+ y
2= 4 (x≠±2)
(2)4
【分析】（1）根据题意，结合椭圆的方程，代入计算即可得到结果；
（2）根据题意，分MN ⊥x轴与MN不与x 轴垂直，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式代入计算，即可
得到结果.
【详解】（1）设点D 坐标为(x , y)，∵⃗BD =2⃗BA，∴点A 的坐标为(x , y
2)，
45
∴x
2
4 +(
y
2)
2
=1，∴动点D 的轨迹方程为x
2+ y
2= 4 (x≠±2).
（2）
若MN ⊥x轴，则|MN|=1，|PQ|=2，∴|PQ|
2−4|MN|=0.
若直线MN不与x 轴垂直，设直线MN的方程为y =kx +√3k (k ≠0)，
即kx −y +√3k =0，
则坐标原点到直线MN的距离：d = √3|k|
√k
2+1
，
∴|PQ|
2= 4(4−d
2)= 4(k
2+ 4)
k
2+1
.
设M (x1, y1)，N (x2, y2)，联立¿，
得(1+ 4 k
2) x
2+8√3k
2 x +12k
2−4 =0，
∴x1+ x2=−8√3k
2
1+ 4 k
2，x1 x2= 12k
2−4
1+ 4 k
2 .
∴|MN|=√1+ k
2|x1−x2|=√1+ k
2⋅√(x1+ x2)
2−4 x1 x2
=√1+k
2⋅√(−8√3k
2
1+ 4 k
2)
2
−4(12k
2−4)
1+ 4 k
2
= 4 + 4 k
2
1+ 4 k
2 ，
∴
|PQ|
2−4|MN|=
36 k
2
4 k
4+5k
2+1
=
36
4 k
2+ 1
k
2 +5
≤
36
2√
4 k
2⋅1
k
2 +5
= 4
，
46
当日仅当4 k
2= 1
k
2，即k =± √2
2 时，等号成立.
综上所述，|PQ|
2−4|MN|最大值为4.
17．（23-24 高二上·江西·期末）已知点F (1,0)为椭圆C : x
2
a
2 + y
2
3 =1的焦点，过F 的直线l 交C 于A，B 两
点．
(1)求C 的方程；
(2)若D 为AB的中点．
①求D 的轨迹方程；
②求|DF|的最大值．
【答案】(1) x
2
4 + y
2
3 =1
(2)①4(x−1
2)
2
+ 16 y
2
3
=1 ；②1
【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可；
（2）①设A(x1, y1)，B(x2, y2)，D(x0, y0)，根据点差法可得k ABkOD=−3
4 ，再分AB斜率存在与不存在
求解即可；
②由①知，D 的轨迹是个椭圆，原点O 是该椭圆的左顶点即可得.
【详解】（1）由题意有a
2=3+1
2= 4，所以C 的方程为x
2
4 + y
2
3 =1；
（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，D(x0, y0)，则x1
2
4 + y1
2
3 = x2
2
4 + y2
2
3
，
即( y1+ y2)( y1−y2)=−3
4 (x1+ x2)(x1−x2)，
当AB斜率存在时，有
y1−y2
x1−x2
⋅y1+ y2
x1+ x2
=−3
4 ，即k ABkOD=−3
4 ，
①当AB斜率存在时，由上述分析有
y0
x0−1 ⋅y0
x0
=−3
4 ，得4(x0−1
2)
2
+ 16 y0
2
3
=1(x0≠1)，
当AB斜率不存在时，易知D (1,0)，满足上面得出的方程，
47
综上，D 的轨迹方程为4(x−1
2)
2
+ 16 y
2
3
=1；
②由①知，D 的轨迹是个椭圆，且F 是该椭圆的右顶点，
不难看出坐标原点O 是该椭圆的左顶点，所以|DF|max =|OF|=1．
18．（21-22 高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知圆C : x
2+ y
2= 4．
(1)直线l 过点P(1,3)且与圆C 交于A、B 两点，若|AB|=2√3，求直线l 的方程；
(2)过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m，设m 与y 轴的交点为N，若向量⃗OQ =⃗OM +2⃗ON，求动点
Q 的轨迹方程．
【答案】(1)4 x−3 y +5=0或x =1；
(2) y
2
36 + x
2
4 =1( y ≠0).
【分析】（1）当斜率不存在时，直线方程为x =1，与圆的两个交点坐标为(1,√3)和(1,−√3)，其距离为
2√3，满足题意.当斜率存在时，设直线l的方程为y −3=k( x−1)，利用圆的弦长公式有2√3=2√4−d
2，
和点到直线距离公式，可求得k，故可得直线l 的方程；
（2）设点M的坐标为(x0, y0)，Q点坐标为(x , y)，则N点坐标是(0, y0).利用已知⃗OQ =⃗OM +2⃗ON，代入
点的坐标化简得x0= x，y0= y
3 .而x0
2+ y0
2= 4，代入可得Q的轨迹方程.
【详解】（1）①当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为x =1，与圆的两个交点坐标为(1,√3)和
(1,−√3)，其距离为2√3，满足题意.
②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y −3=k( x−1)，即kx−y −k +3=0.
设圆心到此直线的距离为d，则2√3=2√4−d
2，得d =1，
∴1=|−k +3|
√k
2+1
，k = 4
3 ，
故所求直线方程为4 x−3 y +5=0.
48
综上所述，所求直线方程为4 x−3 y +5=0或x =1.
（2）设点M的坐标为(x0, y0)，Q点坐标为(x , y)，则N点坐标是(0, y0).
∵⃗OQ =⃗OM +2⃗ON，∴(x , y)=(x0,3 y0)，即x0= x，y0= y
3 .
又∵x0
2+ y0
2= 4，∴x
2+ y
2
9 = 4.
由已知，直线m// x轴，∴y ≠0，
∴点Q的轨迹方程是y
2
36 + x
2
4 =1( y ≠0).
19．（24-25 高二上·江西赣州·阶段练习）已知椭圆C : y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，
O为坐标原点，Q是C上一动点，|Q F1|+|Q F2|=2√5，△Q F1 F2的周长为 2√5+ 4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：无论动点Q在C上如何运动，|⃗Q F1|⋅|⃗Q F2|+|⃗OQ|
2恒为一个常数.
【答案】(1) y
2
5 + x
2=1
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的定义可得解；
（2）设点Q (x , y)，结合向量线性运算及模长公式化简可得证.
【详解】（1）
由已知|Q F1|+|Q F2|=2√5，则2a=2√5，即a=√5，
49
又△Q F1 F2的周长为|Q F1|+|Q F2|+|F1 F2|=2√5+ 4，
则|F1 F2|=2c = 4，c =2，
则b
2=a
2−c
2=1，
即椭圆方程为：y
2
5 + x
2=1；
（2）由（1）可知F1(0,2)，F2(0,−2)，
设Q (x , y)，
则⃗Q F1=(−x ,2−y)，⃗Q F2=(−x ,−2−y)，⃗OQ =(x , y)，
|⃗Q F1|
2+|⃗Q F2|
2= x
2+(2−y)
2+ x
2+(−2−y)
2 =2(x
2+ y
2)+8 =2|⃗OQ|
2+8，
又(|⃗Q F1|+|⃗Q F2|)
2=|⃗Q F1|
2+|⃗Q F2|
2+2|⃗Q F1|⋅|⃗QF2|=20，
即2|⃗OQ|
2+8+2|⃗Q F1|⋅|⃗QF2|=20，
即|⃗Q F1|⋅|⃗Q F2|+|⃗OQ|
2=6，
所以无论动点Q在C上如何运动，|⃗Q F1|⋅|⃗Q F2|+|⃗OQ|
2恒为一个常数.
