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8.2.3 倍角公式
课程标准
学习目标
（1）会用两角和（差）的正弦、余弦、正切公式
推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式；
（2）能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒
等变换并能灵活地将公式变形运用；
（1）掌握二倍角公式及其变形应用；
（2）掌握二倍角公式与两角和与差的正弦、余
弦、正切的区别与联系；
（3）通过对倍角公式的学习，强化逻辑推理、数
学运算的核心素养。
知识点01 倍角公式
1、倍角公式
（1）二倍角的正弦（
）：sin2α=2sinα cosα ；变形
（2）二倍角的余弦（
）：cos2α=cos2α−sin2α =2cos2α−1=1−2sin2α .
（3）二倍角的正切（
）：
2、对倍角公式的理解
（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如
是
的二倍角，
是
的二倍角等。“倍”是描
述两个数量之间的关系，这里蕴含着换元思想；
（2）由任意角的三角函数的定义可知，
，
中的角
是任意的，但要使
有意义，需要
；
（3）一般情况下，
，
，
【即学即练1】（2024 高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值.
（1）
;
（2）
;
（3）
;
（4）
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
知识点02 倍角公式的变形
1、升幂公式：
，
2、降幂公式：
，
【即学即练2】（22-23 高一下·广东深圳·期中）计算：
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，故选：A
【题型一：利用二倍角公式给角求值】
例1．（23-24 高一下·山西朔州·阶段练习）
．
【答案】
【解析】
．
变式1-1．（23-24 高一上·江苏南通·期末）（多选）下列各式中，计算结果为的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A 选项，
；
对于B 选项，
；
对于C 选项，
；
对于D 选项，
.故选：AC.
变式1-2．（22-23 高一下·江苏苏州·期中）计算：
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以原式
故选：C
变式1-3．（2024 高一上·全国·专题练习）计算下列各式的值：
（1）
；
（2）
；
（3）
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）4.
【解析】（1）
．
（2）
．
（3）
．
【方法技巧与总结】
给角求值的解题策略：
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般
可以化为特殊角；
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用
互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角公式的正弦。
【题型二：利用二倍角公式给值求值】
例2．（23-24 高三下·河北·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
.故选：C.
变式2-1．（23-24 高一上·浙江·期末）已知
，
，则
的值为 ．
【答案】
【解析】因为
，
又
，所以
且
.
所以
；
.
所以：
.
变式2-2．（23-24 高一上·广东深圳·期末）已知
，
，则
．
【答案】
【解析】因为
，
，
所以
，
，
，
变式2-3．（23-24 高一下·海南·阶段练习）已知
，则
.
【答案】
【解析】由
.
变式2-4．（23-24 高一上·安徽合肥·期末）已知
，且
.则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
∴
，
又
，故
，
，
，
故
则
，
.故选：C.
【方法技巧与总结】
条件求值问题常用两种解题途经：
（1）对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；
（2）对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论；
【题型三：利用二倍角公式给值求角】
例3．（23-24 高一上·陕西西安·期末）已知
，且
，
，则
.
【答案】
【解析】因为
，且
，所以
，
，
所以
，则
，
因为
，所以
，
因为
，
，所以
，
，
又
，所以
，所以
，
所以
，即
，则
.
变式3-1．（2024 高一上·全国·专题练习）已知α，β 均为锐角，且tan α＝7，cos β＝
，则α＋2β 的值
为 ．
【答案】
【解析】∵β 为锐角，且cos β＝
，∴sin β＝
∴tan β＝
，tan 2β＝
∴0<2β<
，0<α＋2β<π，
又
，∴
.
变式3-2．（22-23 高一下·陕西西安·期中）已知
，
，
，则
的值
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
，
则
，
可知
，
，则
，
又因为
，
可得
，
所以
.故选：D.
变式3-3．（23-24 高一上·北京朝阳·期末）已知
为锐角，
．
（1）求
和
的值；
（2）求
的值．
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）因为
为锐角，
，所以
，
所以
，
又因为
，所以
，
（2）因为
为锐角，
，
所以
，解得
，
所以
，
，
所以
，
又因为
为锐角，所以
，
所以
.
变式3-4．（2024 高一下·上海·专题练习）已知
，
，且
.
（1）求
的值；
（2）求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
，
所
以
；
（2）
且
，
，则
，
，
，
，
，且
，解得
（负值舍去），
，
又
，
，
，
.
【方法技巧与总结】
给值求角实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.
遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
若角的范围是
，选正、余弦皆可；若角的范围是
，选余弦较好；
若角的范围是
，选正弦较好.
【题型四：利用二倍角公式化简证明】
例4．（2024 高一上·全国·专题练习）化简
．
【答案】
【解析】由
，得
，则
，
所以
变式4-1．（23-24 高一上·广东深圳·期末）化简或证明：
（1）
（2）
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【解析】（1）原式
（2）左边
右边.
变式4-2．（23-24 高三上·黑龙江绥化·阶段练习）化简：
（1）
（2）
.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
.
（2）
.
变式4-3．（23-24 高一·全国·课时练习）证明下列等式：
（1）
；
（2）
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）
（2）
变式4-4．（23-24 高一下·云南大理·阶段练习）证明：
（1）
（2）
（3）已知
，
，求证
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）证明：由
所以
.
（2）证明：由
所以
.
（3）证明：因为
，可得
，
把
代入得
，
即
，
整理得
，所以
，所以
两边平方可得
．
【方法技巧与总结】
应用二倍角公式化简证明的三个关注点：
（1）当单角位非特殊角，而倍角为特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值；
（2）当式子中涉及的角较多，要先边角，化异角为同角；
（3）对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围。
一、单选题
1．（23-24 高一上·安徽合肥·期末）已知角
终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，故
，则
.故选：D.
2．（2024·四川·模拟预测）若
为第二象限角且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
为第二象限角且
，
所以
，所以
，
所以
.故选：A
3．（23-24 高一下·云南大理·阶段练习）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
平方可得
，解得
.故选：A.
4．（23-24 高一下·河南新乡·开学考试）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
.故选：D.
5．（23-24 高一上·重庆·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】
故选：A
6．（23-24 高一上·广东潮州·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，故
，
，
故
.故选：B.
7．（23-24 高一上·贵州毕节·期末）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，
因为
，所以
，
所以
.故选：C.
8．（2024·河南·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．1 D．
【答案】A
【解析】由题
，
得
，
则
或
，
因为
，所以
，
.故选：A
二、多选题
9．（23-24 高一下·安徽·开学考试）下列计算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于A：
，故A 错误；
对于B：
，故B 正确；
对于C：
，故C 正确；
对于D：
，故D 错误.故选：BC.
10．（23-24 高一上·陕西咸阳·期末）下列选项中，与
的值相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为
，
对于A，
，故A 正确；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，故C 错误；
对于D，因为
，可得
，故D 正确.故选：ABD.
11．（23-24 高一上·安徽芜湖·期末）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】已知
，则
,A 正确；
因为
,则
，故
，故B 错误；
，C 正确；
，故
，D 正确.故选：ACD
三、填空题
12．（23-24 高一上·湖南长沙·期末）若
，则
的值为 .
【答案】
【解析】由题意得
，
13．（23-24 高一上·广东茂名·期末）已知
，则
.
【答案】
【解析】因为
，所以
.
14．（23-24 高一上·江苏无锡·期末）已知
，则
.
【答案】
【解析】因为
，
所以
.
四、解答题
15．（2024 高一下·江苏·专题练习）求证：
.
【答案】证明见解析
【解析】证明：左边＝
＝右边．
16．（22-23 高一下·江西·期中）已知
，
，
，
．
（1）求
的值；
（2）求
的大小．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）得
，
，
，
，
由
，
得
，
.
17．（23-24 高一上·云南昆明·阶段练习）已知
为锐角，
，
.
（1）求
的值；
（2）求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
为锐角，
，
，
，
，
，
（2）
，
，
为锐角，
，
，
，
.
18．（23-24 高一上·山西长治·期末）已知
．
（1）若
为锐角，求
的值；
（2）求
的值．
【答案】（1）
；（2）3
【解析】（1）由
，得
，
因为
锐角，
，所以
，
可得
；
（2）由
得
，
则
．
19．（23-24 高一上·湖北荆州·期末）已知函数
，
．
（1）求
的值；
（2）若
，
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
，
所以
.
（2）因为
，
又
，故
，
，
所以
，
，
故
.
