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8.2.4 三角恒等变换的应用
课程标准
学习目标
（1）了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、
余弦和正切公式的过程；
（2）掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确
运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求
值和恒等式证明；
（3）能根据两角和与差的正弦、余弦公式进行恒
等变换，推导出积化和差与和差化积公式。
（1）能用倍角公式导出半角公式，体会其中的三
角恒等变换的基本思想方法；
（2）能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求
值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用。
知识点01 半角公式
1、半角公式
＝±
，
＝±
，
其中根号前的正负号，由角
所在象限确定。
2、半角正切公式的有理化
借助同角三角函数的基本关系和二倍角公式可以得到：
；
所以
上述式子对应半角的正切公式，我们称之为半角正切公式的有理化。
【即学即练1】（22-23 高二下·新疆·期末）若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，则
，
因为
，则
，所以，
.故选：D.
知识点02 积化和差与和差化积
1、积化和差
2、和差化积
3、积化和差公式的推导
积化和差可由两角和与差的正弦、余弦公式推导，例如：
，①
，②
①+②，得
，则
①-②，得
，则
同理根据两角和与差的余弦公式可得到剩下的两个积化和差公式。
【即学即练2】（23-24 高一·全国·练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】原式
.故选：D.
知识点03 万能公式
1、万能公式
；
；
万能公式的好处在于把角
的三角函数式转化为用
表示的式子。若设
，则三角函数式可
转化为关于的有理代数式。
2、万能公式的推导
或
【即学即练3】（2022·四川眉山·模拟预测）若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．0 D．
【答案】D
【解析】因为
，
，所以
且
，解得
，
所以
.故选：D
【题型一：利用半角公式、万能公式求值】
例1．（23-24 高一·全国·练习）设
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，故
，
又
，
.故选：D.
变式1-1．（22-23 高三上·河北石家庄·期末）已知
，则
.
【答案】
【解析】因为
，且
，所以
.
变式1-2．（22-23 高三上·江苏泰州·月考）已知
，则
．
【答案】
【解析】∵
∴
变式1-3．（23-24 高一下·河北保定·开学考试）已知
，
.
（1）求
的值；
（2）求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
，所以
，
因为
，所以
，
，
，
所以
．
（2）方法一：因为
，所以
，则
，
，
所以
，
，则
．
方法二：
．
方法三：
，解得
或
，
因为
，所以
，则
，故
．
【方法技巧与总结】
解题的突破口在于观察和分析问题中角与角之间的关系，根据角之间的关系选择相应的公式。可由题目求
得
，
，再利用半角正切的有理化公式求解；也可直接利用万能公式求解。
特别注意要根据角的范围去确定半角三角函数值的符号。
【题型二：积化和差与和差化积公式的应用】
例2．（22-23 高一下·江西南昌·月考）求值：
.
【答案】
【解析】
．
变式2-1．（22-23 高一·江西赣州·月考）cos15° sin 105°=（ ）
A．
+
B．
-
C．
+1 D．
-1
【答案】A
【解析】
故选：A．
变式2-2．（22-23 高一上·河北·期末）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
.
故选：B
变式2-3．（22-23 高一上·安徽六安·月考）（多选）下列四个关系式中错误的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】由
，
，
，
，
代入各选项，得
，A 正确，B 错误，
右边应是
；C 错误，右边应是
；D 错误，
由
与
两式相加不能得出右边结论，如果从和差化积角度考虑．
左边为异名三角函数，要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，
即
．故选：BCD．
【方法技巧与总结】
利用和差化积与积化和差公式化简三角函数的关键在于将同名称的正弦与余弦进行恰当的组合。组合时遵
循的原则：①应尽量使两角的和（或差）出特殊角；②对于特殊角的三角函数式应当求出其值。和差化积
公式与积化和差公式比较复杂，且有时在同一个题目中可能反复使用，要仔细揣摩记忆方法，不要混淆。
【题型三：简单的三角函数式化简与证明】
例3．（2024 高一上·全国·专题练习）化简
，其中
．
【答案】
【解析】由
，可得
，
所以
，
由
，可知
，得原式
．
变式3-1．（23-24 高一·全国·练习）已知
，求证：
．
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为
，所以
，
于是
，
因为
，
所以，
，
同理可得
，
所以
，从而
，所以
．
变式3-2．（2024 高一下·江苏·专题练习）证明下列恒等式.
（1）
;
（2）
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）
；
（2）
.
变式3-3．（22-23 高一下·上海青浦·月考）（1）化简：
（2）证明恒等式：
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【解析】（1）
；
（2）右边
左边.
.
【方法技巧与总结】
解决三角恒等变化问题要注意观察目标式的结构特点，通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，
利用切化弦、升降幂、你用公式等手段将其变形、化简。
【题型四：三角恒等变换在三角形中的应用】
例4．（23-24 高一上·全国·练习）在
中，
，则
.
【答案】
【解析】
变式4-1．（22-23 高一下·天津·期中）关于x 的方程
有一根为1，则
一
定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解析】因为1 是
的根，所以
，
又
，
所以有，
，
整理可得，
，即
.
因为，
，
，所以
.
则由
可得，
，所以
.
所以
一定是等腰三角形.故选：A.
变式4-2．（22-23 高一上·河北廊坊·期末）在
中，已知
，则
的形状是（
）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】因为
，
，
所以，
，即
，
因为
，所以
所以
，即
为等腰三角形.故选：A．
变式4-3．（22-23 高一下·山东烟台·月考）若在
中，
，则
的形状
为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为
，即
所以
，即
，即
，
所以
，
所以
，即
，
因为
，所以
，
所以
，即
，所以
为等腰三角形；故选：C
【方法技巧与总结】
已知三角恒等式可以判断三角形的形状，判断时先将已知恒等式进行合理的变形，得到角或边之间的关系，
再加以判断。条件中没有边的相对位置关系时，就从角入手，证明一个角是直角或者有两个角互余，也可
由一个角的正弦值为1 或余弦值为0，得出结论。
【题型五：三角恒等变换在实际中的应用】
例5．（23-24 高三上·广东深圳·月考）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，现
据《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地
面上B，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧．若在B，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为
60°和20°，且
，则该球体建筑物的高度约为（
）（ ）
A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m
【答案】C
【解析】如图，设球的半径为
，球心为
，
为
与球
的切线，则
.
，
.故选：C
变式5-1．（23-24 高一上·安徽·期末）某学校校园内有一个扇形空地AOB（
），该扇形的周长
为
，面积为
，现要在扇形空地AOB 内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示.
（1）求扇形空地AOB 的半径和圆心角；
（2）取CD 的中点M，记
.
（i）写出运动场馆
的面积S 与角
的函数关系式；
（ii）求当角
为何值时，运动场馆
的面积最大？并求出最大面积.
【答案】（1）扇形空地AOB 的半径为10，圆心角为
；
（2）（i）
，
；（ii）
，
.
【解析】（1）设扇形空地
所在圆半径为，扇形弧长为，
依题意，
，解得
或
，
当
时，圆心角
，不符合题意，
当
时，圆心角
，符合题意，
所以扇形空地AOB 的半径为10，圆心角为
.
（2）（i）由（1）知，
，则
，
在
中，
，则
，
在
中，
，
，
于是
，
所以
，
.
（ii）由（i）知，当
时，
，
则当
，即
时，
，
所以当
时，运动场馆
的面积最大，最大面积为
.
变式5-2．（22-23 高一下·上海闵行·期中）某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为
米、
圆心角为60°的扇形
草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，
其四个顶点中有两个顶点
、
在线段
上，另两个顶点
、
分别在弧
、线段
上.
（1）若
，求此红旗图案的面积；（精确到
）
（2）求组成的红旗图案的最大面积.（精确到
）
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由题意
，
则
，
，
，
，
；
（2）设
，则
，
，
，
，
，
故当
时，即
时，取得最大值
．
变式5-3．（23-24 高一上·广东惠州·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50 米，
BC=
米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF 和OF，
考虑到整体规划，要求O 是边AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF=
.
（1）设∠BOE=
，试将△OEF 的周长表示为
的函数，并求出此函数的定义域；
（2）在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE 和OF 上安装智能照明装置，
经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400 元，问：如何设计才能使安装智能照明装置
的费用最低？说明理由，并求出最低费用.
【答案】（1）
，
（2）当
米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为
元
【解析】（1）因为
，所以
，
当
在点
时，此时
最小，又
，所以
，所以
，
当
在
点时，此时
最大，又
，所以
，
由上可知，
；
因为
，所以
，
又因为
，且
，
所以
，
所以
，
所以
，定义域为
；
（2）据题意可知：要使照明装置的费用最低，只需
最小即可，
由（1）可知：
且
，
设
，且
，所以
，
所以
，
又因为
，且
，
且
，
，
所以
，
令
，因为
均在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
的最小值为
，此时
，所以
，所以
，
综上所述，当
米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为
元.
【方法技巧与总结】
解决此类问题，关键是合理引入变量，恰当表示题中的有关量，将实际问题转化为三角函数问题，再利用
三角函数的有关知识求解。
一、单选题
1．（22-23 高一下·江苏南京·期中）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【解析】由
，
所以
，则
，
由
，则
.故选：A
2．（22-23 高一下·江西南昌·月考）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
.故选
B.
3．（23-24 高三上·江苏苏州·月考）求值：
（ ）
A．
B．
C．1 D．
【答案】A
【解析】由积化和差公式可得
，
故
，
由和差化积公式可得
，
故
所以
.故选：A
4．（22-23 高一下·全国·课时练习）在
中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，若
，则
的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能判断
【答案】C
【解析】由
，得
，
因为
，整理得
， 则
，则
，即
，
又因为
，则
，所以
，则
，可得
，
故
为直角三角形.故选：C.
5．（22-23 高一下·江苏泰州·月考）如图，在半径为
、圆心角为
的扇形
弧上任取一点
，作扇形的
内接矩形
，使点
在
上，点
、
在
上，则这个矩形面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，矩形
面积为，
扇形
的半径为
，圆心角为
，
所以
，
，
，
所以
．
化简得：
，
，
当
，即
时，取最大值
．故选：B.
6．（23-24 高二上·湖南长沙·期末）函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】法一：不妨设
，则
，
整理得到:
,
当
时，
；当
时，
，
故
在
上为增函数，在
为减函数，
而
，
，故
的最大值为
.
法二：由万能公式得
，
，
代入原式并化简得
，
令
，因为题设中欲求最大值，故可设
,
故原式转化为
，
当且仅当
时取等，显然最大值为
.故选：D
7．（23-24 高一下·江苏扬州·月考）设
，
，
，以下各式不等于
的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由半角公式得
，
所以
，A 正确；
，C 正确；
，所以
，D 正确；故选：B
8．（22-23 高三上·广东广州·月考）已知
，
为锐角，且
，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，又
所以
.
∵
，
为锐角，且
，∴
，即
，∴
，
∴
，∴
，
∴
的取值范围为
.故选：A
二、多选题
9．（22-23 高一下·江苏南京·期中）给出下列四个关系式，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于A 项，因为
，
，
所以
，所以
，故A 项
错误；
对于B 项，因为
，
，
所以
，所以
，故B 项正
确；
对于C 项，因为
，
，
所以
，所以
，故C 项
错误；
对于D 项，因为
，
，
所以
，所以
，故D 项正
确.
故选：BD.
10．（22-23 高一下·江苏镇江·期中）tan75°＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】
，故 A 正确；
由正切的半角公式知
，故B 错误；
，故C 正确；
∵
，
令
，得
，可得D 正确.故选：ACD.
11．（22-23 高一下·河南·月考）已知函数
，则下列说法中正确的是（
）
A．
的最大值为 B．
的最小正周期为
C．
的图象关于直线
对称 D．
的图象关于点
对称
【答案】ACD
【解析】因为
，
所以
的最大值为，故A 正确；
最小正周期是
，故B 错误；
将
代入，可得
，则其图象关于直线
对称，故C 正确；
当
时，
，所以
的图象关于点
对称．故D 正确.故选：ACD.
三、填空题
12．（22-23 高二下·陕西商洛·期中）化简：
．
【答案】
【解析】
.
13．（22-23 高三上·上海·期中）若
，
，则
．
【答案】
【解析】
，
，
，即
，
，
14．（23-24 高一上·江苏南通·期末）在
中，若
、
是
的方程
的两个实根，
则角
.
【答案】
【解析】对于方程
，则
，解得
或
，
因为
、
是
的方程
的两个实根，
由韦达定理可得
，
，
所以，
，
因为
，则
，故
.
四、解答题
15．（23-24 高一·全国·练习）化简：
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
原式＝
＝
，
所以原式
.
16．（22-23 高一下·江苏南京·期中）（1）证明：
；
（2）若
，
，其中实数
，
不全为零.
①求
；
②求
.
【答案】（1）证明见解析；（2）①
；②
【解析】（1）
；
（2）由
两边平方得
，
两边平方得
，
①两式相加可得：
，
即
，则
，
②两式相减可得：
，
由（1）知，
，
则
，
，
则
.
17．（23-24 高一上·浙江金华·期末）已知函数
．
（1）求函数
的最小正周期与对称轴方程；
（2）当
且
时，求
的值．
【答案】（1）最小正周期为
，对称轴方程为
；（2）
【解析】（1）由题设有
，
所以，函数
的最小正周期是
，
由
，可得
，
所以，函数
的对称轴方程为
.
（2）由
得
，即
，
因为
，所以
．
若
，则
与
，矛盾，则
．
从而
．
于是
．
18．（23-24 高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知函数
的最小
正周期
.
（1）求函数
的解析式；
（2）求函数
的单调区间；
（3）求不等式
的解集.
【答案】（1）
；（2）增区间为
，减区间为
；
（3）
.
【解析】（1）依题意，
，
由
的最小正周期
，解得
，则
.
（2）令
，解得
，
所以
的单调增区间为
；
令
，解得
，
所以
的单调减区间为
.
（3）由
，得
，即
，
则
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
19．（22-23 高一下·江苏淮安·期中）现某公园内有一个半径为
米扇形空地
，且
，公园
管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形
的老年活动场所，如下图所示有两种情况
可供选择.
（1）若选择图一，设
，请用
表示矩形
的面积，并求面积最大值
（2）如果选择图二，求矩形
的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据
，
）
【答案】（1）
，矩形
面积的最大值为
（2）矩形
面积的最大值为
，第一种方案更优.
【解析】（1）由题得
，则
，
则
，
所以，
，
所以矩形面积
为
，
因为
，则
，故当
时，即当
时，
矩形
的面积取最大值，且最大值为
.
（2）取
中点
，连接
，设
，如下图所示：
设
，其中
，由圆的几何性质可知
，
，
，
因为四边形
为矩形，则
且
，
因为
，则
，且
，所以，四边形
为矩形，
所以，
，即
为
的中点，
又因为
，则
，所以，
，
所以，
，
所以，
，所以，
，
则矩形
的面积为
，其中
，
因为
，则
，
所以当
，即
时取最大值，矩形
的面积取最大值，
且最大值为
，
，则
，所以第一种方案更优.
