文档文本内容
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11.4.2 平面与平面垂直
课程标准
学习目标
（1）理解二面角的概念、会求二面角的大小；
（2）了解平面与平面垂直的意义；
（3）掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，
并能利用两个定理解决空间中的垂直关系问题.
（1）通过二面角概念、平面与平面垂直的
定义学习，培养直观想象的核心素养；
（2）借助面面垂直的判定定理与性质定
理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养
知识点01 二面角
1、二面角的概念
（1）概念：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面。从一条直线
出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.
（2）图示及记法：
2
棱为，面分别为
和
的二面角记作
或
或
或
.
2、二面角的平面角：
（1）定义：在二面角
的棱上任取一点
，以
为垂足，分别在半平面
和
内作垂直于棱的
射线
和
，则射线
和
所成的角称为二面角的平面角。
（2）图示：
（3）范围：
（4）规定：
①二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小。平面角是直角的二
面角称为直二面角.
②一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4 个二面角中，不大于90°的角的
大小。
【即学即练1】（22-23 高一下·山东临沂·月考）在正方体
中，二面角
的大小
是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 平面与平面垂直
1、平面与平面垂直的定义
（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
（2）图形语言：
（3）符号语言：α⊥β.
2、面面垂直的判定定理
（1）文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
3
（2）图形语言：
（3）符号语言：
3、面面垂直的性质定理
（1）文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，
那么这条直线与另一个平面垂直
（2）图形语言：
（3）符号语言：
（4）作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线
4、垂直问题转化关系
【即学即练2】（22-23 高一下·浙江绍兴·期末）已知
、
表示两个不同的平面，
是一条直线且
，
则
是
的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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【题型一：面面垂直命题的判断】
例1．（23-24 高一下·福建厦门·月考）设m，n 是两条不同的直线，
是两个不同的平面，给出下列说
法，其中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
变式1-1．（23-24 高一下·河北保定·开学考）设m、n 是不同的直线，α、β 是不同的平面，以下是真命题
的为（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
变式1-2．（22-23 高一下·广东·期中）设
､
为两条直线，
、
为两个平面，则下列命题中假命题是
（ ）
A．若
，
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
变式1-3．（22-23 高一下·天津和平·期末）设
表示不同的直线，
表示不同的平面，下列命题中
正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，且
，则
C．若
，则
D．若
，则
【方法技巧与总结】
1、首先要清楚地理解面面垂直的定义、判定定理及性质定理，这是解决问题的基础。
2、在解题时，适当绘制图形可以帮助直观地理解问题和解题步骤，如在长方体或正方体中寻找条件；
3、按照逻辑顺序一步步推导，避免跳跃性思考导致错误。
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【题型二：利用判定定理证明面面垂直】
例2．（23-24 高一下·全国·专题练习）在三棱柱
中，平面
平面ABC，
，
，D 为AC 的中点．求证：平面
平面
.
变式2-1．（23-24 高三·全国·专题练习）如图，在直四棱柱
中，底面为矩形，
，高为，O，E 分别为底面的中心和
的中点．求证：平面
平面
.
变式2-2．（23-24 高二·全国·专题练习）如图，四边形
是正方形，
平面
，
，
分别为
的中点，且
．求证：平面
平面
．
变式2-3．（22-23 高一下·河南洛阳·月考）在四棱锥
中，底面
是正方形，
平面
．
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（1）求证：平面
⊥平面
；
（2）求证：平面
⊥平面
．
【方法技巧与总结】
证明面面垂直的方法：
（1）利用定义法：两平面相交，所成的二面角是直二面角；
（2）两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面。
（3）判定定理：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面
垂直；若这样的直线不存在，则需通过作辅助线来证明。
【题型三：面面垂直的性质定理的应用】
例3．（23-24 高三·全国·专题练习）如图，四棱锥
中，
，
，
，平面
平面
．证明：
；
变式3-1．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，已知正三棱柱
的各棱长都是4，E 是BC 的
中点，点F 在侧棱
上，且CF＝1.求证：
.
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变式3-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，在几何体
中，矩形
所在平面与平面
互相垂直，且
，
，
．求证：
平面
；
变式3-3．（22-23 高一下·福建龙岩·期末改编）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为3 的正
方形，侧面
底面
.若
，求证：
；
【方法技巧与总结】
面面垂直的性质定理的应用思路：
在空间图形中，如已知条件中有面面垂直，一般需要作辅助线，考虑应用面面垂直的性质定理得到线面垂
直，继而可得线线垂直。在运用面面垂直的性质定理时，找准两平面的交线是关键。
【题型四：求空间二面角】
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例4．（22-23 高一下·天津河东·期末）在三棱锥
中（如图所示）
，
，则二面角
的余弦值为 .
变式4-1．（22-23 高一下·云南昆明·期末）已知圆锥的顶点为
，底面圆心为
，
，底面半径为2，
，
是底面圆周上两点，且
，则二面角
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．（22-23 高一下·湖南株洲·期末）已知
垂直于矩形
所在的平面，
，则二面角
的正切值为 ．
变式4-3．（23-24 高一下·河南封丘·月考）如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水坝斜面上的点C
处，测得从D，C 到库底与水坝的交线AB 的距离分别为
m，
m.又测得AB 的长为5 m，
CD 的长为
m，则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为 .
【方法技巧与总结】
1、二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点，为了解题方便，可以把其放在某一特殊位置，这要具
体问题具体分析。
2、求二面角的关键是找出（或作出）其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面
角，即过二面角的一个半平面内不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂
直可找到二面角的平面角或其补角.
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【题型五：平面图形折叠后的图形问题】
例5．（22-23 高一·全国·课堂例题）如图，已知
中，
是边
上的高，以
为折痕折叠
，
使
为直角.求证：平面
平面
，平面
平面
.
变式5-1．（23-24 高一下·全国·专题练习）已知平面五边形
如图1 所示，其中
，
是正三角形．现将四边形
沿
翻折，使得
，得到的图形如图2 所示．求证：平面
平面
．
变式5-2．（22-23 高一下·四川泸州·期末）在平面四边形
中（如图1），
，
，
，E 是AB 中点，现将△ADE 沿DE 翻折得到四棱锥
（如图2），
（1）求证：平面
平面
；
（2）图2 中，若F 是
中点，试探究在平面
内是否存在无数多个点
，都有直线
平面
，
若存在，请证明．
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变式5-3．（22-23 高一下·浙江杭州·期末）如图，在等腰梯形
中，
，在等
腰梯形
中，
，将等腰梯形
沿
所在的直线翻折，使得
，
在平面
上的射影恰好与
重合．
（1）求证：平面
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．
【方法技巧与总结】
翻折问题的2 个解题策略
1、确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数
量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折
痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的
关系则要在立体图形中解决。
2、确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，
会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．
只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明
与计算。
【题型六：面面垂直中的动点探究问题】
例6．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，底面
是
且边长为
的菱形，侧面
为正三角形，且其所在平面垂直于底面
．
（1）求证：
；
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（2）若
为
边的中点，则能否在棱上找到一点
，使平面
平面
？并证明你的结论．
变式6-1．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，边长为4 的正方形ABCD 所在平面与正三角形
所在
平面互相垂直，Q 为
的中点．
（1）求证：
；
（2）在线段
上是否存在一点N，使得平面
平面
，若存在，试指出点N 的位置，并证明你
的结论，若不存在，请说明理由.
变式6-2．（22-23 高一下·湖南岳阳·期末）在四棱锥
中，
是等边三角形，且平面
平
面
，
，
．
（1）.在AD 上是否存在一点M，使得平面
平面
，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
（2）.若
的面积为
，求三棱锥
的体积．
变式6-3．（22-23 高一下·辽宁大连·月考）如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
，
，已知
，且
平面
，
，
．
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（1）在线段FG 上确定一点M 使得平面
平面PFG，并说明理由；
（2）若二面角
的余弦值为
，求PG 与平面PEM 所成角的正切值．
【方法技巧与总结】
1、理解动点的变化对平面的影响：在立体几何中，动点的变化往往会导致至少一个平面发生变化。如果
动点导致其中一个平面变化，而另一个平面内的一条直线与之确定，不受动点影响，这时可以通过寻找这
条直线在另一个平面上的垂线来确定动平面。
2、利用线面垂直的性质：要得到面面垂直，必须有一个平面内的一条直线垂直于另一个平面。因此，可
以在一个平面内寻找一条直线，使其垂直于通过动点的直线，这样就可以确定动平；
3、考虑两个平面的交线：如果动点导致两个平面都在变化，可以考虑两个平面的交线。在其中一个平面
内寻找交线的垂线，保证其垂直于另一个平面。由于动点是变化的，寻找垂线的路径可能不确定，需要灵
活处理。
一、单选题
1．（23-24 高一下·全国·专题练习）下列条件中，能判定两平面垂直的是（ ）
A．垂直于同一直线的两平面垂直
B．垂直于同一平面的两平面垂直
C．平行于同一直线的两平面垂直
D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
2．（23-24 高一下·河南新乡·月考）已知
，
，是空间中不同的直线，
，
是不同的平面，则下列命
题正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
与
异面，则至多有一条与
，
都垂直
C．若
，
，
，则一定平行于
和
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D．若
，
，
，则存在
同时垂直，
3．（22-23 高一下·吉林通化·期末）在下列判断两个平面
与
平行的四个命题中，真命题的个数是
（ ）
（1）
，
都垂直于平面
，那么
.
（2）
，
都平行于平面
，那么
.
（3）
，
都垂直于直线，那么
.
（4）如果，
是两条异面直线，且
，
，
，
，那么
.
A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高一下·山西太原·月考）如图所示，在三棱锥
中，若
，E 是
的
中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．平面
⊥平面
；
B．平面
⊥平面
；
C．平面
⊥平面
，且平面
⊥平面
；
D．平面
⊥平面
，且平面
⊥平面
．
5．（22-23 高一下·福建福州·月考）设
是不同的直线，
是不同的平面，有以下四个命题：
①
②
③
④
，
其中正确的命题是（ ）
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
6．（22-23 高一下·天津和平·期末）如图，正方体
，棱长为
是
的中点，则二面角
的正弦值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
7．（22-23 高一下·四川绵阳·期末）如图，在三棱锥
中，
和
均为正三角形，
，
二面角
的大小为
，则异面直线
与
所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（22-23 高一下·黑龙江·月考）在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF 为
“刍甍”，书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六
而一，即
，其中h 是刍甍的高，即点F 到平面ABCD 的距离.若底面ABCD 是边长
为4 的正方形，
且
平面ABCD，
和
是等腰三角形，
，则该
刍甍的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（22-23 高一下·河南洛阳·月考）若
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列命题
是假命题是（ ）
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A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
10．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，四边形
中，
，
，
，将
沿
折起，使平面
平面
，构成几何体
，则在
几何体
中，下列结论正确的是（ ）
A．
平面
B．平面
平面
C．平面
平面
D．平面
平面
11．（23-24 高一下·广东河源·期中）已知圆锥的顶点为
，底面圆心为
为底面直径，
，点
在底面圆周上，且二面角
为
，则（ ）
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．
的面积为4
三、填空题
12．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥
中，若
是
的中
点，则平面
与平面
的关系是 .
13．（23-24 高一下·重庆渝中·期中）在直三棱柱
中，所有棱长均相等，则二面角
的正切值为 ．
14．（23-24 高一下·河北保定·月考）如图所示，直角三角形
所在平面垂直于平面
，一条直角边
在平面
内，另一条直角边
长为
且
，若平面
上存在点
，使得
的面积为
，
则线段
长度的最小值为 ．
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四、解答题
15．（22-23 高一下·湖南永州·月考）《九章算术·商功》记载：斜解立方，得两堑堵：斜解堑堵，其一为
阳马，一为鳖臑.如图，在鳖臑
中，
，且平面
平
面
．求证：
（1）
平面
；
（2）
.
16．（23-24 高一下·福建厦门·期中）如图，四棱锥
的侧面
是边长为2 的正三角形，底面
为矩形，且平面
平面
，M，N 分别为
的中点，直线PC 与面
所成角的
正切值为
．
（1）证明：
平面
；
（2）证明：
．
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17．（22-23 高一下·河北邢台·月考）如图，四棱雉
中，
，
，
，
为
中点，
，
（1）证明：平面
平面
；
（2）若
，求点
到平面
的距离.
18．（23-24 高一下·福建泉州·月考）如图，在四棱锥
中，
，
，
，E 为棱
的中点，
平面
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）若二面角
的大小为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
19．（23-24 高一下·安徽·月考）如下左图，矩形
中，
，
，
.过顶点
作对
角线
的垂线，交对角线
于点
，交边
于点
，现将
沿
翻折，形成四面体
，如
下右图.
18
（1）求四面体
外接球的体积；
（2）求证：平面
平面
；
（3）若点
为棱
的中点，请判断在将
沿
翻折过程中，直线
能否平行于面
.若能请
求出此时的二面角
的大小；若不能，请说明理由.
