文档文本内容
1
11.4.1 直线与平面垂直
课程标准
学习目标
（1）理解并会求异面直线所成的角；
（2）了解直线与平面垂直的定义；
（3）掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定
理，并能利用两个定理解决空间中的垂直关系问
题.
（1）了解直线与直线所成角及直线与平面垂直
的定义；
（2）理解直线与平面垂直的判定定理，并会用
其判断直线与平面垂直；
（3）掌握线面垂直的性质定理，并能应用；
（4）会求直线与平面所成角及空间中的距离.
知识点01 直线与直线所成角
1、平面内两条直线所成的角：平面内两条直线相交形成4 个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成
的角（或夹角）.
2、异面直线所成角
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 作直线a′∥a，b′∥b，
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
2
（2）角的范围：异面直线所成的角θ 的取值范围：0°＜θ≤90°.
（3）当θ＝90°时，a 与b 互相垂直，记作a⊥b.
垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．
【即学即练1】（23-24 高一下·江苏连云港·期中）如图，在正方体
中，
是
的中点，
求
与
两条异面直线所成角的正弦值为
【答案】
【解析】如图，作
//
，易知
是
的中点，连接
，故
即为所求角，
设正方体的棱长为
，由勾股定理得
，
，
在
中，由余弦定理得
，
易知
，故
.
知识点02 直线与平面垂直及判定定理
1、直线与平面垂直的定义
（1）文字语言：如果直线l 与平面α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α 互相垂直
（2）符号语言：l⊥α
3
（3）有关概念：直线l 叫做平面α 的垂线，平面α 叫做直线l 的垂面．它们唯一的公共点P 叫做垂足
（4）图形语言：
（5）画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
2、直线与平面垂直的判定定理
（1）文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
（2）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
（3）图形语言：
（4）作用：证明线面垂直
【即学即练2】（23-24 高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线l 与平面
内的一条直线垂直，则
B．若直线l 与平面
内的两条直线垂直，则
C．若直线l 与平面
内的两条相交直线垂直，则
D．若直线l 与平面
内的任意一条直线垂直，则
【答案】CD
【解析】由线面垂直的判定定理知，直线与平面
内的两条相交直线垂直时，
直线l 与平面
垂直，所以C 正确；
再由线面垂直的定义知，直线与平面
内的任意一条直线垂直时，
直线l 与平面
垂直，所以D 正确.故选：CD.
知识点03 直线与平面垂直的性质定理
1、性质定理内容：
（1）文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
（2）符号语言：⇒a∥b
（3）图形语言：
（4）作用：①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线
2、性质定理的推论：
4
（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/
（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.
【即学即练3】（23-24·北京昌平·二模）设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，且
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为
，当
时，
，又
，所以
，即
可以推出
，
如图，在正方体中，取平面
为
平面，平面A1B1C1D1为
平面，
直线
为直线
，直线
为直线
，
显然有
，
，但
，即
推不出
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，故选：A.
知识点04 直线与平面所成的角
1、有关概念：
（1）斜线：与平面α 相交，但不和平面α 垂直，图中直线PA
（2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A
（3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，
图中斜线PA 在平面α 上的射影为AO.
2、直线与平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.
（2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
（3）取值范围：[0°，90°]
【即学即练4】（23-24 高一下·全国·课时练习）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是（ ）
5
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，在正四棱锥
中，
为
的中心，
则
底面
，
为
边上的中线，
，
所以
即为侧棱
与底面
所成角的平面角，
设正四面体的棱长为
，
则
，
在
中，
，
即正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是
.故选：C.
【题型一：求异面直线所成角】
例1．（23-24 高二下·山东烟台·月考）如图，已知正四棱锥
的所有棱长均为
为棱
的中点，
则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
6
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连接
，取
的中点
，连接
,
由题意知，
,
则异面直线
与
所成角为
（或其补角），
在
中，
,
则
,
则异面直线
与
所成角的余弦值为
，故选：C.
变式1-1．（21-22 高二上·贵州遵义·期末）如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
为平行四边形，
且
为
的中点，则异面直线
与
所成的角的余弦值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示：
7
分别取
的中点
，连接
.
由
且
可得
是等边三角形，
则
且
，
且
，故
且
，
所以四边形
为平行四边形，故
，
因为
，所以
为异面直线SC 与DE 所成的角（或其补角），
因为
平面
，
平面
，∴
，
，
故
和
均为直角三角形，
所以
，
，
，
由余弦定理得
.
则异面直线
与
所成的角的余弦值为
.故选：B
变式1-2．（22-23 高一下·山东滨州·月考）如图，在长方体
中，
，且
为
的中点，则直线
与
所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】取
的中点
，连接
，所以
，
8
直线
与
所成角即为直线
与
所成的
，
所以
，
，
，
在
中由余弦定理可得
,
因为
，所以
.故选：C.
变式1-3．（22-23 高一下·江西南昌·月考）如图，在正三棱柱
中，
是棱
的
中点，
在棱
上，且
，则异面直线
与
所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】取棱
靠近点
的三等分点
，取棱
的中点
，取
的中点
，连接
，
.
由已知
，
又
，所以
是平行四边形，
，同时可得
是
中点，
而
是
中点，所以
，所以
，
9
则
是异面直线
与
所成的角（或补角）.
又
平面
，则
平面
平面
，则
，
设
，则
，从而
，
故
.在
中，
由余弦定理可得
.
所以异面直线
与
所成的角的余弦值为
.故选:B.
【方法技巧与总结】
求两条异面直线所成的交的一般步骤：
第一步构造：根据异面直线的定义，用平移法（一般用三角形中位线、平行四边形的性质）作出异面直线
所成的角；
第二步证明：证明作出的角就是要求的角；
第三步计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；
第四步结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补
角就是所求异面直线所成的角。
【题型二：直线与平面垂直命题的判断】
例2．（22-23 高一下·福建厦门·月考）已知
是三个不同的平面，
是两条不同的直线，则
（ ）
A．若
∥
，
∥
，则
∥
B．若
∥
，
∥
，则
∥
C．若
，则
∥
D．若
，则
∥
【答案】C
【解析】对于A，若
∥
，
∥
，则
∥
或
，所以A 错误，
对于B，若
∥
，
∥
，则
与
可能平行，可能相交，可能异面，所以B 错误，
对于C，若
，则
∥
，所以C 正确，
对于D，若
，则
与
可能平行，可能相交，所以D 错误，故选：C
变式2-1．（23-24 高一下·江苏南通·期中）已知空间3 条不同的直线m，n，l 和平面
，则下列说法正确
的是（ ）
10
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】C
【解析】A 选项，若
，
，则
或
相交或异面，A 错误；
B 选项，若
，
，则
或
，B 错误；
C 选项，若
，不妨设
，则
，
又
，
，则
，所以
，C 正确；
D 选项，若
，
，则
，或
相交，D 错误.故选：C
变式2-2．（2020·全国·模拟预测）设α 是空间中的一个平面，
是三条不同的直线，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】B
【解析】对于选项A，如图1，当
，满足
时，与
可以斜交，故选项A 错误，
对于选项B，因为
，所以
，
因为
，则由线面垂直的判定定理得
，故选项B 正确，
对于选项C，因为
，所以
，因为
，所以
，故选项C 错误，
对于选项D，若
，则与
可以相交、平行或异面，
如图2，满足
，而与
异面，故选项D 错误，
故选：B.
变式2-3．（22-23 高一下·上海宝山·月考）
是空间两条不同直线，
是两个不同平面，下面有四个
命题：
①
，则
，
②
，则
，
③
，则
，
④
，则
，
11
其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号）
【答案】①④
【解析】对于①，
，必然存在一个平面
使得
，并且
，
又
，正确；
对于②，如果
，则结论不成立，错误；
对于③，如图：
，构造平面
，使得
，并且
，则
，
在
平面内，作直线n，使得
，显然
，错误；
对于④，
，又
，正确；
故答案为：①④.
【方法技巧与总结】
直观判断：通过实物或画图来直观感受空间线面的位置关系，这有助于快速形成判断。
逻辑推理：根据已知条件和线面垂直的判定定理、性质定理，进行逻辑推导，得出结论。
反例验证：对于认为是真的命题，尝试找出反例来验证其真实性；对于认为是假的命题，尝试找到支持其
真实性的证据
【题型三：利用判定定理证明线面垂直】
例3．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，四棱锥
的底面是边长为1 的正方形，
，
．求证：
平面
．
【答案】证明见解析.
【解析】由四棱锥
的底面是边长为1 的正方形，
，
12
得
，则
，
又
，
平面
，
所以
平面
.
变式3-1．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，在圆锥
中，已知
，
的直径
，点C
在
上，且
，点D 为
的中点．证明：
平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接
，则
，
因为点D 为
的中点，所以
，
因为
为
的直径，所以
，所以
，
因为
为
的中点，D 为
的中点，
所以
，所以
，
因为
，
平面
，
所以
平面
.
变式3-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图所示，在四面体
中，已知
，
，
，
.
是线段
上一点，
，点
在线段
上，且
.
证明：
平面
；
【答案】证明见解析
【解析】
，所以
，即
，
13
又
.
而
.
故
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
.
变式3-3．（22-23 高一下·全国·专题练习）如图，在五面体
中，四边形
的对角线
交于
点
，
为等边三角形，
，
，
.证明：
平面
；
【答案】证明见解析
【解析】连接EF，在
和
中，
，
所以
，所以
，
又
，
，所以
≌
，
则
为
的中点，所以
．
在
中，
，
又
为
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，
，
，
，
所以
平面
【方法技巧与总结】
1、利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤：
第一步：在这个平面内找两条直线，证直线和这两条直线垂直；
第二步：确定这个平面内的两条直线是相交直线；
第三步：根据判定定理得出结论。
2、线面垂直的判定定理的实质是由线线垂直推出线面垂直，途经是找到平面内的两条相交直线均与已知
14
直线垂直。
【题型四：线面垂直的性质定理的应用】
例4．（2022 高一·全国·专题练习）在四棱锥PABCD 中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD 是矩形，
AE⊥PD 于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．
又四边形ABCD 是矩形，所以CD⊥AD．
因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．
又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．
因为l⊥平面PCD，所以l∥AE．
变式4-1．（22-23 高二上·山东潍坊·月考）如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB⊥平面
PAD，AD＝AP，E 是PD 的中点，M，N 分别在AB，PC 上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【答案】证明见解析
【解析】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E 是PD 的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
15
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
变式4-2．（23-24 高二上·辽宁沈阳·学业考试）已知四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
为线段
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）连接
交
于点
，连接
，
由于底面
为平行四边形，所以
为
的中点．
在
中，
为
的中点，所以
又因为
平面
平面
，所以
平面
．
（2）取
中点
，连接
．
因为
，所以
，
又
，所以
，又
，
所以由余弦定理得
，
即
，所以
是等腰直角三角形．
又点
是
的中点，所以
，
又
，且
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
．
16
变式4-3．（23-24 高三上·四川成都·期中改编）在三棱锥
中，底面
为等腰直角三角形，
.求证：
.
【答案】证明见解析
【解析】取
的中点为E，连结
，
∵
，∴
，
在
和
中，
，
∴
，∴
，
∵
的中点为E，∴
，
∵
，
面
，
面
，∴
面
，
∵
面
，∴
.
【方法技巧与总结】
垂直于同一平面的两条直线平行；反之，若两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条直线垂直于该平面
也成立。但是要注意：垂直于同一平面的两平面位置关系不确定。
【题型五：求直线与平面所成的角】
例5．（22-23 高一下·吉林长春·月考）三棱锥
中，
平面
，
，
，则
直线
与平面
所成的角是 ．
【答案】
/
【解析】三棱锥
中，
平面
，
就是直线
与平面
所成的角.
平面
，
平面
，
，
17
又
，
.
变式5-1．（22-23 高一下·江苏镇江·月考）已知正方体
，直线
与平面
所成角的
正弦值为 .
【答案】
/
【解析】设正方体棱长为a，则
，
由正方体性质可知，
平面
，
所以
即为直线
与平面
所成角，
所以
.
变式5-2．（22-23 高一下·安徽六安·期末）如图，是
所在平面外一点，
，
，且
面
，
，则
与平面
的夹角为（ ）
18
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
，
；
平面
，
平面
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
设点
到平面
的距离为
，
与平面
的夹角为
，
，解得：
，
，
又
，
，即直线
与平面
的夹角为
.故选：C.
变式5-3．（22-23 高一下·陕西榆林·月考）如图，四棱锥
中，
平面ABCD，
，底面
ABCD 是矩形，且
，
．
求直线AC 与平面APD 所成的角的正弦值；
【答案】
【解析】设点
到平面
的距离为，
由
知
，
19
因为
平面
，
平面
，故
，又
，
，
平面
，故
平面
．
又
平面
，所以
，则
，
，
，可得
，
矩形ABCD 中，
，
所以直线
与平面
所成的角的正弦值是
．
【方法技巧与总结】
求直线与平面所成的角的一般步骤：
第一步作图：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
第二步证明：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
第三步求解：一般借助三角形的相关知识求角。
【题型六：求点到平面的距离】
例6．（23-24 高一下·北京顺义·月考）如图，在四面体
中，
，
，
两两垂直，已知
，
，则点O 到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意
，
在
中，由余弦定理得
，所以
，
所以
，
设点O 到平面
的距离为
，
20
由
，得
，解得
，
即点O 到平面
的距离为
.故选：D.
变式6-1．（22-23 高一下·黑龙江·期末）在直三棱柱
中，
，
，则点
A 到平面
的距离为 ．
【答案】
/
【解析】∵
，
，
∴
中，
，
∴
，
，
设点A 到平面
的距离为h，
则三棱锥
的体积为
，
即
，∴
，
∴
，即点A 到平面
的距离为
.
变式6-2．（22-23 高一下·江苏南京·月考）已知
垂直于
所在的平面，
，
，
，则点
到平面
的距离为
【答案】
/
【解析】因为
垂直于
所在的平面，
，
，
，
可得
，
取
的中点
，分别连接
，则
且
，
所以
,
所以底面
的面积为：
，
所以三棱锥
的体积为
，
21
又由
的面积为
，
设点
到平面
的距离为，可得
，
因为
，所以
，解得
，
即点
到平面
的距离为
.
变式6-3．（22-23 高一下·河南商丘·月考）在矩形ABCD 中，
，
，若
平面ABCD，且
，则点A 到平面PBD 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】过点A 作
于E，连接PE.
因为
平面ABCD，
平面ABCD，所以
，
又因为
，所以
平面PAE，
且
平面PAE，可得
，
由
可得
，
而
，可得
，
设点A 到平面PBD 的距离为h，
由
可得
，解得
.故选：D.
【方法技巧与总结】
求点到平面的距离的方法
从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离.求点到平面的距离
一般采用以下三种方法：
一是直接作出点到平面的垂线，当该点到已知平面的垂线不易作出时，可转化为过与已知平面等距离的点
作垂线，然后计算；二是通过补形进行转化，转化为易于求解的点；三是采用等体积法.
【题型七：线面垂直中的动点探究问题】
22
例7．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图所示，在四面体
中，
，
，
，且
．设P 为AC 的中点，证明：在AB 上存在一点Q，使
，并计算
的值．
【答案】证明见解析，
【解析】如图所示，在平面
内作
，交
于点N，连接
．
∵
，
平面
，∴
平面
．
∵
平面
，∴
．
取Q 为
的中点，则
，∴
，得证．
在等腰
中，
，∴
．
在
中，
，∴
．
在
中，
，∴
．
因此
．
变式7-1．（21-22 高一下·山东烟台·期末）如图，在四棱锥
中，
，
．
23
（1）证明：
；
（2）在棱VC 上是否存在一点P，使得
平面PAD？若存在，指出点P 的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.
【解析】（1）证明：取AD 中点E，连接EV，EB．因为
，所以
．
因为
，所以
．又
，所以
平面VEB．
因为
平面VEB，所以
．
（2）假设在棱
上存在一点P，使得
平面PAD．
因为
平面PAD，所以
．
又
，
，所以
平面VBC．
因为
平面VBC，所以
．
在平面ABCD 中，因为
，
，所以
，与
矛盾．
所以在棱VC 上不存在点P，使得
平面PAD．
变式7-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，侧棱
底面
，底面
是直角梯形，
，
，且
，
，
是
的中点．在线段
上
是否存在一点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
24
【答案】存在，
【解析】存在点
，使得
平面
，此时
，证明如下：
连接
，
为
中点，连接
，
直角梯形
中，
，
，
，
，
则
，
，四边形
为平行四边形，有
，则
，
所以
，
又
底面
，
底面
，则
，
则
，
，
则
，得
，
又
，
，
，
由余弦定理得，
，
则
，
，
又
，
是
的中点，则
，
，
平面
，则
平面
，
故存在点
，使得
平面
，此时
．
25
变式7-3．（22-23 高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥
中，
面
，
，
，
，
，
为线段
上的点．
（1）证明：
面
；
（2）若
满足
面
，求
的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：因为
，
，
，所以，
，
所以，
，则
，
因为
平面
，
平面
，所以，
，
又因为
，
、
平面
，所以，
平面
.
（2）因为
平面
，
平面
，所以，
，
若
面
，
平面
，则
，
因为
，
，
由余弦定理可得
，
因为
平面
，
、
平面
，则
，
所以，
，
，
在
中，
，
，
，
所以，
，
所以，
，
所以，
，则
，
26
因此，若
满足
面
，则
.
【方法技巧与总结】
证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的、能在题目中推导出线线垂直关系，进而证明线面垂直。
等腰三角形底边上的中线，菱形、正方形的对角线，三角形勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法。
一、单选题
1．（23-24 高一下·安徽芜湖·期中）过空间一定点可以作与已知直线垂直的平面的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数个
【答案】B
【解析】与已知直线垂直的不同的平面都互相平行，
其中过空间一定点的且与已知直线垂直的有且只有一个.故选：B
2．（23-24 高一下·河南郑州·期中）设
是空间中的一个平面，
是三条不同的直线，则下列说法对的
是（ ）
A．若
，
，
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
则
D．若
，
，
，则
【答案】D
【解析】对于A 中，由
，
，
，
，只有直线
与
相交时，可得
，所以A 不正
确；
对于B 中，由
，
，
，则与
平行、相交或异面，所以B 错误；
对于C 中，由
，
，
，则
，所以C 错误；、
对于D 中，由
，
，可得
，又因为
，所以
，所以D 正确.故选：D.
3．（23-24 高二上·北京海淀·期末）已知底面边长为2 的正四棱柱
的体积为
，则直线
与
所成角的余弦为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
27
【解析】如图，连接
，则
，
正四棱柱
的体积为
，
则
，则
，
则
为异面直线
与
所成角，
则
，
，
故
.故选：D
4．（22-23 高一下·河南商丘·月考）在四面体
中，
平面
，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图所示：
在
中，由余弦定理可得
，解得
．
所以
，即
；
在
中，易知
，则
，
设点
到平面
的距离为，
由
可得
，解得
，
即点
到平面
的距离为
．故选：D
5．（22-23 高一下·江西萍乡·期中）如图所示，AB 是圆O 的直径，C 是异于A，B 两点的圆周上的任意一
点，PA 垂直于圆O 所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC 中，直角三角形的个数是（
）
28
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC．∴△ABC 为直角三角形．
又PA⊥⊙O 所在平面，AC，AB，BC 都在⊙O 所在平面内，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB 是直角三角形，
又PA∩AC＝A，
平面PAC,∴BC⊥平面PAC．
∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC 是直角三角形，
从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC 均为直角三角形．故选：D.
6．（23-24 高一下·广东河源·期中）在正三棱锥
中，顶点
在底面
的射影为点
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】正三棱锥
中，点
在平面
的射影是点
，即为等边
的中心，
已知
，可得
，
由
底面
，
底面
，可得
，
则由勾股定理可得高
.故选：D.
7．（22-23 高一下·浙江杭州·期中）已知长方体
的棱
，
，
，点P，Q
分别是线段
，
上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（ ）
29
A．对于任意一点Q，直线
与直线
是异面直线
B．对于任意一点Q，存在一点P，使得
C．对于任意一点P，存在一点Q，使得
D．以上说法都不正确
【答案】B
【解析】对于A，当点Q 为
中点时，直线
即直线
，与
共面，A 错误；
对于B，当
时，
与
相似，
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，B 正确；
对于C，长方体中，
平面
，
平面
，所以对任意点P，
，
而
与
不平行，所以不存在Q，使得对任意点P，
，C 错误；
对于D，B 选项正确，所以D 错误.故选：B.
8．（23-24 高一下·浙江绍兴·期中）在正方体
中，点
分别是直线
上的动点，
点
是△
内的动点（不包括边界），记直线
与
所成角为
，若
的最小值为
，则
与平
面
所成角的正弦的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，连接
，交平面
于点
.
30
设
与平面
所成角为
，正方体的棱长为
，
根据正方体的性质可得，
平面
，
所以
平面
，且点
为
的中心，所以
.
又因为直线
与
所成角为
，且
的最小值为
，
所以
与平面A1B1C1D1所成角为
，所以
为
.
由线面角的最小性可知，当
取最大值时，
三点共线，
所以此时
.
又因为在
中，易得
，
，
所以
，
所以
，
所以
.故选：B.
二、多选题
9．（22-23 高一下·山西大同·期中）已知四边形
为等腰梯形，
为空间内的一条直线，且
平面
，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则//平面
B．若
，则与
为异面直线
C．若
，则
平面
D．若
，则
平面
【答案】ABC
【解析】对于选项A：若
，
平面
，
平面
，所以//平面
，故A 正确；
对于选项B：由题意可设
，
31
因为//
，设与
确定的平面为
，
又因为
平面
，则
平面
，
可得
，且
，则
，即
，
所以与
为异面直线，故B 正确；
对于选项C：若
，且
相交，
平面
，
所以
平面
，故C 正确；
对于选项D：虽然
，但
，不满足线面垂直的判定定理，
所以无法确定与平面
是否垂直，故D 错误；故选：ABC.
10．（23-24 高一下·安徽亳州·月考）如图，正方体
的棱长为4，动点
，
在棱
上，且
，动点
在棱
上，则在三棱锥
中，下列说法正确的是（ ）
A．
的面积与点
，
的位置无关
B．三棱锥
的体积与点
的位置有关
C．三棱锥
的体积与点
，
，
的位置都有关
D．三棱锥
的体积与点
，
，
的位置均无关，是定值
【答案】AD
【解析】连接
，
对于选项A：因为
∥
，且
，可知
为平行四边形，
且
平面
，
平面
，则
，可知
为矩形，
所以
的面积
，
即
的面积为定值，与点
，
的位置无关，故A 正确；
32
对于选项BCD：因为
平面
，且平面
∥平面
，
可知三棱锥
的高为
，
所以三棱锥
的体积
，
即三棱锥
的体积为定值，与点
，
，
的位置均无关，故D 正确，BC 错误；故选：
.
11．（23-24 高一下·广西南宁·月考）在棱长为1 的正方体
中，
是线段
的中点，以
下关于直线
的结论正确的有（ ）
A．与平面
平行
B．与直线
垂直
C．与直线
所成角为
D．与平面
的距离为
【答案】ABD
【解析】因为
且
，所以四边形
为平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理可证
平面
，
又
，
平面
，
所以平面
平面
，而
平面
，故
平面
，选项A 正确；
因为
平面
，
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，故
，选项B 正确；
由于
，所以
与
所成角就是直线
与直线
所成角，
因为
，
，
，
所以
，
33
所以
，即
与直线
所成角为
，选项C 不正确；
由选项A 可知，
与平面
的距离就是点
到平面
的距离．
设点
到平面
的距离为，由
，得
，
即
，解得
，即
与平面
的距离为
，选项D 正确.
故选：ABD．
三、填空题
12．（22-23 高一下·江苏南京·月考）正方体
中，直线
与平面
所成角的正弦值
为 .
【答案】
【解析】连接
，
在正方体
中，
面
，
是直线
与平面
所成角，
设棱长为1，则
，
直线
与平面
所成角的正弦值为
.
13．（23-24 高一下·全国·专题练习）已知
，若直线
，直线
，且l，m
为两条不同的直线，则l，m 的位置关系是 .
【答案】平行
【解析】依题意知
，
平面
，故
平面
，
又
，
平面
，
故
平面
，∴
.
14．（22-23 高一下·浙江·月考）在三棱锥
中，
平面
，则
三棱锥
的表面积为 ．
【答案】
/
34
【解析】因为
平面
，
平面
，
所以
，
，
,
又
，
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，
，所以
，
因为
，
，所以
，
所以三棱锥
的表面积为
．
四、解答题
15．（22-23 高一下·山东菏泽·月考）在四棱锥
中，底面
是矩形，侧棱
底面
分别是
的中点，
．
（1）求证：
平面
；
（2）若
，求点
到平面
的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：因为
底面
底面
，所以
．
又因为
是矩形，所以
．
因为
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
．
因为
为
中点，所以
，
又因为
，
平面
，所以
平面
．
（2）若
，∴
，
则
，
因为
是直角三角形，
是
的中点，则
，
因为
底面
底面
，所以
，
又因为
是矩形，所以
，
35
因为
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
所以
，
，
因为点
到平面
的距离为
，
设点
到平面
的距离为
，
由
，得
，
，
故点
到平面
的距离为
．
16．（23-24 高一下·广东珠海·期中）如图，正方体
的棱长是.
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接
、
，如下图所示：
因为四边形
为正方形，则
，
平面
，
平面
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
36
平面
，
，
四边形
为正方形，则
，
平面
，
平面
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
又因为
，
平面
，
平面
，
平面
.
（2）设点
到平面
的距离为，
，
，
易知
，则
是边长为
的正三角形，
所以，
，
所以，
，解得
，
因此，点
到平面
的距离为
因为
，所以
平面
所成角的正弦值为
.
17．（22-23 高一下·山东枣庄·月考）如图，在边长为2 的正方形
中，点E 是AB 的中点，点F 是BC
的中点，将
分别沿
折起，使A，B，C 三点重合于点
（1）求证
（2）求三棱锥
的体积
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）正方形
中，
，
，
折起后，有
，
，
37
平面
，
，∴
平面
，
∵
平面PEF，∴
.
（2）正方形
中，
，折叠后可知
三条直线两两垂直，
，
，
.
18．（23-24 高一上·江苏·月考）如图所示，正四棱锥
中，
为底面正方形的中心，侧棱
与底
面
所成的角的正切值为
.
（1）若
是
的中点，求异面直线
与
所成角的正切值；
（2）在（1）的条件下，问在棱
上是否存在一点
，使
侧面
，若存在，试确定点
的位置；
若不存在，说明理由.
【答案】（1）
；（2）存在，
是
的
等分点，靠近
点的位置
【解析】（1）连接
、
，
所以，
为异面直线
与
所成的角.
平面
，
平面
，则
，
，
，
平面
，
又
平面
，
.
侧棱
与底面
所成的角的正切值为
，即
，
38
设底面边长为
，则
，所以
，
，所以，
.
（2）延长
交
于
，则
为
的中点，取
的中点
，连接
、
.
因为
，
为
的中点，则
，同理可得
，
，故
平面
，
平面
，
平面
平面
，
又
，
，
所以，
为正三角形，
为
的中点，则
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以，
平面
，
取
的中点
，连接
，
、
分别为
、
的中点，则
且
，
因为
且
，
、
分别为
、
的中点，则
且
，
为
的中点，则
且
，故
且
，
所以，四边形
为平行四边形，则
，故
平面
.
因此，
是
的
等分点，靠近
点的位置.
19．（22-23 高一下·山西太原·月考）如图，已知直三棱柱
，O，M，N 分别为线段
，
，
39
的中点，
为线段
上的动点，
，
.
（1）若
，试证
；
（2）在（1）的条件下，当
时，试确定动点
的位置，使线段
与平面
所成角的正弦值最
大，并求出最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）P 为
的中点，
【解析】（1）在
中，∵O 为BC 中点且
，∴
，
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面
且
，∴
平面
，
平面
，∴
.
∵M，N 分别为
，
的中点，∴
，∴
.
在直角
和直角
中，
∵
，
，∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
平面
，
，
∴
平面
，
平面
，∴
.
（2）延长
交
于点Q，作
，与
相交于点
，如图所示，
，
，
，
，得
，
40
∵
平面
，
平面
，∴
，
又
，
面
，
，∴
面
，
∵
面
，∴
与A 到面
的距离相等，且距离为
，
设直线
与平面
所成的角为
，则
，
当
时，即
为
的中点时
最小，此时
，
所以
为
的中点时，线段
与平面
所成角的正弦值取得最大值
.
