文档文本内容
1
11.2 平面的基本事实与推论
课程标准
学习目标
（1）了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方
法；
（2）掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言
描述空间点、直线、平面之间的位置关系；
（3）能用图形、文字、符号三种语言描述三个基
本事实，并能解决空间线面的位置关系问题.
（1）掌握平面的画法及表示方法；
（2）掌握平面的基本事实及推论；
（3）能用图形、文字、符号三种语言描述平面
的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问
题.
知识点01 平面的基本事实
1、基本事实1
（1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
（2）图形：
（3）符号表示：A，B，C 三点不共线⇒存在唯一的平面α 使A，B，C∈α
（4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法
2、基本事实2
（1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
（2）图形：
（3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
2
（4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内
3、基本事实3
（1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
（2）图形：
（3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l 且P∈l
（4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点
【即学即练1】（22-23 高一下·湖北·月考）立体几何中的四个基本事实是学习立体几何的基础，下列四个
命题中不是立体几何中的基本事实的是（ ）
A．过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面
B．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．垂直于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【解析】由选项内容可知，ABC 选项为立体几何中的基本事实，
D 选项，垂直于同一条直线的两条直线可能异面，可能相交，可能平行，
故D 不是立体几何中的基本事实.故选：D
知识点02 平面基本事实的推论
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
【即学即练2】（22-23 高一下·辽宁·月考）在下列条件下，能确定一个平面的是（ ）
A．空间的任意三点
B．空间的任意一条直线和任意一点
C．空间的任意两条直线
D．梯形的两条腰所在的直线
【答案】D
【解析】三点共线则不能确定一个平面，A 错误；
点在直线则不能确定一个平面，B 错误；
若两线直线为异面直线，则不能确定一个平面，C 错误；
梯形的两条腰所在的直线在梯形所在的面上，可以确定一个平面，D 正确.故选：D
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【题型一：基本事实与推论理解】
例1．（23-24 高一下·全国·专题练习）直线
，
，两两平行且不共面，经过其中两条直线的平面共有
（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．1 个或3 个
【答案】C
【解析】两条平行直线确定一个平面，所以经过直线
，
，直线
，，直线
，的平面各有一个，
故直线
，
，两两平行且不共面，经过其中两条直线的平面共有共3 个．故选：C
变式1-1．（23-24 高一下·全国·专题练习）（多选）平面α 与平面β，γ 都相交，则这三个平面的交线可能
有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】ABC
【解析】当
经过
的交线时，三个平面有一条交线，故A 项正确；
当
时，三个平面有两条交线，故B 项正确；
当
与
两两相交且不交于同一条直线时，有三条交线，故C 项正确；
因平面都是平坦的，且无限延展的，故三个平面最多只有三条交线，故D 项错误.故选:ABC.
变式1-2．（23-24 高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列结论正确的是（ ）
A．空间中三点确定一个平面
B．空间中两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C．一条直线和一个点能确定一个平面
D．四边形一定是平面图形
【答案】B
【解析】A 选项，空间中三点若共线，则不能确定一个平面，A 错误；
B 选项，如图，空间中两两相交且不共点的三条直线可确定三角形，而三角形为平面图形，
4
故可确定一个平面，B 正确；
C 选项，若点在此直线上，此时一条直线和一个点不能确定一个平面，C 错误；
D 选项，四边形可能为空间四边形，此时不是平面图形，
如图，三棱锥中，四边形
就是空间四边形，D 错误.故选：B
变式1-3．（22-23 高一下·陕西咸阳·月考）（多选）下列说法，不正确的有（ ）
A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
【答案】ABC
【解析】对于AB，当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故AB 错误，
对于C，当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C 错误，
对于D，一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D 正确，故选：
ABC
【题型二：空间点共线问题】
例2．（23-24 高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体
中，
分别为
上的点
且
．求证：点
三点共线．
5
【答案】证明见解析
【解析】因为
，且
平面
，所以
平面
，
同理
平面
，从而M 在两个平面的交线上，
因为平面
∩平面
，所以
成立．
所以点
三点共线．
变式2-1．（23-24 高一下·全国·专题练习）已知
三边所在直线分别与平面α 交于
三点，求证：
三点共线．
【答案】证明见解析
【解析】∵
是不在同一直线上的三点
∴过
有一个平面
又
,且
，所以
，
设
，则
同理可证：
，
所以
三点共线
变式2-2．（23-24 高一下·海南·期中改编）已知
与
所在平面相交,并且
交于一点.
若
,求证:
共线.
【答案】证明见解析.
【解析】因为
所以平面
平面
因为
平面
,
平面
，且
，所以
即
三点位于同一直线
上
变式2-3．（23-24 高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥
中，作截面
，
，
的延长线
6
交于点M，
，
的延长线交于点N，
，
的延长线交于点K．判断M，N，K 三点是否共线，并
说明理由．
【答案】三点共线，理由见解析
【解析】M，N，K 三点共线．理由如下：
因为
即在平面
内又在平面
内，
所以
在平面
与平面
的交线上，
所以
是平面
与平面
的交线，
即在平面
内又在平面
内，
所以
在平面
与平面
的交线上，
所以
是平面
与平面
的交线，
又平面
与平面
是同一平面，
所以
与
是同一条直线，即M，N，K 三点共线．
【方法技巧与总结】
点共线的证明方法方法
方法1：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，
从而证明点在相交平面的交线上.
方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在该直线上.
【题型三：空间线共点问题】
例3．（23-24 高一下·全国·专题练习）已知空间四边形
中，
分别是
的中点，
分别
是
上的点，且
.三条直线
交于一点.
7
【答案】证明见解析
【解析】∵
，∴
，
∴四边形
为梯形，
所以梯形的两腰
和
相交于一点，设交点为
，
因为
平面
，故
平面
，同理
平面
，
又因为
为这两个面的交线，所以
，
所以三条直线
、
、
交于一点
.
变式3-1．（23-24 高一下·青海西宁·月考）如图，已知平面
，且
，设在梯形
中，
，且
.求证：
共点．
【答案】证明见解析
【解析】如图，梯形
中，因为
，所以
与
必交于一点，
设
交
于点
，则
，
又因为
，所以
，
又因为
，所以
，所以
共点．
变式3-2．（22-23 高一下·陕西西安·期中改编）如图，在空间四边形
中，
，
分别是
，
的
8
中点，
，
分别是边
，
上的点，且
.求证：直线
，
，
相交于一点.
【答案】证明见解析
【解析】在空间四边形
中，连接
，
因为
分别为
的中点，则
，且
，
又由
，则
，且
，
故
，且
，故四边形
为梯形，
与
交于一点，
设
与
交于点
，如图，
由于
平面
，点
在平面
内，同理点
在平面
内，
又因为平面
平面
，
所以点
在直线
上，
故直线
相交于一点.
变式3-3．（2024·江苏徐州·一模改编）如图，在正四棱柱
中，
，
，E 为
的中点，经过BE 的截面与棱
，
分别交于点F，G，直线BG 与EF 不平行．证明：直线BG，
EF，
共点.
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【答案】证明见解析
【解析】
四点共面，
不平行于
，设
，
又
平面
，
平面
，
均不平行于
，
为平面
与
的公共点，
又
平面
平面
，
根据基本事实3 可得
，
直线BG，EF，
共点
【方法技巧与总结】
方法1：可把其中一条直线作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直
线上；
方法2：先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，
从而得到三线共点。
【题型四：空间点线共面问题】
例4．（23024 高一下·全国·专题练习）如图，在长方体
中，
，
，
，
分别是
，
的中点，证明：
四点共面．
【答案】证明见解析
【解析】假设面
与棱
交于
．
平面
，平面
与其相交，
，
为
中点，
为
中点，
与
重合，即
四点共面．
变式4-1．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，E，F，G，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB，BC，
10
CD，DA 的中点，求证：四点E，F，G，H 共面.
【答案】证明见解析；
【解析】证明：因为E，F，G，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB，BC，CD，DA 的中点，
所以
，所以
，
所以四点E，F，G，H 共面.
变式4-2．（22-23 高一下·陕西西安·期中改编）已知直线
，直线与
，
都相交，求证：过
，
，
有且只有一个平面.
【答案】证明过程见解析
【解析】证明：设直线与
，
分别交于
点，如图，
因为
，所以
确定一个平面，记为平面
，
因为点
直线
，点
直线
，所以
，
，
所以直线
，即
平面
，所以过
，
，有且只有一个平面.
变式4-3．（23-24 高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥
中，
，
分别为
与
的
重心，
，
分别为
，
的中点.求证：
，
，
三线共面.
【答案】证明见解析
【解析】连接
，
.由三棱锥的性质，知
三点不共线，则
确定一个平面
.
11
所以
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
.
根据三角形重心的性质，知
，
，所以
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
平面
，
所以
，
，
三线共面.
【方法技巧与总结】
证明点、线共面问题的常用方法：
（1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都要在这个平面内，即用“纳入法”；
（2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α 和β 重合，即用
“同一法”；
（3）假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”。
一、单选题
1．（22-23 高一下·河北定州·月考）下列条件一定能确定一个平面的是（ ）
A．空间三个点
B．空间一条直线和一个点
C．两条相互垂直的直线
D．两条相互平行的直线
【答案】D
【解析】由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A 错误；
由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B 错误；
两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C 错误；
由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D 选项正确．故选:D．
2．（22-23 高一下·新疆阿克苏·月考）下列命题正确的个数是（ ）
①三点确定一个平面；
②圆心和圆上两个点确定一个平面；
③如果两个平面有一个交点，则这两个平面必有无数个公共点；
④如果两条直线没有交点，则这两条直线平行．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【解析】不共线的三点确定一个平面，①错误；
当这三点在一条直径上时，不能确定一个平面；②错误；
如果两个平面有一个交点，必有一条公共直线，有无数个公共点；③正确
两条直线没有交点，两条直线可能平行或者异面，不一定平行；④错误；故选：A
12
3．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）下列推理错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，
，
，
根据公理1 可得
，故A 选项正确，
由
，
，
，
根据公理2 可得
，故B 选项正确，
由
，可能与
相交，
可能有
，故C 选项错误，
由
，
根据公理1 可得
，故D 选项正确，故选：C.
4．（23-24 高一下·全国·专题练习）下列推理错误的是（ ）
A．
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
【答案】A
【解析】对于A 选项，
，可能
，所以A 选项推理错误.
对于B 选项，根据平面的基本事实二可知B 选项正确.
对于C 选项，由于
，
，
，
，所以直线
，
所以
，C 选项正确.
对于D 选项，
，
正确，D 选项正确.故选：A
5．（22-23 高一下·黑龙江·期中）在空间中，下列命题不正确的是（ ）
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．梯形可确定一个平面
D．任意三点能确定一个平面
【答案】D
【解析】对于选项A，若两个平面有一个公共点，则它们有经过该公共点的一条直线，
即两平面有无数个公共点，故选项A 正确；
对于选项B，若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线，否则，若存在三点共线，
则问题转化为一条直线与直线外一点，则四点共面，故选项B 正确；
对于选项C，因为两条平行直线确定一个平面，所以梯形可确定一个平面，故选项C 正确；
对于选项D，共线的三点不能确定一个平面，故选项D 错误；故选：D.
6．（22-23 高一下·吉林通话·月考）在空间四边形
中，在
上分别取E，F，G，H 四点，
如果
交于一点P，则（ ）
A．P 一定在直线
上
B．P 一定在直线
上
13
C．P 在直线
或
上
D．P 既不在直线
上，也不在直线
上
【答案】B
【解析】由题意知：
面
，又
交于一点P，
∴
面
，同理，
面
，又面
面
，
由公理3 知：点P 一定在直线
上.故选：B.
7．（22-23 高一下·河南洛阳·月考）如图，在正方体
中，P，Q 分别是棱
，
的中点，
平面
平面
，则下列结论错误的是（ ）
A．过点B
B．不一定过点B
C．
的延长线与
的延长线的交点在上
D．
的延长线与
的延长线的交点在上
【答案】B
【解析】连接
，
，如图，
因为P，Q 分别是棱
，
的中点，
由勾股定理得
，所以四边形
是菱形，
所以
，P，B，Q 四点共面，即
平面
.
又
平面
，所以
，故A 结论正确，B 结论错误.
如图，延长
与
的延长线交于点F，延长
与
的延长线交于点E.
因为
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
平面
，所以
，
14
同理
，故C，D 正确.故选：B
8．（22-23 高一下·江苏南京·月考）点
分别在空间四边形
的边
上，若
，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线
与
一定平行
B．直线
与
一定相交
C．直线
与
可能异面
D．直线
与
一定共面
【答案】D
【解析】由于
，所以
四点确定一个平面
，
因此直线
与
一定共面，故D 正确，C 错误，
只有当
且
时，此时四边形
为平行四边形，此时
，故A 不正确，
只有当
但
时，此时四边形
为梯形，
此时
相交于点
，故B 不正确，
故选：D
二、多选题
9．（23-24 高二上·广东深圳·开学考试）下列说法中正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．三角形一定是平面图形
15
C．梯形一定是平面图形
D．不重合的平面
和平面
有不同在一条直线上的三个交
点
【答案】BC
【解析】对于A，不共线的三点确定一个平面，错误；
对于B，三角形的三个顶点不在一条线，可确定唯一一个平面，故三角形一定是平面图形，正确；
对于C，梯形中有两条线平行，可确定唯一一个平面，故梯形一定是平面图形，正确；
对于D，若不重合的两个平面相交，则它们一定有一条交线，
所有的两个平面的公共点都在这条交线上，错误.故选：BC.
10．（23-24 高一下·安徽芜湖·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若直线与平面
不平行，则与
相交
B．若直线上有两个点到平面
的距离相等，则
C．经过两条平行直线有且仅有一个平面
D．如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行
【答案】CD
【解析】对于A，若直线与平面
不平行，则与
相交或
，故A 错误；
对于B，若直线与平面
相交，直线上仍存在两个在平面
不同侧的点到平面
的距离相等，
故B 错误；
对于C，由两条相互平行的直线能确定一个平面，且该平面有且仅有1 个，故C 正确；
对于D，如果两个平面没有公共点，那么由平行平面的定义得这两个平面平行，故D 正确．故选：
CD.
11．（22-23 高一下·安徽阜阳·月考）下列四个命题中，是真命题的有（ ）
A．若直线a，b 互相平行，则直线a，b 确定一个平面
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面
【答案】ABD
【解析】A：两条相互平行的直线可确定一个平面，故正确；
B：由平行线性质，平行于同一直线的两直线平行，故正确；
C：平行线也没有公共点，但不是异面直线，故错误；
D：若两条直线都垂直于同一个平面，这两条直线平行，与异面直线矛盾，故正确故选：ABD
三、填空题
12．（22-23 高一下·安徽安庆·月考）不共面的四点可以确定平面的个数是 ．
【答案】4
【解析】令
为不共面的四点，则这4 点中任意三个点都不在同一条直线上，
因此从四点中任取三个点都可以确定一个平面，
16
能确定一个平面的三点有：点
，点
，点
，点
，
所以不共面的四点可以确定平面的个数是4.
13．（22-23 高一下·河南郑州·月考）在四棱锥
中，
，
，
为
中点，平面
交
于
，则
【答案】2
【解析】延长
、
，交于点
，连接
，
交
于点
，
，且
，可得点
、
分别是
、
的中点，
又
点
是
的中点，
和
是
的中线，
点
是
的重心，所以
.
14．（22-23 高一下·江西南昌·月考）如图，正方体
的棱长为
分别是
的中点，设过
三点的平面与
交于点
的长为 .
【答案】
/
【解析】设
三点确定的平面为
，则
与平面
的交线为直线
.
设直线
与直线
交于点
，连接
，如图所示，
则直线
是
与平面A1B1C1D1的交线.
由题意知，
与
的交点为
，连接
，
则直线
是平面
与平面
的交线.
由题意知
.
因为
，所以
，所以
.
在
中，
，所以
.
四、解答题
15．（23-24 高一下·全国·课后作业）如图，已知直线
，
，
，
．求证：
17
a，b，c，l 共面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为
，所以
与
共面，
又由
，
，所以
三线共面；
同理可证
三线共面，所以四条直线
共面.
16．（23-24 高一下·陕西咸阳·月考）如图，在正四棱台
中
分别为棱
，
的中点.证明：
（1）
四点共面；
（2）多面体
是三棱台.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）连接
，如图所示，
在正四棱台
中，
，
分别为棱
的中点，
，
18
四点共面.
（2）
，且
，
四边形EFHG 为梯形，
延长GE、HF，则GE 与HF 必相交，不妨设
，
平面
平面
，
平面
平面
，
又
平面
平面
，
交于一点.
又平面
平面
，
∴多面体
是三棱台.
17．（23-24 高一下·江苏高邮·月考） 如图，已知空间四边形
，E，F 分别是AB，BC 的中点，G，H
分别在CD 和AD 上，且满足
. 求证：
（1）
，
，
，
四点共面；
（2）
，
，
三线共点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为
，
分别为
，
的中点，所以
.
又因为
，所以
.所以
，
所以E，F，G，H 四点在同一平面内，
即E，F，G，H 四点共面．
（2）因为E，F 分别为AB，BC 的中点，所以
，
.
由题意知
＝
，
，
，
所以四边形
为梯形，直线
和
必相交，
设交点为M，即
，
19
因为
平面
，所以点
平面
，
同理可得点
平面
.
又因为平面
平面
，所以点
直线
，
所以直线
，
，
三线共点．
18．（22-23 高一下·山西运城·月考）如图，正方体
中，
，
分别为
，
的中点．
（1）求证：
，
，
，
四点共面；
（2）若
，
，
与平面
交于点
，求证：
三点共线．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）连接
，
在正方体
中，∵
，
分别为
，
的中点，
∴
是
的中位线，∴
，
又因为
，∴
∴四边形
为梯形，即
，
，
，
四点共面．
（2）在正方体
中，
，
，
∴
是平面
与平面
的交线，
又因为
交平面
于点
，
∴
是平面
与平面
的一个公共点．
因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，
∴
三点共线．
