文档文本内容
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11.4.1 直线与平面垂直
课程标准
学习目标
（1）理解并会求异面直线所成的角；
（2）了解直线与平面垂直的定义；
（3）掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定
理，并能利用两个定理解决空间中的垂直关系问
题.
（1）了解直线与直线所成角及直线与平面垂直
的定义；
（2）理解直线与平面垂直的判定定理，并会用
其判断直线与平面垂直；
（3）掌握线面垂直的性质定理，并能应用；
（4）会求直线与平面所成角及空间中的距离.
知识点01 直线与直线所成角
1、平面内两条直线所成的角：平面内两条直线相交形成4 个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成
的角（或夹角）.
2、异面直线所成角
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 作直线a′∥a，b′∥b，
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
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（2）角的范围：异面直线所成的角θ 的取值范围：0°＜θ≤90°.
（3）当θ＝90°时，a 与b 互相垂直，记作a⊥b.
垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．
【即学即练1】（23-24 高一下·江苏连云港·期中）如图，在正方体
中，
是
的中点，
求
与
两条异面直线所成角的正弦值为
知识点02 直线与平面垂直及判定定理
1、直线与平面垂直的定义
（1）文字语言：如果直线l 与平面α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α 互相垂直
（2）符号语言：l⊥α
（3）有关概念：直线l 叫做平面α 的垂线，平面α 叫做直线l 的垂面．它们唯一的公共点P 叫做垂足
（4）图形语言：
（5）画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
2、直线与平面垂直的判定定理
（1）文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
（2）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
（3）图形语言：
（4）作用：证明线面垂直
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【即学即练2】（23-24 高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线l 与平面
内的一条直线垂直，则
B．若直线l 与平面
内的两条直线垂直，则
C．若直线l 与平面
内的两条相交直线垂直，则
D．若直线l 与平面
内的任意一条直线垂直，则
知识点03 直线与平面垂直的性质定理
1、性质定理内容：
（1）文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
（2）符号语言：⇒a∥b
（3）图形语言：
（4）作用：①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线
2、性质定理的推论：
（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/
（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.
【即学即练3】（23-24·北京昌平·二模）设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，且
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
知识点04 直线与平面所成的角
1、有关概念：
（1）斜线：与平面α 相交，但不和平面α 垂直，图中直线PA
（2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A
（3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，
图中斜线PA 在平面α 上的射影为AO.
2、直线与平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.
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（2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
（3）取值范围：[0°，90°]
【即学即练4】（23-24 高一下·全国·课时练习）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型一：求异面直线所成角】
例1．（23-24 高二下·山东烟台·月考）如图，已知正四棱锥
的所有棱长均为
为棱
的中点，
则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（21-22 高二上·贵州遵义·期末）如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
为平行四边形，
且
为
的中点，则异面直线
与
所成的角的余弦值
为（ ）
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A．
B．
C．
D．
变式1-2．（22-23 高一下·山东滨州·月考）如图，在长方体
中，
，且
为
的中点，则直线
与
所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-3．（22-23 高一下·江西南昌·月考）如图，在正三棱柱
中，
是棱
的
中点，
在棱
上，且
，则异面直线
与
所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
求两条异面直线所成的交的一般步骤：
第一步构造：根据异面直线的定义，用平移法（一般用三角形中位线、平行四边形的性质）作出异面直线
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所成的角；
第二步证明：证明作出的角就是要求的角；
第三步计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；
第四步结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补
角就是所求异面直线所成的角。
【题型二：直线与平面垂直命题的判断】
例2．（22-23 高一下·福建厦门·月考）已知
是三个不同的平面，
是两条不同的直线，则
（ ）
A．若
∥
，
∥
，则
∥
B．若
∥
，
∥
，则
∥
C．若
，则
∥
D．若
，则
∥
变式2-1．（23-24 高一下·江苏南通·期中）已知空间3 条不同的直线m，n，l 和平面
，则下列说法正确
的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
变式2-2．（2020·全国·模拟预测）设α 是空间中的一个平面，
是三条不同的直线，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
变式2-3．（22-23 高一下·上海宝山·月考）
是空间两条不同直线，
是两个不同平面，下面有四个
命题：
①
，则
，
②
，则
，
③
，则
，
④
，则
，
其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号）
【方法技巧与总结】
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直观判断：通过实物或画图来直观感受空间线面的位置关系，这有助于快速形成判断。
逻辑推理：根据已知条件和线面垂直的判定定理、性质定理，进行逻辑推导，得出结论。
反例验证：对于认为是真的命题，尝试找出反例来验证其真实性；对于认为是假的命题，尝试找到支持其
真实性的证据
【题型三：利用判定定理证明线面垂直】
例3．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，四棱锥
的底面是边长为1 的正方形，
，
．求证：
平面
．
变式3-1．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，在圆锥
中，已知
，
的直径
，点C
在
上，且
，点D 为
的中点．证明：
平面
变式3-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图所示，在四面体
中，已知
，
，
，
.
是线段
上一点，
，点
在线段
上，且
.
证明：
平面
；
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变式3-3．（22-23 高一下·全国·专题练习）如图，在五面体
中，四边形
的对角线
交于
点
，
为等边三角形，
，
，
.证明：
平面
；
【方法技巧与总结】
1、利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤：
第一步：在这个平面内找两条直线，证直线和这两条直线垂直；
第二步：确定这个平面内的两条直线是相交直线；
第三步：根据判定定理得出结论。
2、线面垂直的判定定理的实质是由线线垂直推出线面垂直，途经是找到平面内的两条相交直线均与已知
直线垂直。
【题型四：线面垂直的性质定理的应用】
例4．（2022 高一·全国·专题练习）在四棱锥PABCD 中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD 是矩形，
AE⊥PD 于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
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变式4-1．（22-23 高二上·山东潍坊·月考）如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB⊥平面
PAD，AD＝AP，E 是PD 的中点，M，N 分别在AB，PC 上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
变式4-2．（23-24 高二上·辽宁沈阳·学业考试）已知四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
为线段
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
．
变式4-3．（23-24 高三上·四川成都·期中改编）在三棱锥
中，底面
为等腰直角三角形，
.求证：
.
【方法技巧与总结】
垂直于同一平面的两条直线平行；反之，若两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条直线垂直于该平面
也成立。但是要注意：垂直于同一平面的两平面位置关系不确定。
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【题型五：求直线与平面所成的角】
例5．（22-23 高一下·吉林长春·月考）三棱锥
中，
平面
，
，
，则
直线
与平面
所成的角是 ．
变式5-1．（22-23 高一下·江苏镇江·月考）已知正方体
，直线
与平面
所成角的
正弦值为 .
变式5-2．（22-23 高一下·安徽六安·期末）如图，是
所在平面外一点，
，
，且
面
，
，则
与平面
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-3．（22-23 高一下·陕西榆林·月考）如图，四棱锥
中，
平面ABCD，
，底面
ABCD 是矩形，且
，
．
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求直线AC 与平面APD 所成的角的正弦值；
【方法技巧与总结】
求直线与平面所成的角的一般步骤：
第一步作图：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
第二步证明：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
第三步求解：一般借助三角形的相关知识求角。
【题型六：求点到平面的距离】
例6．（23-24 高一下·北京顺义·月考）如图，在四面体
中，
，
，
两两垂直，已知
，
，则点O 到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-1．（22-23 高一下·黑龙江·期末）在直三棱柱
中，
，
，则点
A 到平面
的距离为 ．
变式6-2．（22-23 高一下·江苏南京·月考）已知
垂直于
所在的平面，
，
，
，则点
到平面
的距离为
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变式6-3．（22-23 高一下·河南商丘·月考）在矩形ABCD 中，
，
，若
平面ABCD，且
，则点A 到平面PBD 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
求点到平面的距离的方法
从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离.求点到平面的距离
一般采用以下三种方法：
一是直接作出点到平面的垂线，当该点到已知平面的垂线不易作出时，可转化为过与已知平面等距离的点
作垂线，然后计算；二是通过补形进行转化，转化为易于求解的点；三是采用等体积法.
【题型七：线面垂直中的动点探究问题】
例7．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图所示，在四面体
中，
，
，
，且
．设P 为AC 的中点，证明：在AB 上存在一点Q，使
，并计算
的值．
变式7-1．（21-22 高一下·山东烟台·期末）如图，在四棱锥
中，
，
．
（1）证明：
；
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（2）在棱VC 上是否存在一点P，使得
平面PAD？若存在，指出点P 的位置；若不存在，说明理由．
变式7-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，侧棱
底面
，底面
是直角梯形，
，
，且
，
，
是
的中点．在线段
上
是否存在一点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
变式7-3．（22-23 高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥
中，
面
，
，
，
，
，
为线段
上的点．
（1）证明：
面
；
（2）若
满足
面
，求
的值．
【方法技巧与总结】
证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的、能在题目中推导出线线垂直关系，进而证明线面垂直。
等腰三角形底边上的中线，菱形、正方形的对角线，三角形勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法。
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一、单选题
1．（23-24 高一下·安徽芜湖·期中）过空间一定点可以作与已知直线垂直的平面的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数个
2．（23-24 高一下·河南郑州·期中）设
是空间中的一个平面，
是三条不同的直线，则下列说法对的
是（ ）
A．若
，
，
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
则
D．若
，
，
，则
3．（23-24 高二上·北京海淀·期末）已知底面边长为2 的正四棱柱
的体积为
，则直线
与
所成角的余弦为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高一下·河南商丘·月考）在四面体
中，
平面
，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高一下·江西萍乡·期中）如图所示，AB 是圆O 的直径，C 是异于A，B 两点的圆周上的任意一
点，PA 垂直于圆O 所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC 中，直角三角形的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（23-24 高一下·广东河源·期中）在正三棱锥
中，顶点
在底面
的射影为点
，
则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
7．（22-23 高一下·浙江杭州·期中）已知长方体
的棱
，
，
，点P，Q
分别是线段
，
上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．对于任意一点Q，直线
与直线
是异面直线
B．对于任意一点Q，存在一点P，使得
C．对于任意一点P，存在一点Q，使得
D．以上说法都不正确
8．（23-24 高一下·浙江绍兴·期中）在正方体
中，点
分别是直线
上的动点，
点
是△
内的动点（不包括边界），记直线
与
所成角为
，若
的最小值为
，则
与平
面
所成角的正弦的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（22-23 高一下·山西大同·期中）已知四边形
为等腰梯形，
为空间内的一条直线，且
平面
，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则//平面
B．若
，则与
为异面直线
C．若
，则
平面
D．若
，则
平面
10．（23-24 高一下·安徽亳州·月考）如图，正方体
的棱长为4，动点
，
在棱
上，且
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，动点
在棱
上，则在三棱锥
中，下列说法正确的是（ ）
A．
的面积与点
，
的位置无关
B．三棱锥
的体积与点
的位置有关
C．三棱锥
的体积与点
，
，
的位置都有关
D．三棱锥
的体积与点
，
，
的位置均无关，是定值
11．（23-24 高一下·广西南宁·月考）在棱长为1 的正方体
中，
是线段
的中点，以
下关于直线
的结论正确的有（ ）
A．与平面
平行
B．与直线
垂直
C．与直线
所成角为
D．与平面
的距离为
三、填空题
12．（22-23 高一下·江苏南京·月考）正方体
中，直线
与平面
所成角的正弦值
为 .
13．（23-24 高一下·全国·专题练习）已知
，若直线
，直线
，且l，m
为两条不同的直线，则l，m 的位置关系是 .
14．（22-23 高一下·浙江·月考）在三棱锥
中，
平面
，则
三棱锥
的表面积为 ．
四、解答题
15．（22-23 高一下·山东菏泽·月考）在四棱锥
中，底面
是矩形，侧棱
底面
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分别是
的中点，
．
（1）求证：
平面
；
（2）若
，求点
到平面
的距离．
16．（23-24 高一下·广东珠海·期中）如图，正方体
的棱长是.
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
17．（22-23 高一下·山东枣庄·月考）如图，在边长为2 的正方形
中，点E 是AB 的中点，点F 是BC
的中点，将
分别沿
折起，使A，B，C 三点重合于点
（1）求证
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（2）求三棱锥
的体积
18．（23-24 高一上·江苏·月考）如图所示，正四棱锥
中，
为底面正方形的中心，侧棱
与底
面
所成的角的正切值为
.
（1）若
是
的中点，求异面直线
与
所成角的正切值；
（2）在（1）的条件下，问在棱
上是否存在一点
，使
侧面
，若存在，试确定点
的位置；
若不存在，说明理由.
19．（22-23 高一下·山西太原·月考）如图，已知直三棱柱
，O，M，N 分别为线段
，
，
的中点，
为线段
上的动点，
，
.
（1）若
，试证
；
（2）在（1）的条件下，当
时，试确定动点
的位置，使线段
与平面
所成角的正弦值最
大，并求出最大值.
