1
2.6.1 双曲线的标准方程
课程标准
学习目标
1.通过对双曲线的定义，标准方程的
学习，培养数学抽象素养
2.借助于双曲线标准方程的推导过
程，提升逻辑推理、数学运算素养
1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问
题
2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.
理解双曲线标准方程的推导过程并能运用标准方程
解决相关问题:
知识点01 双曲线的定义
1.定义：在平面内，到两个定点
、
的距离之差的绝对值等于常数
（
大于0 且
）的动
点
的轨迹叫作双曲线.
2.焦距：这两个定点
、
叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
注意：1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数
满足约束条件：
（
），则动
点轨迹仅表示双曲线中靠焦点
的一支；若
（
），则动点轨迹仅表示双曲
2
线中靠焦点
的一支；
2. 若常数
满足约束条件：
，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括
端点）；
3. 若常数
满足约束条件：
，则动点轨迹不存在；
4. 若常数
，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
【即学即练1】（23-24 高二上·江西·期末）已知点P 是双曲线C：x
2−y
2
15 =1上一点，F1，F2分别为C 的
左、右焦点，若|P F1|=7，则|P F2|=（ ）
A．5
B．13
C．5 或9
D．5 或6
【答案】C
【分析】由双曲线的定义求解.
【详解】由题意可知a=1，c =√1+15= 4，|P F1|>c +a=5，若|P F1|=7，则|7−| P F2||=2 ⇒
|P F2|=5或9．
故选：C
【即学即练2】（23-24 高二上·河南洛阳·阶段练习）已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“
|| M F1|−| M F2||为定值”是“动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】充分、必要条件的判断，一方面需要判断充分性，另一方面要判断必要性，结合双曲线的定义，
只有“|| M F1|−| M F2||为定值”且“|| M F1|−| M F2||<| F1 F2|”时才成立，即可做出判断．
【详解】充分性：当“|| M F1|−| M F2||为定值”，但“|| M F1|−| M F2||≥| F1 F2|”时，
“动点M的轨迹不是双曲线”，不满足充分性；
必要性：以F1，F2为焦点的双曲线上的动点M满足“|| M F1|−| M F2||为定值”，满足必要性；
3
因此“|| M F1|−| M F2||为定值”是“动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线”的必要不充分条
件．
故选：B.
知识点02 双曲线的标准方程
1、当焦点在
x
轴上时，双曲线的标准方程：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0,
0)
a
b
，其中
2
2
2
c
a
b
；
2、当焦点在
y
轴上时，双曲线的标准方程：
2
2
2
2
1
y
x
a
b
(
0,
0)
a
b
，其中
2
2
2
c
a
b
注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C 均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C 可化为
2
2
1
Ax
By
C
C
，即
2
2
1
x
y
C
C
A
B
，
所以只有A、B 异号，方程表示双曲线。
当
0,
0
C
C
A
B
时，双曲线的焦点在x 轴上；
当
0,
0
C
C
A
B
时，双曲线的焦点在y 轴上。
【即学即练3】（23-24 高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点(−1,0)，焦点分别为F1(−2,0)、F2(2,0)，
则双曲线的方程为（ ）
A．x
2
2 −y
2=1
B．x
2−y
2
2 =1
C．x
2
3 −y
2=1
D．x
2−y
2
3 =1
【答案】D
【分析】由a,b,c的关系结合已知即可求解.
【详解】由题意知a=1，c =2，所以b
2=c
2−a
2= 4−1=3，
所以双曲线的方程为x
2−y
2
3 =1.
故选：D.
【即学即练4】（23-24 高二上·广东肇庆·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九
章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC 的“勾”
“股”分别为6，8，以AB 所在的直线为x轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则以A，B 为
4
焦点，且过点C 的双曲线方程为（ ）
A．x
2−y
2
24 =1
B．x
2
24 −y
2=1
C．x
2
49 −y
2
24 =1
D．x
2
4 −y
2
21 =1
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解.
【详解】依题意，双曲线焦点在x 轴上，焦距2c =| AB|=10，即c =5，
实轴长2a=|| AC |−|BC ||=8−6=2，即a=1，于是虚半轴长b=√c
2−a
2=2√6，
所以所求双曲线方程为x
2−y
2
24 =1.
故选：A
难点：数形结合的运用
示例1：（23-24 高二下·安徽·期末）已知双曲线E：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F，直线l：y = x与
E 交于A，B 两点，且AF ⊥BF，则b
2
a
2 = .
【答案】√2+1/1+√2
【分析】设双曲线E的左焦点为F
'，分析可知A F
' BF为矩形，则|AO|=|O F
'|=|OF|=c ,∠AOF = 45°，
5
分析可知¿，即可得结果.
【详解】设双曲线E的左焦点为F
'，连接A F
' ,B F
'，|A F
'|=m,|AF|=n，
由对称性可知：|OA|=|OB|,|O F
'|=|OF|，可知A F
' BF为平行四边形，
且AF ⊥BF，可知A F
' BF为矩形，可得|AO|=|O F
'|=|OF|=c ,∠AOF = 45°，
由题意可得：¿，即¿，
因为(m−n)
2=m
2+n
2−2mn，可得4 a
2= 4 c
2−2√2c
2= 4(a
2+b
2)−2√2(a
2+b
2)，
整理可得b
2
a
2 =
1
√2−1 =√2+1.
故答案为：√2+1.
【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
6
【题型1：双曲线的定义】
例1．（2023 高三·全国·专题练习）已知动点M ( x , y)满足√( x +2)
2+ y
2−√( x −2)
2+ y
2= 4，则动点M的
轨迹是（ ）
A．射线
B．直线
C．椭圆
D．双曲线的一支
【答案】A
【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.
【详解】设F1(−2,0), F2(2,0)，由题意知动点M 满足|M F1|−|M F2|= 4 =|F1 F2||，故动点M 的轨迹是
射线.
故选：A.
变式1．（22-23 高二上·全国·课后作业）到两定点F1(−3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6 的点M
的轨迹（ ）
A．椭圆
B．直线
C．双曲线
D．两条射线
【答案】D
【分析】根据动点到两定点的距离和两定点的距离关系判断即可.
【详解】因为||M F1|−|M F2||=6，|F1 F2|=6，
故M的轨迹是已F1、F2为端点的两条射线，
故选：D.
变式2．（22-23 高二下·福建福州·期中）设P 是双曲线x
2
16 −y
2
20 =1上一点，F1，F2 分别是双曲线左、右两
个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1
B．17
C．1 或17
D．8
【答案】B
【分析】先求出P 点的位置，再根据双曲线的定义求解.
【详解】对于x
2
16 −y
2
20 =1,a
2=16,b
2=20,∴c
2=a
2+b
2=36,a= 4 ,c =6 ，
|P F1|=9< a+c ，所以P 点在双曲线的左支，则有|P F2|−|P F1|=2a=8,∴|P F2|=17 ；
故选：B.
7
变式3．（23-24 高二上·广东东莞·期中）设F1、F2是两定点，|F1 F2|=6，动点P 满足|P F1|−|P F2|= 4，
则动点P 的轨迹是（ ）
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．一条射线
D．轨迹不存在
【答案】B
【分析】由|P F1|−|P F2|= 4<|F1 F2|判断出正确答案.
【详解】依题意，F1、F2是两个定点，P 是一个动点，
且P满足|P F1|−|P F2|= 4<|F1 F2|，所以动点P 的轨迹是双曲线的一支.
故选：B
变式4.（23-24 高二上·全国·课后作业）如果双曲线x
2
64 −y
2
36 =1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P
到另一焦点F2的距离是 ．
【答案】22
【分析】由双曲线定义得到方程，进行求解.
【详解】由题意得||P F1|−|P F2||=2a=16，又|P F1|=6，所以|P F2|=22.
故答案为：22
变式5．（22-23 高二上·山西晋中·期末）与两圆x
2+ y
2= 4及x
2+ y
2−8 x +15=0都外切的圆的圆心的轨迹
为（ ）
A．椭圆
B．双曲线的一支
C．抛物线
D．圆
【答案】B
【分析】设所求动圆圆心为P，圆P的半径为r，根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可得出结论.
【详解】圆x
2+ y
2= 4的圆心为O(0,0)，半径为2；
圆x
2+ y
2−8 x +15=0的标准方程为(x −4)
2+ y
2=1，圆心为B (4,0)，半径为1，
设所求动圆圆心为P，圆P的半径为r，
8
由于动圆P与圆O、圆B均外切，则¿，
所以，|PO|−|PB|=1<|OB|= 4，因此动圆的圆心P的轨迹为双曲线的一支.
故选：B.
变式6．(多选)（23-24 高二上·河南焦作·阶段练习）平面内到两定点F1(−3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对
值等于常数2a 的点M 的轨迹（ ）
A．椭圆
B．一条直线
C．两条射线
D．双曲线
【答案】BCD
【分析】由双曲线的定义判断．
【详解】当a=0时，点M 的轨迹为F1 F2的垂直平分线，
当2a=| F1 F2|=6时，点M 的轨迹为两条射线，
当0<2a<| F1 F2|=6时，点M 的轨迹为双曲线，
当2a>| F1 F2|=6时，点M不存在，
故选：BCD
变式7 ．（多选）（21-22 高二上· 全国· 课后作业）已知F1(−3,0), F2(3,0)，满足条件
|P F1|−|P F2|=2m−1的动点P的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，m可以是（ ）
A．1
2
B．2
C．−1
D．−3
【答案】BC
【分析】根据题意，结合双曲线的定义，列出不等式组¿，即可求解.
【详解】由双曲线的焦点坐标F1(−3,0), F2(3,0)，可得2c =6，
要使得满足条件|P F1|−|P F2|=2m−1的动点P的轨迹是双曲线的一支，
则满足¿，解得−5
2 <m< 7
2且m≠1
2，
9
结合选项，选项B、C 符合题意.
故选：BC.
变式8．（23-24 高二下·北京·期中）双曲线x
2
9 −y
2
16 =1的左右焦点分别是F1与F2, M是双曲线右支的一点，
且|M F1|=7，则|M F2|= ．
【答案】1
【分析】根据双曲线的定义即可求解.
【详解】由双曲线的定义可知，| M F1|−| M F2|=2a=6，
所以|M F2|=7−6=1.
故答案为：1.
变式9．（23-24 高二上·湖南岳阳·期末）如果双曲线x
2
4 −y
2
3 =1右支上一点P到左焦点F1的距离等于6，则
点P到另一个焦点F2的距离为
.
【答案】2
【分析】借助双曲线定义即可得.
【详解】由双曲线定义可得||P F1|−|P F2||=2a= 4，
又P为右支上一点，故|P F1|−|P F2|= 4，
即|P F2|=|P F1|−4 =6−4 =2.
故答案为：2.
【题型2：双曲线的标准方程】
10
例2．（23-24 高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左，右焦点分别是
F1(−13,0)，F2(13,0)，点P在双曲线C上，且|P F1|−|P F2|=10，则双曲线C的方程是（ ）
A．x
2
5 −y
2
12 =1
B．x
2
12 −y
2
5 =1
C．x
2
144 −y
2
25 =1
D．x
2
25 −y
2
144 =1
【答案】D
【分析】根据双曲线定义求解即可.
【详解】由题意可知2a=10，c =√a
2+b
2=13，解得a=5，b=12，
所以双曲线C的方程是x
2
25 −y
2
144 =1．
故选：D．
变式1．（23-24 高二上·全国·课后作业）在双曲线的标准方程中，若a=6,b=8，则其标准方程是
（ ）
A．y
2
36 −x
2
64 =1
B．x
2
64 −y
2
36 =1
C．x
2
36 −y
2
64 =1
D．x
2
36 −y
2
64 =1或y
2
36 −x
2
64 =1
【答案】D
【分析】双曲线的标准方程有两种情形，一是焦点在x 轴，另一种焦点在y 轴，根据a 与b 写出标准方程
即可．
【详解】在双曲线的标准方程中，a=6,b=8，
当双曲线的焦点在x 轴上时，它的标准方程是x
2
36 −y
2
64 =1；
当双曲线的焦点在y 轴上时，它的标准方程是y
2
36 −x
2
64 =1.
所以双曲线标准方程是x
2
36 −y
2
64 =1或y
2
36 −x
2
64 =1.
故选：D
变式2．（21-22 高二下·广东佛山·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,5)，F2(0,−5)，P 是
双曲线上一点且满足||P F1|−|P F2||=6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．x
2
16 −y
2
9 =1
B．x
2
9 −y
2
16 =1
C．y
2
16 −x
2
9 =1
D．y
2
9 −x
2
16 =1
11
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义求得正确答案.
【详解】依题意c =5，||P F1|−|P F2||=2a=6,a=3，
所以b=√c
2−a
2= 4，
由于双曲线的焦点在y轴上，
所以双曲线的标准方程是y
2
9 −x
2
16 =1.
故选：D
变式3．（22-23 高二上·北京·阶段练习）已知双曲线的一个焦点为(5,0)，一个顶点为(3,0)，则双曲线方程
的标准方程为（ ）
A．y
2
16 −x
2
9 =1
B．x
2
25 −y
2
9 =1
C．x
2
25 −y
2
16 =1
D．x
2
9 −y
2
16 =1
【答案】D
【分析】根据双曲线中a,b,c的关系求解.
【详解】由题可知，双曲线的焦点在x轴上，所以可设方程为x
2
a
2 −y
2
b
2 =1，
且c =5,a=3，所以b
2=c
2−a
2=16，
所以双曲线方程为x
2
9 −y
2
16 =1，
故选:D.
变式4．（22-23 高二上·北京海淀·期中）已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,4)，F2(0,−4)，P 是双曲
线上一点且||P F1|−|P F2||=6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．x
2
7 −y
2
9 =1
B．x
2
9 −y
2
7 =1
C．y
2
9 −x
2
7 =1
D．y
2
7 −x
2
9 =1
【答案】C
【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到a=3，得到b
2=7，求出双曲线方程.
12
【详解】由题意得：双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为y
2
a
2 −x
2
b
2 =1，
||P F1|−|P F2||=2a=6，故a=3，又c = 4，
故b
2=c
2−a
2=16−9=7，
故双曲线的标准方程为：y
2
9 −x
2
7 =1.
故选：C
变式5．（22-23 高二上·江苏连云港·期末）经过点( 4√3
3
,2√3)且焦点为(0,−5)，(0,5)的双曲线的标准方
程是 ．
【答案】y
2
9 −x
2
16 =1
【分析】由焦点坐标得c =5，由定义得a=3，即可求出双曲线的标准方程.
【详解】双曲线的焦点在y轴上，且c =5，
因
为
双
曲
线
过
点
( 4√3
3
,2√3)，
根
据
双
曲
线
的
定
义
得
：
2a=|√( 4√3
3
)
2
+(2√3+5)
2−√( 4√3
3
)
2
+(2√3−5)
2|=6，则a=3，
则b
2=c
2−a
2=16，所以双曲线的标准方程为y
2
9 −x
2
16 =1
故答案为：y
2
9 −x
2
16 =1.
变式6．（22-23 高二下·上海黄浦·期中）双曲线Γ经过两点A (−√2,−√3)，B(
√15
3 ,√2)，则双曲线Γ的
标准方程是 ．
【答案】x
2−y
2
3 =1
【分析】设双曲线的方程为m x
2+n y
2=1,mn<0，根据题意列式求解m,n即可.
【详解】设双曲线的方程为m x
2+n y
2=1,mn<0，
由题意可得：¿，解得¿，
13
所以双曲线Γ的标准方程是x
2−y
2
3 =1.
故答案为：x
2−y
2
3 =1.
变式7．（22-23 高二上·江苏扬州·期中）已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C 经过点(4 ,√13)，则双曲线
C 的标准方程为
.
【答案】x
2
3 −y
2
3 =1
【分析】利用等轴双曲线的性质得出a=b，设出标准方程，将坐标点代入求得a和b的值，即可得出双曲线
C 的标准方程.
【详解】解：由题意，
在等轴双曲线C 中，对称轴是坐标轴，图像过(4 ,√13)，
当焦点在x 轴时
设C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，则a=b
∴¿解得：a=b=√3
∴C : x
2
3 −y
2
3 =1，
当焦点在y 轴时，不成立，
综上，C : x
2
3 −y
2
3 =1.
故答案为：x
2
3 −y
2
3 =1.
变式8．（20-21 高二·全国·课后作业）已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(√5，0)
和(－√5，0)，点P在双曲线上，且P F1⊥P F2，△P F1 F2的面积为1，则双曲线的方程为 ．
【答案】x
2
4 －y2＝1
【分析】由已知可得¿从而可求出(|PF1|－|PF2|)2＝16，由双曲线的定义可求出a，而c＝√5，b
2=c
2−a
2，
可求出b，进而可求得双曲线的方程
【详解】由题意得¿
⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，
14
又c＝√5，所以b＝1，
故双曲线的方程为x
2
4 －y2＝1.
故答案为：x
2
4 －y2＝1.
变式9．（21-22 高二·全国·课后作业）求焦点在x 轴上，且经过点P(4,2)与Q(2√6,2√2)的双曲线的标
准方程．
【答案】x
2
8 −y
2
4 =1
【分析】设出双曲线方程，代入点的坐标，待定系数法求出标准方程.
【详解】设双曲线方程为：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1，将点P(4,2)与Q(2√6,2√2)代入得：¿，解得：¿，故双曲线的
标准方程为：x
2
8 −y
2
4 =1.
【方法技巧与总结】
用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：
【题型3：双曲线定义的应用】
例3．（2024 高二·全国·专题练习）若曲线x
2
k + 4 +
y
2
k −1 =1表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）
A．[−4,1)
B．(−∞,−4)∪(1,+ ∞)
C．(−4,1)
D．(−∞,−4]∪[1,+∞)
【答案】C
【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案.
15
【详解】根据题意，若曲线x
2
k + 4 +
y
2
k −1 =1表示双曲线，则有(k + 4)(k −1)<0，
解得−4<k <1.
故选：C
变式1．（23-24 高二上·湖北十堰·阶段练习）方程
x
2
(4−t ) +
y
2
(t −2) =1所表示的曲线为C，有下列命题：①
若曲线C为椭圆，则2<t <4；②若曲线C为双曲线，则t >4或t <2；③曲线C不可能是圆；④若曲线C表示
焦点在y轴上的椭圆，则3<t <4.
以上命题正确的是（ ）
A．②③
B．①④
C．②④
D．①②④
【答案】C
【分析】根据椭圆、双曲线、圆的方程的特征逐一求出参数范围即可判断.
【详解】对于①，曲线C为椭圆时，¿，解得：2<t <3或3<t <4，故①错误；
对于②，曲线C为双曲线时，(4−t )(t −2)<0，解得：t >4或t <2，故②正确；
对于③，若曲线C是圆，则必有：¿解得：t =3，即曲线C可以表示圆，故③错误；
对于④，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆时，¿解得：3<t <4，故④正确.
故选：C.
变式2．（22-23 高二上·辽宁沈阳·期末）若方程x
2
k +1 +
y
2
k −2 =1表示双曲线，则实数k 的取值范围为
（ ）
A．(−1,2)
B．(−∞,−1)
C．(2,+∞)
D．(−∞,−1)∪(2,+∞)
【答案】A
【分析】由双曲线方程定义列不等式求解.
【详解】依题意，得(k +1)(k −2)<0，则−1<k <2．
故选：A．
变式3．（22-23 高二下·四川内江·阶段练习）方程x
2
1+m +
y
2
m−2 =1表示双曲线，则m的取值范围是
.
【答案】−1<m<2
【分析】通过双曲线的标准方程，列出不等式，求解即可.
【详解】方程x
2
1+m +
y
2
m−2 =1表示双曲线，
16
可得(1+m)(m−2)<0，
解得−1<m<2，
故答案为：−1<m<2.
变式4．（23-24 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若方程x
2+m y
2−m=0表示双曲线，则实数m的取值范围是
.
【答案】m<0
【分析】根据双曲线的方程即可求解.
【详解】若方程x
2+m y
2−m=0表示双曲线，显然m≠0，
则由x
2+m y
2−m=0可得x
2
m + y
2=1，
故m<0,
故答案为：m<0
变式5．（23-24 高二上·辽宁大连·阶段练习）若方程m x
2+(1−m) y
2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实
数m的取值范围为
.
【答案】(−∞,0)
【分析】根据双曲线焦点在y轴上有¿，求解即可得出参数范围.
【详解】因方程m x
2+(1−m) y
2=1表示焦点在y轴上的双曲线，
则有¿，解得m<0，
所以实数m的取值范围为(−∞,0).
故答案为：(−∞,0).
变式6．（23-24 高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，方程x
2
k −1 +
y
2
k −3 =1表示焦点在x轴
上的双曲线，则k的取值范围为 ．
【答案】(1,3)
【分析】由题意可得¿，从而可求出k的取值范围.
【详解】将方程化为x
2
k −1 −
y
2
3−k =1，因为方程表示焦点在x轴上的双曲线，
所以¿，解得1<k <3，
即k的取值范围为(1,3)，
故答案为：(1,3)
变式7．（21-22 高二·全国·课后作业）若方程y
2
4 −
x
2
m−1 =1表示双曲线，则实数m 的取值范围是
17
.
【答案】m>1
【分析】直接由双曲线标准方程的形式得到不等式，解不等式即可.
【详解】由题意知：m−1>0，解得m>1.
故答案为：m>1.
变式8．（22-23 高二上·江苏扬州·期中）已知x
2
m−3 +
y
2
11−m =1，当m为何值时，
(1)方程表示焦点在y轴上的椭圆；
(2)方程表示双曲线.
【答案】(1)3<m<7
(2)m<3或11<m
【分析】（1）结合椭圆几何性质即可；
（2）结合双曲线几何性质即可.
【详解】（1）由题知：
¿ ，
解得：3<m<7
（2）由题知:
(m−3)(11−m)<0 ,
解得：m<3或11<m
【题型4：焦点三角形】
例4．（2022·海南·模拟预测）设双曲线x
2
4 −y
2
3 =1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，
|P F1|=3|P F2|，则∠F1 P F2的大小为（ ）
A．30
∘
B．45
∘
C．60
∘
D．90
∘
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义可得|P F1|−|P F2|= 4，又|P F1|=3|P F2|可得：|P F1|=6，|P F2|=2，结合
|F1 F2|=2√7，再利用余弦定理即可得解.
【详解】根据双曲线的定义得|P F1|−|P F2|= 4，
18
又因为|P F1|=3|P F2|，所以|P F1|=6，|P F2|=2．
又因为|F1 F2|=2√7，
所以在△F1 PF中结合余弦定理的推论得：
cos∠F1 P F2= 6
2+2
2−(2√7)
2
2×6×2
= 1
2
，
因为0
∘<∠F1 P F2<180
∘，得∠F1 P F2的大小为60
∘．
故选：C
变式1．（22-23 高二上·贵州贵阳·期末）设F1，F2分别是双曲线C：x
2−y
2
2 =1的左､右焦点，P 为C 上一
点且在第一象限若|P F1|=2|P F2|，则点P 的纵坐标为（ ）
A．1
B．√3
C．2
D．2√3
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义可得|P F1|= 4 ,|P F2|=2，进而根据长度关系判断P F2⊥F1 F2，代入x =√3
即可求解.
【详解】根据题意可知：a=1,b=√2,c =√3 ，由|P F1|=2|P F2|以及|P F1|−|P F2|=2a=2可得
|P F1|= 4 ,|P F2|=2，又|F1 F2|=2c =2√3，
由于|P F1|
2=|P F2|
2+|F1 F2|
2,故P F2⊥F1 F2，即三角形P F1 F2为直角三角形，
将x =√3代入x
2−y
2
2 =1得|y|=2，由于P 为C 在第一象限，故点P 的纵坐标为2，
故选：C
19
变式2．（2022·全国·模拟预测）设F1，F2是双曲线x
2
4 −y
2
12 =1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且
3|P F1|=5|P F2|，则△P F1 F2的面积等于（ ）
A．24
B．15√2
C．12√3
D．30
【答案】A
【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得△P F1 F2的三边长，进而求得△P F1 F2的面积
【详解】由3|P F1|=5|P F2|，可得|P F1|= 5
3|P F2|
又P是是双曲线x
2
4 −y
2
12 =1上的一点，则|P F1|−|P F2|= 2
3|P F2|= 4，
则|P F2|=6，|P F1|=10，又|F1 F2|=8
则|P F2|
2+|F1 F2|
2=|P F1|
2，则P F2⊥F1 F2
则△P F1 F2的面积等于1
2|P1 F2|⋅|F1 F2|= 1
2 ×6×8=24
故选：A
变式3．（2022 高三·全国·专题练习）设F1, F2是双曲线C : x
2
4 −y
2
3 =1的两个焦点，O为坐标原点，点P
在C上，PQ⊥x轴于点Q，且Q在线段F1 F2上，|PQ|
2=|F1Q|⋅|F2Q|，则|F1 P|+|P F2|=（ ）
A．4
B．6
C．2√10
D．40
【答案】C
【分析】根据相似可得垂直关系，进而根据双曲线定义，即可求解.
【详解】由双曲线方程可得：a=2,b=√3,c =√a
2+b
2=√7，
由|PQ|
2=|F1Q|⋅|F2Q|可得△F1QP∼△PQ F2，
所以F1 P⊥P F2,故|F1 P|
2+|P F2|
2=|F2 F1|
2= 4 c
2=28，
不妨设P在第一象限，则|F1 P|−|P F2|=2a= 4，
故(|F1 P|−|P F2|)
2=|F1 P|
2+|P F2|
2−2|F1 P||P F2|=16，得2|F1 P||P F2|=12，
20
又(|F1 P|+|P F2|)
2=|F1 P|
2+|P F2|
2+2|F1 P||P F2|=28+12= 40，
故|F1 P|+|P F2|=2√10，
故选：C
变式4.（20-21 高二上·上海宝山·阶段练习）已知椭圆x
2
m + y
2=1(m>1)和双曲线x
2
n −y
2=1(n>0)有相同
的焦点F1, F2，点P是它们的一个公共点，则△F1 P F2的形状是
三角形（填锐角，直角，钝角）.
【答案】直角
【分析】在焦点三角形中根据椭圆和双曲线的定义证明求解即可.
【详解】因为椭圆x
2
m + y
2=1(m>1)和双曲线x
2
n −y
2=1(n>0)有相同的焦点，
所以m−1=n+1，得m=n+2，
根据椭圆的定义得P F1+ P F2=2√m，
根据双曲线的定义得|P F1−P F2|=2√n，
所以(P F1+ P F2)
2+(P F1−P F2)
2= 4(m+n)，
即2(P F1
2+ P F2
2)= 4(m+n)=8(n+1)，
所以P F1
2+ P F2
2= 4(m+n)= 4(n+1)= F1 F2
❑2,
所以△F1 P F2的形状是直角三角形.
故答案为:直角.
变式5．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知双曲线y
2
3 −x
2
5 =1的两个焦点分别是F1, F2，点A ,B在双曲
线上，且线段AB经过焦点F1，|AB|=5，则△AB F2的周长为
.
【答案】10+ 4√3
21
【分析】根据双曲线的定义可得|B F2|−|B F1|=2√3，|A F2|−|A F1|=2√3，进而可得
|B F2|+|A F2|+|AB|=10+ 4√3.
【详解】
由双曲线的定义可得|B F2|−|B F1|=2√3①，|A F2|−|A F1|=2√3②，
两式相加得|B F2|−|B F1|+|A F2|−|A F1|= 4√3，即|B F2|+|A F2|−|AB|=|B F2|+|A F2|−5= 4√3，
所以|B F2|+|A F2|=5+ 4√3，故△AB F2的周长为|B F2|+|A F2|+|AB|=10+ 4√3.
故答案为：10+ 4√3
变式6．（23-24 高二上·上海青浦·阶段练习）双曲线x
2−y
2
4 =1的左右两个焦点为F1，F2，第二象限内的
一点P 在双曲线上，且∠F1 P F2=2π
3
，则三角形F1 P F2的面积是 ．
【答案】4√3
3
/4
3 √3
【分析】利用双曲线的定义表达式和余弦定理联立方程组，可求得| P F1|⋅| P F2|的值，代入三角形的
面积公式计算即得.
【详解】
22
由x
2−y
2
4 =1可得：a=1,b=2,c =√5，如图，设| P F1|=m,| P F2|=n,则n−m=2①，
在△P F1 F2中，由余弦定理，20=m
2+n
2−2mncos 2π
3 ，即：m
2+n
2+mn=(m−n)
2+3mn=20②
由①②联立，解得：mn= 16
3 .
则三角形F1 P F2的面积为1
2 mnsin2π
3 = √3
4 × 16
3 = 4
3 √3.
故答案为：4
3 √3.
变式7.（21-22 高二上·全国·课后作业）已知F1、F2是双曲线x
2
16 −y
2
9 =1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，
那么|P F2|+|Q F2|−|PQ|的值是 ．
【答案】16
【分析】由双曲线的定义可得答案.
【详解】由双曲线方程得，2a=8，
由双曲线的定义得|P F2|−|P F1|=2a=8，①
|Q F2|−|Q F1|=2a=8，②
①＋②，得|P F2|+|Q F2|−(|P F1|+|Q F1|)=16，
所以|P F2|+|Q F2|−|PQ|=16．
故答案为：16.
【方法技巧与总结】
求双曲线中焦点三角形面积的方法：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
23
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③利用公式
＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式
＝×|F1F2|×|yP|(yP为P 点的纵坐标)求
得面积
④结论：S∆P F1 F2=
b
2
tan θ
2
【题型5：和差最值问题】
例5．（23-24 高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆C : x
2+( y −4)
2=1上有一动点P，双曲线
M : x
2
9 −y
2
7 =1的左焦点为F，且双曲线的右支上有一动点Q，则|PQ|+|QF|的最小值为（ ）
A．4√2−1
B．4√2−5
C．4√2+7
D．4√2+5
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可.
【详解】
∵
在双曲线
M : x
2
9 −y
2
7 =1
中，
a
2=9
，
b
2=7
，
∴ c
2=16，∴ F (−4,0)，
设双曲线的右焦点为F2，则F2(4,0)，
∵ Q在双曲线的右支上，
∴ |QF|−|Q F2|=2a=6，即|QF|=|Q F2|+6，
由题知，圆心C (0,4)，半径r =1，P在圆C上，
∴ |PQ|≥|QC|−1，
则|PQ|+|QF|=|PQ|+|Q F2|+6≥|QC|+|Q F2|+5，
当C，Q，F2三点共线且Q 位于另两点之间时，|QC|+|Q F2|取得最小值为|C F2|= 4√2，
24
此时|PQ|+|QF|≥|QC|+|Q F2|+5= 4√2+5，
∴ |PQ|+|QF|的最小值为4√2+5.
故选：D.
变式1．（21-22 高二上·山西运城·期中）已知椭圆x
2
9 + y
2
25 =1的一个焦点为F，双曲线x
2
4 −y
2
5 =1的左、
右焦点，分别为F1，F2，点P 是双曲线左支上一点，则△PF F2周长的最小值为（ ）
A．5
B．5+√3
C．10
D．14
【答案】D
【分析】先确定相关点的坐标，然后运用双曲线的定义转化边的关系，最后根据三点共线即可求得最小值.
【详解】根据椭圆方程，不妨设F(0,4)，根据双曲线方程，可知F1(−3,0), F2(3,0)，从而可知
| F F2|=5，
由双曲线定义可知| P F2|−| P F1|= 4，即| P F2|=| P F1|+ 4，
所以△PF F2周长=| P F2|+| PF |+| F F2|=| P F1|+ 4 +| PF |+5=| P F1|+| PF |+9，
要使其周长最小，即求| P F1|+| PF |的最小值，显然当P , F , F1三点共线时，| P F1|+| PF |有最小值，
且最小值是5，
因此，△PF F2周长为5+9=14.
故选:D
变式2．（20-21 高二·全国·课后作业）已知F是双曲线x
2
4 −y
2
12 =1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支
上的动点，则| PF |+| PA |的最小值为（ ）
A．9
B．5
C．8
D．4
【答案】A
25
【分析】根据双曲线的定义转化为| PF |+| PA |=|P F
'|+| PA |+ 4可求解.
【详解】设右焦点为F
'，则F
'(4,0)，依题意，有| PF |=|P F
'|+ 4，
∴| PF |+| PA |=|P F
'|+| PA |+ 4≥|A F
'|+ 4 =5+ 4 =9，（当P在线段A F
'上时，取等号）．
故| PF |+| PA |的最小值为9.
故选：A.
变式3．（20-21 高二上·山西运城·阶段练习）已知A(-4，0)，B 是圆x
2+( y −3)
2=1上的点，点P 在双曲
线x
2
4 −y
2
12 =1的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．9
B．2√5+ 4
C．8
D．7
【答案】C
【分析】由双曲线的定义结合圆的对称性得出| PA |+| PB|=| PB|+| PC |+ 4≥| DC |−1+ 4 =8.
【详解】圆x
2+( y −3)
2=1的圆心为D(0,3)
由双曲线的性质可知，A为其左焦点，右焦点为C(4,0)，| DC |=√4
2+3
2=5
由定义可知| AP|−| PC |= 4 ,| AP|= 4 +| PC |
即| PA |+| PB|=| PB|+| PC |+ 4≥| DC |−1+ 4 =8
故选：C
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用双曲线的定义得出| PA |+| PB|=| PB|+| PC |+ 4，进
而得出最小值.
变式4．（20-21 高二上·河南开封·期中）已知F是双曲线C：x
2
9 −y
2
7 =1的右焦点，P为C右支上一点，
26
A (4,1)，则|PA|+|PF|的最小值为（ ）
A．√65−3
B．√65−6
C．√65+6
D．2
【答案】B
【解析】记双曲线C的左焦点为F
'，利用双曲线的定义，得到|PA|+|PF|=|PA|+|P F
'|−6，进而可求出结
果.
【详解】
记双曲线C的左焦点为F
'，则F
' (−4,0)，
因为P为C右支上一点，由双曲线的定义可得，|P F
'|−|PF|=2a=6，
所以|PA|+|PF|=|PA|+|P F
'|−6≥|A F
'|−6=√(4 + 4)
2+1−6=√65−6，
当且仅当F
'，P，A三点共线时，取得最小值.
故选：B.
变式5．（21-22 高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线x
2
3 −y
2=1的左右焦点分别为F1､F2，P为双曲线
右支上一点，点Q的坐标为(−2,3)，则|PQ|+|P F1|的最小值为 .
【答案】5+2√3/2√3+5
【分析】利用双曲线定义可将|PQ|+|P F1|转化为|PQ|+|P F2|+2√3，结合三角形三边关系可确定最小值
为三点共线时的取值|Q F2|+2√3，由此可计算得到结果.
【详解】
27
由双曲线方程知：a=√3，b=1，c =2，则F1(−2,0)，F2(2,0)，
由双曲线定义知：|P F1|−|P F2|=2a=2√3，
∴|PQ|+|P F1|=|PQ|+|P F2|+2√3≥|Q F2|+2√3（当且仅当P在线段Q F2上时取等号），
又|Q F2|=√(−2−2)
2+(3−0)
2=5，∴(|PQ|+|P F1|)min=5+2√3.
故答案为：5+2√3.
变式6．（20-21 高二·全国·课后作业）已知双曲线的方程为x
2−y
2
4 =1，如图所示，点A (−√5,0)，B是圆
x
2+( y −√5)
2=1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，则|MA|+|MB|的最小值为
【答案】√10+1.
【分析】设点D的坐标为(√5,0)，得到点A , D是双曲线的焦点，根据题意和双曲线的定义，化简得到
|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，结合圆的方程，得到|BD|≥|CD|−1，进而求得|MA|+|MB|的
最小值.
【详解】由双曲线x
2−y
2
4 =1，可得a=1,b=2，则c =√a
2+b
2=√5，
如图所示，设点D的坐标为(√5,0)，则点A , D是双曲线的焦点，
28
根据双曲线的定义，可得|MA|−|MD|=2a=2，
所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，
又由B是圆x
2+( y −√5)
2=1上的点，圆的圆心为C(0,√5)，半径为r =1，
所以|BD|≥|CD|−1=√10−1，所以|MA|+|MB|≥2+|BD|=√10+1，
当点M ,B在线段CD上时，取得等号，即|MA|+|MB|的最小值为√10+1.
故答案为：√10+1.
变式7．（20-21 高二上·北京·期中）已知点A (−2,0)，B (2,0)，C (3,√11)，动点M 到A 的距离比到B 的
距离多2，则动点M 到B，C 两点的距离之和的最小值为 .
【答案】4
【分析】利用双曲线的定义得到动点M 的轨迹为双曲线右侧一支，然后利用三点共线两线段之和最大，求
解即可得到答案.
【详解】解：点A (−2,0)，B (2,0)，且动点M 到A 的距离比到B 的距离多2，
所以|MA|−|MB|=2<|AB|= 4，
故动点M 的轨迹为双曲线右侧一支，
则动点M 到B，C 两点的距离之和|MB|+|MC|=|MA|+|MC|−2≥|AC|−2=√(3+2)
2+(√11−0)
2−2= 4，
当且仅当M，A，C 三点共线时取等号，
所以动点M 到B，C 两点的距离之和的最小值为4.
故答案为：4.
变式8．（20-21 高一下·江西景德镇·期末）若P是双曲线x
2−y
2
48 =1的右支上的一点,M , N分别是圆
( x +7)
2+ y
2=9和( x−7)
2+ y
2=1 上的点,则| PM |−| PN |的最大值为 .
29
【答案】6
【分析】由题设知| P F1|−| P F2|=2，| MP|⩽| P F1|+| M F1|，| PN |⩾| P F2|−| N F2|，即
可得到| PM |−| PN |⩽| P F1|+| M F1|−| P F2|+| N F2|，从而计算可得．
【详解】解：双曲线x
2−y
2
48 =1中，
∵a=1，b= 4√3，c =7，
∴F1(−7,0)，F2(7,0)，
因为M , N分别是圆( x +7)
2+ y
2=9和( x −7)
2+ y
2=1 上的点，所以| M F1|=3，| N F2|=1
∵| P F1|−| P F2|=2a=2，
∴| MP|⩽| P F1|+| M F1|，| PN |⩾| P F2|−| N F2|，
∴−| PN |⩽−| P F2|+| N F2|，
所以| PM |−| PN |⩽| P F1|+| M F1|−| P F2|+| N F2|
=2+1+3=6
故答案为：6．
【方法技巧与总结】
最值问题：利用三角形：和最小问题，两边之和≥第三边，三点共线，动点必须在中间。
差的绝对值最大问题，两边之差的绝对值≤第三边，三点共线，动点必须在两边。
【题型6：轨迹方程问题】
例6．（23-24 高二上·重庆·期中）已知M (−2,0)，圆C : x
2−4 x + y
2=0，动圆P经过M点且与圆C相切，
则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．x
2−y
2
3 =1(x ≥1)
B．x
2
3 −y
2=1(x ≥√3)
C．x
2−y
2
3 =1
D．x
2
3 −y
2=1
30
【答案】C
【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆P的半径为R，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲
线的定义计算可得.
【详解】圆C : x
2−4 x + y
2=0，即(x −2)
2+ y
2= 4，圆心为C (2,0)，半径r =2，
设动圆P的半径为R，
若动圆P与圆C相内切，则圆C在圆P内，所以|PM|= R，|PC|= R−2，
所以|PM|−|PC|=2<|MC|= 4，
所以动点P是以M (−2,0)、C (2,0)为焦点的双曲线的右支，且a=1、c =2，
所以b=√c
2−a
2=√3，
所以动圆圆心P的轨迹方程是x
2−y
2
3 =1(x ≥1)，
若动圆P与圆C相外切，所以|PM|= R，|PC|= R+2，
所以|PC|−|PM|=2<|MC|= 4，
所以动点P是以M (−2,0)、C (2,0)为焦点的双曲线的左支，且a=1、c =2，
所以b=√c
2−a
2=√3，
所以动圆圆心P的轨迹方程是x
2−y
2
3 =1(x ≤−1)，
综上可得动圆圆心P的轨迹方程是x
2−y
2
3 =1.
故选：C
变式1．（24-25 高二·上海·随堂练习）已知动点M ( x , y)满足√( x +2)
2+ y
2−√( x −2)
2+ y
2= 4，则动点
M 的轨迹方程是 ．
【答案】y =0(x ≥2)
【分析】结合双曲线的定义求得的轨迹方程.
【详解】设F1(−2,0)，F2(2,0)，由题意知动点M 满足|M F1|−|M F2|= 4 =|F1 F2|，
故动点M 的轨迹是射线y =0(x ≥2)．
故答案为：y =0(x ≥2)
变式2．（23-24 高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P 与两个定点F1(−2,0)和
31
F2(2,0)的连线的斜率之积等于1
4
，则点P 的轨迹方程为 ．
【答案】x
2
4 −y
2=1(x≠±2)
【分析】设点P( x , y), x≠±2，根据题意结合斜率公式分析求解.
【详解】设点P( x , y), x≠±2，
由已知得
y
x +2 ⋅
y
x−2 = 1
4 ，整理得x
2
4 −y
2=1，
所以点P 的轨迹方程为x
2
4 −y
2=1(x≠±2)．
故答案为：x
2
4 −y
2=1(x≠±2).
变式3．（2024 高二·全国·专题练习）已知点A (−2,0)点B(2,0)，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积
等于3
4 动点P的轨迹方程为 .
【答案】x
2
4 −y
2
3 =1(x≠±2)
【分析】设点P的坐标为( x , y)(x≠±2)，进而利用k AP⋅k BP= 3
4 得到动点P的轨迹方程.
【详解】设点P的坐标为( x , y)(x≠±2)，
因为k PA = y −0
x +2 ,k BP= y −0
x−2 ，k AP⋅k BP= 3
4 ,
所以
y
x +2 ⋅
y
x−2 = 3
4
(x≠±2)，化简得x
2
4 −y
2
3 =1(x≠±2).
故动点P的轨迹方程为x
2
4 −y
2
3 =1(x≠±2).
故答案为：x
2
4 −y
2
3 =1(x≠±2)
变式4．（23-24 高二上·河南周口·期末）动点M (x , y)与定点F (0,3)的距离和它到直线l: y = 4
3 的距离的比
是常数3
2，则动点M 的轨迹方程是 ．
【答案】y
2
4 −x
2
5 =1
【分析】利用直接法建立等式，化简即可.
32
【详解】解：动点M (x , y)与定点F (0,3)的距离和它到直线l: y = 4
3 的距离的比是常数3
2，
所以
√(x−0)
2+( y −3)
2
|y −4
3|
= 3
2，即x
2+( y −3)
2= 9
4( y −4
3)
2
，
展开整理得y
2
4 −x
2
5 =1．
故答案为：y
2
4 −x
2
5 =1．
变式5．（22-23 高二·全国·课堂例题）如图，在△ABC中，已知|AB|= 4√2，且三内角A，B，C 满足
2sin A +sinC =2sin B，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C 的轨迹方程为 .
【答案】x
2
2 −y
2
6 =1(x>√2)
【分析】以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，利用正
弦定理结合已知条件可得|AC|−|BC|=|AB|
2
=2√2<|AB|，然后根据双曲线的定义可求得结果.
【详解】以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则
A (−2√2,0)，B(2√2,0).
由正弦定理，得sin A =|BC|
2 R ，sin B =|AC|
2 R ，sinC =|AB|
2 R （R 为△ABC的外接圆半径）.
∵2sin A +sinC =2sin B，
∴2|BC|+|AB|=2|AC|，即|AC|−|BC|=|AB|
2
=2√2<|AB|.
33
由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支（除去与x 轴的交点）.
由题意，设所求轨迹方程为x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(x>a)，
∵a=√2，c =2√2，∴b
2=c
2−a
2=6.
故所求轨迹方程为x
2
2 −y
2
6 =1(x>√2).
故答案为：x
2
2 −y
2
6 =1(x>√2)
变式6．（23-24 高二上·全国·课后作业）已知动点M 与两定点A (−3,0)，B (3,0)构成△MAB，且直线MA，
MB的斜率之积为4，求动点M 的轨迹方程.
【答案】x
2
9 −y
2
36 =1( x≠±3)
【分析】设出动点M 的坐标，再利用斜率坐标公式列式并化简作答.
【详解】设点M ( x , y)，而点A (−3,0)，B (3,0)，在△MAB中，y ≠0，又直线MA，MB的斜率存在，即
x≠±3，
于是
y
x +3 ⋅
y
x−3 = 4，即x
2−y
2
4 =9，整理得x
2
9 −y
2
36 =1，
所以动点M 的轨迹方程x
2
9 −y
2
36 =1( x≠±3).
变式7 ．（2023 高三· 全国· 专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(−√17,0)，
F2(√17,0),|M F1|−|M F2|=2，点M的轨迹为C.求C的方程；
【答案】x
2−y
2
16 =1(x ≥1)；
【分析】
利用双曲线的定义可知轨迹C是以点F1、F2为左、右焦点双曲线的右支，求出a、c的值，从而得b的值，
即可得出轨迹C的方程；
【详解】
因为|M F1|−|M F2|=2<|F1 F2|=2√17，由双曲线的定义可知，
轨迹C是以点F1、F2为左、右焦点的双曲线的右支，
34
设轨迹C的方程为x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0, x ≥a)，则2a=2，可得a=1，
2c =2√17，即c =√17，所以b=√17−1= 4，
所以轨迹C的方程为x
2−y
2
16 =1(x ≥1).
【方法技巧与总结】
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标(x , y)，根据题意列出关于x , y的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把x , y分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将¿代入f (x0, y0)=0.
一、单选题
1．（23-24 高二下·云南玉溪·期末）已知圆C1：(x +3)
2+ y
2=1和圆C2：(x−3)
2+ y
2=9，动圆M同时与圆
C1及圆C2相外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x
2−y
2
8 =1(x ≥1)
B．x
2−y
2
8 =1
C．x
2−y
2
8 =1(x ≤−1)
D．y
2
8 −x
2=1
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解.
【详解】设动圆M的半径为r，
则|M C1|=r +1，|M C2|=r +3，
35
则|M C2|−|M C1|=2<|C1C2|=6，
根据双曲线的定义知，动圆的圆心M的轨迹为双曲线x
2−y
2
8 =1的左半支．
故选：C．
2．（23-24 高二下·上海·阶段练习）设P是双曲线x
2
16 −y
2
20 =1上一点，F1, F2分别是双曲线左右两个焦点，
若|P F1|=9，则|P F2|等于（ ）
A．1
B．17
C．1 或17
D．5 或13
【答案】B
【分析】先求出a,b,c，然后根据双曲线的定义结合|P F1|=9可求得|P F2|.
【详解】双曲线x
2
16 −y
2
20 =1的a= 4 ,b=2√5,c =6，
由双曲线的定义可得||P F1|−|P F2||=2a=8．
因为|P F1|=9，所以|9−|P F2||=8，得|P F2|=1或17，
若|P F2|=1，则P在右支上，应有|P F2|≥c−a=2，不成立；
若|P F2|=17，则P在左支上，应有|P F2|≥c +a=10，成立．
故选：B．
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线C : x
2
8 + y
2
m =1(m≠0,m≠8)，则“m∈(0,8)”是“曲线C的焦
点在x轴上的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】易得充分性成立，当m<0 时，曲线C : x
2
8 + y
2
m =1表示焦点在x轴上的双曲线，可知必要性不成
立.
36
【详解】当m∈(0,8)时，曲线C : x
2
8 + y
2
m =1表示焦点在x轴上的椭圆， 故充分性成立；
当m<0 时，曲线C : x
2
8 + y
2
m =1表示焦点在x轴上的双曲线，
故由曲线C的焦点在x轴上推不出m∈(0,8)，即必要性不成立；
所以“m∈(0,8)”是“曲线C的焦点在x轴上”的充分不必要条件．
故选：A．
4．（2024·辽宁·二模）已知双曲线C：x
2−y
2= λ( λ≠0)的焦点为(0,±2)，则C 的方程为（ ）
A．x
2−y
2=1
B．y
2−x
2=1
C．x
2−y
2=2
D．y
2−x
2=2
【答案】D
【分析】根据双曲线的标准方程计算即可.
【详解】因为双曲线C 的焦点为(0,±2)在纵轴上，所以λ<0，
且双曲线C 方程y
2
−λ −x
2
−λ =1满足(−λ)+(−λ)=2
2，
故λ =−2，则C 的方程为y
2−x
2=2．
故选：D．
5．（23-24 高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为4，焦点为(−4,0),(4,0)，则该双曲线的标准方
程为（ ）
A．x
2
4 −y
2
12 =1
B．x
2
12 −y
2
4 =1
C．x
2−y
2
5 =1
D．y
2
5 −x
2=1
【答案】A
【分析】根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可.
【详解】根据题意设双曲线的标准方程为：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0).
则¿，解得：¿.
所以双曲线的标准方程为x
2
4 −y
2
12 =1.
故选：A
6．（24-25 高三上·云南·阶段练习）设A ,B两点的坐标分别为(−3,0)，(3,0)，直线AM与BM相交于点M，
37
且它们的斜率之积为2
3，则点M的轨迹方程为（ ）
A．x
2
9 + y
2
6 =1(x≠±3)
B．x
2
6 −y
2
9 =1(x≠±3)
C．y
2
9 + x
2
6 =1(x≠±3)
D．x
2
9 −y
2
6 =1(x≠±3)
【答案】D
【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可.
【详解】设点M (x , y)，则AM的斜率为
y
x +3，BM的斜率为
y
x−3，
故
y
x +3 ⋅
y
x−3 = 2
3
(x≠±3)，
所以x
2
9 −y
2
6 =1(x≠±3)，故D 正确.
故选：D
7 ．（24-25 高二上· 全国· 课后作业）已知两定点A (−1,0),B (1,0)，动点P(x , y)满足
tan∠PAB⋅tan ∠PBA =−2，则点P的轨迹方程是（ ）
A．x
2−y
2
2 =1
B．x
2−y
2
2 =1( y ≠0)
C．x
2+ y
2
2 =1
D．x
2+ y
2
2 =1( y ≠0)
【答案】B
【分析】利用两点的斜率公式表示夹角正切，化简计算即可.
【详解】动点P(x , y)满足tan∠PAB⋅tan∠PBA =−2，则
y
x +1 ⋅
y
x−1 =2，其中y ≠0，
化简可得x
2−y
2
2 =1( y ≠0)．
故选：B．
8．（2023 高三上·湖北孝感·专题练习）过点(2,2)且与椭圆9 x
2+3 y
2=27有相同焦点的双曲线方程为
（ ）
A．x
2
6 −y
2
8 =1
B．y
2
6 −x
2
8 =1
C．x
2
2 −y
2
4 =1
D．y
2
2 −x
2
4 =1
【答案】D
【分析】求出椭圆的焦点可得双曲线的焦点，结合双曲线经过点(2,2)，可求得双曲线方程.
38
【详解】由9 x
2+3 y
2=27，得y
2
9 + x
2
3 =1，所以焦点在y 轴上，且c =√9−3=√6．
设双曲线的方程为y
2
a
2 −x
2
b
2 =1(a>0,b>0)，所以¿解得a
2=2，b
2= 4，
所以双曲线的方程为y
2
2 −x
2
4 =1．
故选：D．
二、多选题
9．（23-24 高二上·吉林延边·期中）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与
到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e =1时，轨迹为抛
物线；当e>1时，轨迹为双曲线．现有方程m√x
2+ y
2−4 y + 4 =|x −3 y +1| 表示的曲线是双曲线，则实
数m的取值可能为（ ）
A．2√2
B．3
C．2√3
D．4
【答案】AB
【分析】根据两点的距离公式及点到直线的距离公式，双曲线的第二定义，求出m的取值范围，即可判断．
【详解】因为方程m√x
2+ y
2−4 y + 4 =|x−3 y +1|表示的曲线是双曲线，
由m√x
2+ y
2−4 y + 4 =|x−3 y +1|，显然m>0，
即m
√10 √x
2+( y −2)
2=|x−3 y +1|
√10
，则
√x
2+( y −2)
2
|x−3 y +1|
√10
= √10
m ，
其中√x
2+( y −2)
2表示点(x , y)到定点(0,2)的距离，
|x−3 y +1|
√10
表示点(x , y)直线x−3 y +1=0的距离，又点(0,2)不在直线x−3 y +1=0上，
则
√x
2+( y −2)
2
|x−3 y +1|
√10
表示平面内一点(x , y)到定点(0,2)的距离与到直线x−3 y +1=0的距离之比，
39
依题意可得e = √10
m >1，解得0<m<√10，结合各选项可知，只有A、B 符合题意.
故选：AB
10 ．（23-24 高二上· 山东烟台· 期末）（多选）已知曲线Γ ：
x
2
1−m +
y
2
3+m =1（m∈R），则
（ ）
A．Γ 可能是等轴双曲线
B．若Γ 表示焦点在y 轴上的椭圆，则−1<m<1
C．Γ 可能是半径为√2的圆
D．若Γ 表示焦点在x 轴上的双曲线，则m<−3
【答案】BCD
【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程，逐一判断选项即可.
【详解】对于A，若Γ 是等轴双曲线，则1−m+3+m=0，显然不成立，故A 错误；
对于B，Γ 表示焦点在y 轴上的椭圆，
则3+m>1−m>0，解得−1<m<1，故B 正确；
对于C，Γ 是圆，则3+m=1−m>0，解得m=−1，半径为√2，故C 正确；
对于D，Γ 表示焦点在x 轴上的双曲线，则¿，
解得m<−3，故D 正确.
故选：BCD.
11．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）满足下列条件的点P 的轨迹一定在双曲线上的有（ ）
A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5
B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2
C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1
D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝2
【答案】BCD
【详解】
解析：因为|PA－PB|＝5＝AB，所以点P 的轨迹是两条射线，故A 不正确；设P（x，y）（x≠±2），因为
kPA·kPB＝
·
＝2，化简得y2＝2（x2－4），即
－
＝1，此时P 的轨迹在双曲线上，故B 正确；
设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB＝
·
＝1，化简得y2＝x2－4，即x2－y2＝4，此时P 的轨迹
40
在双曲线上，故C 正确；因为PA－PB＝2＜5＝AB，此时P 的轨迹在双曲线上，故D 正确．
三、填空题
12．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知F1, F2分别是双曲线C : x
2
a
2 −y
2
4 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，
P是C上一点，且|P F1|=6|P F2|，写出C的一个标准方程 ．
【答案】x
2
6 −y
2
4 =1
【分析】由题意可知| P F2|= 2a
5 ，结合| P F2|≥c−a可求出a
2≥25
6 ，从而可写出C的一个标准方程．
【详解】因为| P F1|=6| P F2|，所以| P F1|−| P F2|=5| P F2|=2a，
所以| P F2|= 2a
5 ，
又因为| P F2|≥c−a，则2a
5 ≥c−a，即c
a ≤7
5，
又因为b
2= 4，所以e =√
1+ b
2
a
2 =√
1+ 4
a
2 ≤7
5
，
解得a
2≥25
6 ，
当a
2=6时，C的一个标准方程为x
2
6 −y
2
4 =1．
故答案为：x
2
6 −y
2
4 =1（答案不唯一，满足a
2≥25
6 即可）．
13．（23-24 高二下·广西南宁·期末）若双曲线C : x
2−y
2
3 =1的左、右焦点分别为F1，F2，P 是C 右支上
的动点，则|P F1|⋅|P F2|的最小值为 ．
【答案】3
【分析】设|P F2|=m∈[1,+ ∞)，由双曲线定义可得|P F1|=m+2，代入|P F1|⋅|P F2|结合二次函数性
质分析求解.
41
【详解】由题意可知：a=1,b=√3,c =√a
2+b
2=2，且|P F1|−|P F2|=2，
设|P F2|=m≥c−a=1，则|P F1|=m+2，
可得|P F1|⋅|P F2|=m(m+2)在m∈[1,+ ∞)上单调递增，
所以当m=1时，| P F1|⋅| P F2|取得最小值3．
故答案为：3.
14．（24-25 高二上·上海·课堂例题）双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2，点
A (√3,1)在双曲线C 上，且满足⃗A F1⋅⃗A F2=0，则双曲线C 的标准方程为 ．
【答案】x
2
2 −y
2
2 =1
【分析】设F1(−c ,0)，F2(c ,0)，进而根据向量垂直的坐标表示得c =2，再根据点A(√3,1)在双曲线C
上待定系数求解即可．
【详解】解：由题，设F1(−c ,0)，F2(c ,0)，因为A(√3,1)，
所以⃗A F1=(−c−√3,−1),⃗A F2=(c−√3,−1)，
因为⃗A F1⋅⃗A F2=0，
所以⃗A F1⋅⃗A F2=3−c
2+1=0，解得c =2，
因为¿，解得a
2=b
2=2，
所以，双曲线C的标准方程为x
2
2 −y
2
2 =1．
故答案为：x
2
2 −y
2
2 =1．
四、解答题
15．（24-25 高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线x
2
16 −y
2
4 =1有相同的焦点，且经过点(3√2,2)；
42
(2)过点P(3, 15
4 )，Q(−16
3 ,5)且焦点在坐标轴上．
【答案】(1) x
2
12 −y
2
8 =1
(2) y
2
9 −x
2
16 =1
【分析】（1）设双曲线的方程为x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)或
x
2
16−λ −y
2
4+ λ =1(−4< λ<16)，然后根据已知
条件来求得正确答案.
（2）双曲线的方程为A x
2+ B y
2=1，然后根据已知条件来求得正确答案.
【详解】（1）方法一
根据题意，设所求双曲线的标准方程为x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，
∴c
2=16+ 4 =20，即a
2+b
2=20．①
∵双曲线经过点(3√2,2)，
∴18
a
2 −4
b
2 =1．②
由①②得a
2=12，b
2=8，
∴双曲线的标准方程为x
2
12 −y
2
8 =1．
方法二
设所求双曲线的方程为
x
2
16−λ −y
2
4+ λ =1(−4< λ<16)．
∵双曲线过点(3√2,2)，
∴
18
16−λ −
4
4+ λ =1，
解得λ= 4或λ =−14（舍去）．
∴双曲线的标准方程为x
2
12 −y
2
8 =1．
（2）设双曲线的方程为A x
2+ B y
2=1，AB<0．
43
∵点P，Q在双曲线上，
∴¿解得¿
∴双曲线的标准方程为y
2
9 −x
2
16 =1．
16．（24-25 高二上·上海浦东新·阶段练习）已知p：点M (1,3)不在圆(x +m)
2+( y −m)
2=16的内部，q：
“曲线C1: x
2
m
2 +
y
2
2m+8 =1表示焦点在x轴上的椭圆”，s：“曲线C2:
x
2
m−t +
y
2
m−t −1 =1表示双曲线”．
(1)若p和q都成立，求实数m的取值范围；
(2)若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．
【答案】(1)(−4 ,−2)∪(4 ,+∞)；
(2)[−4 ,−3]∪[ 4 ,+ ∞).
【分析】（1）结合点与圆的位置关系、椭圆方程的特点分别解出当p、q为真时，m的取值范围，再求交
集即可；
（2）当s为真时，求得{m|t <m<t +1}，再根据{m|t <m<t +1}⊆{m|−4<m<−2或m>4}，求解即
可.
【详解】（1）解：当p为真时，则有(1+m)
2+(3−m)
2≥16，
整理得：m
2−2m−3≥0，解得m≤−1或m≥3；
当q为真时，则有¿，解得−4<m<−2或m>4；
又因为p和q都为真，
所以¿，解得−4<m<−2或m>4，
所以实数m的取值范围为(−4 ,−2)∪(4 ,+∞)；
（2）解：当s为真时，则有(m−t )(m−t −1)<0，解得t <m<t +1，
又因为q是s的必要不充分条件，
所以{m|t <m<t +1}⊆{m|−4<m<−2或m>4}，
所以¿或t ≥4，
解得−4≤t ≤−3或t ≥4，
44
所以t的取值范围[−4 ,−3]∪[ 4 ,+ ∞).
17．（23-24 高三下·江苏南京·开学考试）已知圆M : x
2+ y
2+ 4 x−8=0，H (2,0)，G为M上的动点，线
段GH的垂直平分线交直线GM于点Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)设直线QH的倾斜角为α，直线QM的倾斜角为β，点Q不在x轴上，若α =2 β，求点Q的坐标.
【答案】(1) x
2
3 −y
2=1
(2)( 3
2 +2√3, 1
2 √15+8√3).
【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线的定义确定点Q的轨迹，进而求出轨迹方程.
（2）由给定条件，可得点Q在第一象限，且△QMH是腰长为4 的等腰三角形，再结合（1）中轨迹方程，
求解方程组即得结果.
【详解】（1）依题意，圆M :( x +2)
2+ y
2=12的圆心M (−2,0)，半径r =2√3，
由线段GH的垂直平分线交直线GM于点Q，得|QH |=|QG|，
则||QM |−|QH ||=||QM |−|QG||=r =2√3<4 =| HM |，
因此点Q的轨迹是以M , H为左右焦点，实轴长为2√3的双曲线，
实半轴长a=√3，半焦距c =2，则虚半轴长b=√c
2−a
2=1，
所以点Q的轨迹方程为x
2
3 −y
2=1.
（2）依题意，由QH与x轴不重合，得0<α <π，则0< β <π
2 ，点Q在第一象限，
△QMH是以线段QM为底边的等腰三角形，则|QH |=| MH |= 4，
设Q( x1, y1)，则( x1−2)
2+ y1
2=16，又x1
2
3 −y1
2=1，解得¿，
45
所以点Q的坐标是( 3
2 +2√3, 1
2 √15+8√3).
18．（2024 高二·全国·专题练习）已知双曲线x
2
9 −y
2
16 =1的左、右焦点分别是F1，F2.
(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；
(2)如图，若P 是双曲线左支上的点，且∠F1 P F2=60
o，求△F1 P F2的面积.
【答案】(1)10 或22
(2)16√3
【分析】（1）根据双曲线的定义求解；
（2）由双曲线的定义和余弦定理得|P F1|⋅|P F2|=64得解.
【详解】（1）双曲线的标准方程为x
2
9 −y
2
16 =1，
故a=3，b= 4，c =√a
2+b
2=5，
由双曲线的定义得||M F1|−|M F2||=2a=6，
又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M 到另一个焦点的距离等于x，
则|16−x|=6，解得x =10或x =22.
故点M 到另一个焦点的距离为10 或22.
（2）由双曲线的定义和余弦定理得|P F2|−|P F1|=6，
46
|F1 F2|
2=|P F1| +
❑
2 |P F2| −
❑
2 2|P F1||P F2|cos60
o，
所以10
2=(|P F1|−|P F2|)
2+|P F1|⋅|P F2|，
所以|P F1|⋅|P F2|=64，
所以S△F1 P F2= 1
2|P F1|⋅|P F2|⋅sin ∠F1 P F2= 1
2 ×64× √3
2 =16√3.
19．（23-24 高二上·湖北·阶段练习）已知圆M：x
2+ y
2+ 4 x =21，圆N：x
2+ y
2−4 x =5．
(1)求经过点P(−2,3)以及圆M与圆N交点的圆的方程；
(2)若动圆T和圆M、圆N均外切，求T点的轨迹方程.
【答案】(1)x
2+ y
2=13
(2)x
2−y
2
3 =1(x>2)
【分析】（1）设出所求圆的方程，根据P点坐标求得所求圆的方程.
（2）根据双曲线的定义求得T点的轨迹方程.
【详解】（1）设所求圆方程为：x
2+ y
2+ 4 x−21+ λ(x
2+ y
2−4 x−5)=0，(λ≠0)，
将P(−2,3)代入上面方程，
得(−2)
2+3
2+ 4×(−2)−21+ λ[(−2)
2+3
2−4×(−2)−5]=0，
解得λ =1，所以该圆方程为：x
2+ y
2+ 4 x−21+ x
2+ y
2−4 x−5=0，
化简为：x
2+ y
2=13.
（2）由题圆M：(x +2)
2+ y
2=25，圆心M (−2,0)，半径r1=5，
圆N：(x−2)
2+ y
2=9，圆心N (2,0)，半径r2=3，
又因为圆T和圆M，圆N均外切，令T (x , y)，圆T的半径为r，
则|MT|=r1+r =5+r >5，|MN|=r2+r =3+r >3，所以|MT|−|MN|=2，
所以T点在以M，N为左右焦点，以2 为实轴长的双曲线靠近N点的一支上，
且|MN|>3，所以a=1，c =2，b
2=c
2−a
2=3 ，
所以T点坐标(x , y)满足如下关系：
¿，解得x>2．
47
所以T点的轨迹方程为：x
2−y
2
3 =1(x>2)．
