1
2.4 曲线与方程
课程标准
学习目标
1. 了解曲线与方程的对应关系，领会“曲线
的方程与方程的曲线”的概念.
2. 熟悉求曲线方程的步骤以及利用方程研究
曲线的性质.
3.掌握求动点轨迹方程的方法
1.重点:曲线与方程的概念;求动点的轨迹方程
2.难点:分析、判断曲线与方程的关系;求动点的轨迹
方程
知识点01 曲线的方程与方程的曲线的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F(x，y）=0 之间具有如下关系：
1.曲线C 上的点的坐标都是方程F（x，y）=0 的解;
2.以方程F（x，y）=0 的解为坐标的点都在曲线C 上.
则称曲线C 为方程F（x，y）=0 的曲线，方程F（x，y）=0 为曲线C 的方程.
【即学即练1】（21-22 高二·全国·课后作业）已知坐标满足方程F (x , y)=0的点都在曲线C 上，下列命题
正确的是（ ）
A．曲线C 上的点的坐标都满足方程F (x , y)=0
B．不在曲线C 上的点的坐标都不满足方程F (x , y)=0
C．坐标不满足方程F (x , y)=0的点都不在曲线C 上
2
D．曲线C 是坐标满足方程F (x , y)=0的点的轨迹
【即学即练2】（24-25 高二上·全国·课堂例题）分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)与两坐标轴的距离之积等于5 的点与方程xy =5之间的关系；
(2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x + y =0之间的关系．
知识点02 两曲线的交点
己知两条曲线C1和C2的方程分别为F（x，y）=0，G（x，y）=0，求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要
联立两个方程得方程组{
F( x , y)=0
G( x , y)=0
，求方程组的实数解就可以得到.
【即学即练3】（20-21 高二·全国·课后作业）曲线x
2+ y
2+2 x =0与曲线y +|x|=0的交点个数是
．
【即学即练4】（23-24 高三上·青海西宁·期中）已知A (−1,0)，B (1,0)，C为平面内的一个动点，且满足
| AC |:|BC |=√2，则点C的轨迹方程为
.
知识点03 点的轨迹方程
曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.
【即学即练5】（24-25 高二上·全国·课后作业）等腰三角形ABC底边两端点分别为A(−√3,0),B(√3,0)，
顶点C的轨迹是（ ）
A．一条直线
B．一条直线去掉一点
C．一个点
D．两个点
【即学即练6】（21-22 高二·全国·课后作业）判断直线2 x +5 y −15=0与曲线y =−10
x
是否相交，如果相
交，求出交点的坐标．
难点：数形结合的运用
示例1：（24-25 高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，曲线E:(x
2+ y
2)
3=8 x
2 y
2的图象
是四叶草曲线，设P(x0, y0)为E 上任意一点，且满足P∈{(x0, y0)| x0∈Z或y0∈Z }，则任取一点P，
该点为格点（横、纵坐标均为整数）的概率为 ．
3
【题型1：曲线方程的概念】
例1．（23-24 高二上·上海·期末）已知坐标满足方程F (x , y)=0的点都在曲线C 上，则下列命题中正确的
是（ ）
A．曲线C 上的点的坐标都适合方程F (x , y)=0
B．不在曲线C 上的点的坐标必不适合方程F (x , y)=0
C．凡坐标不适合方程F (x , y)=0的点都不在曲线C 上
D．不在曲线C 上的点的坐标有些适合方程F (x , y)=0
变式1 ．（21-22 高二上· 贵州遵义· 期末）设方程
(x +2 y −1)√x
2+ y
2−2 x +2=0
表示的曲线是
（ ）
A．一个圆和一条直线
B．一个圆和一条射线
C．一个圆
D．一条直线
变式2．（18-19 高二上·安徽芜湖·期末）下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（ ）
A．y =√x与y
2= x
B．y = x与x
y =1
C．y
2−x
2=0与|y|=|x| D．y =lg x
2与y =2lg x
变式3．（2014 高三·全国·专题练习）方程|x|−1=√1−( y −1)
2表示的曲线是（ ）
A．—个圆
B．两个圆
C．一个半圆
D．两个半圆
变式4．(多选)（22-23 高三上·江苏·阶段练习）已知曲线C : x
2−y
2−xy =1，则（ ）
A．曲线C 关于坐标原点对称
B．曲线C 关于y 轴对称
4
C．x ≤−2√5
5
或x ≥2√5
5
D．x
2−2 xy + y
2≥4
5
变式5．（20-21 高二上·上海徐汇·期末）已知曲线Γ ：F (x，y)=0对坐标平面上任意一点P(x，y)，定
义F [P]＝F (x，y)．若两点P，Q满足F [P]⋅F [Q]＜0，称点P，Q在曲线Γ两侧．记到点(0，1)与
到x轴距离和为5 的点的轨迹为曲线C，曲线Γ ：F (x，y)= x
2+ y
2−y −a=0，若曲线C上总存在两点
M ，N在曲线Γ两侧，则实数a的取值范围是
变式6．（22-23 高三·全国·课后作业）方程x(x
2+ y
2−1)=0表示的曲线是 .
变式7．（24-25 高二上·全国·课前预习）判断下列命题是否正确．
(1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是y =√r
2−x
2；
(2)过点A (2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|=2．
【方法技巧与总结】
从集合的意义上来理解曲线和方程的概念
如果把直角坐标平面内曲线上的点所组成的集合记作A，方程F（x，y）=0 的解所对应的集合记作B，那
么曲线和方程之间的两个关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都
是曲线上的点，反映在集合A 和B 之间的关系上，就是A⊆B 且B⊆A，即A=B.
从集合相等的意义上来理解上述两条规定的必要性，有助于掌握曲线和方程的概念.
【题型2：由方程研究曲线的性质】
例2．已知曲线C的方程为x
2+ y
2+|x|y =2022，则曲线C关于（ ）对称
A．x轴
B．y轴
C．原点
D．直线y = x
变式1．已知曲线C 方程为x
2+ y
2+|x|y =2023，则曲线C 关于（ ）
A．x 轴对称
B．y 轴对称
C．原点对称
D．y = x对称
变式2．关于方程x
2+ xy +2 y
2= 4所表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于y = x对称
D．关于原点中心对称
变式3．两个曲线方程C1：√x +√y =1，C2：x
4+ y
4=1，我们可以推断出它们的性质，其中错误的是（
）
A．曲线C1关于y＝x 对称
B．曲线C2关于原点对称
C．曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1< 1
2
5
D．曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2< π
4
变式4．（多选）某曲线C 的方程为x
2−xy + y
2= 4，下列说法正确的是（ ）
A．曲线C 关于y = x对称
B．曲线C 上的点的纵坐标的最大值是2
C．曲线C 与直线x + y −1=0交于A、B 两点，则|AB|=√10
D．点(x , y)在曲线C 上，则x
2+ xy + y
2的取值范围为[
4
3 ,12]
变式5．（多选）下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是（ ）
A．x
2
9 −y
2
4 =0
B．2 y −x
2=0
C．4 x
2+9|y|=1
D．2 x
2−4 x + y
4=2
变式6．（多选）已知曲线C：| x−a|
a
+| y −b|
b
=1(a>b>0)，则下列结论正确的是（ ）.
A．曲线C关于(a,b)对称
B．x
2+ y
2的最小值为a
2b
2
a
2+b
2
C．曲线C的周长为2(a+b)
D．曲线C围成的图形面积为2ab
变式7．设曲线C 的方程为：F( x , y)=0，一般有如下规律：
①如果以−y代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称；
②如果以−x代替x，方程保持不变，那么曲线关于 对称；
③如果同时以−x代替x，以−y代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称．
例：曲线C 的方程为：| x|| y |=1，则曲线C 关于 对称.
【方法技巧与总结】
求曲线方程的步骤
1.建系：建立适当的坐标系.用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M 的坐标
2.写集合：写出适合条件p 的点M 的集合：P={M|p(M)}
3.列方程:用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0
4.化简:化方程f（x，y）=0 为最简形式
5.证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上
【题型3：曲线交点问题】
6
例3.作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在
平面直角坐标系xOy 下的一般方程为x3 + y3－3axy = 0.某同学对a = 1 情形下的笛卡尔叶形线的性质进行
了探究，得到了下列结论，其中错误的是（ ）
A．曲线不经过第三象限B．曲线关于直线y = x 对称
C．曲线与直线x + y =－1 有公共点
D．曲线与直线x + y =－1 没有公共点
变式1．曲线y =√1−x
2和y =−x +√2公共点的个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
变式2．(多选)作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形
线，其在平面直角坐标系xOy 下的一般方程为x
3+ y
3−3axy =0.某同学对a=1情形下的笛卡尔叶形线的性
质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是( )
A．曲线不经过第三象限
B．曲线关于直线y = x对称
C．曲线与直线x + y =−1有公共点
D．曲线与直线x + y =−1没有公共点
变式3．（多选）给定下列四条曲线中，与直线x + y −√5=0仅有一个公共点的曲线是（ ）
A．y
2=−4√5 x
B．x
2
2 −y
2
2 =1
C．x
2+ y
2= 5
2
D．x
2
9 + y
2
4 =1
变式4．曲线x
2
4 +a y
2=1上存在四个点A ,B ,C , D满足四边形ABCD是正方形，则实数a的取值范围是
．
变式5．关于曲线C：1
x
2 + 1
y
2 =1，有如下结论：
①曲线C关于原点对称； ②曲线C关于直线x ± y =0对称；
③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；
④曲线C不是封闭图形，且它与圆x
2+ y
2=2无公共点；
其中所有正确结论的序号为 .
变式6．直线2 x +5 y −15=0与曲线y =−10
x
交点的坐标为 ．
变式7．已知曲线C1的方程是x
2−y =0，曲线C2的方程是|y|=|x|，判断C1与C2是否有交点，如果有，求
出交点坐标；如果没有，说明理由．
【题型4：轨迹方程问题】
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例4．（24-25 高三上·河北张家口·开学考试）已知M ､N两点坐标分别(−2,0),(2,0).直线MK ､NK相交于
点K，且它们的斜率之和是3，则点K的轨迹方程为（ ）
A．3 x
2−2 xy −12=0(x≠±2)
B．3 y
2−2 yx −12=0(x≠±2)
C．x
2
4 + y
2
3 =1(x≠±2)
D．x
2
3 −y
2
4 =1(x≠±2)
变式1 ．（24-25 高二上· 全国· 课后作业）已知直线l1:5 x−2 y +3m(3m+1)=0和直线l2：
2 x +6 y −3m(9m+20)=0，则两直线l1,l2交点的轨迹方程是 ．
变式2．（23-24 高二下·全国·随堂练习）当点P 在圆x
2+ y
2=1上运动时，连接点P 与定点Q (4,0)，求线段
PQ的中点M 的轨迹方程．
变式3．（24-25 高二上·全国·课堂例题）动点M在曲线x
2+ y
2=1上移动，点M和定点B (3,0)连线的中点
为P，求点P的轨迹方程.
变式4．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知过原点的动直线l与圆C1: x
2+ y
2−6 x +5=0．
(1)求直线l与圆相交时，它的斜率k的取值范围；
(2)当l与圆相交于不同的两点A ,B时，求线段AB的中点M的轨迹方程．
变式5．（24-25 高二上·全国·课堂例题）在等腰△ABC中，若一腰的两个端点分别为A (4,2)，B (−2,0)，
A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程．
变式6．（24-25 高二上·全国·课后作业）设椭圆方程为x
2+ y
2
4 =1，过点M (0,1)的直线l交椭圆于点
A ,B ,O为坐标原点，点P为线段AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
变式7．（23-24 高二上·江苏南京·阶段练习）①过点C (2,0)，②圆G 恒被直线mx −y −m=0(m∈R)平
分，③与y 轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆G 经过点A (0,0)，B (1,1)，且_____.
(1)求圆G 的一般方程：
(2)设D (6,5)，P 是圆G 上的动点，求线段DP的中点M 的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多
个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【方法技巧与总结】
1.直接法
当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为（x，y）后，可根据题设条件将普通语言
运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点坐标
8
（x，y）间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法
求轨迹方程经常要联系平面图形的性质.
2.定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求
轨迹方程的方法称为定义法.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.
3.代入法
若所求轨迹上的动点P（x，y）与另一个已知曲线C：F（x，y）=0 上的动点Q （x1， y1）存在着某种联
系，可把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程F（x，y）=0，化简即得所求轨
迹方程，这种求轨迹方程的方法称为代入法（又称相关点法）.
4.参数法
如果所求轨迹的动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将x，y 用
一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.
注意：①参数的取值范围影响着方程中x 和y 的取值范围. ②化简方程前后要注意等价性.
一、单选题
1．（24-25 高二上·全国·随堂练习）方程x
2+ xy = x的曲线是（ ）
A．一个点
B．一个点和一条直线
C．一条直线
D．两条直线
2．（22-23 高二·全国·课后作业）到x 轴距离与到y 轴距离之比等于2 的点的轨迹方程为（ ）
A．y =2 x (x≠0)
B．y =±2 x (x≠0)
C．x =2 y (x≠0)
D．x =±2 y (x≠0)
3．（21-22 高二·全国·课后作业）若曲线C 的方程是F (x , y)=0，则曲线C 关于x 轴对称的曲线方程是
（ ）
A．F (−x , y)=0
B．F (x ,−y)=0
C．F (−x ,−y)=0
D．F ( y , x)=0
4．（21-22 高二下·河南郑州·期中）将曲线F (x , y)=0上的点的横坐标缩短为原来的1
2
倍，纵坐标伸长为
原来的3倍，得到的曲线方程为（ ）
9
A．F(
x
2 ,3 y)=0
B．F(2 x , y
3)=0
C．F(
x
2 , y
3)=0
D．F (2 x ,3 y)=0
5．（21-22 高二·全国·课后作业）若曲线C 的方程为x
2−xy + y −5=0，则下列各点中，在曲线C 上的点
是（ ）
A．(−1,2)；
B．(1,−2)；
C．(2,−3)；
D．(3,6)．
6．（2022 高三·全国·专题练习）已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R 是直线l 上的一点，若⃑RA =⃑AP，
则点P 的轨迹方程为( )
A．y＝－2x
B．y＝2x
C．y＝2x－8
D．y＝2x＋4
7．（21-22 高二上·贵州·阶段练习）已知点A (−4,0)，B (−1,0)，动点M ( x , y)满足| MA |=2| MB|，
则动点M轨迹方程为（ ）
A．x
2+ y
2= 4
B．x
2
4 + y
2=1
C．x
2−y
2
3 =1
D．y
2= 4 x
8．（20-21 高二·全国·课后作业）平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1 的点的轨迹方程是（
）
A．|x|−|y|=1
B．|x−y|=1
C．||x|−|y||=1
D．|x ± y|=1
二、多选题
9．（23-24 高二上·江苏常州·阶段练习）若曲线E是由方程|x|−1=√1−y
2和|y|−1=√1−x
2共同构成，
则下列结论不正确的是（ ）
A．曲线E围成的图形面积为π+4
B．若点(x0, y0)在曲线E上，则x0
的取值区间是[−√2,√2]
C．若E与直线y = x +m有公共点，则−4≤m≤4
D．若圆x
2+ y
2=r
2(r >0)能覆盖曲线E，则r的最小值为2
10．（22-23 高二下·湖北·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A (0，1)，B (3，1)，动点P满足
|PA|=2|PB|，记动点P的轨迹为曲线C，直线l:kx −y +2−3k =0(k ∈R)，则下列结论中正确的是
（ ）
10
A．曲线C的方程为( x−4)
2+( y −1)
2= 4
B．直线l与曲线C的位置关系无法确定
C．若直线l与曲线C相交，其弦长为4，则k =−2 D．|BP|的最大值为3
11．（22-23 高二上·湖南长沙·期末）法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河.他研究了许多优美
的曲线，在平面直角坐标系中，方程x
3+ y
3=3axy所表示的曲线称为笛卡尔叶形线.当a=1时，笛卡尔叶形
线具有的性质是（ ）
A．经过第三象限
B．关于直线y = x对称
C．与直线x + y +1=0有公共点
D．与直线x + y +1=0没有公共点
三、填空题
12．（24-25 高二上·全国·课后作业）方程√1−|x|=√1−y表示的曲线的形状是 ．
13．（24-25 高二·上海·随堂练习）过点(−3,0)，且与圆
(x−3)
2+ y
2= 4
外切的动圆圆心P 的轨迹方程为
．
14．（2024·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点F1(−1,0), F2(1,0)，若P为平面上的一个
动点且|P F1|=√2|P F2|，则点P运动所形成的曲线的方程为 ．
四、解答题
15．（2023 高二上·全国·专题练习）已知点P 是曲线y = x
2+1上任意一点，A (2,0)，连接PA 并延长至Q，
使得⃗AQ =2⃗PA，求动点Q 的轨迹方程．
16．（23-24 高二下·浙江·开学考试）如图，已知等腰三角形ABC中，AB = AC , D是AC的中点，且
B (0,0), D (3,0).
(1)求点A的轨迹T的方程；
(2)设AC所在直线与轨迹T的另一个交点为E，当△ABD面积最大且A在第一象限时，求|AE|.
17．（23-24 高二上·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A (1,1)，动点P 满足
11
|PA|=√2|PO|.
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)直线l：y =k (x +1)与轨迹C 交于E，F 两点，若△OEF的面积为3√5
4
，求直线l的方程.
18．（23-24 高二下·河北保定·开学考试）已知圆M : x
2+( y −2)
2=r
2(r >0)被x轴分成两段弧，弧长之比
为3:1．
(1)求r；
(2)若动点P到坐标原点O的距离等于5,Q为圆M上一动点，求|PQ|的取值范围．
19．（23-24 高二上·北京西城·期末）已知⊙C经过点A (1,3)和B (5,1)，且圆心C在直线x−y +1=0上.
(1)求⊙C的方程；
(2)设动直线l与⊙C相切于点M，点N (8,0).若点P在直线l上，且|PM|=|PN|，求动点P的轨迹方程.
