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第05 讲 平面向量线性运算的应用
课程标准
学习目标
1．会用向量法计算或证明平面几何中的相
关问题．
2．会用向量法解决某些简单的物理学中的
问题．
1.通过向量在几何中应用的学习，培养数学运算及数
学建模核心素养．
2．通过向量在物理中的应用，培养数学建模的核心素
养.
知识点01 向量在平面几何中的应用
(1)证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(a≠0)⇔b＝λa⇔x1y2＝
x2y1[a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)]．
(2)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝.
(3)要证A，B，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB＝λAC，或若O 为平面上任一点，则只
需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使OC＝λOA＋μOB.
（4）用向量运算解决平面几何问题的“三步法”
第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向
量问题.
第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系.
第三步：把运算结果“翻译”成几何关系.
【即学即练1】 在四边形
中，若
，则四边形
为（ ）
2
A．平行四边形
B．梯形
C．菱形
D．矩形
【答案】B
【分析】
根据向量共线即可判断.
【详解】四边形ABCD 中，若
，
则
，且
，
所以四边形
是梯形.
故选：B
知识点02 向量在物理中的应用
(1)力向量
力向量包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．
(2)速度向量
一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示．
(3)将物理量转化为向量之后，可以按照向量的运算法则进行计算．
【即学即练2】
已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，
再加上一个力f4，则f4＝( )
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
【答案】D
【解析】由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．
题型01 利用平面向量判断几何图形形状
【典例1】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知在四边形
中，
，
，
，则四边形
为（ ）
A．梯形
B．正方形
C．平行四边形
D．矩形
【答案】A
【分析】利用向量的运算得到
，即可得到答案.
【详解】因为
，
，
，
所以
.
3
所以
.
所以
且
，
所以四边形
为梯形..
故选：A.
【变式1】在ΔABC中,
,则ΔABC是
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】根据向量的线性运算化简判定即可.
【详解】
,则
,故ΔABC是等边三角形.
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用向量判定三角形形状的方法,属于基础题型.
【变式2】若
且
，则四边形
的形状为（ ）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
【答案】C
【分析】根据条件中的向量关系反映出来大小关系和方向关系来判断.
【详解】
可知，四边形
为平行四边形，
又因为
,
所以四边形
为菱形．
故选：C.
【变式3】在四边形
中，对角线
与
交于点
，若
，则四边形
一
定是（ ）
A．矩形
B．梯形
C．平行四边形
D．菱形
【答案】B
【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得
，可得四
边形为梯形.
【详解】由
，得
，
所以
，
可得
且
.
所以四边形
一定是梯形．
故选：B
4
题型02 利用平面向量证明平行关系
【典例2】在
中，点
，
分别在线段
，
上，
，
.求证：
.
【答案】证明见解析
【解析】证明：设
，
，则
.
又
，
.
所以
，
.
在
中，
，
所以
，即
与
共线，故
.
【变式1】如图，在四边形ABCD 中，点E，F，G，H 分别为BD，AB，AC 和CD 的中点.求证：四边形
EFGH 为平行四边形.
【答案】证明见解析
【解析】因为点E，F，G，H 分别为BD，AB，AC 和CD 的中点，
所以
所以
，
又因为
与
不共线，所以
，且
，
所以四边形EFGH 为平行四边形.
【变式2】如图，已知
是
的三条高，且交于点
，
于点
，
于点
，求证：
．
【答案】证明见解析
【解析】证明：由题意，
，
，∴
．
5
设
，则
．
同理
．
于是
．
∴
，∴
．
题型03 利用平面向量求线段的长
【典例3】如图，在
中，点E 为边
上一点，点F 为线段
延长线上一点，且
，连接
交
于点D，求证：
.
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，以点B 为原点，
所在的直线为x 轴建立直角坐标系，不妨设
设
，
，
，
，
则
，
，
所以
，所以
.
所以
，
.
因为E，D，F 共线，所以
，
所以
，化简得
.
因为
，
所以
，所以
.
【变式1】在梯形
中，
，
，点E，F 分别是
，
的中点，求证：
.
【答案】证明见解析
【解析】因为点E，F 分别是
，
的中点，
所以
，
.
6
所以
.
因为
，
所以
，
所以
.
因为
，
，且
与
同向，
所以
，即
.
【变式2】用向量的方法证明如图，在
中，点E，F 分别是AD 和DC 边的中点，BE，BF 分别交
AC 于点R，T．你能发现AR，RT，TC 之间的关系吗？
【答案】
，理由见解析
【解析】因为四边形
为平行四边形，所以
，
设
，
因为
是
的中点，所以
，
故
，
又因为
三点共线，
可设
，即
，
即
，
故
，相加可得
，解得
，故
，
同理可证
，
故可知
为
的三等分点，故
.
题型04 利用平面向量求面积比
【典例2】已知点
是
所在平面内一点，若
，则
与
的面积比为
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】假设
是等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，求得
点坐标，由此求得
与
的面积比.
【详解】假设
是等腰直角三角形，且
是直角，
，
建立如图所示平面直角坐标系，设
，
则
,
，
依题意
，
即
，
，
.
所以
与
的面积比为
.
故选：A
【变式1】（23-24 高一下·四川南充·阶段练习）已知点O 是
内部一点，并且满足
，
的面积为
，
的面积为
，则
.
【答案】2
【分析】利用
，确定点
的位置，如图所示，结合三角形面积关系求解.
【详解】因为
，
8
所以
，
所以
，取
的中点
，则
，
所以
为BD的中点，如图所示，则
的面积为
，
的面积为
，
,
所以
.
故答案为：2
【变式2】若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足3
－
－
＝
，则△ABM 与△ABC 的面积
之比为（ ）
A．1 2∶
B．1 3∶
C．1 4∶
D．2 5∶
【答案】B
【分析】由平面向量的加法结合已知可得M 为AD 的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之
比可得.
【详解】如图，D 为BC 边的中点，
则
因为
－
－
＝
所以
，
所以
所以
.
故选：B
题型05 利用平面向量解决力的问题
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【典例3】如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是
，
，且
，
与水平夹角均为
，
，则物体的重力大小为
【答案】
【分析】根据向量的加法运算结合力的合成即可求解.
【详解】一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力
，
因为
，
与水平夹角均为
，
，
由向量加法的平行四边形法则可知
的方向是竖直向上的，且
，所以物体的重力大小为
故答案为:
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）如图，两个力
和
同时作用在一个物体上，其中
的大小为
40N，方向向东，
的大小为30N，方向向北，求它们的合力．
【答案】合力的大小为
，方向为东偏北正切值为
的角.
【分析】根据力的合成法则可求答案.
【详解】因为
的大小为40N，方向向东，
的大小为30N，方向向北，
所以它们合力的大小为
，
，
所以合力的大小为
，方向为东偏北正切值为
的角.
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）如图，用两根绳子把质量为10kg 的物体W 吊在水平横杆AB 上，
，
.求物体平衡时，A 和B 处所受力的大小.（绳子的质量忽略不计，
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）
【答案】A 和B 处所受力的大小分别为
，
.
【分析】根据力的分解及平行四边形法则可求答案.
【详解】设A 和B 处所受力分别为
，
处所受两绳的拉力的合力为
，物体重力为
，
物体所受的重力为100
，根据力的平衡，所以
；
因为
，所以
，所以
；
因为
，所以
，所以
.
【变式3】若向量
分别表示两个力
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得
，结合向量模的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，向量
分别表示两个力
，
可得
，
所以
.
故选：C.
题型06 利用平面向量解决运动的问题
【典例4】一条河两岸平行，河的宽度为
米，一个人从岸边游向对岸.已知他在静水中游泳时，速度
大小为每分钟
米，水流速度大小为每分钟12 米.
①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小每分钟 米；
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②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要 分钟.
【答案】 24； 20.
【分析】（1）求出
即得解；
（2）求出他游到河对岸的速度即得解.
【详解】解：（1）如图所示，当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小为
，
他实际前进速度的大小每分钟24 米.
（2）如图所示，当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的速度为
，所以他游到河对
岸的需要
分钟.
故答案为：24；20.
【变式1】一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度
的大小为
，水流速度
的大小
为
，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为 km/h.
【答案】
【分析】
利用勾股定理求得正确答案.
【详解】要使航程最短，则船实际航行应正对着河对岸航行，
所以船实际航行的速度大小为
km/h.
故答案为：
【变式2】一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A 处出发到河对岸．已知船在静水中的速度
的大小
为
，水流速度
的大小为
．设船行驶方向与水流方向的夹角为
，若船的航程最短，
则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用垂线段最短得到船的行驶方向，结合三角函数的知识求出夹角
【详解】解：当航线垂直于河岸时，航程最短，
如图，在
中，
，所以
，
所以
，所以
，
故选：C
【变式3】）如果一架飞机向西飞行
，再向东飞行
，记飞机飞行的路程为，位移为
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据路程、位移的概念分别求出、
即可得解.
【详解】因为一架飞机向西飞行
，再向东飞行
，
则飞机飞行的路程
，
位移为向东
，所以
，
所以
.
故选：A
1.已知两个力
，
的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与
的夹角为60°，那么
的大小为（
）
A．
N B．5N C．10N D．
N
【答案】B
【解析】如图，
，
，
，
，
.
在
中，有
，
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所以，
的大小为5N.故选：B.
2.一只鹰正以与水平方向成
角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上影
子的速度是50m/s，则鹰的飞行速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示：
由题意知：
，
所以
，故选：C
3.（多选）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（ ）
A．船垂直到达对岸所用时间最少
B．当船速的方向与河岸垂直时用时最少
C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样
D．船垂直到达对岸时航行的距离最短
【答案】BD
【解析】设船在静水中的速度为，水流速度为
，船实际速度为
，
两岸间的垂直距离为；
对于ABC，船垂直到达对岸时，
，则所用时间
；
当船速的方向与河岸垂直时，所用时间
；
，
当船速的方向与河岸垂直时，用时最少，
且沿不同直线航行到达对岸的事件不相同，A 错误，B 正确，C 错误；
对于D，船垂直到达对岸时，航行的距离为两岸间的垂直距离，
此时距离最短，D 正确.故选：BD.
4.若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：
.则△ABM 与△ABC 的面积之比为
.
【答案】1 4∶
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【分析】由已知得出M，B，C 三点共线，令
，利用平面向量的加法法则可得
值，进而可得
△ABM 与△ABC 面积之比．
【详解】如图，由
可知M，B，C 三点共线，
令
，则
所以
，即△ABM 与△ABC 面积之比为1 4.
∶
故答案为：1 4∶
5.如图所示，分别在平行四边形
的对角线
的延长线和反向延长线上取点
和点
，使
.
试用向量方法证明：四边形
是平行四边形.
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为四边形
是平行四边形，
所以
，
，
因为
，
，
所以
，即
，且
，
所以四边形
是平行四边形.
6.如图，在
中，点E 为边
上一点，点F 为线段
延长线上一点，且
，连接
交
于
点D，求证：
.
【答案】证明见解析
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【解析】证明：如图，以点B 为原点，
所在的直线为x 轴建立直角坐标系，不妨设
设
，
，
，
，
则
，
，
所以
，所以
.
所以
，
.
因为E，D，F 共线，所以
，
所以
，化简得
.
因为
，
所以
.所以
.
7.如图，在细绳l 上作用着一个大小为200N 的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细
绳的另一端与水平面平行，求物重G 的大小．
【答案】
【解析】设细绳作用力为
，则
，
如图，对力
进行分解，
可得
.
根据力的平衡可知，物重G 的大小为
.
8.飞机从A 地向西北飞行200km 到达B 地后，又从B 地向东飞行
km 到达C 地，再从C 地向南偏东
60°飞行
km 到达D 地，求飞机从D 地飞回A 地的位移．
【答案】大小为
，方向为南偏西
【解析】如图，飞机从
运动到
的过程，
由已知可得，
，
，且
，
所以，
，
.
过点
作
，
因为
，
16
所以
，
，
所以，
.
由勾股定理可得，
，
，所以
.
所以，飞机从D 地飞回A 地的位移大小为
，方向为南偏西
.
