文档文本内容
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11.3.1 平行直线与异面直线
11.3.2 直线与平面平行
课程标准
学习目标
（1）掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间直
线平行性的传递性；
（2）理解异面直线的概念并会判断两直线是否异
面；
（3）掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线
与平面的位置关系；
（4）学会用图形语言、符号语言表示线面之间的三
种位置关系；
（5）掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，
并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题.
（1）能用空间平行线的传递性和等角定理解决一些
简单的相关问题；
（2）理解异面直线的定义，会判断两直线异面；
（3）理解空间四边形并能解决与其相关的一些问
题；
（4）掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，
并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题；
（5）利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证
明空间平行问题.
知识点01 平行直线与等角定理
2
1、空间平行线的传递性
（1）文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．
（2）符号表述：a∥b，b∥c ⇒ a∥c.
（3）性质应用：判断或证明空间中两条直线平行.
2、等角定理
（1）文字语言：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
（2）等角定理的两个推论
①如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
②如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
（3）作用：判断和证明两个角相等或互补。
【即学即练1】（22-23 高一下·湖北黄冈·月考）四面体ABCD 中，E、F、G、H 分别是各边AB、BD、
DC、CA 的中点，若
，则
是 形
填四边形的形状
【答案】菱
【解析】依题意，E、F、G、H 分别是各边AB、BD、DC、CA 的中点，
所以
，
所以
，所以四边形
是平行四边形，同理：
，
又
，
，所以
，所以四边形
是菱形.
知识点02 异面直线与空间四边形
1、异面直线的概念：空间中既不平行也不相交的直线.
2、异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。
3、空间四边形：顺次连接不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形，称为空间四边形，其中4 个点都是空
间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形
3
的对角线．
【即学即练2】（22-23 高一下·陕西宝鸡·期中）如图所示，长方体
中，给出以下判断，其
中正确的是（ ）
A．直线
与
相交 B．直线
与
是异面直线
C．直线
与
有公共点 D．
【答案】D
【解析】对于A，
面
，
面
，且B 不在AC 上，
根据异面直线的定义得，直线
与
是异面直线，故A 选项错误；
对于B，
，
，
四边形
为平行四边形，
，即直线
与
平行直线，故B 选项错误；
对于C，
面
，
面
，
，
根据异面直线的定义得，直线
与
是异面直线，故C 选项错误；
对于D，
，
，
四边形
为平行四边形，
，故D 选项正确；故选：D.
知识点03 空间直线与平面的判定定理
1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行
2、符号语言：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.
3、图形语言：
【即学即练3】（23-24 高一下·广西南宁·期中）已知直线a，b 和平面
，
，
，则“
”是
“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
4
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据线面平行的判定定理可得，若
，则
，即必要性成立，
若
，则
不一定成立，故充分性不成立，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.故选：B
知识点04 空间直线与平面的判定定理
1、文字语言：如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就
与两平面的交线平行．
2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
3、图形语言：
【即学即练3】（23-24 高一下·河北沧州·期中）下列命题正确的是（ ）
A．若直线上有无数个点不在平面
内，则
B．若直线与平面
平行，则平面
内有无数条直线与平行
C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行
D．若直线与平面
平行，则与平面
内的任意一条直线都平行
【答案】B
【解析】对于A，若直线l 上有无数个点不在平面
内，则
或l 与
相交，A 错误；
对于B，直线与平面
平行，则存在过直线的平面与平面
相交，令交线为，
于是
，显然在平面
内有无数条直线与平行，这些直线都平行于，B 正确；
对于C，若两条平行直线中的一条与一个平面平行，
则另一条也与这个平面平行或在这个平面内，C 错误；
对于D，若直线l 与平面
平行，则l 与平面
内的直线平行或是异面直线，
不会与平面
内的任意一条直线都平行，D 错误.故选：B
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【题型一：平行线的传递性与等角定理】
例1．（22-23 高一下·甘肃庆阳·期中）已知
，则
．
【答案】
或
【解析】
，由等角定理知，
与
相等或互补，
所以
或
.
变式1-1．（23-24 高二上·上海崇明·期中）如图，已知
、
、
、
分别是空间四边形
的边
、
、
、
的中点．
（1）证明：四边形
为平行四边形；
（2）证明：
和
是异面直线．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析.
【解析】（1）因为已知
、
、
、
分别是空间四边形
的边
、
、
、
的中点．
所以线段
是
的中位线，所以
且
，
同理可得
且
，
所以
且
，所以四边形
为平行四边形.
（2）反证法：假设
和
不是异面直线，则
和
平行或相交，
所以
和
可以确定一个平面
，所以
，
这与
是空间四边形矛盾，故
和
是异面直线.
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变式1-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E，
F，G，H 分别为PA，PB，PC，PD 的中点，求证:四边形EFGH 是平行四边形.
【答案】证明见解析
【解析】在△PAB 中，因为E，F 分别是PA，PB 的中点，
所以EF∥AB，EF=
AB，同理GH∥DC，GH=
DC.
因为四边形ABCD 是平行四边形，
所以AB∥CD，AB=CD，
所以EF∥GH，EF=GH，
所以四边形EFGH 是平行四边形.
变式1-3．（22-23 高二上·上海·月考）如图，在正方体
中，
，
分别是棱
和
的中点．
（1）求证：四边形
为平行四边形；
（2）求证：
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）∵
为正方体．∴
，且
，
又
，
分别为棱
，
的中点，∴
且
，
∴四边形
为平行四边形，∴
且
．
又
且
，∴
且
，
∴四边形
为平行四边形．
（2）法一：由（1）知四边形
为平行四边形，∴
．
7
同理可得四边形
为平行四边形，∴
．
∵
和
方向相同，∴
．
法二：由（1）知四边形
为平行四边形，∴
．
同理可得四边形
为平行四边形，∴
．
又∵
，∴
，∴
．
【方法技巧与总结】
1、空间两条直线平行的证明：①定义法，即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；②利用平行线的
传递性找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
2、等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，或者这两种
情况都有可能.
【题型二：异面直线的判定问题】
例2．（22-23 高一下·福建漳州·期末）如果两条直线
与
没有公共点，那么
与
（ ）
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
【答案】D
【解析】根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线
与
没有公共点，
那么
与
可能平行，也可能是异面直线.故选：D.
变式2-1．（23-24 高一下·黑龙江佳木斯·期中）三棱柱
中，
、
、
分别是
、
、
中点，则下列直线中与直线
异面的直线为（ ）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
【答案】B
【解析】如图，连接
，则
且
，
又
且
，所以
且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，故C 错误；
又
，
，所以
，所以
、
、
、
四点共线，
即直线
与直线
共面，故A 错误；
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显然直线
与直线
均包含于平面
，故D 错误；
因为
，
，
，
又
平面
，所以直线
与直线
异面，故B 正确.故选：B
变式2-2．（23-24 高一下·河北·期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列
直线中，与直线
是异面直线的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线
是异面直线的是
，
其中
，所以
与
共面、
与
共面、
与
共面．故选：C
变式2-3．（23-24 高一下·浙江·期中）已知正方体
，
、
、
分别为
、
、
的中点，则图中与直线
异面的直线是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据已知，可得
，而
，所以
，A 错误；
平面
，
平面
，
，
所以
与
是异面直线，B 正确；
因为
，所以
四点共面，C 错误；
，D 错误.故选：B
【方法技巧与总结】
判定或证明两条直线异面的思路
1、定义法：既不平行也不相交的两条直线为异面直线.
2、反证法——证明立体几何问题的一种重要方法.
3、与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.
【题型三：线面平行的命题判断】
例3．（23-24 高一下·全国·专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
，
【答案】D
【解析】对于A，
，
，有可能
，A 错误；
对于B，
，
，有可能
异面，B 错误；
对于C，
，
，有可能
，C 错误；
对于D，由线面平行的判定定理可知D 正确.故选：D.
变式3-1．（22-23 高一下·河南洛阳·期中）（多选）已知直线a，b，平面
，则下列说法错误的是
（ ）
A．
，
，则
B．
，
，则
C．a，b 异面，且
，
，
，
，则
D．
，
，则
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【答案】ABD
【解析】对于A 项，如图1，
，
平面
，但是
平面
，故A 错误；
对于B 项，如图1，
平面
，但是
平面
，但是
，故B 错误；
对于C 项，如图2，因为
，根据线面平行的性质定理可知，
过直线
，
，
，且
，有
.
因为
，
，所以
.
因为
，
，
，
，
，所以
，故C 项正确；
对于D 项，如图1，
平面
，
平面
，
但是平面
平面
，故D 项错误.故选：ABD.
变式3-2．（22-23 高一下·天津河东·期末）若直线a 不平行于平面
，则下列结论成立的是（ ）
A．平面
内不存在与a 平行的直线
B．平面
内所有直线与a 相交
C．平面
内所有直线与a 异面
D．直线a 与平面
至少存在一个公共点
【答案】D
【解析】由于直线a 不平行于平面
，所以直线a 与平面
相交或直线a 在平面
内，
直线a 在平面
内时，平面
内存在与a 平行的直线，故A 错误；
直线a 与平面
相交时，平面
内存在直线与a 异面，故B 错误；
直线a 在平面
内时，平面
内存在与a 平行的相交，故C 错误；
直线a 与平面
相交或直线a 在平面
内，直线a 与平面
至少存在一个公共点,故D 正确.
故选：D.
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变式3-3．（23-24 高一下·云南大理·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线上有无数个点不在平面
内，则
B．若直线与平面
平行，则与平面
内的任意一条直线都平行
C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D．若直线与平面
平行，则与平面
内的任意一条直线都没有公共点
【答案】D
【解析】对于A，若直线上有无数个点不在平面
内，则与
相交或平行，故A 错误；
对于B，若直线与平面
平行，则与平面
内的直线平行或异面，故B 错误；
对于C，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，
那么另一条直线与这个平面平行或在这个平面内，故C 错误；
对于D，若直线与平面
平行，则与平面
内的任意一条直线都没有公共点，故D 正确.
故选：D.
【方法技巧与总结】
1、在使用线面平行判定定理时，必须确保直线不在平面内；
2、在使用线面平行性质定理时，需要考虑直线与平面交线的位置关系，以及直线与平面的交线是否平行.
【题型四：利用判定定理证明线面平行】
例4．（22-23 高一下·辽宁锦州·月考）如图所示，四棱锥
的底面
是平行四边形，
分
别是
的中点.求证：
平面
.
【答案】证明见解析
【解析】证明：取
中点
，连
，
因为
是
中点，所以
，
因为在
中，
且
，
12
因为
是
中点，所以
，
所以
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
因为
平面
平面
，所以
平面
.
变式4-1．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，在正三棱柱
中，
分别是
，
，
的中点，
，求证：
平面
；
【答案】证明见解析
【解析】取
的中点
，连接
，
，
根据题意可得
，且
，
，可得
由三棱柱得性质知
，所以
，即
，
则四边形
是平行四边形，所以
，
因为
面
，
面
，所以
面
．
变式4-2．（22-23 高一·山东济宁·月考）如图，在直三棱柱
中，已知
为
的中点. 求证：
平面
.
13
【答案】证明见解析
【解析】连接
与
交于点
，则
是
的中点，连接OD，如图，
因为D 是AB 的中点，所以
，
平面
，
平面
，
平面
.
变式4-3．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，在三棱台
中，
，
分别为
的中点．求证：
平面
.
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接
，
，
14
设
，连接
.
在三棱台
中，
，
为
中点，
可得
所以四边形
为平行四边形，所以
为
的中点．
又
为
的中点，所以
.
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
【方法技巧与总结】
利用判定定理证明线面平行的步骤：
找：在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线；
证：证明已知直线平行与找到（或作出）的直线；
结论：由判定定理得出结论。
上面的第一步“找”是证明的关键，其常用方法有利用三角形、梯形中位线的性质或利用平行四边形的性
质等。
【题型五：利用性质定理证明线线平行】
例5．（22-23 高一下·河南洛阳·月考）如图，四面体
被一平面所截，截面
是一个平行四边形.
求证：
.
【答案】证明见解析
【解析】∵四边形
为平行四边形，∴
，
又
平面
，
平面
，
15
∴
平面
.
而平面
平面
，
平面
，
∴
，∴
.
变式5-1．（23-24 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥PABCD 中，E 是棱PC 上一点，底面ABCD 是正
方形，平面ABE 与棱PD 交于点F，平面PCD 与平面PAB 交于直线l.求证：l∥EF.
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵ 底面ABCD 是正方形，∴AB∥CD.
又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴ AB∥平面PCD.
又A，B，E，F 四点共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，∴ AB∥EF.
∵ 平面PAB 与平面PCD 交于直线l，∴ AB∥l，∴ l∥EF.
变式5-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，四棱锥
中底面是正方形，四条侧棱均相等，点
G，E，F，H 分别是棱PB，AB，CD，PC 上共面的四点，
平面GEFH.求证：
.
【答案】证明见解析
【解析】因为
平面
，
平面
，
且平面
平面
，所以
，
同理可证
，因此
.
变式5-3．（22-23 高二下·青海西宁·期中）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，
M 是PC 的中点，在DM 上取一点G，过G 和AP 作平面交平面BDM 于HG，求证：
．
16
【答案】证明见解析
【解析】连接
交
于点
，连接
，
因为ABCD 是平行四边形，所以
为
中点，
又M 是PC 的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，平面
平面
，所以
【方法技巧与总结】
应用线面平行的性质定理的关键点
应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行.还
可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内，所有与交线平行的
直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面.
【题型六：线面平行中的动点探究问题】
例6．（22-23 高一下·河南洛阳·期中）如图，已知圆锥的顶点为S，AB 为底面圆的直径，点M，C 为底面
圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面
，使
，设
与SM 交于点N，则
的值为
（ ）
17
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连接
交
于点
，连接
，则平面
即为平面
，
因为
，平面
，
平面
，所以
，
因为AB 为底面圆的直径，点M，C 将弧AB 三等分，
所以
，
，
所以
且
，
所以
，
又
，所以
，所以
.故选：C.
变式6-1．（22-23 高一下·安徽马鞍山·月考）如图，四棱锥
的底面
是平行四边形，
分
别为线段
上一点，若
，且
平面
，则
.
【答案】3∶1/3
【解析】如图，连接
交
于点
，连接
交
于点
，
由
平面
，可得
，
，
，
为
的中点，
作
，
，
，则
.
18
变式6-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，已知E，F 分别是菱形ABCD 的边BC，CD 的中点，EF
与AC 交于点O，点P 在平面ABCD 外，M 是线段PA 上一动点，若
平面MEF，试确定点M 的位置．
【答案】点M 为线段PA 上靠近点P 的四等分点
【解析】如图，连接BD 交AC 于点O1，连接OM.
因为
平面MEF，
平面PAC，平面
平面
，
所以
，所以
.
在菱形ABCD 中，因为E，F 分别为边BC，CD 的中点，所以
.
又
，所以
，故
，
即点M 为线段PA 上靠近点P 的四等分点．
变式6-3．（23-24 高一下·全国·专题练习）在如图所示的圆柱中，
分别是下底面圆
，上底面圆
的直径，
是圆柱的母线，
为圆
上一点，
为
上一点，且
平面
.
求证：
.
19
【答案】证明见解析
【解析】如图所示，连接
，
，
因为
为母线，所以
，
又因为
平面
，且
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，且
，
平面
，所以平面
平面
．
又因为平面
平面
，平面
平面
，所以
，
因为
是
的中点，所以
是
的中点，即
．
【方法技巧与总结】
探索性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，需要自己去探索，结合已知条件，进行
观察、分析、比较和概括得出结论。常见的动点位置有中点、三等分点等，可以先假设存在，在进行推理
论证。
一、单选题
1．（23-24 高一下·广西南宁·月考）若
是异面直线，且
平面
，那么
与平面
的位置关系是
（ ）
A．
B．
与
相交
C．
D．以上三种情况都有可能
20
【答案】D
【解析】在长方体
中，平面
视为平面
，
直线
为直线a，点E，F 分别为棱
的中点，
如图， 显然有
平面
，当直线b 为直线
时，直线
是异面直线，此时
；
因
，
平面
，
平面
，则
，
当直线b 为直线
时，直线
是异面直线，此时
；
当直线b 为直线
时，直线
是异面直线，此时
与
相交，
所以直线b 与平面
可能平行，可能相交，也可能在平面内.故选：D.
2．（22-23 高一下·天津·期中）已知
，
为直线，
为平面，若
，
，则
与
的位置关系是
（ ）
A．平行
B．相交或异面
C．异面
D．平行或异面
【答案】D
【解析】因为
，所以直线
与平面
没有公共点，又
，
所以
与
没有公共点，即
与
的位置关系是平行或异面.故选：D.
3．（22-23 高一下·吉林辽源·月考）已知空间中两个角
，
的两边对应平行，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【解析】由等角定理得：
相等或互补，所以
或
，故选：D
4．（22-23 高一下·湖南益阳·期中）直线a∥平面α，P∈α，那么过P 且平行于a 的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α 内
B．有无数条，不一定在平面α 内
C．只有一条，且在平面α 内
D．有无数条，一定在平面α 内
【答案】C
【解析】由推论1 可知：
，则
，
，过
与
确定一平面β，
由基本事实3 可知：平面α 与平面β 有一交点
，则有一条唯一的交线与a 平行，设为b，
21
因为直线a∥平面α，
，
，所以a∥b.故选：C．
5．（22-23 高一下·海南海口·期中）已知a，b 为不同的两条直线，α，β 为不同的两个平面，则
的一
个充分条件是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
且
D．
，
，
【答案】C
【解析】对于A 中，若
，
，则直线
与
平行、相交或异面，所以A 不符合题意；
对于B 中，若
，
，则直线
与
平行或异面，所以B 不符合题意；
对于C 中，若
，
，根据线面平行的性质定理，可得
，
所以“
，
且
”是“
”的充分条件，所以C 符合题意；
对于D 中，若
，
，
，则直线
与
平行或异面，所以D 不符合题意.故选：C.
6．（23-24 高一下·河南郑州·期中）已知正方体
的棱
的中点分别
，则下列直线中，与平面
和平面
的交线平行的直线（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，连接
，
而
平面
，
平面
，则平面
平面
，
作出平面
和平面
的交线如图所示：
另一方面：由正方形的性质可知
分别是
的中点，
从而
，同理有
，
对比选项可知与平面
和平面
的交线平行的直线
.故选：A.
7．（22-23 高一下·湖北黄冈·月考）如图所示，棱柱
的侧面
是矩形，D 是
上的动
点，若
平面
，则
的值为（ ）
22
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】连接
交
于
，连接
，
因为
平面
，平面
平面
,
所以
,又因为
是
的中点，
所以D 是
上的中点，即
故选：B.
8．（23-24 高一下·广东广州·期中）如图，在空间四边形
中、点
、
分别是边
、
上的点，
、
分别是边
、
上的点，
，
，则下列关于直线
，
的位置关系判断正
确的是（ ）
A．
与
互相平行
B．
与
是异面直线
C．
与
相交，其交点在直线
上
D．
与
相交，且交点在直线
上
【答案】D
【解析】因为
，
，所以四边形
是梯形，
所以
与
共面，且不平行，AB 错误；则
与
相交，
对于C，因为
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
又平面
平面
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，故C 错；
对于D，若
与
平行，
平面
，
平面
，
则
，又
平面
，且平面
平面
，
23
则
，所以
，与四边形
是梯形矛盾，所以
与
不平行，
又
平面
，所以
与
相交，
与
不平行，
平面
，
所以
与
相交，
综上，
与平面
相交，且只有一个交点，
所以
与
相交，且交点在直线
上，D 正确.故选：D
二、多选题
9．（22-23 高一下·浙江宁波·期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．平行于同一直线的两条直线平行
B．平行于同一平面的两条直线平行
C．平行于同一直线的两个平面平行
D．平行于同一平面的两个平面平行
【答案】AD
【解析】对于A：根据平行线的传递性可知平行于同一直线的两条直线平行，故A 为真命题；
对于B：平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交或异面，故B 为假命题；
对于C：平行于同一直线的两个平面的位置关系有：平行或相交，故C 为假命题；
对于D：根据空间中面面的位置关系可知平行于同一平面的两个平面平行，故D 为真命题；故选：
AD.
10．（22-23 高一下·安徽滁州·月考）
表示不同的点，
表示不同的直线，
表示不同的平面，
下列说法错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】A：
，则
或
相交，错；
B：如下图，过
作平面与与
交于
，又
，则
，
，
，则
，
而
，
，则
，所以
，对；
C：
，则
，但
不一定成立，错；
D：
，则
或
异面，错.故选：ACD
11．（22-23 高一下·河南郑州·月考）下列四个正方体图形中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、P 分别
24
为其所在棱的中点，能得出
平面MNP 的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】A.在正方体中，易得
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，同理可证
平面
，
又因为
且都在面ACB 内，所以平面
平面
，
又因为
平面
，所以
平面
，故正确；
B.如图所示：
易得
，又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又平面NCD 与平面NMP 相交，所以直线AB 与平面NMP 不平行，故错误；
C.因为
，所以平面NMP 即为平面BNPM，显然直线AB 与平面BNPM 相交，故错误；
D.如图所示：
25
易得
，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，故正确，故选：AD
三、填空题
12．（22-23 高一下·安徽·月考）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关
系为 .
【答案】异面
【解析】如图得到正方体的直观图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为异面.
13．（22-23 高一下·四川成都·月考）已知a，b 是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，且
，
，则“
”是“
”的 条件.（填：“充分不必要”、“必要不充分”、“充
要”、“不充分也不必要”）
【答案】充要
【解析】
，
，则“
”
“
”，反之也成立．
，
，则“
”是“
”的充要条件．
14．（22-23 高一下·江苏泰州·月考）正方体
的棱长是
，其中
是
中点，
是
中
点，则过点
的截面面积是 ．
【答案】
【解析】在
上取
使
，连接
并延长与
的延长线交于点
，
连
交
于
，连接
，
由正方体的性质可知
，则五边形
即为过点
的截面，
26
由题可得
，
，
在
中，
，
由余弦定理得
，所以
，
所以平行四边形
的面积为
，
又由
，
所以
，
所以截面的面积为
.
四、解答题
15．（22-23 高一下·新疆·期末）如图，空间四边形ABCD 中，
分别是
的中点.求证：
四边形
是平行四边形.
【答案】证明见解析
【解析】
分别是
的中点，
，
，且
，
∴四边形
为平行四边形.
27
16．（20-21 高一上·宁夏·期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD 中，BC∥平面PAD，
，E 是PD
的中点．
（1）求证：BC∥AD；
（2）求证：CE∥平面PAB．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）在四棱锥P﹣ABCD 中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD．
（2）取PA 的中点F，连接EF，BF，
∵E 是PD 的中点，∴EF∥AD，
，
又由（1）可得BC∥AD，且
，∴BC∥EF，BC＝EF，
∴四边形BCEF 是平行四边形，∴EC∥FB，
∵EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB，∴EC∥平面PAB．
17．（22-23 高一下·云南曲靖·月考）如图，已知
平面
，
平面
，
是边长为2 的
正三角形，
是
的中点，且
.
（1）求证：
平面
；
（2）求三棱锥
的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：取
的中点G，连接
，
，
28
因为F，G 分别是
，
的中点，所以
，且
，
又因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
平面
，且
，
，所以
，
又因为四边形
为直角梯形，且
，可得
，
所以
，所以
且
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
又由
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）因为
是边长为2 的正三角形，
是
的中点，
可得
，
又因为
平面
，所以三棱锥
的高为
，
所以
.
18．（22-23 高一下·河南·月考）如图，直四棱柱
的底面为平行四边形，E 为
与
的
交点．
（1）证明：
平面ACE；
（2）设底面ABCD 是边长为2 的正方形，若三棱锥
的体积为2，求棱
的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）3.
【解析】（1）在直四棱柱
中，连接
，与
交于点
，如图，
29
因为四边形
为平行四边形，则
为
的中点，
又四边形
为矩形，
，则
为
的中点，
连接
，则
为
的中位线，即
，
又
平面
平面
，所以
平面
.
（2）直四棱柱
的底面
是正方形，连接
，而
为
的中点，
则
，
解得
，所以棱
的长为3.
19．（22-23 高三上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方体
中，
分别是
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）棱
上是否存在点
，使
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】（1）连接
，
30
分别为
中点，
，
，
，
四边形
为平行四边形，
，
，
又
平面
，
平面
，
平面
.
（2）假设在棱
上存在点
，使得
平面
，
延长
交于
，连接
交
于
，
，
为
中点，
为
中点，
，
，
，
平面
，
平面
，平面
平面
，
，
又
，
四边形
为平行四边形，
，
；
当
时，
平面
.
