文档文本内容
1
3.1.3 函数的奇偶性
课程标准
学习目标
1.理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运
用函数图象理解和研究函数的生质；学会判
断函数的奇偶性；
2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学
生观察、归纳、抽象的能力，参透数形结合
的数学思想.
3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊
到一般的概括归纳问题的能力.
1.奇函数、偶函数的定义；
2.判断函数奇偶性的步骤；
3.奇函数、偶函数图象的对称性；
知识点01 奇、偶函数的定义
偶函数
奇函数
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D 内的任意一个x，都有－x∈D，且
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
结论
则称y＝f(x)为偶函数
则称y＝f(x)为奇函数
定义域特征
定义域关于原点对称
等价形式
若f(x)≠0，则＝－1⇔f(x)为奇函数，＝1⇔f(x)为偶函数
注：利用定义法判断函数奇偶性的步骤
(1)一看定义域．定义域D 要具有对称性，即对∀x∈D，－x∈D，也就是说奇、偶函数的定义域要关
于原点对称，定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数．
2
(2)二看等式．当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系：
①f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数；
②f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数；
③f(－x)≠±f(x)⇔f(x)是非奇非偶函数；
④f(－x)＝±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，且D 关于原点
对称．
【即学即练1】（山东省潍坊市国开中学、日照市莒县某高中校级联考2023-2024 学年高三上学期春季高
考阶段性检测数学试题）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据奇偶函数的性质，以及函数增减的性质，逐个选项进行判断可得答案.
【详解】A 选项，
为奇函数，且单调递增，故A 正确；
B 选项，
是奇函数，在
，
上递减，故B 错误；
C 选项，
偶函数，故C 错误；
D 选项，
是奇函数，且单调递减，故D 错误，．
故洗：A
【即学即练2】（2024·云南昆明·高一校考期中）已知函数
，点
，
是
图象
上的两点．
(1)求
，
的值；
(2)判断函数
的奇偶性，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
为奇函数，理由见解析
【分析】（1）分别代入
两点坐标联立求解即可；
（2）根据奇偶函数的定义判断即可.
【详解】（1）由题意，
，解得
.
（2）由（1）
，易得定义域
关于原点对称.
3
又
，故
为奇函数.
知识点02 奇、偶函数的图像特征(几何意义)
（1）奇函数的图像特征(几何意义)
奇函数的图像关于原点对称；反之，结论也成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数．
（2）偶函数的图像特征(几何意义)
偶函数的图像关于y 轴对称；反之，结论也成立，即图像关于y 轴对称的函数一定是偶函数．
注：(1)若f(x)是奇函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，－f(x))也在其图像上．
(2)若f(x)是偶函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，f(x))也在其图像上．
【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）已知函数
是定义在R 上的偶函数，且当
时，
.
(1)现已画出函数
在
轴及
轴左侧的图象，如图所示，请把函数
的图象补充完整，并根据图象
写出函数
的单调递增区间；
(2)写出函数
的值域．
【答案】(1)作图见解析，单调递增区间是
(2)
【分析】（1）利用偶函数的对称性即可补全图象，根据图象可看出函数
的单调递增区间；
（2）根据
时
的解析式可求得
，由对称性可得
的值域即为
.
【详解】（1）由
为偶函数可知，其图象关于
轴对称，
作出已知图象关于y 轴对称的图象，即得该函数的完整图象，如下图所示：
4
由图可知，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调
递增．
所以函数
的单调递增区间是
．
（2）由题意知，当
时，
的最小值为
；
由偶函数的性质可得
，即函数
的值域为
.
易错 判断奇偶性时忽略定义域致错
1．判断函数f(x)＝(1＋x)的奇偶性．
正解： (1＋x)有意义时必须满足≥0，解得－1＜x≤1，即函数f(x)的定义域是{x|－1＜x≤1}．
因为函数的定义域关于坐标原点不对称，
所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．
[易错探因] 解答本题时易忽略函数的定义域得到如下错解：
∵f(x)＝(1＋x)＝＝，
∴f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)＝(1＋x)是偶函数．
[误区警示] 因为函数的定义域是否关于坐标原点对称是判断函数奇偶性的前提，所以判断函数的奇偶性
时，应先判断函数的定义域是否关于坐标原点对称．
5
【题型1：函数奇偶性的判断】
例1.（2024·青海西宁·高一校考阶段练习）下列函数中是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，二次函数
图象关于直线
对称，不关于原点对称，A 错误；
对于B，
是偶函数，不是奇函数；
对于C，设
，定义域为
，且
，
即
为奇函数；
对于D，二次函数
关于直线
对称,不关于原点对称，D 错误；故选：C
变式1．（2024·全国·高一随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并加以证明：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
；
(7)
；
6
(8)
.
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)非奇非偶函数，证明见解析
(3)非奇非偶函数，证明见解析
(4)奇函数，证明见解析
(5)偶函数，证明见解析
(6)奇函数，证明见解析
(7)偶函数，证明见解析
(8)奇函数，证明见解析
【分析】先求出各个函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数；若关于原点对称，求
出
，与
比较，即可得出答案.
【详解】（1）
为奇函数
定义域为R，关于原点对称，
且
，
所以
为奇函数.
（2）
为非奇非偶函数，
定义域为R，关于原点对称，
，且
，
所以，
为非奇非偶函数.
（3）
为非奇非偶函数，
定义域为
，不关于原点对称，
所以，
为非奇非偶函数.
（4）
为奇函数，
定义域为
，关于原点对称，
，
7
所以
为奇函数.
（5）
为偶函数，
定义域为
，关于原点对称，
，
所以
为偶函数.
（6）
为奇函数，
定义域为
，关于原点对称，
，
所以
为奇函数.
（7）
为偶函数，
定义域为R，关于原点对称.
对于
，都有
，且
.
对于
，
，
有
，
.
同理可推得，
，
.
综上所述，
，都有
，
所以
为偶函数.
（8）
为奇函数，
8
定义域为R，关于原点对称.
对于
，都有
，且
.
对于
，
，
有
，
.
同理可推得，
，
.
综上所述，
，都有
，
所以
为奇函数.
变式2．（2023·全国·高一专题练习）函数
的奇偶性是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
【答案】A
【解析】若
，则
，则
；
若
，则
，则
.
又
，满足
.
所以
，又函数
的定义域为
，关于原点对称，
因此，函数
为奇函数.故选：A.
变式3．．（2024·江西·高三宁冈中学校考期中）设函数
，
的定义域都为
，且
是奇函数，
是偶函数，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
【答案】B
【分析】根据奇偶函数的定义逐个选项判断即可.
【详解】对A，
，故
是奇函数，故A 错误；
9
对B，
，故
是偶函数，故B 正确；
对C，
，故
是偶函数，故C 错误；
对D，
，故
是偶函数，故D 错误.
故选：B
变式4．（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知函数
．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)用定义法证明：
在
上单调递增；
【答案】(1)非奇非偶函数
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可得解；
（2）利用作差法计算即可得出结论.
【详解】（1）由
，得
，则
，
所以函数
的定义域为
不关于原点对称，
所以函数
为非奇非偶函数；
（2）
，
令
，
则
，
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
在
上单调递增.
变式5．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
，且
．
(1)判断并证明函数
在其定义域上的奇偶性．
(2)证明函数
在
上是增函数．
(3)画出
在
上的图象，并求在
上值域．
【答案】(1)奇函数，证明见解析．
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(2)证明见解析
(3)图象见解析，值域
【分析】（1）先将
代入，求出
的值代入后再判断函数的奇偶性，并用定义证明；
（2）利用定义法证明函数的单调性；
（3）结合第（2）问单调性的结果，判断该函数在
上的单调性，再求最值．
【详解】（1）
在其定义域上为奇函数，
，定义域为
，
由
，
解得
，
，
，
在定义域上为奇函数．
（2）任取
，且
，
，
，
，则
又
，
，
，即
，
在
上为增函数．
（3）
在
上的图象如图.
在
单调递减，在
单调递增，
,又
，则
故函数值域为
.
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【方法技巧与总结】
函数奇偶性判断的方法
(1)定义法：
(2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y 轴对称．则函数为偶函
数．此法多用在解选择、填空题中．
(3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两
个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
(4)分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断
方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断
与
的关系.首先要特别注意
与
的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，
与
对应不同的表达式，而它们的结果按奇
偶函数的定义进行比较.
【题型2：函数奇偶性的图像特征】
例2．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性可排除C，根据特殊值法可排除BD，即可求解.
【详解】由于
定义域为
，所以
，
故
，
为奇函数，图象关于原点对称，
C 错误；
，
B 错误，
，
D 错误，
故选：A．
变式1．【多选】（2024·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考期中）已知定义在
上的函数
，对任意
实数
满足
，且
时，
，则下列说法中，正确的是
（ ）
A．2 是
的周期
B．
不是
图象的对称轴
C．
D．
是
图象的对称中心
【答案】AC
【分析】由周期性、对称性的定义判断．
【详解】
时，
，
由
知2 是
的一个周期，A 正确；
由
得
是
图象的一条对称轴，从而
也是
图象的一条对称轴，
时，
，BD 错误；
，C 正确；
故选：AC．
变式2．（2024·湖北黄冈·高一校考期中）已知定义在
上的奇函数
，当
时，
．
(1)求函数
在
上的表达式；
(2)画出函数
的大致图象；
(3)直接写出函数
的值域和单调区间．
(4)若方程
a 有两个实数根，直接写出a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)值域为
，单调递增区间为
，
，单调递减区间为
，
；
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(4)
∪（0，1）
【分析】
先设
，则
代入已知函数的解析式，从而求出
的函数解析式，进而可以求解；
根据二次函数的性质即可画出函数
的图像；
根据图像即可求出函数的值域研究单调区间．
（4）数型结合根据图像求解即可.
【详解】（1）设
，则
，所以
，
又函数
是奇函数，则
，
所以
，
又
，则
，
所以函数
在
上的解析式为
；
（2）函数
的图像如图所示：
（3）由图象可得函数的值域为
，
单调递增区间为
，
，
单调递减区间为
，
．
（4）
∪（0，1）.
【方法技巧与总结】
函数奇偶性的图像特征
根据奇偶函数在原点一侧的图像求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图
像的对称性作出函数在定义域另一侧的图像，根据图像特征求解问题．
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【题型3：利用函数奇偶性求参数】
例3．（2024·福建泉州·高一校考期中）若
是偶函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．1
D．3
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质
计算可得.
【详解】因为
是偶函数，
所以
，即
，
所以
，则
，解得
.
故选：A
变式1．（2024·全国·高一随堂练习）已知函数
是偶函数，求实数a 的值．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性即可代入求解.
【详解】由
可得
，
由于
为偶函数，所以
，
所以
，故
，
变式2．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数
是定义在区间
上的偶函
数，则
．
【答案】2
【分析】由题意
，可解出
，定义域关于原点对称，可解出
.
【详解】函数
是定义在区间
上的偶函数，
得
，所以
，解得
，
且定义域
关于原点对称，所以
，解得
，
所以
．
故答案为：2.
变式3．（2023·四川绵阳·高一期中）若函数
为奇函数，则
.
【答案】
【解析】显然函数
的定义域为R，
由
是奇函数，得
，即
，
即
，而
不恒为0，
15
则
，解得
，所以
.
变式4．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
是定义在
上的奇函数，
则
．
【答案】
/
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得
，进而代入即可求解.
【详解】由题意可知
，即
.
又
是奇函数，故
，即
，
∴
对任意
都成立，则
，
∴
.所以
，
故答案为：
变式5．（2024·辽宁·高三校联考开学考试）已知函数
是定义在
上的偶函数，则
（ ）
A．1
B．
C．0
D．2
【答案】C
【分析】利用偶函数的定义，建立方程，可得答案.
【详解】由题意可得
，则
，可得
.
故选：C.
变式6．（2023 秋·上海松江·高一校考期末）若函数
是定义在
上的奇函数，则
.
【答案】1
【解析】因为函数
是定义在
上的奇函数
所以
，解得
.
因为
，
所以
，解得
.
所以
.
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变式7．（2024·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数
是偶函数，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】化简函数为
，根据
，列出方程，即可求解.
【详解】由函数
，
因为函数
为偶函数，可得
，
即
，所以
，解得
.
故选：D.
变式8．（2023 春·陕西安康·高三校考阶段练习）若
是奇函数，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】利用题给条件列出关于实数
的方程组，解之即可求得实数
的值.
【详解】
是奇函数，则
，
，
即
，解之得
，
则
，经检验
是奇函数.
故选：B
变式9．（2023 春·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知函数
是定义在
上的偶函数，且
．
(1)求
的值；
(2)求使
成立的实数
的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
列式求出m，n，再检验奇偶性即可得解；
（2）先根据函数定义域可得
，再判断
的单调性，由奇偶性和单调性将原不等式化简，求解
关于a 的不等式组即可．
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【详解】（1）由题意可得：
，解得
，
则
，
可得
，则
符合题意，
所以
.
（2）因为
的定义域为
，则
，解得
，
又因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
由
，可得
，则
或
，
解得
或
，
综上所述：
或
，
所以能使
成立的实数
的取值集合为
.
【方法技巧与总结】
利用函数奇偶性求参数的解题思路
奇、偶函数的定义既是判断函数是否具有奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一
个性质，解题时要注意奇、偶函数的定义的正用和逆用．利用函数的奇偶性求参数一般有如下两种题型．
(1)定义域含参，需根据定义域关于坐标原点对称列式求解．
(2)解析式含参，需根据f(x)＝f(－x)或f(x)＝－f(－x)列式，比较各项的系数求解．
【题型4：利用函数奇偶性求值】
例4．（2024·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知
是定义在R 上的偶函数，且当
时，
，
则
.
【答案】1
【分析】根据偶函数的性质即可求得答案.
【详解】由题意
是定义在R 上的偶函数，且当
时，
，
则
，
故答案为：1
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变式1．（2024·广东·高三学业考试）函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
，则
.
【答案】9
【分析】根据题意，结合
，代入即可求解.
【详解】函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
，
则
.
故答案为：.
变式2．（2023 秋·全国·高一专题练习）设
为
上的奇函数，且当
时，
，则
（ ）
A．12 B．
C．13 D．
【答案】C
【解析】因为
为
上的奇函数，所以
，
，
所以
.故选：C
变式3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
，则
.
【答案】
【解析】由函数
是定义在
上的奇函数，
则
，
，
由
，则
.
故答案为：
.
变式4．（2024·江苏连云港·高一统考期中）已知
，其中
为常数，若
，则
．
【答案】
【分析】构造奇函数
，利用奇函数的定义求解．
【详解】设
，
，
是奇函数，
19
，则
，又
，所以
．
故答案为：
．
变式5．（2023·全国·高一专题练习）已知
，
，则
（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-5
【答案】B
【解析】设
，定义域为
，
则
，故
为奇函数，
又
，则
，
所以
.故选：B
变式6．（2023·全国·高一专题练习）已知函数
的最大值为
，最小值为
，则
的
值等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
，设
，函数定义域为
，
，函数为奇函数，
，
，
，故
.故选：B.
变式7．（2024·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）设函数
，若
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性求参数，然后求函数值即可.
【详解】由已知可得
，则
．
因为
是奇函数，
所以
，即
，
20
因为
，解得
，所以
，
所以
.
故选：D．
【方法技巧与总结】
由函数的奇偶性求函数值
由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用
或
求
解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。
【题型5：利用函数奇偶性求解析式】
例5．（2024·海南海口·高一海口一中校考期中）已知函数
为奇函数，且当
时
，则当
时，
．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.
【详解】因为函数
为奇函数，
所以当
时，
，
故答案为：
变式1．（2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期中）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
在
上的解析式为 .
【答案】
【分析】根据题意结合奇函数的定义与性质运算求解.
【详解】因为函数
是定义在
上的奇函数，则
，
当
时，则
，可得
，
所以
.
故答案为：
.
21
变式2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
是定义在
上的偶函数，且当
时，
，则
的解析式为 .
【答案】
（或
）
【详解】根据题意可知，当
时，
，则
，
又函数
是定义在
上的偶函数，所以
，
因此当
时，
，所以
的解析式为
.
故答案为：
变式3．（2024·全国·高一专题练习）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
.
(1)求函数
在
上的解析式；
(2)若函数
在区间
单调递增，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）由奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式；
（2）作出函数
的图象，从而得函数的单调递增区间，根据题意列不等式，即可得答案.
【详解】（1）解：设
，则
，所以
，
因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以
，
又因函数
是定义在
上的奇函数，可得
，
所以函数
在
上的解析式为
.
（2）解：作出函数
的图象，如图所示，
由函数图象可知，
在
上单调递增，
要使函数
在区间
上单调递增，
则满足
，解得
，
22
所以实数
的取值范围为
.
变式4．（2024·高一课时练习）已知
是R 上的偶函数，且当
时，
，求
的
解析式．
【答案】
【分析】根据偶函数的定义结合已知的解析式可求出当
时的解析式，从而可求出函数解析式
【详解】因为当
时，
，所以
因为
是R 上的偶函数，
所以
，
，
所以
.
变式5．（2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考期中）已知函数
（
）是偶函数．当
时，
．
(1)求函数
的解析式；
(2)记
在区间
上的最小值为
，求
的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件令
，得到
，从而求出
，结合偶函数的性质，即可求解；
23
（2）根据区间和分段函数的临界值，结合二次函数的单调性分类讨论即可.
【详解】（1）令
，则
，
因为
时，
，
所以
，
又因为
为偶函数，所以
时，
故
.
（2）∵
在区间
上的最小值为
，
又由（1）得：
，
可得：
在
上单调递减，在
单调递增，在
单调递减，在
上单调递增，
∴①当
，即
时，
在
上单调递减，
则
；
②当
，即
时，
在
上单调递减，
单调递增，
所以
；
③当
，即
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
当
时，此时
，所以
；
当
时，此时
，所以
；
④当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
；
⑤当
时，
在
上单调递增，
所以
；
24
综上，
.
变式6．（2024·全国·高一专题练习）（1）函数
是定义域为R 的奇函数，当
时，
，
求
的解析式；
（2）设
是偶函数，
是奇函数，且
，求函数
的解析式．
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）利用奇函数的性质求解析式即可；
（2）利用奇偶函数的性质列方程组求解解析式即可.
【详解】（1）设
，则
，
∴
，
又∵函数
是定义域为R 的奇函数，
∴
，
∴当
时，
.
又
时，
，
所以
；
（2）∵
是偶函数，
是奇函数，，
∴
．
则
即
，解之得
.
25
变式7．（2023·全国·高一专课时练习）若定义在R 上的偶函数
和奇函数
满足
．则
．
【答案】
【解析】由题意
，
，
则由
可得
，即
由
，可得
【方法技巧与总结】
利用函数奇偶性求函数解析式的方法
已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如
下：
(1)求哪个区间上的解析式，x 就设在那个区间上；
(2)把x 对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；
(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).
注意：若奇函数定义域包含0，则必有f(0)＝0.
【题型6：函数单调性与奇偶性的综合应用】
例6．（2024·全国·高一专题练习）已知定义在
上的偶函数
在
上是减函数，若
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性，即可列出不等关系求解.
【详解】由于
在
上是减函数，且
为偶函数，所以
在
上是增函数，
若
，则
，平方可得
，
解得
，
故答案为：
变式1．（2024·江苏常州·高三常州市第三中学校联考阶段练习）已知奇函数
在
上单调递减，
且
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
26
【分析】先确定函数
在
上单调递减，且
，再将不等式等价变形，即可得到结论．
【详解】若
的定义域为
，则
，不合题意；
若
的定义域为
，显然
不合题意；
奇函数
在
上单调递减，且
，
所以
在
上单调递减，且
，
可得：当
或
时，
，当
或
时，
，
因为
等价于
或
，可得
或
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
变式2．（2024·广东深圳·高三校考阶段练习）已知
是奇函数，且在
上是增函数．又
，
则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意
在
上是增函数且
，再结合
是奇函数，可以先求得
的符号
随
的变化情况，然后列表即可求解.
【详解】由题意
在
上是增函数且
，
所以当
时，有
，
当
时，有
，
又因为
是奇函数，
所以当
时，有
，
，所以
，
当
时，有
，
，所以
，
所以
的符号随
的变化情况如下表：
27
由表可知不等式
的解集为
.
故选：A.
变式3．（2024·江西·高三宁冈中学校考期中）定义在
上的偶函数
在
上单调递减，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可得
，结合函数的单调性可得
，解不等式即可得出
答案.
【详解】因为偶函数
在
上单调递减，
所以
可得：
，
所以
，即
，解得：
.
故选：B.
变式4．（2024·北京东城·高一校考期中）若定义在R 上的奇函数
在
上是增函数，又
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由函数的单调性以及奇偶性先得出
的符号随
的变化情况，然后列表即可求解.
【详解】因为
是定义在R 上的奇函数，又
，所以
，
注意到
在
上是增函数，
所以当
时，有
，当
时，有
，
又
是定义在R 上的奇函数，
所以当
时，有
，
，
当
时，有
，
，
28
所以
的符号随
的变化情况如下表：
由上表可知：不等式
的解集为
故选：C.
变式5．（2024·河南·校联考模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，且
在
上单调递增，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数
的奇偶性以及在
上单调递增，判断出
的值的正负情况，解不等式
即可得答案.
【详解】由题意得，
，
在
，
上为增函数，
当
时，
，当
时，
，
由
可得，
或
，
解得
或
，
综上所述，
或
．
故选：C．
变式6．（2024·天津·高一校考期中）已知函数
是定义在
上的偶函数，若对于任意不等实数
，不等式
恒成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】由已知判断出函数
的单调性，结合奇偶性可得
，再解不等式可得答案.
29
【详解】函数
是定义在
上的偶函数，所以
，
对于任意不等实数
，不等式
恒成立，
所以
在
上单调递减，
所以
，解得
.
故选：C.
变式7．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数
，则不等式
的解集
为 ．
【答案】
/
【分析】首先判断函数的奇偶性和函数的单调性，即可求解抽象不等式.
【详解】
，且定义域为
，所以函数
为偶函数，
且在
上为增函数，
，
，
解得：
，
所以不等式的解集为
.
故答案为：
变式8．（2024·河南郑州·高三校考阶段练习）设函数
，则使得
成立的x
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】函数
的定义域为
，
因为
，所以函数
为偶函数，
当
时，因为
都是增函数，
所以函数
在
上单调递增，
由
，
得
，两边平方得
，
30
解得
，即x 的取值范围为
.
故答案为：
.
变式9．（2023 春·云南迪庆·高一统考期末）设定义在
上的奇函数
在区间
上单调递减，若
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由于
为奇函数，所以
，
在区间
上单调递减，故
在区间
上也单调递减，
故
在
单调递减，
由
得
，
所以
，解得
，
故答案为：
变式10．（2023 秋·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知函数
定义域为
，且
的
图象关于
对称，当
时，
单调递减，则关于
的不等式
的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
的图象关于
对称，
令
，则
，即
，
即
，所以，
，
故函数
是定义在
上的偶函数，则
，解得
，
所以，函数
是定义在
上的偶函数，
由题意可知，函数
在
上单调递减，
由
可得
，
31
所以，
，解得
.
因此，不等式
的解集为
.故选：A.
变式11．（2023·全国·高一专题练习）定义在
上的偶函数
满足：对任意的
，
有
，则
、
、
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为对任意的
，有
，
所以当
时，
，所以
在
上是减函数，
又
是偶函数，所以
，
，
因为
，所以
，即
．故选：D．
变式12．（2023 秋·全国·高一专题练习）已知函数
是偶函数，当
时，
恒成立，设
，
，
，则
的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵当
时，
恒成立，
∴当
时，
，即
，
∴函数
在
上为单调减函数，
∵函数
是偶函数，即
，
∴函数
的图像关于直线
对称，∴
，
又函数
在
上为单调减函数，∴
，
即
，∴
，故选：C.
【方法技巧与总结】
32
1、函数奇偶性和单调性的关系
(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的
单调性．
(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的
单调性．
2、利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利
用单调性脱掉“f”求解．
(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即
可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
【题型7：抽象函数的奇偶性】
例7.【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知函数
，
均为定义在
上的奇函数，且
，
，则（ ）
A．
是奇函数 B．
是奇函数
C．
是偶函数 D．
是偶函数
【答案】ABC
【解析】因为函数
，
均为定义在
上的奇函数，
所以
，
，
对于A 选项，设
，则
，
所以
为奇函数，故A 正确；
对于B 选项，设
，则
，
所以
为奇函数，故B 正确；
对于C 选项，设
，则
，
所以
为偶函数，故C 正确；
对于D 选项，设
，则
，
所以
是奇函数，故D 错误.故选：ABC.
变式1．【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知函数
的定义域为
，
为奇函数，且对于
任意
，都有
，则（ ）
A．
B．
33
C．
为偶函数 D．
为奇函数
【答案】BCD
【解析】由
为奇函数，可得
，即
，
又因为
，所以
，即
,
所以
，所以
，故选项A 错误；
由
，得
，由
，得
，
所以
，故选项B 正确；
由
，
，得
，
所以
为偶函数，故选项C 正确；
由
，
，可得
，
所以
，
即
，故
为奇函数，故选项D 正确.故选：BCD
变式2．（2023 秋·黑龙江牡丹江·高一校考期末）设函数
是增函数，对于任意x，
都有
．
（1）写一个满足条件的
并证明；
（2）证明
是奇函数；
（3）解不等式
．
【答案】（1）
，证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）因为函数
是增函数，对于任意x，
都有
，
这样的函数很多，其中一种为：
．
证明如下：函数
满足
是增函数，
因为
，
所以
满足题意．
（2）证明：令
，则由
，得
，即
；
令
，则由
，得
，
即
，故
是奇函数．
34
（3）因为
，所以
，
则
，即
，
因为
，所以
，
所以
，
又因为函数
是增函数，所以
，所以
或
．
所以不等式
的解集为
.
一、单选题
1．（24-25 高三上·山西朔州·阶段练习）已知函数
是定义域为
的奇函数，当
时，
.若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的单调性，结合奇函数的性质可得
在R上单调递增，即可得
求解.
【详解】当
时，
的对称轴为
，故
在
上单调递增.
函数在
处连续，又
是定义域为R的奇函数，故
在R上单调递增.
因为f (−x)=−f (x)，由
，可得
，
又因为
在R上单调递增，所以
，解得
.
故选：D
2．（2024·广东惠州·模拟预测）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性和单调性逐项判断即可.
【详解】对于A，
为偶函数，故A 错误；
对于B，设
，所以
35
故
在定义域上不是单调递增，故B 错误；
对于C，
，故函数的单调增区间为
和
，
所以
在定义域上不是单调递增，故C 错误；
对于D，
，由幂函数的性质可知，函数
为奇函数，且在定义域上单调递增，故D 正确.
故选：D
3．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，
，则
（ ）
A．4050
B．4048
C．4044
D．4036
【答案】A
【分析】根据题中
为奇函数，
为偶函数，从而可得出为周期为4 的函数，从而可求解.
【详解】由
为奇函数，所以
，
即
，所以函数
关于点
中心对称，
由
为偶函数，则
，即
，
即
，所以函数
关于
对称，
所以
，即
，可得
，
所以
，所以函数
为周期为4 的函数，
由
，所以
，则
，
所以
，且
，即
，
又
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：A.
4．（24-25 高一上·全国·随堂练习）已知函数
为奇函数，则
等于（ ）
A．
B．1
C．0
D．2
【答案】C
36
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出
值即可.
【详解】依题意，当
时，
，则
，
而当
时，
，因此
，则
，
，
当
时，
，则
，
又
，于是
，
，
所以
，所以
.
故选：C
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
是定义域为
的奇函数，满足
，
若
，则
（ ）
A．－2
B．0
C．2
D．4
【答案】B
【分析】根据函数为奇函数及函数图象关于
轴对称可得函数周期为8，再求出一个周期内函数值的和，
即可得解.
【详解】因为
是奇函数，
，所以
的图象关于直线
对称，
所以
，
故
，所以
是周期为8 的周期函数．
由奇函数知
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
由于
，所以
，
故选：B
6．（23-24 高一上·贵州·阶段练习）已知函数
为定义在
上的奇函数，且在
为减函数，在
为增函数，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据奇函数性质确认函数零点，再根据已知单调性可以求出函数在各个区间符号，由不等式性
37
质可得解.
【详解】因为
为定义在
上的奇函数，所以
，且
又因
，所以
，
又因
在
为增函数，在
上
，
在
上
，
又因
在
为减函数，所以
上
，
综上，当
时，
，当
时
，
当
时，则
，所以
，则
，
当
时，则
，所以
，则
，
不等式
可化简变形为
，
综上所述可知当
时，
.
故选：D
7．（2024 高一上·江苏·专题练习）已知定义在
上的奇函数
，当
时，
单调递增，若不等式
对任意实数恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据奇函数确定函数的单调性，脱去“
”，利用不等式恒成立列出不等式组得解.
【详解】根据题意，
是定义在
上的奇函数且在
上单调递增，
则
在
上也是增函数，
因为不等式
对任意实数恒成立
所以
对任意实数恒成立，
即
对任意实数恒成立，
当
时，
不恒成立，
当
时，可得
，解可得
.
即
的取值范围是
，
故选：A
8．（24-25 高三上·江苏镇江·开学考试）已知定义域为R 的函数
，满足
38
，且
，则以下选项错误的是（ ）
A．
B．
图象关于
对称
C．
图象关于
对称
D．
为偶函数
【答案】B
【分析】由赋值法令
可判断A；由赋值法令
可判断B；由赋值法令
，结合对称性的
性质可判断C；由赋值法令
结合偶函数的定义可判断D.
【详解】对于A，令
，则
，所以f (1)=0，故A 正确；
对于B，令
，则
，即
，
解得：
或
，因为
，所以
，
令
，
，所以
，
所以
图象不关于(2,0)对称，故B 错误；
对于C，令
，则有
即
，故
图象关于(1,0)对称，故C 正确.
对于D，令
，则有
即
，即
，
即
，因为函数
的定义域为R，
所以
为偶函数，故D 正确.
故选：B.
9．（24-25 高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数
，若
为奇函数，则
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】根据奇函数定义可得
恒成立，化简可求
.
【详解】因为
为奇函数，
，
所以
，
所以
，
39
所以
，
所以
，
所以
，
，
所以
，
，
故选：D.
二、多选题
10．（23-24 高一上·福建龙岩·阶段练习）下列函数是偶函数，且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用偶函数定义及函数单调性逐项判断即得.
【详解】对于A，函数
定义域为
，不是偶函数，A 不是；
对于B，函数
定义域为R，
，是偶函数，且在
上单调递增，B 是；
对于C，函数
定义域为R，
，是偶函数，且在
上单调递增，
C 是；
对于D，函数
定义域为R，而
，不是偶函数，D 不是.
故选：BC
11．（23-24 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所
示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．在
平面直角坐标系中，若一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，则称这个函数为这个圆的
“太极函数”，下列说法中正确的有（ ）
A．对于一个半径为1 的圆，其“太极函数”仅有1 个
B．函数
可以同时是无数个圆的“太极函数”
C．函数
不可能是某个圆的“太极函数”
40
D．函数
是某个圆的“太极函数”
【答案】BD
【分析】若函数有对称中心且圆的圆心在对称中心时，该函数一定是该圆的“太极函数”，根据这一性质
判断各个选项，D 项需要证明奇函数.
【详解】A 项，对于任意一条过圆心的一次函数的图象都能够将该圆的周长和面积同时平分，所以有无数
个，所以A 项错误；
B 项，若函数
经过圆的圆心，则该函数是“太极函数”，因为可以有无数个圆的圆心均在函数
上，所以B 项正确；
C 项，函数
满足
，奇函数，对称中心为
，当某个圆的圆心为
时，则
该函数是“太极函数”，所以C 项错误；
D 项，函数
，
因为
，
所以对称中心为
，同理是“太极函数”，所以D 项正确.
故选：BD.
12．（2025·吉林长春·一模）定义在
的函数
满足
，且当
时，
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
在
上单调递增
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据奇偶性的定义分析判断A，根据函数单调性的定义分析判断B，利用赋值法分析判断C，根据
选项C 及函数单调性判断D.
【详解】对于A，令
，可得
，再令
，可得
，且函数定义域为(−1,1)，
所以函数为奇函数，故A 正确；
对B，令
，则
，
，可得
，所以
，
41
由函数性质可得
，即
，所以
在(−1,1)上单调递增，故B
正确；
对于C，令
，可得
，所以
，即
，
故C 正确；
对D，因为函数为增函数，所以
，由C 可知
，故D 错误.
故选：ABC
13．（23-24 高一上·河北沧州·阶段练习）已知定义在
上的偶函数
满足
，当
时，
，则（ ）
A．
的图像关于点
对称
B．
C．当
时，
D．
在
上单调递减
【答案】ABC
【分析】利用函数的对称性判断A，利用赋值法判断B，利用偶函数的性质，结合题中条件求得
的解
析式判断C，举反例判断D，从而得解.
【详解】对于A，由题设
，可知
的图象关于点
对称，A 正确；
对于B，因为
是定义在
上的偶函数，当
时，
，
在
中，令
，得
，B 正确；
对于C，当
时，
，所以
，
又
，所以
，
即当
时，
，
而
为偶函数，所以当
时，
，则
，
综上可知，当
时，
，C 正确；
对于D，由B 的解析可知
，故D 错误．
故选：ABC．
14．（24-25 高三上·山东菏泽·开学考试）已知函数
的定义域均为
的图象关于
对称，
是奇函数，且
，则下列说法正确的有（ ）
42
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】A 选项，根据
的图象关于
对称，所以
关于
轴对称，故
，A 正
确；B 选项，由奇函数性质得到
，故
，B 错误；CD 选项，由题目条件得到
，结合
得到
，故
，推出
，得到周期，赋值法得到
，
，并利
用周期求出
.
【详解】A 选项，因为
的图象关于
对称，所以
关于
轴对称，
故
是偶函数，则
，故A 正确；
B 选项，因为
是奇函数，所以
，即
，故B 错误；
CD 选项，由
得
，
又
，所以
，又
，
即
，即
，则
，
所以
，所以
①，
即
②，
②-①得
，所以函数
的周期为4，
令
，由
，得
，
再令
，则
，所以
，
又
，由
，
所以
，故C，D 正确.
故选：ACD.
【点睛】函数的对称性：
若
，则函数
关于
中心对称，
43
若
，则函数
关于
对称，
函数的周期性：设函数
，
，
，
．
（1）若
，则函数
的周期为2a；
（2）若
，则函数
的周期为2a；
（3）若
，则函数
的周期为2a；
（4）若
，则函数
的周期为2a；
（5）若
，则函数
的周期为
；
（6）若函数
的图象关于直线
与
对称，则函数
的周期为
；
（7）若函数
的图象既关于点
对称，又关于点
对称，则函数
的周期为
；
三、填空题
15．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知定义在
上的奇函数
在
上单调递减，
且
，则满足
的
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意作出示意图，结合图形可求不等式
的解集.
【详解】因为
是定义在R上的奇函数，且
在(0,+ ∞)上单调递减，
，
作出示意图如图所示：
由图形可知满足不等式
的
的取值范围是
.
故答案为：
.
16．（23-24 高一上·吉林·阶段练习）若函数
是R 上的奇函数，且在
上是增函数，又
，
则
的解集是 .
44
【答案】
【分析】根据函数奇偶性和单调性得到当
或
时，
，当
或
时，
，从而得到不等式的解集.
【详解】因为
为R 上的奇函数，则
，
在
上是增函数，则在(0,+∞)上也单调递增，
又
，故
，
当
或
时，
，当
或
时，
，
故当
时，
，满足
，
当
时，
，满足
，
综上，
的解集为
.
故答案为：
17．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
若
，则实数a 的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】由函数的奇偶性，单调性去
即可求解.
【详解】因
为开口向上的二次函数，对称轴为
，故函数在
上单调递减；
当
时，
，
，
,
所以
.
又当
时，
，
，
所以
.
又
，所以
为奇函数，且在R 上单调递增，
则
可得：
，即
，
解得
，
故答案为：
18．（2024 高一·全国·专题练习）已知函数
为偶函数，则
．
【答案】
45
【分析】由f (−x)= f (x)进行求解．
【详解】因为函数
为偶函数，所以f (−x)= f (x)，
即
，
即
，
两边平方，化简可得
．
要使上式恒成立，则
，即
．
故答案为：
19．（23-24 高一上·安徽淮北·期中）已知函数
是定义在R上的奇函数，且
，若对任意的
，当
时，有
成立，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数
的单调性、奇偶性，再利用性质解不等式.
【详解】令
，由
是定义在R 上的奇函数，得
，则
为偶函数，
由对任意的
，当
时，有
成立，
得
在
上单调递减，
因此函数
在
上单调递增，由
，得
，
不等式
，因此
，解得
或
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
20．（23-24 高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
，则
的解集为 .
【答案】
【分析】当
时，
可得
，根据偶函数的性质可知，当
时，由
可得
，
进而可得.
【详解】当
时，
得
，
又函数
是定义在
上的偶函数，
故当
时，由
可得
，
综上
的解集为
，
故答案为：
46
四、解答题
21．（24-25 高一上·全国·课堂例题）已知函数y = f (x)是定义在R 上的奇函数，且当
时，
.现已画出函数
在y 轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补全函数y = f (x)的图象；
(2)根据图象写出函数y = f (x)的单调递增区间；
(3)根据图象写出使
的x 的取值集合.
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)
或x>2}
【分析】（1）奇函数关于原点对称，据此补全图象即可；
（2）（3）由图象写出单调递增区间和写出使
的x 的取值集合即可；
【详解】（1）由题意作出函数图象如图所示.
（2）由图可知，单调递增区间为
.
（3）由图可知，使
的x 的取值集合为
或
.
22．（2024 高一上·江苏·专题练习）函数
是
上的奇函数，且当
时，函数的解析式为
.
(1)求
的值；
47
(2)用定义证明
在
上是减函数；
(3)当
时，求函数的解析式.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求
，然后结合奇函数定义可求；
（2）设
，然后利用作差法比较
与
的大小即可判断；
（3）先设
时，
，根据已知函数式及奇函数定义可求.
【详解】（1）因为
时，函数的式为
，
所以
，
因为
为
上的奇函数，
所以
；
（2）证明：设
，则
，
所以
，
因为
时，
，
则
，
所以
，
所以
在
上是减函数；
（3）当
时，
，
则
，
所以
.
23．（2024 高一上·江苏·专题练习）已知函数
，其中
.
(1)当函数
的图象关于点
成中心对称时，求
的值；
48
(2)若函数
在
上单调递减，求
的取值范围；
(3)若
，求函数
在区间
上的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数
的图象关于点
成中心对称，
是奇函数，求出
的值；
（2）化简函数
，根据
在
上的单调性，求出
的取值范围；
（3）根据
时
的单调性，求出
在区间
上的值域.
【详解】（1）
“函数
的图象关于点
成中心对称”的充要条件为：
“函数
是奇函数”，
当
的图象关于点
成中心对称时，
是奇函数，
，解得
；
（2）
函数
，
当
在
上单调递减时，
，
解得
，
的取值范围是
；
（3）当
时，
，
函数
在区间
上是单调增函数，
，
即
，
函数
的值域是
.
49
24．（23-24 高一上·浙江宁波·期中）黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并
提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在
上，
．
(1)请用描述法写出满足方程
的解集；（直接写出答案即可）
(2)解不等式
；
(3)探究是否存在非零实数
，使得
为偶函数？若存在，求k，b 应满足的条件；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
为大于1 的正整数
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；
（2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；
（3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得
，则
关于
对称，即
，则
为偶函数，即可得解.
【详解】（1）依题意，
，
当
时，
，则方程
无解，
当
为
内的无理数时，
，则方程
无解，
当
(
为既约真分数)时，则
，
为大于1 的正整数，
则由方程
，解得
，
为大于1 的正整数，
综上，方程
的解集为
为大于1 的正整数.
（2）若
或
或
为
内无理数时，
，
而
，此时
，
50
若
(
为既约真分数)，则
，
为大于1 的正整数，
由
，得
，解得
，
又因为
(
为既约真分数)，所以
，
综上，不等式
的解为
.
（3）存在非零实数
，使得
为偶函数，即
为偶函数，证明如下：
当
或
时，有
成立，满足
，
当
为
内的无理数时，
也为
内的无理数，所以
，满足
，
当
(
为既约真分数)，则
为既约真分数，
所以
，满足
，
综上，对任意
，都有
，
所以
关于
对称，即
，则
为偶函数，
所以，存在非零实数
，使得
为偶函数.
25．（23-24 高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，函数
在
轴左侧的图象如图所示，请根据图象；
(1)画出
在
轴右侧的图象，并写出函数
的单调区间；
(2)写出函数
的解析式；
(3)若函数
，求函数
的最小值.
【答案】(1)答案见解析
51
(2)
(3)
.
【分析】（1）利用关于原点中心对称作出图象，由图象得单调区间；
（2）根据奇函数定义求解析式；
（3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值．
【详解】（1）函数
是定义在
上的奇函数，即函数
的图象关于原点对称，
则函数
图象如图所示．
故函数的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（2）根据题意，
令
，则
，则
，
又因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以
，
即
，
所以
.
（3）当
时，
，
则
，
其对称轴为
，
当
时，即
，则
，
当
时，即
，则
，
52
故
.
26．（23-24 高二下·河南安阳·期末）世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景
区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.
湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1 是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2 是
由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在
轴上方的图
象对应的函数解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式可求得
，知A 错误；由
时，
可知B 错
误；根据
、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C 正确；根据函数定义域可知
D 错误.
【详解】对于A，
（当且仅当
，即
时
取等号），
在
上的最大值为
，与图象不符，A 错误；
对于B，当
时，
，与图象不符，B 错误；
对于C，
，
当
时，
；
又
过点
；
53
由
得：
，解得：
，即函数定义域为
；
又
，
为定义在
上的偶函数，图象关于
轴对称；
当
时，
，则函数在
上单调递增，在
上单调递减；
综上所述：
与图象相符，C 正确；
对于D，由
得：
，
不存在
部分的图象，D 错误.
故选：C.
