1
2.5.2 椭圆的几何性质
课程标准
学习目标
1.掌握椭圆的几何性质
2.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影
响.
3.掌握直线与椭圆的位置关系及其应用
1.重点:椭圆的几何性质
2.难点:椭圆的几何性质的理解和应用.
知识点01 椭圆的几何性质
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a 且－b≤y≤b
－b≤x≤b 且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，
b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，
B2(b,0)
轴长
长轴长＝，短轴长＝
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝
对称性
对称轴x 轴和
y 轴
，对称中心(0,0)
2
离心率
e＝(0<e<1)
【即学即练1】（23-24 高二上·云南昆明·期末）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为4:1，焦距为
2√15的椭圆方程为（ ）
A．x
2
64 + y
2
4 =1
B．x
2
4 + y
2
64 =1
C．x
2
16 + y
2=1
D．x
2+ y
2
16 =1
【即学即练2】（23-24 高二上·四川德阳·阶段练习）已知焦点在x轴上的椭圆x
2
m + y
2
8 =1的焦距是2，则该
椭圆的长轴长为
.
知识点02 椭圆的离心率
1.定义：e＝.
2.离心率的范围为：(0,1).
3.公式拓展：e＝=
√
1−b
2
a
2
4.e 越大，椭圆越扁平；e 越小，椭圆越接近于圆.
【即学即练3】（21-22 高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的短轴长为2，焦距为2√3
，
则该椭圆的离心率为（ ）
A．1
2
B．2
3
C．√3
2
D．√6
3
【即学即练4】（24-25 高二上·湖南衡阳·阶段练习）若椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)满足a=2b，则该椭圆
的离心率e =（ ）
A．1
2
B．√3
2
C．√3
3
D．√5
4
难点：数形结合的运用
3
示例1：（24-25 高二上·浙江温州·阶段练习）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1, F2
，过F1
的直线与椭圆C交于M , N两点，若2S△MN F2=5 S△M F1 F2
且∠F2 F1 N =∠F2 N F1
，则椭圆C
的离心率为（ ）
A．3
5
B．√2
2
C．1
3
D．√3
2
【题型1：椭圆的几何性质】
例1．（24-25 高二上·山东滨州·阶段练习）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（
）
A．x
2
9 + y
2
16 =1
B．x
2
25 + y
2
16 =1
C．x
2
25 + y
2
16 =1或x
2
16 + y
2
25 =1
D．x
2
16 + y
2
25 =1
变式1 ．（21-22 高二上· 广东湛江· 期中）已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的两个焦点分别为
F1(−3,0), F2(3,0)，上的顶点为P，且∠F1 P F2=60°，则此椭圆长轴为（ ）
4
A．4√3
B．2√3
C．6
D．12
变式2．（2024·江西·模拟预测）椭圆C : x
2
80 + y
2
35 =1的长轴长与焦距之差等于（ ）
A．√5
B．2√5
C．2√6
D．3√6
变式3．（23-24 高二下·广东广州·期中）已知椭圆C : x
2
a
2 +
y
2
a
2−6
=1的离心率为√3
2
，则椭圆C的长轴长为
（ ）
A．2√3
B．4√2
C．4√3
D．6√2
变式4．（23-24 高二上·福建南平·期末）已知椭圆C : x
2
m +
y
2
m+6 =1的离心率为√2
2
，则椭圆C的长轴长为
（ ）
A．2√3
B．4√2
C．4√3
D．6√2
变式5．（23-24 高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆
x
2
t +12 + y
2
t =1的离心率为√6
3
，则椭圆的长轴长为
（ ）
A．12√2
B．6√2
C．3√2
D．6
变式6．（多选）（23-24 高二下·四川雅安·开学考试）已知椭圆C : x
2
8 + y
2
28 =1，则（ ）
A．椭圆C的长轴长为4√7
B．椭圆C的焦距为12
C．椭圆C的短半轴长为4√2
D．椭圆C的离心率为√35
7
变式7．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知椭圆C : x
2
16 + y
2
b
2 =1(b>0)的左、右焦点分别为F1, F2
，上顶
点为A，若A F1⊥A F2，则C的短轴长为 .
变式8.（24-25 高二上·上海·课堂例题）若方程
x
2
25−m +
y
2
16+m =1表示长轴长为10 的椭圆，则实数m 的值
为 ．
【题型2：点与椭圆的位置关系】
例2．（24-25 高二上·全国·课堂例题）已知直线mx +ny −5=0与圆x
2+ y
2=5没有公共点，则点P(m,n)与
椭圆x
2
7 + y
2
5 =1的位置关系是（ ）
A．在椭圆内
B．在椭圆外
5
C．在椭圆上
D．不确定
变式1．（23-24 高二上·河南南阳·阶段练习）点(1,1)与椭圆x
2
25 + y
2
9 =1的位置关系为（ ）
A．点在椭圆上
B．点在椭圆内
C．点在椭圆外
D．不确定
变式2．（19-20 高二·全国·课后作业）若点P(a,1)在椭圆x
2
2 + y
2
3 =1的外部，则a的取值范围为
（ ）
A．(−2√3
3
, 2√3
3 )
B．(
2√3
3
,+ ∞)∪(−∞,−2√3
3 )
C．(
4
3 ,+ ∞)
D．(−∞,−4
3)
变式3 ．（19-20 高二· 全国· 课后作业）点A(a,1)在椭圆x
2
4 + y
2
2 =1的内部，则a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,−√2)∪(√2,+ ∞)
B．(−√2,√2)
C．[−√2,√2]
D．(−2,2)
变式4．(多选)（23-24 高二上·江苏徐州·期末）已知直线l:mx +ny = 4与圆O: x
2+ y
2= 4相切，椭圆
C : x
2
9 + y
2
5 =1，则（ ）
A．点P(m,n)在圆O 内B．点P(m,n)在圆O 上
C．点P(m,n)在椭圆C 内
D．点P(m,n)在椭圆C 上
变式5．（多选）（23-24 高二上·全国·课后作业）点A (a,1)在椭圆x
2
4 + y
2
2 =1的内部，则a的值可以是
（ ）
A．−√2
B．−1
C．1
D．√2
变式6．（23-24 高二上·广东佛山·期末）设F1、F2分别是椭圆C : x
2
4 + y
2
2 =1的左、右焦点，在椭圆C上满
足∠F1 P F2=90
∘的点P的个数为 ．
变式7．（20-21 高二·全国·课后作业）若点A(m,1)在椭圆x
2
4 + y
2
2 =1的内部，则实数m的取值范围是
．
6
变式8．（20-21 高二上·全国·课后作业）已知点(3，2)在椭圆x
2
m + y
2
n =1(m>0,n>0)上，则点(-3，3)与椭
圆的位置关系是 .
【方法技巧与总结】
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P 在椭圆上⇔＋＝1；
点P 在椭圆内部⇔＋<1；
点P 在椭圆外部⇔＋>1.
【题型3：离心率取值问题】
例3．（24-25 高二上·吉林长春·阶段练习）已知点F，A，B 分别是椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左焦点、右
顶点和上顶点，AB 的中点为M，若|FM|= √33√a
2−b
2
2
，则椭圆的离心率等于（ ）
A．1
5
B．1
3
C．2√6
5
D．2√2
3
变式1．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点为F1, F2, P ,Q为
C在第一象限的两个动点，且⃗P F1= λ⃗Q F2,∠P F1 F2=π
6
，若|P F1|=3|Q F2|，则C的离心率为
（ ）
A．√3
3
B．1
2
C．√5
2
D．√10
4
变式2．（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知F1, F2
分别为椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的两个焦
点，P是椭圆E上的点，P F1⊥P F2
，且|P F1|=2|P F2|，则椭圆E的离心率为（ ）
A．√10
2
B．√10
4
C．√5
3
D．√5
6
变式3．（24-25 高二上·河北邯郸·阶段练习）设椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左右焦点为F1
，F2
，右顶
7
点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1 P F2=90
∘，∠PA F2= 45
∘，则椭圆的离心率为（ ）
A．5
7
B．√6
3
C．√2−1
D．√3−1
变式4．（24-25 高二上·全国·课后作业）设椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2
，点
M , N在C上（M位于第一象限），且点M , N关于原点O对称，若⃗M F1⋅⃗M F2=0,√15|M F2|=|N F2|，
则C的离心率为（ ）
A．√15
4
B．√15
7
C．2√15−2
7
D．√15−2
4
变式5.（24-25 高二上·全国·课后作业）已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F，上、下顶点分别为
A，B，点P在以OF为直径的圆上，若PA ⊥PB，sin∠PFO = √3
3
，则E的离心率为（ ）
A．√2
2
B．√3
2
C．1
2
D．1
4
变式6．（24-25 高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(0<b<a≤3b
2 )的左，右焦点分别为
F1, F2，过原点的直线与C相交于M，N两点，若⃗M F1⋅⃗N F1=0且|⃗M F1|≥2|⃗N F1|，则椭圆C的离心率
为 ．
变式7．（24-25 高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1, F2在x轴上，A ,B
是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且P F1⊥x轴，P F2// AB，则此椭圆的离心率是 ．
8
变式8．（2024 高二上·全国·专题练习）已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的左右焦点分别为F1
，F2
，
点A在C上，点B在y轴上，F1 A ⊥F1B，⃗F2B =−3
2⃗F2 A，则椭圆C的离心率为 ．
【方法技巧与总结】
1．椭圆的离心率的求法：
(1)直接求a，c 后求e，或利用e＝，求出后求e.
(2)将条件转化为关于a，b，c 的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于(e)的方
程求e.
2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区
间(0,1)取交集．
【题型4：离心率取值范围问题】
例4．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2，且
|F1 F2|=2c，点P为直线x = a
2
c 上一点，若点F2在线段P F1的垂直平分线上，则C的离心率的取值范围是
（ ）
A．(0, √2
2 ]
B．(0, √3
3 ]
C．[
√2
2 ,1)
D．[
√3
3 ,1)
变式1．（23-24 高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点
为点B，F为其右焦点，若AF ⊥BF，设∠ABF =α，且α ∈[
π
6 ,π
4 ]，则该椭圆离心率e的取值范围为
（ ）
A．[
√2
2 ,√3−1]
B．[
√2
2 ,1)
C．[
√2
2 , √3
2 ]
D．[
√3
3 , √6
3 ]
变式2．（23-24 高二下·浙江·期中）已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1，P为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端
9
点为A ､B ,k AP⋅k BP≤−2
3
，则离心率e 的范围为（ ）
A．[
√3
3 ,1)
B．(0, √3
3 ]
C．[
√6
3 ,1)
D．[
√3
3 , √6
3 ]
变式3．（23-24 高二下·浙江·开学考试）已知点A是椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左顶点，过点A且斜率
为1
2
的直线l与椭圆C交于另一点P（点P在第一象限）．以原点O为圆心，|OP|为半径的圆在点P处的切
线与x轴交于点Q．若|PA|≥|PQ|，则椭圆C离心率的取值范围是（ ）
A．(0, 1
2]
B．(0, √2
2 ]
C．[
1
2 ,1)
D．[
√2
2 ,1)
变式4．（23-24 高二下·河北保定·开学考试）已知F1, F2
分别是椭圆M : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦
点，点P在椭圆M上，且|P F1|−|P F2|= 4 b，则M的离心率的取值范围为（ ）
A．(0, 2√5
5 ]
B．[
2√5
5
,1)
C．(0, √3
2 ]
D．[
√3
2 ,1)
变式5．（23-24 高二上·浙江丽水·期末）设椭圆C1: x
2
m + y
2
2 =1与椭圆C2: x
2
8 + y
2
m =1的离心率分别为e1,e2，
若m∈(2,8)，则（ ）
A．e1e2的最小值为1
4
B．e1e2的最小值为1
2
C．e1e2的最大值为1
4
D．e1e2的最大值为1
2
变式6．（23-24 高二上·安徽·期末）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的长轴长大于4√3
，当m 变化时直
线x−my +2−2m=0与C 都恒过同一个点，则C 的离心率的取值范围是（ ）
A．(0, √2
2 )
B．(
√2
2 ,1)
C．(0, 1
2)
D．(
1
2 ,1)
10
变式7．（23-24 高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F (c ,0)，上顶点为
A (0,b)，直线上l: x = a
2
c
上存在一点P满足(⃗FP+⃗FA)⋅⃗AP =0，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
变式8．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2
，点
P是C上的一点，直线l的方程为x = a
2+b
2
a
，且PQ⊥l于Q．若四边形PQ F2 F1为平行四边形，求C的离
心率的取值范围．
【方法技巧与总结】
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式e = c
a
；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合b
2=a
2−c
2转化为a，c 的齐次式，然后等式(不等
式)两边分别除以a 或a2 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．
【题型5：直线与椭圆的位置关系】
例5．（23-24 高二上·新疆伊犁·期中）直线l：√3 x + y −√3=0与椭圆C：x
2
16 + y
2
4 =1的一个交点坐标为
（ ）
A．(2,√3)
B．(
2
13 , 11√3
13 )
C．(−2,3√3)
D．(−2
13 , 15√3
13 )
变式1．（23-24 高二上·浙江温州·期中）已知直线l: y = x +m与椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1有公共点，则m的取值
范围是（ ）
A．[−√7 ,√7]
B．[−√6,√7]
C．[−√6,√6]
D．[−2√2,2√2]
变式2．（23-24 高二上·全国·课后作业）直线y =3 x−1与椭圆x
2
4 + y
2
8 =1的公共点的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数个
11
变式3．（21-22 高二上·全国·课后作业）直线x =1与椭圆x
2+ y
2
2 =1的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
变式4．（21-22 高二上·全国·课前预习）直线y = x +1与椭圆x
2+ y
2
2 =1的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
变式5．（23-24 高二上·上海宝山·期中）若直线y =kx −1与椭圆x
2
5 + y
2
m =1恒有公共点，则实数m 的取值
范围是 ．
变式6．（23-24 高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆M：y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)的焦距为4，且经过点(1,√3).
(1)求椭圆M 的标准方程；
(2)若直线l1与椭圆M 相切，且直线l1与直线l：x−y −3√2=0平行，求直线l1的斜截式方程.
变式7．（23-24 高二上·上海·课后作业）已知直线l: y =mx−2与椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1相交于不同两点，求
实数m的取值范围．
【方法技巧与总结】
直线y＝kx＋m 与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立消y 得一元二次方程．
当Δ>0 时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0 时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0 时，方程无解，直线与椭圆相离．
【题型6：弦长问题】
例6．（23-24 高二上·天津和平·期中）直线x =−1被椭圆x
2
4 + y
2
3 =1截得的弦长为（ ）
A．3
2
B．√3
2
C．3
D．√3
变式1．（23-24 高二上·全国·单元测试）过椭圆x
2
4 + y
2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于
A ,B两点，则|AB|等于（ ）
A．4
B．2√3
C．1
D．4√3
12
变式2．（24-25 高二上·上海·随堂练习）已知直线y =2 x +m与椭圆C：x
2
5 + y
2=1相交于A、B 两点，O
为坐标原点．当△AOB的面积取得最大值时，|AB|= ．
变式3．（23-24 高二上·江西南昌·期中）已知直线x−2 y +1=0与椭圆x
2
4 + y
2=1交于A ,B两点，则
|AB|=
.
变式4．（22-23 高二·全国·课后作业）直线x−2 y +2=0与椭圆x
2+ 4 y
2= 4相交于A、B 两点，则|AB|=
．
变式5．（22-23 高二上·北京丰台·期末）过椭圆x
2
4 + y
2
3 =1的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的
长度为 ．
变式6．（21-22 高二·全国·课后作业）已知经过椭圆C：x
2
6 + y
2
2 =1的焦点且与长轴垂直的直线l 与椭圆C
交于M，N 两点，求△OMN的面积．
变式7．（23-24 高二上·福建三明·期末）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F (1,0)，且经过点
Q(√2, √6
2 )
(1)求椭圆C 的标准方程：
(2)经过椭圆C 的右焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l 与椭圆相交于M，N 两点，求线段MN 的长．
变式8．（23-24 高二上·北京西城·期末）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的一个焦点为(√5,0)，四个顶
点构成的四边形面积等于12.设圆( x−1)
2+ y
2=25的圆心为M , P为此圆上一点.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围.
【方法技巧与总结】
1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2.求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
13
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝√（x1+ x2）
2−4 x1∙x2
＝ √（y1+ y2）
2−4 y1∙y2.·
【题型7：中点弦问题】
例7．（24-25 高二上·山东滨州·阶段练习）已知M (4,2)是直线l 被椭圆x
2+ 4 y
2=36所截得的线段AB的中
点，则直线l 的方程为（ ）
A．2 x + y −8=0
B．x +2 y −8=0
C．x−2 y −8=0
D．2 x−y −6=0
变式1．（23-24 高二上·天津·阶段练习）已知M (4,2)是直线l 被椭圆x
2+ 4 y
2=36所截得的线段AB 的中
点，则直线l 的方程为（ ）
A．2 x + y −8=0
B．x +2 y −8=0
C．x−2 y −8=0
D．2 x−y −8=0
变式2．（11-12 高二上·浙江衢州·期末）斜率为1的直线与椭圆x
2
4 + y
2
3 =1相交于A 、B两点，AB的中点
为M (m,1)，则m= ．
变式3．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）过椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点F2(1,0)的直线交该椭圆
于A、B 两点，线段AB 的中点为M ( 1
2 , 1
3 )，则椭圆E 的离心率为 ．
变式4．（23-24 高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线3 x + 4 y −7=0与椭圆x
2
4 + y
2
m =1和交于A，B 两点，
且点(1,1)平分弦AB，则m 的值为 ．
变式5．（23-24 高二上·福建福州·期末）已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为√3
2
，过
点F的直线l交椭圆于A ,B两点，若AB的中点为(1,1)，则直线l的斜率为 ．
变式6．（24-25 高二上·上海·课堂例题）在直角坐标系xOy 中，椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的焦距为
2√3，长轴长是短轴长的2 倍，斜率为k（k≠0）的直线l 交椭圆于A、B．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P 为线段AB 的中点，设OP 的斜率为k
'，求证：k ⋅k
'为定值．
14
变式7．（23-24 高二下·北京·开学考试）已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率e = √3
2
，椭圆上任意一点
到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线l过点(−1,0)，且与椭圆相交于不同的两点A ,B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段AB中点的纵坐标1
4
，求直线l的方程.
【方法技巧与总结】
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与
系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中
点坐标和
【题型8：解答题汇总】
例8．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)经过点M(1, √3
2 )，F1、F2是椭
圆C 的左、右两个焦点，|F1 F2|=2√3，P 是椭圆C 上的一个动点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若点P 在第一象限，且⃗P F1⋅⃗P F2≤1
4
，求点P 的横坐标的取值范围．
变式1．（23-24 高二上·安徽亳州·阶段练习）已知A (−2,0)，B(1, 3
2)
在椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上，
F1，F2分别为C 的左、右焦点．
(1)求a，b 的值及C 的离心率；
(2)若动点P，Q 均在C 上，且P，Q 在x 轴的两侧，求四边形P F1Q F2的面积的取值范围．
变式2．（23-24 高二上·浙江嘉兴·期中）给定椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径是
√a
2+b
2的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F (√2,0)，其短轴的一个端点到点F的距离为
√3．
15
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；
(2)若点A，B是椭圆C的“准圆”与x轴的两交点，P是椭圆C上的一个动点，求⃗AP⋅⃗BP的取值范围．
变式3．（23-24 高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知椭圆M : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为√6
3
，焦距为
2√2，斜率为k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M 的方程；
(2)若直线l过椭圆上顶点，且k =1，求|AB|的值.
变式4．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2
，
离心率为√3
2
，长轴长与短轴长之和为6.
(1)求C的方程；
(2)设P为C上一点，M (1,0).若存在实数λ使得|P F1|+|P F2|= λ|PM|，求λ的取值范围.
变式5．（23-24 高二下·江苏南京·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的
左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，且√3|OA |=2|OB|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设经过点F且斜率为3
4
的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，点C为直线x = 4上一点，以C为圆心的圆
同时与x轴和直线l相切，且OC // AP，求椭圆的标准方程.
一、单选题
1．（24-25 高二上·全国·课后作业）若椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1
，F2
，线段F1 F2
16
被点(
b
2 ,0)分成5:3的两段，则此椭圆的离心率为（ ）
A．16
17
B．4√17
17
C．4
5
D．2√5
5
2．（23-24 高二上·云南曲靖·阶段练习）椭圆x
2
9 + y
2
7 =1的焦距为（ ）
A．2√2
B．4
C．8
D．16
3．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆C : x
2
m +
y
2
m+1 =1(m>0)的离心率为√3
3
，则m=（ ）
A．3
B．1
3
C．2
D．1
2
4．（23-24 高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为x
2
4 + y
2
3 =1，则该椭圆的（ ）
A．长轴长为2
B．短轴长为√3
C．焦距为1
D．离心率为1
2
5．（24-25 高二上·江西赣州·阶段练习）在△ABC中，sin B+sinC =2sin A，已知点B (−3,0) ，C (3,0)，
设点C到直线AB的最大距离为d1
，点A到直线BC的最大距离为d2
，则 d1
d2
=（ ）
A．√3
4
B．4√3
3
C．√3
2
D．2√3
3
6．（22-23 高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，
当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.
已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的面积为6 π，两个焦点分别为F1
，F2
，直线y =kx与椭圆C交于A，B两
点，若四边形A F1B F2的周长为12，则椭圆C的短半轴长为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．6
7．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知P是椭圆x
2
5 + y
2
4 =1在第一象限上的点，且以点P及焦点F1, F2为
顶点的三角形面积等于1，则点P的坐标为（ ）
A．(
5√3
4
, 1
2)
B．(
√15
2 ,1)
17
C．(
√15
2 , 1
2)
D．(
√35
4 , 3
2)
8．（24-25 高二上·全国·课后作业）椭圆x
2
m + y
2
4 =1的焦距是2，则m 的值是（ ）
A．3
B．5
C．3 或5
D．不存在
二、多选题
9．（24-25 高二上·江苏徐州·开学考试）关于方程m x
2+n y
2=1，下列说法正确的是（ ）
A．若m>n>0，则该方程表示椭圆，其焦点在y 轴上
B．若m=n>0，则该方程表示圆，其半径为√n
C．若n>m>0，则该方程表示椭圆，其焦点在x 轴上
D．若m=0,n>0，则该方程表示两条直线
10．（24-25 高二上·全国·课后作业）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周
率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6√2π，且两焦点恰好将长轴三等分，
则此椭圆的标准方程可以为（ ）
A．x
2
8 + y
2
9 =1
B．x
2
18 + y
2
16 =1
C．x
2
12 + y
2
6 =1
D．x
2
9 + y
2
8 =1
11．（23-24 高二下·云南保山·阶段练习）已知椭圆x
2
9 + y
2
b
2 =1(0<b<3)的左､右焦点分别为F1, F2
，过点
F1的直线l交椭圆于A ,B两点，若|AB|的最小值为4，则（ ）
A．椭圆的短轴长为√6
B．|A F2|+|B F2|的最大值为8
C．离心率为√3
2
D．椭圆上不存在点P，使得∠F1 P F2=90
∘
三、填空题
12．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2
，若直
18
线y =kx与C交于P ,Q两点，且|P F1|+|Q F1|=|P F1|⋅|Q F1|=8, P F1⊥Q F1
，则C的方程为 ．
13．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知点P在椭圆C : x
2
25 + y
2
9 =1上，点Q在直线l:4 x−5 y +30=0上，
则|PQ|的最小值为
.
14．（24-25 高二·上海·随堂练习）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变
轨进入以月球球心F 为左焦点、长轴长为40 万公里、短轴长为4 万公里的椭圆轨道T 1绕月飞行，之后卫星
在点P 第二次变轨进入仍以F 为左焦点、长轴长为20 万公里的椭圆轨道T 2绕月飞行，则椭圆轨道T 2的短
轴长为 万公里．（近似到0.1）
四、解答题
15．（24-25 高二上·吉林长春·阶段练习）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的离心率为e = 2
3
，短轴长为8√5；
(2)椭圆C与x
2
2 + y
2=1有相同的焦点，且经过点M(1, 3
2)，求椭圆C的标准方程.
16．（2024 高二上·江苏·专题练习）已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，若椭圆的焦距为4 且经过点
(−2,√2)，过点T (−√6,0)的直线交椭圆于P，Q 两点．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线PQ与x 轴不垂直，在x 轴上是否存在点S (s,0)使得∠PST =∠QST恒成立？若存在，求出s 的
值；若不存在，说明理由．
17．（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆C :( x −1)
2+ y
2=r
2(r >0)在椭圆E: x
2
4 + y
2=1里.过椭圆E
上顶点P作圆C的两条切线，切点为A ,B，切线PA与椭圆E的另一个交点为N，切线PB与椭圆E的另一个
19
交点为M.
(1)求r的取值范围；
(2)是否存在圆C，使得直线MN与之相切，若存在求出圆C的方程，若不存在，说明理由.
18．（24-25 高三上·山东泰安·开学考试）设椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1
，F2
，点
P(1, √2
2 )
在C 上，且P F2⊥x轴．
(1)求C 的方程．
(2)过左焦点F1作倾斜角为60°的直线l．直线l 与C 相交于A，B 两点，求△AB F2的周长和面积．
19．（24-25 高二上·江苏南通·阶段练习）如图，A ,B都是椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的顶点，从C上一
点P向x轴作垂线，垂足为焦点F，且AB//OP．
(1)求C的离心率；
(2)若△PAB的面积比△POA的面积大1
2
，求C的方程．
