1
2.6.2 双曲线的几何性质
课程标准
学习目标
1.掌握双曲线的简单几何性质
2.理解双曲线离心率的定义，掌握离
心率的算法
1.重点:双曲线的渐近线、离心率等几何性质:
2.难点:双曲线的离心率的意义及算法
知识点01 双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性质
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
性质
范围
x≤－a 或 x≥a，y∈
y≤－a 或 y≥a，x∈
对称性
对称轴：坐标轴；对称中
心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；半
实轴长：，半虚轴长：
离心率
e＝∈(1，＋∞)
2
渐近线
y＝±x
y＝±x
【即学即练1】（2024 高二·江苏·专题练习）等轴双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y =±√2 x
B．y =±√3 x
C．y =± x
D．y =±√5 x
【即学即练2】（22-23 高二上·全国·课后作业）已知双曲线C：x
2
4 −y
2
b
2 =1(b>0)的左、右顶点分别为A、
B，点P 在双曲线C 上，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，求双曲线C 的焦距.
知识点02 等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝
± x ，离心率为e＝.
注意：对双曲线的简单几何性质的几点认识
1.双曲线的焦点决定双曲线的位置；
2.双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．
3.巧设双曲线方程：与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
【即学即练3】（2022 高二·全国·专题练习）等轴双曲线的一个焦点为(−6,0)，则它的标准方程是
（ ）
A．x
2−y
2=−18
B．x
2−y
2=18
C．x
2−y
2=−8
D．x
2−y
2=8
【即学即练4】（23-24 高二上·安徽·阶段练习）已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点
A (4√2,2)，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．x
2
36 −y
2
36 =1
B．y
2
36 −x
2
36 =1
C．x
2
28 −y
2
28 =1
D．y
2
28 −x
2
28 =1
知识点03 双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为
渐近线方程：
2、若双曲线方程为
（a＞0，b＞0）
渐近线方程：
3、若渐近线方程为
，则双曲线方程可设为
，
3
4、若双曲线与
有公共渐近线，则双曲线的方程可设为
（
，焦点在x 轴上，
，焦点在y 轴上）
【即学即练5】（21-22 高二上·安徽合肥·期末）等轴双曲线的两条渐近线的夹角大小为（ ）
A．π
4
B．π
3
C．π
2
D．2π
3
【即学即练6】（23-24 高二下·全国·课后作业）已知双曲线16 x
2−9 y
2=144，求该双曲线的顶点坐标、
焦点坐标、离心率与渐近线方程
难点：数形结合的运用
示例1：（多选）（24-25 高二上·陕西渭南·阶段练习）设F 为双曲线C : x
2
2 −y
2
2 =1的焦点，O 为坐标原点，
若圆心为(0,m)，半径为2 的圆交C 的右支于A，B 两点，则（ ）.
A．C 的离心率为√2
B．|OA|
2+|OB|
2=6
C．|OA|+|OB|≤4
D．|FA|
2+|FB|
2≥16−8√3
【题型1：双曲线的几何性质】
4
例1．（23-24 高三下·重庆·期中）已知双曲线y
2
12 −x
2
b
2 =1(b>0)的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为
（ ）
A．y =± 1
3 x
B．y =±3 x
C．y =±√3 x
D．y =± √3
3 x
变式1．（23-24 高二下·四川绵阳·开学考试）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
6 =1(a>0)的焦距为4√3
，则C的渐近
线方程是（ ）
A．y =± √7
7 x
B．y =± √3
3 x
C．y =± x
D．y =±√3 x
变式2．（2024·广西柳州·模拟预测）双曲线x
2
4 −y
2
16 =1的一个顶点到渐近线的距离为（ ）．
A．√5
B．4
C．4√5
5
D．2√3
变式3．（23-24 高二上·江西景德镇·期末）共轭双曲线x
2
4 −y
2
3 =1与y
2
3 −x
2
4 =1，有（ ）
A．相同的离心率
B．公共焦点
C．公共顶点
D．公共渐近线
变式4．（23-24 高二下·河北石家庄·期末）已知直线y =2 x +m与双曲线Γ : x
2
m −
y
2
2m+3 =1(m>0)的一条
渐近线平行，则Γ的实轴长为（ ）
A．2√2
B．3√2
C．√6
2
D．√6
变式5．（多选）（23-24 高二下·江苏南京·阶段练习）已知a,b>0,a≠b，则关于双曲线C1: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1与
双曲线C2: y
2
a
2 −x
2
b
2 =1，下列说法中正确的是（ ）.
A．有相同的焦距
B．有相同的焦点
C．有相同的离心率
D．有相同的渐近线
5
变式6 ．（多选）（23-24 高二上· 河南漯河· 阶段练习）已知椭圆C1: x
2
16 + y
2
9 =1与双曲线C2：
x
2
16−k −
y
2
k −9 =1（9<k <16），下列关于两曲线的说法正确的是（ ）
A．C1 的长轴长与C2 的实轴长相等
B．C1 的短轴长与C2 的虚轴长相等
C．焦距相等
D．离心率不相等
变式7．（23-24 高三上·河南漯河·期末）已知双曲线C :m x
2−y
2=1(m>0)的一条渐近线方程为
mx +√3 y =0，则C的焦距为
.
变式8．（23-24 高二下·新疆克孜勒苏·期末）若方程x
2+m y
2−m=0表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为
.
【方法技巧与总结】
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤：
1.把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键；
2.由标准方程确定焦点位置，确定a，b 的值；
3.由c2＝a2＋b2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质。
注意：求性质时一定要注意焦点的位置
【题型2：利用几何性质求标准方程】
例2．（2020·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为y =± √2
2 x，实轴长为4，则该双曲线的标
准方程为（ ）.
A．x
2
4 −y
2
2 =1
B．x
2
4 −y
2
8 =1或y
2
4 −x
2
8 =1
C．x
2
4 −y
2
8 =1
D．x
2
4 −y
2
2 =1或y
2
4 −x
2
8 =1
变式1．（23-24 高二下·浙江·阶段练习）过点(4 ,−√3)且与双曲线x
2
4 −y
2
3 =1有相同渐近线的双曲线方程
是（ ）
A．y
2
12 −x
2
9 =1
B．x
2
12 −y
2
9 =1
C．y
2
9 −x
2
12 =1
D．x
2
9 −y
2
12 =1
变式2．（24-25 高二上·江苏连云港·阶段练习）若双曲线的焦点在x 轴上，渐近线方程为y =±2 x，虚轴
长为4，则双曲线的标准方程为 ．
变式3．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知双曲线C的对称轴为坐标轴，其中一条渐近线方程为
6
√3 x + y =0，直线l: y = x−2截该双曲线的弦长为6，则该双曲线的方程为
.
变式4．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知双曲线的焦点与椭圆x
2
16 + y
2
9 =1的上、下顶点重合，且其中
一条渐近线的方程为y = √2
2 x，则该双曲线的标准方程为 ．
变式5．（23-24 高二上·广东江门·期末）写出一个与双曲线x
2−y
2
2 =1有相同渐近线，且焦点在y轴上的双
曲线方程为 .
变式6．（23-24 高二上·上海·期末）已知双曲线E 与双曲线4 x
2−12 y
2=3具有相同的渐近线，且经过点
A (3,2)，则双曲线E 的方程为
.
变式7.（23-24 高二上·安徽六安·期末）根据下列条件求双曲线的标准方程：
(1)过点（2，0），与双曲线y
2
64 −x
2
16 =1 的离心率相等；
(2)与双曲线y
2
4 −x
2
3 =1 具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）．
【题型3：离心率问题】
例3．（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）过双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1的左焦点F1作直线与它的两条渐近线分别
交于A ,B两点，且⃗OA ⋅⃗AB =0,⃗F1 A =⃗AB ,O是坐标原点，则双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．√3
C．√2
D．3
变式1．（23-24 高二下·贵州黔南·期末）双曲线x
2−y
2
15 =1的离心率为（ ）
A．3
B．√14
C．√15
D．4
变式2．（23-24 高二下·广西·期中）双曲线x
2−4 y
2=1的离心率为（ ）
A．√2
B．√3
C．√5
2
D．√5
变式3．（23-24 高二下·江苏南京·阶段练习）已知双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
F1, F2，过F1作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A ,B两点，设P为线段AB的中点，若
7
|OP|=|P F2|= √2
4 |F1 F2|，则双曲线的离心率为（ ）
A．√2
B．4√2
3
C．2√3
3
D．2√5
3
变式4．（23-24 高二上·江苏南京·期末）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
F1, F2
，焦距为2c(c>0).若双曲线C右支上存在点P，使得|P F2|= 4 a，且S△P F1 F2=12a
2，则双曲线C的
离心率e =（ ）.
A．√5
B．5
3
C．√6+1
D．√13
变式5．（24-25 高三上·山东济南·开学考试）已知双曲线C ：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的一条渐近线的方
程为x +2 y =0，则C 的离心率的值为
.
变式6．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为F1, F2且在x轴上，且双曲线上存
在一点P使得| PO|
2=|P F1|⋅|P F2|，若P F2⊥x轴，则该双曲线的离心率为 ．
变式7．（23-24 高二上·江苏南通·阶段练习）如图，已知过双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)右焦点F 的直线
与双曲线的两条渐近线相交于M，N 两点.若⃗MF =3⃗FN ,⃗OM =3⃗OP ,⃗OP⋅⃗PF =0，则双曲线的离心率为
.
变式8．（23-24 高二上·江苏常州·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线的夹角为60
∘，则双曲线的离心率为
．
【方法技巧与总结】
8
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
求出a，c，代入公式e = c
a
；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合c
2=a
2+b
2转化为a，c 的齐次式，然后等式(不等
式)两边分别除以a 或a2 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)
【题型4：离心率取值范围问题】
例4．（23-24 高二下·江苏盐城·期末）若双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x−2)
2+ y
2=3
没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）
A．(
2√3
3
,+∞)
B．(2,+ ∞)
C．(1,2)
D．(1, 2√3
3 )
变式1．（23-24 高二上·浙江·期中）设椭圆C1
：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)与双曲线C2
：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1的离心率分
别为e1
，e2
，且双曲线C2
的渐近线的斜率小于√15
5
，则e2
e1
的取值范围是（ ）
A．(1,4)
B．(4 ,+∞)
C．(1,2)
D．(2,+∞)
变式2．（23-24 高二下·云南昆明·期中）已知F1, F2
分别为双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦
点，点P为双曲线右支上一点且点P在x轴上的射影恰为该双曲线的右焦点F2, P F1交双曲线于另一点Q，
满足|F1Q|= λ|QP|, 1
3 ⩽λ⩽3
8
，则双曲线离心率e的取值范围是（ ）
A．[√2,√3]
B．[√3,√5]
C．[√5,√7]
D．[√7,√10]
变式3．（19-20 高二上·河北石家庄·期中）已知点F1
，F2
分别是双曲线C : x
2−y
2
b
2 =1(b>0)的左右焦点，
O为坐标原点，点P在双曲线右支上，且满足|F1 F2|=2|OP|，tan ∠P F2 F1≥4，则双曲线C的离心率的
取值范围是（ ）
9
A．(1, 17
9 ]
B．[
17
9 ,+∞)
C．[
√17
3 ,+∞)
D．(1, √17
3 ]
变式4．（23-24 高二上·重庆·期中）已知F1(−c ,0)，F2(c ,0)为双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的两个焦
点，P为双曲线上一点，且⃗P F1⋅⃗P F2=−1
2 c
2.则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．(1,√2]
B．(1,2]
C．[√2,+∞)
D．(2,+∞)
变式5．（23-24 高二下·安徽阜阳·期末）已知圆C : x
2+ y
2−4 x +3=0
与双曲线D: y
2
a
2 −x
2
b
2 =1(a>0,b>0)
的渐近线有公共点，则双曲线D的离心率的取值范围为 ．
变式6．（23-24 高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知双曲线C ：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左，右焦点分别
为F1、F2，焦距为2c．若以线段F1 F2为直径的圆与直线ax−by +2ac =0有交点，则双曲线C 的离心率
取值范围为
变式7．（23-24 高二上·江苏常州·期中）F1, F2
分别为双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)左右焦点，P为双曲
线左支上的任意一点，若|P F2|
2
|P F1|
最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是 .
变式8．（23-24 高二上·浙江台州·期中）已知F1，F2
分别为双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左右焦点，
过F2的直线与双曲线的右支交于A、B 两点，记△A F1 F2的内切圆的半径为r1，△B F1 F2的内切圆的半径
为r2
，r1r2≤16a
2，则双曲线的离心率的取值范围为 .
【题型5：直线与双曲线的位置关系】
10
例5．（24-25 高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线l的方程为y =kx−1，双曲线C的方程为x
2−y
2=1.
若直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是（ ）
A．(−√2,−1)
B．[1,√2)
C．(−√2,−1)∪(1,√2) D．(1,√2)
变式1．（23-24 高二下·广东湛江·期中）若双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为√5
，右焦点为F，
点E 的坐标为( b
a , c
b )，则直线OE（O 为坐标原点）与双曲线的交点个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．不确定
变式2．（2024 高三·全国·专题练习）已知双曲线C : x
2
9 −y
2
16 =1，过点P(3,3)作直线l，使l与C有且只有
一个公共点，则满足条件的直线l共有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
变式3．（23-24 高二上·上海·期末）设双曲线C经过点(2,2)，且与y
2
4 −x
2=1具有相同的渐近线，则经过
点(√3,0)且与双曲线C有且只有一个公共点的直线有（ ）条.
A．0
B．1
C．2
D．3
变式4．（23-24 高二上·湖北武汉·期中）过点(4,3√3)作直线，使它与双曲线x
2
4 −y
2
9 =1只有一个公共点，
这样的直线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
变式5．（24-25 高二上·山东滨州·阶段练习）已知双曲线x
2−y
2
3 =1，与直线y =kx−k +2只有一个公共点，
符合题意的直线个数为 ．
变式6．（2024 高三·全国·专题练习）过点P(√7,5)且与双曲线x
2
7 −y
2
25 =1有且只有一个公共点的直线有
条，它们的方程分别是 ．
变式7.（23-24 高二下·安徽亳州·期中）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2
，点P(1, 3
2)
在E上．
(1)求椭圆E的方程；
11
(2)若直线l与C相交于A ,B两点，AB中点W 在曲线(x
2+ 4 y
2
3 )
2
= x
2−4 y
2
3
上，探究直线AB与双曲线
C1: x
2−4 y
2
3 =1的位置关系．
变式8.（2024 高三·全国·专题练习）（1）求双曲线x
2−y
2
2 =1在点(√2,√2)处的切线方程；
（2）已知P(1,1)是双曲线外一点，过P 引双曲线x
2−y
2
2 =1的两条切线PA , PB，A，B 为切点，求直线
AB 的方程．
【方法技巧与总结】
将直线的方程y =kx +m与双曲线的方程x
2
a
2 −y
2
b
2 =1,a>0,b>0联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一
元二次方程，其判别式为Δ.
若
即
，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若
即
，
①Δ＞0
直线和双曲线相交
直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0
直线和双曲线相切
直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0
直线和双曲线相离
直线和双曲线相离，无公共点
【题型6：双曲线弦长问题】
例6．（24-25 高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：2 x
2−y
2=2，过点P(1,2)的直线l 与双曲线C 交于
M、N 两点，若P 为线段MN的中点，则弦长|MN|= .
12
变式1．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知离心率为√5
的双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点
分别为F1, F2, P为右支上的一点，若|P F2|=2a，则S△P F1 F2=（ ）
A．8a
2
B．4 a
2
C．4√2a
2
D．4√3a
2
变式2．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知双曲线x
2
4 −y
2
5 =1的右焦点为F，过F作PF垂直于一条渐近
线，垂足为P，若点P ,Q关于原点对称，则S△PQF = ．
变式3.（23-24 高二上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线M 与双曲线N：x
2
6 −y
2
3 =1有共同的渐近线．
(1)若M 经过抛物线y =−x
2+8 x−14的顶点，求双曲线M 的方程；
(2)若双曲线M 的两个焦点分别为F1
，F2
，点P 为M 上的一点，且|P F1|=|P F2|+10，求双曲线M 的方
程．
变式4．（22-23 高二上·浙江金华·期中）双曲线x❑
2
3
−y❑
2
6
=1的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点
F2且倾斜角为30❑
∘的直线交双曲线于A，B两点.
(1)求弦长|AB|；
(2)若点P是双曲线左支上的点，且| P F1|⋅| P F2|=12，求点P到x轴的距离.
变式5．（23-24 高二下·上海·期末）已知A、B是双曲线C : x
2
4 −y
2=1的两点，AB的中点P的坐标为(4,1)．
(1)求直线AB的方程；
(2)求A ,B两点间距离．
变式6．（23-24 高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C 与椭圆x
2
4 + y
2=1有公共焦点，其渐近线方程为
y =± √2
2 x.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)若直线y = x +m与双曲线C 交于A，B 两点，且|AB|= 4√2，求实数m 的值.
变式7．（23-24 高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为
13
y =√2 x，O为坐标原点，点P(√3,2)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与双曲线C交于M , N两点，且⃗OM ⋅⃗ON =0，求| MN |的最小值．
变式8．（23-24 高二上·山西太原·期末）已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
2 =1(a>0)的右焦点F2
与抛物线y
2=8 x
的
焦点重合.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为√3的直线l经过右焦点F2，与双曲线的右支相交于A，B两点，双曲线的左焦点为F1，求
△AB F1的周长.
变式9．（23-24 高二下·广东茂名·开学考试）已知双曲线C1: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)与C2: y
2
9 −x
2
3 =1有
相同的渐近线，点F(2,0)为C1的右焦点，A，B为C1的左右顶点．
(1)求双曲线C1的方程；
(2)过点F倾斜角为45°的直线l交双曲线C1于M，N两点，求|MN|．
【方法技巧与总结】
设直线
交双曲线
于点
两点，则
=
=
同理可得
这里
的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
14
【题型7：双曲线中点弦问题】
例7．（2024·四川绵阳·模拟预测）过双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左焦点F1的直线l（斜率为正）
交双曲线于A ,B两点，满足⃗F1B =3⃗F1 A，设M为AB的中点，则直线OM（O为坐标原点）斜率的最小
值是（ ）
A．2√6
B．√3
C．4√3
D．√5
变式1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线l: y = x +2与双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)交于A 、B
两点，点M (1,3)是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2
B．√2
C．√3
D．3
变式2．（23-24 高二上·广东深圳·期末）已知直线l过双曲线C：x
2−y
2
4 =1的左焦点F，且与C的左、右
两支分别交于A，B两点，设O为坐标原点，P为AB的中点，若△OFP是以FP为底边的等腰三角形，则
直线l的斜率为（ ）
A．± √10
2
B．± √13
2
C．± √13
3
D．± √6
3
变式3．（23-24 高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l 与双曲线x
2
4 −y
2
3 =1交于A、B 两点，且弦AB的
中点为M (3, 3
2 )，则直线l 的方程为 ．
变式4．（23-24 高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线C : x
2
2 −y
2
8 =1，过点P(1,8)的直线l与C相交于A ,B
两点，且P为线段AB的中点，则直线l的方程为 .
变式5．（23-24 高二上·河南开封·期末）已知点A ,B ,C是离心率为2 的双曲线Γ : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)
上的三点，直线AB , AC ,BC的斜率分别是k1,k2,k3，点D , E , F分别是线段AB , AC ,BC的中点，O为坐
15
标原点，直线OD ,OE ,OF的斜率分别是k1
' ,k2❑
' ,k3
'，若1
k1
' + 1
k2
' + 1
k3
' =5，则k1+ k2+ k3= ．
变式6.（2024 高三下·全国·专题练习）已知双曲线Γ：x
2
4 −y
2=1的左右顶点分别为A1、A2．
(1)求以A1、A2为焦点，离心率为1
2
的椭圆的标准方程；
(2)直线l过点C (1,1)与双曲线Γ交于A ,B两点，若点C恰为弦AB的中点，求出直线l的方程；
变式7.（23-24 高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程是y =±2 x，
实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l与双曲线C交于A ,B两点，线段AB的中点为M (3,2)，求直线l的斜率.
变式8.（2024 高二·全国·专题练习）过点P(4,1)的直线l 与双曲线x
2
4 −y
2=1相交于A，B 两点，且P 为线
段AB 的中点，求直线l 的方程．
【方法技巧与总结】
双曲线中点弦的斜率公式：
设
为双曲线
弦
（
不平行
轴）的中点，则有
证明：设
，
，则有
，
两式相减得：
16
整理得：
，即
，因为
是弦
的中点，
所以：
， 所以
【题型8：解答题】
例8．（24-25 高二上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线一条渐近线方程为√5 x−2 y =0，且点(−2√2,√5)
在双曲线上.
(1)求双曲线标准方程，
(2)若双曲线的左顶点为A1
，右焦点为F2, P为双曲线右支上任意一点，求⃗P A1⋅⃗P F2
的最小值.
变式1．（22-23 高二上·全国·期中）已知双曲线C1过点(−4,3√2)且与双曲线C2: x
2
2 −y
2
3 =1有共同的渐
近线，F1，F2分别是C1的左、右焦点．
(1)求C1的标准方程；
(2)设点P是C1
上第一象限内的点，求⃗P F1⋅⃗P F2
的取值范围．
变式2．（23-24 高二上·四川雅安·阶段练习）已知曲线C的方程为|√(x−√10)
2+ y
2−√(x +√10)
2+ y
2|=2．
(1)说明C为何种圆雉曲线，并求C的标准方程；
(2)已知直线y = x−4与C交于A，B两点，与C的一条渐近线交于D点，且D在第四象限，O为坐标原点，
求⃗OA ⋅⃗OD +⃗OB⋅⃗OD．
变式3．（22-23 高二下·四川内江·阶段练习）已知命题p：方程x
2
2m +
y
2
9−m =1表示焦点在y 轴上的椭圆，
命题q：双曲线y
2
5 −x
2
m =1的离心率e∈(
√5
2 ,√2)
．
(1)若命题q 为真，求实数m 的取值范围；
(2)若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m 的取值范围．
17
变式4．（23-24 高二下·广西贵港·期中）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点F (√10,0)到C的
一条渐近线的距离为√6．
(1)求C的方程．
(2)设C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(3,0)且斜率不为0 的直线l与C相交于M，N两点，直线A1 M与
直线A2 N相交于点P．试问点P是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由．
变式5．（23-24 高二下·陕西榆林·期末）已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0，b>0）经过点(√2,2)，且其
离心率为√5．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设双曲线C的左，右焦点分别为F1，F2，C的一条渐近线上有一点P，满足P F2恰好垂直于这条渐近线，
求△P F1 F2的面积．
变式6．（23-24 高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1过点M (3,4)，左、右顶点分别为A，
B，直线MA与直线MB的斜率之和为3．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点F2
的直线l交双曲线右支于P，Q（P在第一象限）两点，⃗P F2=3⃗F2Q，E是双曲线上
一点，△PQE的重心在x轴上，求点E的坐标．
变式7．（23-24 高二下·上海·阶段练习）如图:双曲线Γ : x
2
3 −y
2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作
直线l交y轴于点Q.
(1)当直线l平行于Γ的斜率大于0的渐近线l1时，求直线l与l1的距离；
(2)当直线l的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P，满足⃗F1 P⋅⃗F1Q =0?若存在，求出P点的坐标；若
不存在，说明理由;
18
变式8 ．（23-24 高二下· 四川成都· 阶段练习）已知圆M ：(x +√5)
2+ y
2=9
的圆心为M ，圆N ：
(x−√5)
2+ y
2=1的圆心为N，一动圆与圆N 内切，与圆M 外切，动圆的圆心E 的轨迹为曲线C．
(1)证明：曲线C 为双曲线的一支；
(2)已知点P(2,0)，不经过点P的直线l与曲线C 交于A，B 两点，且⃗PA ⋅⃗PB =0．直线l是否过定点？若过
定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．
一、单选题
1．（24-25 高二上·上海浦东新·阶段练习）方程x
2−2√3 x +1=0的两个根可分别作为（ ）
A．椭圆和双曲线的离心率
B．两双曲线的离心率
C．两椭圆的离心率
D．以上皆错
2．（23-24 高二下·云南楚雄·期末）已知双曲线m x
2−y
2=1的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为
（ ）
A．y =±2 x
B．y =± 1
2 x
C．y =±√2 x
D．y =± √2
2 x
3．（24-25 高二上·上海·课后作业）南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所
示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y
2
a
2 −x
2
b
2 =1(a>0,b>0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到
渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A．y
2
12 −x
2
4 =1
B．3 y
2
4 −x
2
4 =1
C．x
2
4 −y
2
4 =1
D．y
2
16 −x
2
4 =1
19
4．（23-24 高二下·广西桂林·期末）双曲线x
2−y
2
3 =1的离心率为（ ）
A．1
2
B．2
C．√2
D．√2
2
5．（23-24 高二下·四川达州·期末）已知双曲线C : x
2
3 −y
2
4 =1的左顶点为A1，右焦点为F2，虚轴长为m，
离心率为e，则（ ）
A．A1(−3,0)
B．F2(1,0)
C．m=2
D．e = √21
3
6．（23-24 高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线
x
2
m
2+1
−y
2=1的实轴长为4，则正数m=（ ）
A．√3
B．2
C．9
4
D．7
2
7．（23-24 高二下·全国·随堂练习）已知双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为5
4
，则该双曲线的渐近
线方程为（ ）
A．y =±2 x
B．y =± 1
2 x
C．y =± 4
3 x
D．y =± 3
4 x
8．（24-25 高二上·全国·随堂练习）中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3 x−4 y +12=0上的
等轴双曲线的方程是（ ）
A．x
2−y
2=8
B．x
2−y
2= 4
C．y
2−x
2=8
D．y
2−x
2= 4
9．（23-24 高二下·安徽·期末）已知双曲线C ：x
2
m −
y
2
m+3 =1，则“m=3”是“双曲线C的离心率为√3
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
二、多选题
10．（22-23 高三上·海南儋州·开学考试）已知椭圆的方程为x
2
25 + y
2
9 =1，双曲线的方程为y
2
8 −x
2
8 =1，则
（ ）
A．双曲线的一条渐近线方程为y = x
20
B．椭圆和双曲线共焦点
C．椭圆的离心率e = 4
5
D．椭圆和双曲线的图像有4 个公共点
11．（23-24 高二下·四川德阳·期末）双曲线C：x
2
5 −y
2
4 =1的左右顶点分别为A、B，P、Q 两点在C 上，
且关于x 轴对称（ ）
A．以C 的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为x
2
9 + y
2
5 =1
B．双曲线C 的离心率为3√5
5
C．直线AP与BQ的斜率之积为−4
5
D．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2
12．（23-24 高二上·江苏南京·期末）已知曲线C :m x
2+n y
2=1，下列说法正确的是（ ）
A．若m=n>0，则C是圆，其半径为√n
n
B．若m>0，n=0，则C是两条直线
C．若n>m>0时，则C是椭圆，其焦点在y轴上
D．若mn<0时，则C是双曲线，其渐近线方程为y =±√−n
m x
三、填空题
13．（2024 高三·全国·专题练习）已知双曲线W : x
2
a
2 −y
2
3 =1（其中a>0）的右焦点为F(2,0)，则 W 的
离心率为 ．
14．（24-25 高二上·广西柳州·阶段练习）在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，
它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双
曲线W : x
2
3 −y
2=1的蒙日圆上一点P作W 的两条切线，与该蒙日圆分别交于A ,B两点，若∠PAB =30
∘，
则△PAB的周长为
.
15．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知双曲线C：x
2
4 −y
2
m =1(m>0)的开口比等轴双曲线的开口更开阔，
则实数m 的取值范围是 ．
21
四、解答题
16．（23-24 高二上·全国·课后作业）已知双曲线x
2−y
2= 4，直线l: y =k( x−1)，试确定实数k 的取值范
围，使：
(1)直线l 与双曲线有两个公共点；
(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l 与双曲线没有公共点．
17．（23-24 高二下·上海·期中）已知k ∈R，直线y =kx +1与双曲线4 x
2−y
2=1相交于不同的点A ,B.
(1)若点A ,B分别在双曲线的左、右两支上，求k的取值范围；
(2)若以线段AB为直径的圆，经过坐标原点，求k的值.
18．（23-24 高二下·浙江·阶段练习）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1，过该曲线上的点P(3,1)作不平行于坐标
轴的直线l1交双曲线的右支于另一点Q，作直线l2//l1交双曲线的渐近线于两点A，B（A 在第一象限）,其
渐近线方程为x ± y =0，且| AB|=| PQ|，
(1)求双曲线方程．
(2)证明：直线QB过定点.
(3)当PQ的斜率为负数时，求四边形ABPQ的面积的取值范围．
19．（23-24 高二下·重庆九龙坡·期中）已知双曲线C和椭圆x
2
4 + y
2=1有公共焦点，且离心率
e = √6
2 ．
(1)求双曲线C的方程；
22
(2)过点P(2,1)作两条相互垂直的直线PM , PN分别交双曲线C于不同于点P的M 、N两点，求
点P到直线MN距离的最大值．
