1
2.3.3 直线与圆的位置关系
课程标准
学习目标
1.理解直线与圆的三种位置关系:
2.能根据方程判断直线与圆的位置关系;
3.掌握判断直线与圆位置关系的两种方法，
体验数形结合思想在解决问题中的应用。
1.重点:①能根据给定直线、圆的方程，判断直线和
圆的位置关系、
②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
2.难点:数形结合思想方法的灵活应用直线和圆的三
种位置关系的性质与判定的应用。
知识点01 直线与圆的位置关系
直线Ax＋By＋C＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2 个
1 个
0 个
判定
方法
几何法：设圆心到直
线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由
消元得到一元二次方
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
2
程根的判别式Δ
图形
【即学即练1】（22-23 高二上·新疆喀什·期末）直线y = x +1与圆x
2+ y
2=1的位置关系为（ ）
A．相切
B．相交但直线过圆心
C．相交但直线不过圆心D．相离
【答案】C
【分析】利用圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断直线与圆的位置关系.
【详解】圆x
2+ y
2=1的圆心为(0,0)，半径为1，
故圆心到直线y = x +1的距离为
1
√1+1 = 1
√2 <1，且圆心不在直线y = x +1上，
所以直线y = x +1与圆x
2+ y
2=1的位置关系为相交但直线不过圆心.
故选：C.
【即学即练2】(多选)（22-23 高二上·甘肃金昌·期末）下列直线中，与圆x
2+ y
2= 4相切的有（ ）
A．x + y =2
B．√3 x + y −4 =0
C．x + y =2√2
D．x−√3 y +8=0
【答案】BC
【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系对选项一一验证即可.
【详解】圆x
2+ y
2= 4的圆心为(0,0)，半径r =2．
对于选项A，圆心到直线的距离d = |−2|
√1+1 =√2<2．所以直线与圆相交；
对于选项B，圆心到直线的距离d = |−4|
√3+1 =2，所以直线与圆相切；
对于选项C，圆心到直线的距离d =|−2√2|
√1+1 =2，所以直线与圆相切；
对于选项D，圆心到直线的距离d = |8|
√1+3 = 4>2，所以直线与圆相离．
故选：BC.
知识点02 圆的切线
1.过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x ＋
y 0y ＝
r 2 .
3
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是( x 0－
a )( x －
a ) ＋
( y 0－
b )( y －
b ) ＝
r 2 .
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率
k，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
【即学即练3】（23-24 高三上·湖北武汉·期末）若点A (0,1)在圆C :(x −1)
2+ y
2=r
2(r >0)上，则过A的圆
的切线方程为 .
【答案】y = x +1
【分析】利用垂直直线的斜率关系和直线方程相关概念直接求解.
【详解】因为点A (0,1)在圆C :(x−1)
2+ y
2=r
2(r >0)上，
所以过A的圆的切线方程和AC垂直，
因为A (0,1)，C (1,0)，所以k AC = 1−0
0−1 =−1，所以切线方程斜率为−1
−1 =1，
所以切线方程为y =1×(x−0)+1，即y = x +1.
故答案为：y = x +1
【即学即练4】（23-24 高三上·浙江·阶段练习）过圆x
2+ y
2=1上点P(−√2
2 , √2
2 )的切线方程为
．
【答案】y = x +√2
【分析】由圆的切线性质求出切线斜率，利用点斜式方程即可得.
【详解】由题知，kOP=−1，则切线斜率k =1，
所以切线方程为y −√2
2 = x−(−√2
2 )，整理为y = x +√2．
故答案为：y = x +√2
知识点03 切线长
1.从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 .
2.两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2 倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，
即b＝.
【即学即练5】（22-23 高二上·重庆北碚·阶段练习）过点A (2,3)作圆M : x
2+ y
2=1的一条切线，切点为
B，则|AB|=（ ）
4
A．3
B．2√3
C．√7
D．√10
【答案】B
【分析】先求得圆M的圆心坐标和半径，再利用切线长定理即可求得|AB|的值.
【详解】因为圆M : x
2+ y
2=1，
所以圆M的圆心为M (0,0)，半径为r =1，
因为AB与圆M相切，切点为B，
所以AB⊥BM，则|AB|
2+r
2=|AM|
2，
因为|AM|=√2
2+3
2=√13，
所以|AB|=√|AM|
2−r
2=√13−1=2√3.
故选：B.
【即学即练6】（24-25 高二上·全国·课前预习）如图，直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长
的最小值= ．
【答案】√d
2−r
2
知识点04 圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2.
(2)代数法：若直线y＝kx＋b 与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
5
【即学即练7】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知圆C :(x−2)
2+ y
2= 4，直线l: y =−x +1被圆C 截得的弦长
为
.
【答案】√14
【分析】根据直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和弦长公式求解.
【详解】解：由题意可得，圆心为¿，半径r =2，
弦心距d =|2+0−1|
√2
= √2
2 ，
故直线l被C 截得的弦长为2√r
2−d
2=√14，
故答案为：√14
【即学即练8】（22-23 高二上·河北保定·期末）直线l: x−y +1=0与圆C : x
2+ y
2−2 x−3=0交于A ,B两
点，则△AOB的面积为（ ）
A．√3
B．2
C．2√2
D．√3
2
【答案】B
【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心C(1,0)作CD⊥AB于D，分别计算|CD|和
| AB|，即可求得△AOB的面积.
【详解】
如图，由圆C : x
2+ y
2−2 x−3=0配方得，( x −1)
2+ y
2= 4，知圆心为C(1,0),半径为2，
过点C(1,0)作CD⊥AB于D，由C(1,0)到直线l: x−y +1=0的距离为|CD|= 2
√2 =√2,
则| AB|=2| AD|=2√2
2−(√2)
2=2√2,
故△AOB的面积为1
2 | AB|⋅|CD|= 1
2 ×2√2×√2=2.
6
故选：B.
难点：最值问题
示例1：（24-25 高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线1−x =√4−y
2，则√x
2+( y −4)
2的最大值，最小值分别为（
）
A．√17＋2，√17－2
B．√17＋2，√5
C．√37，√17－2
D．√37，√5
【答案】C
【分析】由题意可得曲线1−x =√4−y
2表示的图形为以A(1,0)为圆心，2 为半径的半圆，√x
2+( y −4)
2
表示半圆上的动点与点P(0,4)的距离，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】由1−x =√4−y
2，可知x ≤1，−2≤y ≤2，
且有( x −1)
2+ y
2= 4，表示的图形为以A(1,0)为圆心，2 为半径的半圆，如图所示：
B (1,2),C (1,−2)
又因为√x
2+( y −4)
2表示半圆上的动点与点P(0,4)的距离，
又因为| PA |=√1
2+ 4
2=√17，
所以√x
2+( y −4)
2的最小值为| PA |−2=√17−2，
当动点与图中C(1,−2)点重合时，√x
2+( y −4)
2取最大值| PC |=√(1−0)
2+(4 +2)
2=√37，
故选：C．
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【题型1：直线与圆有关的位置关系】
例1．（24-25 高三上·四川成都·开学考试）在同一平面直角坐标系中，直线mx −y +1=0(m∈R)与圆
x
2+ y
2=2的位置不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由圆的位置和直线所过定点，判断直线与圆的位置关系.
【详解】圆x
2+ y
2=2的圆心坐标为(0,0)，半径为√2，
直线mx −y +1=0(m∈R)过圆内定点(0,1)，斜率可正可负可为0，
ABD 选项都有可能，C 选项不可能.
故选：C.
变式1．（23-24 高二下·云南曲靖·期末）已知圆C :( x−2)
2+ y
2=16，直线l:mx + y −3m−1=0，则下列
8
结论中正确的是（ ）
A．直线l恒过定点(2,1)
B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C相交
D．直线l与圆C相离
【答案】C
【分析】求出圆C的圆心和半径，直线l所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可.
【详解】圆C :( x−2)
2+ y
2=16的圆心C(2,0)，半径r = 4，
直线l:m( x−3)+ y −1=0恒过定点(3,1)， 显然√(3−2)
2+1
2=√2<4 =r，
因此点(3,1)在圆C内，直线l与圆C相交，ABD 错误，C 正确.
故选：C
变式2．（24-25 高二上·上海·单元测试）直线x−√3 y =0绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l 与圆
(x−2)
2+ y
2=3的位置关系是（ ）
A．直线l 过圆心
B．直线l 与圆相交，但不过圆心
C．直线l 与圆相切
D．直线l 与圆无公共点
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出直线l 的方程，再根据圆心到直线l 的距离与半径的关系判断作答.
【详解】直线x−√3 y =0过原点，斜率为√3
3 ，倾斜角为30°，
依题意，直线l 的倾斜角为60°，斜率为√3，而l 过原点，因此直线l 的方程为：y =√3 x，即√3 x−y =0，
而圆( x−2)
2+ y
2=3的圆心为(2,0)，半径为√3，
于是得圆心(2,0)到直线l 的距离为2√3
2
=√3，
所以直线l 与圆相切.
故选：C
变式3.（23-24 高三下·浙江金华·阶段练习）设直线l: x−2 y −a
2=0，圆C :(x−1)
2+( y −2)
2=1，则l 与圆
C（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上都有可能
【答案】C
【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线l的距离，与半径比较即可判断求解．
9
【详解】圆C :( x−1)
2+( y −2)
2=1的圆心为C(1,2)，半径r =1，
则圆心C到直线l的距离d =|1−4−a
2|
√5
= (3+a
2)
√5
≥3
√5 >1=r，
故直线l与圆C相离．
故选：C．
变式4 ．（2007 高二· 全国· 竞赛）直线y = √3
3 x绕原点逆时针方向旋转30° 后，所得直线与圆
(x−2)
2+ y
2=3的位置关系为（ ）
A．直线过圆心
B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切
D．直线与圆没有公共点
【答案】C
【分析】先求出直线y = √3
3 x绕原点逆时针方向旋转30°后的直线方程，再由点到直线的距离公式求出则
圆心(2,0)到直线的距离，与半径比较，即可得出答案.
【详解】直线y = √3
3 x的倾斜角为30°，
直线y = √3
3 x绕原点逆时针方向旋转30°后直线的倾斜角为60°，
旋转后的直线方程为y =√3 x，
则圆心(2,0)到直线的距离d = 2√3
√3+1 =√3=r，
∴直线与圆相切.
故选：C.
变式5.（10-11 高二上·湖南益阳·阶段练习）如果直线ax +by −1=0与圆x
2+ y
2=1有两个不同的交点，则
点P(a,b)与圆的位置关系为（ ）
A．P 在圆外
B．P 在圆上
C．P 在圆内
D．P 与圆的位置不确定
【答案】A
【分析】根据直线ax +by −1=0与圆x
2+ y
2=1有两个不同的交点，知道它们相交.借助d <1，得到
a
2+b
2>1,进而得到点P(a,b)与圆的位置关系.
10
【详解】直线ax +by −1=0与圆x
2+ y
2=1有两个不同的交点，则它们相交.
根据d =
1
√a
2+b
2 <1，得到√a
2+b
2>1，即a
2+b
2>1.则点P(a,b)与圆的位置关系为P 在圆外.
故选：A.
变式6.(多选)（2024·全国·模拟预测）已知直线l:mx +ny −r
2=0与圆C : x
2+ y
2=r
2，点P(m,n)，则下列
命题中是假命题的是（ ）.
A．若点P在圆C外，则直线l与圆C相离
B．若点P在圆C内，则直线l与圆C相交
C．若点P在圆C上，则直线l与圆C相切
D．若点P在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】AB
【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可.
【详解】对于A，因为点P(m,n)在圆C外，所以m
2+n
2>r
2，
则圆心C (0,0)到直线l的距离为d =|0×m+0×n−r
2|
√m
2+n
2
=
|r
2|
√m
2+n
2 <r，
所以直线l与圆C相交，故命题A 是假命题；
对于B，因为点P(m,n)在圆C内，所以m
2+n
2<r
2，
则圆心C (0,0)到直线l的距离为d =|0×m+0×n−r
2|
√m
2+n
2
=
|r
2|
√m
2+n
2 >r，
所以直线l与圆C相离，故命题B 是假命题；
对于C，因为点P(m,n)在圆C上，所以m
2+n
2=r
2，
则圆心C (0,0)到直线l的距离为d =|0×m+0×n−r
2|
√m
2+n
2
=
|r
2|
√m
2+n
2 =r，
所以直线l与圆C相切，故命题C 是真命题；
对于D，因为点P(m,n)在直线l上，所以m
2+n
2−r
2=0，即m
2+n
2=r
2，
则圆心C (0,0)到直线l的距离为d =|0×m+0×n−r
2|
√m
2+n
2
=
|r
2|
√m
2+n
2 =r，
所以直线l与圆C相切，故命题D 是真命题；
故选：AB.
变式7．（2024·四川泸州·三模）动直线l：mx + y −2m−1=0被圆C：x
2+ y
2+2 x−25=0截得弦长的最
小值为 ．
【答案】8
11
【分析】求出直线所过定点A，判断定点A 在圆内，数形结合知直线l截圆C所得弦长最小时，弦心距最大，
此时CA ⊥l，即可由勾股定理求出此时的弦长.
【详解】直线l:mx + y −2m−1=0，即y −1=m(2−x)，
所以直线l过定点A (2,1)，又圆C :(x +1)
2+ y
2=26，且(2+1)
2+1<26，
所以点A在圆C内部，|AC|=√(2+1)
2+1=√10，
当CA垂直于直线l时，C到直线l的距离最大，此时弦长最小，
所以直线l被圆C截得的弦长的最小值为2√(√26)
2−(√10)
2=8.
故答案为：8.
【方法技巧与总结】
一.直线与圆相交的性质，
如图，直线l 与圆C 相交与A,B，半径为r，弦AB 的中点为D，则
1. 点C 到直线l 的距离d=|CD，称为弦心距；
2. CD⊥l;
3. || AD|
2+d
2=r
2,| AB|=2√r
2−d
2
二.直线与圆相切的性质
如图，直线l 与圆C 相切，切点为P，半径为r.则
（1）CP⊥l；
（2）点C 到直线l 的距离d=|CP|=r；
（3）切点P 在直线l 上，也在圆上.
【题型2：由直线与圆的位置关系求参数】
例2．（24-25 高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线l：x
a + y
a =1及圆C：x
2+ y
2−6 x−2 y +2=0，则“
12
a=8”是“直线l 与圆C 相切”的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用直线与圆的位置关系，充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】圆C :( x−3)
2+( y −1)
2=8的圆心C(3,1)，半径为2√2，
由直线l: x + y −a=0(a≠0)与圆C相切，得|3+1−a|
√2
=2√2，而a≠0，解得a=8，
所以“a=8”是“直线l 与圆C 相切”的充要条件.
故选：C
变式1．（24-25 高二上·江苏徐州·阶段练习）直线y = x +b与曲线x =√1−y
2恰有1 个交点，则实数b的取
值范围是（ ）
A．−1<b≤1
B．−√2≤b≤1
C．−√2<b≤−1
D．−1<b≤1或b=−√2
【答案】D
【分析】画出直线y = x +b与曲线x =√1−y
2的图象，数形结合可得答案.
【详解】曲线x =√1−y
2，整理得x
2+ y
2=1, x ≥0，画出直线y = x +b与曲线x =√1−y
2的图象，
当直线y = x +b与曲线x =√1−y
2相切时，
则圆心(0,0)到直线y = x +b的距离为|b|
√1+1 =1，
可得b=−√2（正根舍去），
当直线y = x +b过(1,0),(0,−1)时，b=−1，
13
如图，直线与曲线恰有1 个交点，则−1<b≤1或b=−√2.
故选：D.
变式2．（2024·全国·模拟预测）若直线mx +ny =1与圆x
2+ y
2=1有交点，则（ ）
A．m
2+n
2⩾1
B．m
2+n
2⩽1
C．m
2+n
2>1
D．m
2+n
2<1
【答案】A
【分析】根据题意可知，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，进而可以列出不等式.
【详解】x
2+ y
2=1的圆心为(0,0)，半径r =1，
圆心(0,0)到直线mx +ny −1=0的距离d =|−1|
√m
2+n
2 =
1
√m
2+n
2，
依题意，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，
所以
1
√m
2+n
2 ≤1，即m
2+n
2≥1.
故选：A.
变式3．（23-24 高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线y =k( x +2)与曲线y =√1−x
2有公共点，则实数k
的取值范围是（ ）
A．[−√3
3 , √3
3 ]
B．[0, √3
3 ]
C．[−√3
3 ,0]
D．[−√3,√3]
【答案】B
【分析】根据题意，得到直线y =k( x +2)过定点P(−2,0)，以及曲线x
2+ y
2=1( y ≥0)，画出直线与曲线
的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解.
【详解】由直线y =k( x +2)过定点P(−2,0)，
又由曲线y =√1−x
2，可得x
2+ y
2=1( y ≥0)，
作出曲线y =√1−x
2与直线y =k( x +2)的图象，如图所示，
因为直线y =k( x +2)，可得kx−y +2k =0，
14
又由
|2k|
√k
2+(−1)
2 =1，解得k =± √3
3 ，
若直线y =k( x +2)与曲线y =√1−x
2有公共点，则0≤k ≤√3
3 ，
即实数k的取值范围为[0, √3
3 ].
故选：B.
变式4.（22-23 高二上·河北保定·期末）在直角坐标系xOy中，A (2,0)，B (0,2)，且圆M是以AB为直径的
圆.
(1)求圆M的标准方程；
(2)若直线y =kx +2与圆M相切，求实数k的值.
【答案】(1)(x −1)
2+( y −1)
2=2
(2)1
【分析】（1）由AB为直径，可知圆心M及半径，进而可得圆的方程；
（2）根据直线与圆相切，结合点到直线的距离可得解.
【详解】（1）由已知A (2,0)，B (0,2)，则M (1,1)，
半径r = 1
2|AB|= 1
2 √(2−0)
2+(0−2)
2=√2，
所以圆的方程为(x−1)
2+( y −1)
2=2；
（2）由直线y =kx +2，即kx−y +2=0，
又直线与圆相切，可得d = |k −1+2|
√k
2+(−1)
2 = |k +1|
√k
2+1
=√2，解得k =1.
变式5.（2025·江苏苏州·模拟预测）过原点的圆的圆心为(−sin3,cos3)，则原点处与圆相切的直线的倾斜
角为（ ）
15
A．3
B．π-3
C．3 π −6
2
D．6−π
2
【答案】A
【分析】设圆心为C (−sin3,cos3)，即可求出kOC，从而得到kl，再由诱导公式及倾斜角的定义判断即可.
【详解】设圆心为C (−sin3,cos3)，则kOC =−cos3
sin3 =−
1
tan3，
依题意kl⋅kOC =−1，所以kl= tan3，
又π
2 <3<π，所以直线l的倾斜角为3．.
故选：A
变式6.（23-24 高二下·云南昆明·阶段练习）过点P(−2,4)作圆O:( x−2)
2+( y −1)
2=25的切线l，直线
m:4 x−by =0与直线l平行，则直线l与m的距离为（ ）
A．4
B．2
C．8
5
D．12
5
【答案】A
【分析】由点斜式求出直线l 的方程，根据直线平行及两平行直线间的距离公式可得结果.
【详解】由条件知点P(−2,4)在圆O上，所以直线OP的斜率为4−1
−2−2 =−3
4 ,∴切线l的斜率为4
3 ，
即直线l方程为y −4 = 4
3
(x +2)，整理得：4 x−3 y +20=0,∵直线m:4 x−by =0与
直线l平行，∴b=3,∴直线m方程为4 x−3 y =0，则直线l与m的距离为
|0−20|
√4
2+(−3)
2 = 4，
故选：A．
变式7.（2024 高三·全国·专题练习）设过点P(0,−√5)与圆C : x
2+ y
2−4 x−1=0相切的两条直线的夹角
为α，则cosα =（ ）
A．1
9
B．4√5
9
C．−1
9
D．−4√5
9
【答案】A
【分析】解法1：如图，由题意确定圆心坐标和半径，求出sin∠APC ,cos∠APC，由二倍角的余弦公式
求出cos∠APB即可求解；解法2：如图，由题意确定圆心坐标和半径，利用余弦定理求出cos∠APB即
可求解；解法3：易知切线斜率存在，利用点到直线的距离公式和斜率的定义求出tan α，进而求出
cos∠APB即可.
16
【详解】解法1：如图，圆x
2+ y
2−4 x−1=0，即( x−2)
2+ y
2=5，
则圆心C(2,0)，半径r =√5，过点P(0,−√5)作圆C的切线，切点为A ,B，连接AB.
因为PC =3，则PA = PB =2，得sin ∠APC = √5
3 ,cos∠APC = 2
3，
则cos∠APB =cos
2∠APC −sin
2∠APC =−1
9 <0，即∠APB为钝角，且α为锐角，
所以cosα =cos(π −∠APB)= 1
9.
故选：A.
解法2：如图，圆x
2+ y
2−4 x−1=0，即( x−2)
2+ y
2=5，则圆心C(2,0)，半径r =√5，
过点P(0,−√5)作圆C的切线，切点为A ,B，连接AB.因为PC =3，则PA = PB =2，
因为P A
2+ P B
2−2 PA ⋅PBcos∠APB =C A
2+C B
2−2CA ⋅CBcos∠ACB，
且∠ACB = π −∠APB，则4 + 4−8cos∠APB =5+5−10cos∠ACB，
即4−4 cos∠APB =5−5cos∠ACB，解得cos∠APB =−1
9 <0，
即∠APB为钝角，且α为锐角，则cosα =cos(π −∠APB)= 1
9.
故选：A.
解法3：圆x
2+ y
2−4 x−1=0，即( x−2)
2+ y
2=5，则圆心C(2,0)，半径r =√5，
17
若切线斜率不存在，则切线方程为x =0，则圆心到切点的距离d =2<r，不合题意；
若切线斜率存在，则设切线方程为y =kx −√5，即kx −y −√5=0，
则圆心到切线的距离d =|2k −√5|
√k
2+1
=√5，解得k1=0,k2=−4√5，
所以tan α =|k1−k2|
1+k1k2
= 4√5= sin α
cosα ，又α为锐角，
由sin
2α +cos
2α =1解得cosα = 1
9.
故选：A.
【题型3：圆的切线问题】
例3．（2024 高三·全国·专题练习）圆C :(x−1)
2+ y
2= 4在点P(0,√3)处的切线方程为 .
【答案】x−√3 y +3=0
【分析】根据条件得到点P(0,√3)在圆上，从而得到切线的斜率为√3
3 ，即可求出结果.
【详解】因为圆C :(x−1)
2+ y
2= 4的圆心为C(1,0)，r =2，
易知点P(0,√3)在圆上，又kCP= √3
−1 =−√3，所以切线的斜率为√3
3 ，
故切线方程为y −√3= √3
3 x，即x−√3 y +3=0.
故答案为：x−√3 y +3=0.
变式1．（2024 高三·全国·专题练习）已知圆C :(x−1)
2+ y
2=2外一点P(2,2)，过点P 作圆C 的两条切线，
切点分别为A 和B，则直线AB的方程为
【答案】x +2 y −3=0
【分析】过圆(x −a)
2+( y −b)
2=r
2外一点(x0, y0)的切点弦方程为(x0−a)(x−a)+( y0−b)( y −b)=r
2，得
到答案.
【详解】由题意，切点弦AB所在直线的方程为(2−1)(x−1)+2 y =2，化简得：x +2 y −3=0.
故答案为：x +2 y −3=0
变式2.（24-25 高三上·四川成都·开学考试）已知点P在圆( x−5)
2+( y −5)
2=16上，点A (4,0),B (0,2)，
18
当∠PBA最小时，|PB|= .
【答案】3√2
【分析】找到当∠PBA最小时P 点所在的位置，再结合勾股定理可得结果.
【详解】设圆( x−5)
2+( y −5)
2=16的圆心为M (5,5)，半径为4，
如图所示：当 ∠PBA最小时，PB与圆M 相切，连接MP,BM，
则PM ⊥PB，|BM |=√(0−5)
2+(2−5)
2=√34，而| MP|= 4，
由勾股定理得| PB|=√|BM |
2−| MP|
2=3√2，
所以当∠PBA最小时，| PB|=3√2.
故答案为：3√2.
变式3.（22-23 高二上·四川成都·阶段练习）已知圆C 的方程为：( x +1)
2+ y
2= 4；
(1)过点P(1,3)作圆的切线，求切线l的方程.
(2)已知圆C 上有2 个点到直线l：x +my +2=0的距离为1，求m 的取值范围.
【答案】(1)5 x−12 y +31=0或x =1
(2)∅
【分析】（1）先判断点P(1,3)和圆的位置关系，如果在圆外，分切线的斜率不存在和切线的斜率存在两
种情况进行讨论；
（2）先求临界位置，即分别求圆上有1 个点到l的距离为1，圆上有3 个点到l的距离为1，时m 的值，取
中间范围即圆上有2 个点到l的距离为1.
【详解】（1）由题可知圆心C(−1,0),r =2，
因为(1+1)
2+3
2>4，
所以P 在圆外，过圆外一点作圆的切线有2 条.
19
①当k 存在时，设切线方程l：y −3=k( x−1)，即kx−y +3=0.
则
圆
心
C
到
l的
距
离
d
＝
|−k −k +3|
√1+k
2
=2，
∴k = 5
12
此时切线l：5 x−12 y +31=0
②当k 不存在时，过点P(1,3)的直线方程为x =1，
圆心C(−1,0)到直线x =1的距离为2，
所以直线x =1与圆( x +1)
2+ y
2= 4相切，
此时切线方程l：x =1
综上：切线l的方程为：5 x−12 y +31=0或x =1
（2）圆心C(−1,0)到l的距离d＝|−1+2|
√1
2+m
2 =
1
√1+m
2，
当圆上有1 个点到l的距离为1，则d =r +1=2+1=3,
当圆上有3 个点到l的距离为1，则d =r −1=2−1=1,
所以当圆上有2 个点到l的距离为1，则|d −r |=|d −2|<1,
所以1<d <3,即1<
1
√1+m
2 <3,此方程无解，
∴ m的取值范围为∅
变式4.（23-24 高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：
(1)求过点A (3,5)且与圆O: x
2+ y
2−2 x−4 y +1=0相切的直线方程；
(2)求圆心在直线3 x−y =0上，与x轴相切，且被直线x−y =0截得的弦长为2√7的圆的方程.
【答案】(1)x =3或5 x−12 y + 45=0
(2)x
2+2 x + y
2+6 y +1=0或x
2−2 x + y
2−6 y +1=0
【分析】（1）先设出方程，然后将相切条件转化为距离条件，再用距离公式求解；
20
（2）先设出方程，然后将弦长条件转化为距离条件，再用距离公式求解.
【详解】（1）据点A (3,5)可设直线方程为(sin t )(x−3)−(cost )( y −5)=0.
圆O的方程可化为(x−1)
2+( y −2)
2= 4，故点(1,2)到所求直线的距离为2，
从而|−2sin t +3cost|
√sin
2t +cos
2t
=2.
所以4 =|−2sin t +3cost|
2=9cos
2t + 4 sin
2t −12sin t cost = 4+5cos
2t −12sin t cost，
得cost (5cost −12sin t )=0.
这就说明cost =0或tant = 5
12，所以所求直线的方程为x =3或5 x−12 y + 45=0.
（2）设所求圆的圆心坐标为P(t ,3t )，由于该圆与x轴相切，故该圆的半径为|3t|，
所以该圆的方程是(x−t )
2+( y −3t )
2=9t
2，即x
2−2tx + y
2−6ty +t
2=0.
而该圆被直线x−y =0截得的弦长为2√7，故该圆圆心到直线x−y =0的距离为
d =√|3t|
2−(√7)
2=√9t
2−7.
所以|−2t|
√2 =√9t
2−7，解得t =±1.
故所求的圆的方程为x
2+2 x + y
2+6 y +1=0或x
2−2 x + y
2−6 y +1=0.
变式5.（23-24 高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2 的圆C的圆心在射线y = x( x>0)上，点A(−1,1)
在圆C上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点B(−1,0)且与圆C相切的直线方程．
【答案】(1)( x−1)
2+( y −1)
2= 4
(2)x =−1或3 x + 4 y +3=0
【分析】（1）设圆心坐标为(m,m)(m>0)，根据点A(−1,1)在圆上列方程可得m=1，可得方程；
（2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为y =k( x +1)，根据圆心到直线的距离等
于半径列方程求解可得.
【详解】（1）由圆C 的圆心在直线y = x上，可设圆心C 的坐标为(m,m)(m>0)，
21
又圆C的半径为2，点A(−1,1)在圆C上，有| AC |=√[m−(−1)]
2+(m−1)
2=2，
解得m=−1（舍去）或m=1，
故圆C的标准方程为( x−1)
2+( y −1)
2= 4；
（2）①当切线的斜率不存在时，直线x =−1与圆C相切；
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为y =k( x +1)，整理为kx−y + k =0，
由题知|2k −1|
√k
2+1
=2，解得k =−3
4 ，
可得切线方程为−3
4 x−y −3
4 =0，整理为3 x + 4 y +3=0，
由①②知，过点B(−1,0)且与圆C相切的直线方程为x =−1或3 x + 4 y +3=0.
变式6.（23-24 高二上·江苏常州·阶段练习）实数x , y满足( x−1)
2+( y −1)
2=2，则y +2
x
的取值范围是
（ ）
A．[−7,1]
B．[−1,7]
C．(−∞,−7]∪[1,+∞)
D．(−∞,−1]∪[7,+∞)
【答案】C
【分析】根据题意，把y +2
x
转化为圆上的点P( x , y)与点A(0,−2)连线的斜率，结合直线与圆的位置关
系，即可求解.
【详解】由圆的方程( x−1)
2+( y −1)
2=2，可得圆心C(1,1)，半径为r =√2，
又由y +2
x
= y −(−2)
x−0
，所以y +2
x
表示圆上的点P( x , y)与点A(0,−2)连线的斜率，
当过点A(0,−2)与圆C相切时，此时y +2
x
取得最值，如图所示，
22
设y +2
x
=t，可得tx−y −2=0，令
|t −1−2|
√t
2+(−1)
2 =√2，
整理得t
2+6t −7 =0，解得t =−7或t =1，
结合图象，可得y +2
x
的取值范围是(−∞,−7]∪[1,+∞).
故选：C.
变式7.(多选)（23-24 高二下·广西桂林·期末）直线l：y = x +m，圆C：x
2+ y
2−2 x =0，下列结论正确的
是（ ）
A．直线l 的倾斜角为π
3
B．圆C 的圆心坐标为（1，0）
C．当m=√2−1时，直线l 与圆C 相切
D．当m∈(−√2−1,√2−1)时，直线l 与圆C 相交
【答案】BCD
【分析】根据直线l 斜率和倾斜角的关系，即可判断A 选项；将圆心求出，即可判断B 选项；利用点到直
线的距离公式求出d =r，即可得出直线l 与圆C的位置关系，即可判断C 选项；利用点到直线的距离公式
求出d <r，即可表示出直线l 与圆C的位置关系，计算求参，即可判断D 选项.
【详解】直线l：y = x +m的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π
4 ，A 选项错误；
而圆C：x
2+ y
2−2 x =0，即(x −1)
2+ y
2=1，可知圆心C (1,0)，半径r =1，B 选项正确；
当m=√2−1时，直线l：x−y +√2−1=0，
设圆心C (1,0)到直线l 的距离为d，则d =|1−0+√2−1|
√1
2+1
2
=1=r，
所以直线l与圆C相切，故C 正确；
23
对于D 项，圆C：x
2+ y
2−2 x =0，即(x−1)
2+ y
2=1，可知圆心C (1,0)，半径r =1,
因为直线l: y = x +m与圆C 交于两点，所以圆心C 到直线l 的距离d <r，
即d =|1−0+m|
√1
2+1
2 <1，解得−√2−1<m<√2−1，
所以当m∈(−√2−1,√2−1)时，直线l 与圆C 相交，故D 项正确；
故选：BCD.
【方法技巧与总结】
1.过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x ＋
y 0y ＝
r 2 .
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是( x 0－
a )( x －
a ) ＋
( y 0－
b )( y －
b ) ＝
r 2 .
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率
k，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
【题型4：弦长问题】
例4．（24-25 高三上·陕西·开学考试）由直线y = x +1上的一点向圆x
2+ y
2−6 x +8=0引切线，则切线段
的最小值为（ ）
A．3
B．2√2
C．√7
D．√6
【答案】C
【分析】由圆的方程得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长
的最小值即可.
【详解】由圆的方程C :(x −3)
2+ y
2=1，得圆心C (3,0)，半径r =1，
如图，切线长|PA|
2=|PC|
2−|AC|
2，当|PC|最小时，|PA|最小，
|PC|最小值为圆心C到直线y = x +1的距离d = |3−0+1|
√1
2+(−1)
2 =2√2，
所以切线长|PA|的最小值√(2√2)
2−1
2=√7.
故选：C.
24
变式1．（24-25 高二上·江苏徐州·阶段练习）圆x
2+ y
2−2 x−2 y −1=0的所有经过坐标原点的弦中最短
弦长为（ ）
A．√2
B．2
C．2√2
D．4
【答案】B
【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案.
【详解】由x
2+ y
2−2 x−2 y −1=0，则圆的标准方程为(x −1)
2+( y −1)
2=3，如下图：
图中AB⊥MO，MB =√3, MO =√2，M为圆x
2+ y
2−2 x−2 y −1=0的圆心，A ,B为直线AB与圆的交
点，
易知AB为所有经过坐标原点的弦中最短弦，|AB|=2√M B
2−M O
2=2√3−2=2.
故选：B.
变式2．（24-25 高二上·江苏徐州·阶段练习）圆(x−2)
2+ y
2= 4与直线x−y −2+√2=0相交所得弦长为（
）
A．1
B．√2
C．2√3
D．2√2
【答案】C
【分析】代入弦长公式，即可求解.
【详解】圆心(2,0)到直线x−y −2+√2=0的距离d =|2−0−2+√2|
√2
=1，
25
所以弦长l =2√r
2−d
2=2√4−1=2√3.
故选：C
变式3．（24-25 高二上·陕西西安·开学考试）直线l 过点(2,1)，且与圆C：(x−2)
2+( y −4)
2=10相交所形
成的长度为整数的弦的条数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【分析】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦
的条数.
【详解】由题设，圆C的圆心为(2,4)，且半径r =√10，
而(2−2)
2+(1−4)
2=9<10，即点(2,1)在圆内，且圆心到该点的距离d =3，
当直线l与(2,1)、(2,4)的连线垂直时，弦长最短为2√r
2−d
2=2，
而最长弦长为圆的直径为2√10，故所有弦的弦长范围为[2,2√10]，
所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为2,3,4,5,6，
根据圆的对称性，弦长为3,4,5,6各有2 条，弦长为2 的只有1 条，
综上，共9 条.
故选：D
变式4．（22-23 高二下·北京延庆·期中）已知点P(−1
3 , 2
3)，圆C : x
2+ y
2= 4，则经过圆C内一点P且被圆
截得弦长最短的直线的方程为（ ）
A．3 x−6 y −5=0
B．3 x−6 y +5=0
C．x−y +1=0
D．6 x−3 y + 4 =0
【答案】B
【分析】根据题意，由条件可得过点P且弦长最短的弦应是垂直于直线CP的弦，再由直线的点斜式方程，
即可得到结果．
【详解】设经过圆C内一点P且被圆截得弦长最短的直线的斜率为k1，直线PC的斜率为k2，
由题意得，k2=
2
3
−1
3
=−2，
因为k1⋅k2=−1，所以k1= 1
2，
26
所以圆C内一点P且被圆截得弦长最短的直线的方程为y −2
3 = 1
2(x + 1
3)，即3 x−6 y +5=0，
故选：B．
变式5．（23-24 高二下·甘肃白银·期末）已知直线l:ax + y −a+2=0与圆C :( x−2)
2+( y +1)
2=9交于A,B
两点，则当弦AB最短时，直线l 的方程为（ ）
A．3 x + y +1=0
B．x +2 y +3=0
C．2 x + y =0
D．x + y +1=0
【答案】D
【分析】直线l恒过定点D (1,−2)，可得D点在圆C内，可得当DC ⊥l时弦AB最短,利用直线的点斜式方
程可得答案.
【详解】l:a(x−1)+ y +2=0，所以直线l恒过定点D (1,−2)，C (2,−1)，
因为(1−2)
2+(−2+1)
2=2<9，所以D点在圆C内，
所以当DC ⊥l时，弦AB最短,
设直线l的斜率为k，则k =−1
k DC
=−
2−1
−1−(−2) =−1,
所以直线l的方程为y +2=−(x−1)，即x + y +1=0.
故选：D.
变式6．（21-22 高二下·全国·期末）设M 是圆C：(x +2)
2+ y
2=16上的动点，MN是圆的切线，且
|MN|=2√5，则点N 到点(4,8)距离的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．16
【答案】A
【分析】根据切线性质可得点N 的轨迹方程为圆，再根据圆上的点到定点距离的最值方法求解即可.
【详解】由题意得，圆心C (−2,0)，半径为4，
又|MN|=2√5，∴|NC|
2=|MN|
2+ 4
2=36，
即点N 的轨迹方程为(x +2)
2+ y
2=36，
∴点N 到点(4,8)距离的最小值为√(4 +2)
2+8
2−6= 4.
27
故选：A.
变式7.（23-24 高二下·北京海淀·期末）已知直线l: y =k (x +1)与⊙C :(x−1)
2+ y
2= 4交于A、B两点，则
“k =±1”是“△ABC的面积取得最大值”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用三角形的面积公式可得，当∠ACB =90
°时，△ABC的面积取得最大值，利用等面积求出圆
心C到直线l的距离，
再由点到直线的距离公式求出k的值，最后结合充要条件的定义进行判断即可.
【详解】
由⊙C :(x−1)
2+ y
2= 4，可得圆心C (1,0)，半径r =2，
又S△ABC = 1
2|CA|⋅|CB|sin∠ACB≤1
2|CA|
2= 1
2 r
2=2，
当且仅当∠ACB =90
°时，等号成立，
此时|AB|=√|CA|
2+|CB|
2=2√2，
由等面积可得点C到直线l的距离d =|CA|⋅|CB|
|AB|
=
4
2√2 =√2，
28
又点C到直线l的距离d =|k −0+k|
√k
2+1
=√2，
解得，k =±1，
因此“k =±1”是“△ABC的面积取得最大值”的充分必要条件.
故选：C.
【方法技巧与总结】
解决有关弦长问题的常用方法及结论
几何法
如图所示，设直线l 被圆C 截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线
的距离为d，则有关系式：|AB|＝2
代数法
若斜率为k 的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|
yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0 时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在
时，|AB|＝|yA－yB|，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角
三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用
【题型5：与圆有关的对称问题】
例5 ．（24-25 高三上· 贵州· 开学考试）已知圆C : x
2+ y
2−4 x−6 y + 4 =0关于直线
l:ax +by −1=0(ab>0)对称，则1
2a + 1
3b的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．6
D．4
【答案】D
【分析】转化为直线l过圆心即2a+3b=1，再利用基本不等式可得答案.
【详解】因为圆C :(x −2)
2+( y −3)
2=9关于直线l:ax +by −1=0(ab>0)对称，
所以直线l过圆心(2,3)，即2a+3b=1，
则1
2a + 1
3b =(
1
2a + 1
3b)(2a+3b)=2+ 3b
2a + 2a
3b
因为ab>0，且2a+3b=1，所以a>0,b>0，
所以1
2a + 1
3b =2+ 3b
2a + 2a
3b ≥2+2√
3b
2a × 2a
3b = 4，
29
当且仅当3b
2a = 2a
3b即a= 1
4 ,b= 1
6等号成立，
则1
2a + 1
3b的最小值是4.
故选：D.
变式1．（23-24 高二上·福建厦门·期中）若圆x
2+ y
2−ax +2 y +1=0与圆x
2+ y
2=1关于直线y = x−1对称
过点C(−a,a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A．x
2+ 4 x−4 y +8=0 B．y
2−2 x−2 y +2=0
C．y
2−2 x−y −1=0
D．y
2+ 4 x−4 y +8=0
【答案】D
【分析】由圆与圆的对称性可得a，再利用几何关系，求点P的轨迹方程.
【详解】圆x
2+ y
2−ax +2 y +1=0，即(x−a
2)
2
+( y +1)
2= a
2
4 ，圆心为(
a
2 ,−1)，半径r1=|a|
2 ，
圆x
2+ y
2=1的圆心为(0,0)，半径r2=1，
由圆x
2+ y
2−ax +2 y +1=0与圆x
2+ y
2=1关于直线y = x−1对称，
可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y = x−1上，所以−1
2 = a
4 −1，解得a=2，
经检验，a=2满足题意，则点C的坐标为(−2,2)，
设圆心P为坐标为(x , y)，则√( x +2)
2+( y −2)
2=|x|，整理得y
2+ 4 x−4 y +8=0，
即圆心P的轨迹方程为y
2+ 4 x−4 y +8=0.
故选：D.
变式2．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）过直线y =2 x−1上的一点P作圆C :( x +2)
2+( y −5)
2=1的两条
切线l1,l2，当直线l1,l2关于y =2 x−1对称时，|PC|=（ ）
A．2√2
B．2√3
C．4
D．2√5
【答案】D
【分析】利用数形结合，结合对称性，即可确定点P的位置，即可求解.
【详解】
30
若直线l1,l2关于直线y =2 x−1对称，则直线l1,l2与直线y =2 x−1的夹角相等，
则PC与y =2 x−1垂直，所以|PC|等于圆心C (−2,5)到直线y =2 x−1的距离，
即|PC|=|−4−5−1|
√5
=2√5.
故选：D
变式3．（23-24 高二下·云南昆明·期中）已知圆x
2+ y
2+2 x−4 y +1=0关于直线x−y +t =0对称，则实数
t =（ ）
A．−3
B．1
C．−1
D．3
【答案】D
【分析】求出圆心并将其代入直线x−y +t =0即可得解.
【详解】由x
2+ y
2+2 x−4 y +1=0得( x +1)
2+( y −2)
2= 4，
则圆心坐标为(−1,2)，又因为圆x
2+ y
2+2 x−4 y =0关于直线x−y +t =0对称，
故由圆的对称性可知：圆心(−1,2)在直线x−y +t =0上，
则t = y −x =2−(−1)=3.
故选：D.
变式4．（23-24 高三下·浙江宁波·阶段练习）过直线y =3 x上的点P作圆C :( x +2)
2+( y −4)
2= 4的两条切
线l1,l2，当直线l1,l2关于直线y =3 x对称时，点P的坐标为（ ）
A．(
3
5 , 9
5)
B．(
6
5 , 18
5 )
C．(1,3)
D．(
3
2 , 9
2)
【答案】C
【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案.
【详解】圆C :( x +2)
2+( y −4)
2= 4的圆心为C (−2,4)，
直线l1,l2关于直线y =3 x对称时，则直线CP与直线y =3 x垂直，
31
所以直线CP的方程为y −4 =−1
3
(x +2), x +3 y −10=0，
由¿解得¿，所以P(1,3).
故选：C.
变式5.（23-24 高二上·贵州铜仁·期中）已知圆x
2−4 x + y
2−2 y =5关于直线2ax + y +b−3=0（a，b 为大
于0 的数）对称，则1
a + 1
b的最小值为 ，此时直线方程为 ．
【答案】 9
2 2 x +3 y −7 =0
【分析】空1：由题意得直线2ax + y +b−3=0过圆心，从而得到4 a+b=2，利用基本不等式“1”的妙用
求解最小值；空2：由空1 结果代入回直线方程即可.
【详解】圆x
2−4 x + y
2−2 y =5，整理得(x −2)
2+( y −1)
2=10，则其圆心为(2,1)，
由题意得：直线2ax + y +b−3=0过圆心(2,1)，
所以4 a+b=2，又a>0，b>0，
所以1
a + 1
b = (
1
a + 1
b)(4 a+b)⋅1
2 = 1
2(4 + b
a + 4 a
b +1)≥1
2 ×(5+2√
b
a ⋅4 a
b )= 9
2．（当且仅当a= 1
3，
b= 2
3时，取“＝”）．
此时直线方程为2
3 x + y −7
3 =0，即2 x +3 y −7 =0.
故答案为：9
2；2 x +3 y −7 =0.
变式6.（24-25 高二上·上海·课后作业）已知圆x
2+ y
2+2 x−4 y +1=0关于直线2ax−by +2=0(a,b∈R)
对称，则下列结论正确的是 ．（填序号）
①圆x
2+ y
2+2 x−4 y +1=0的圆心是(−1,2)；②圆x
2+ y
2+2 x−4 y +1=0的半径是2；③a+b=1；④ab
的取值范围是(−∞, 1
4]．
【答案】①②③④
【分析】根据圆的一般方程化为标准方程得出圆心和半径判断①②，再根据直线过圆心得出③，再结合换
元应用二次函数值域判断④即可.
32
【详解】对于①②，将圆的方程化为标准方程可得( x +1)
2+( y −2)
2= 4，所以圆心为(−1,2)，半径为2，
故①②正确；
对于③，由已知可得，直线2ax−by +2=0经过圆心，所以2a×(−1)−2b+2=0，整理可得a+b=1，故
③正确；
对于④，由③知b=1−a，所以ab=a(1−a)=−(a−1
2)
2
+ 1
4 ≤1
4 ，所以ab的取值范围是(−∞, 1
4]，故④
正确．
故答案为：①②③④
变式7.（23-24 高二下·上海·期中）已知直线l:2 x + y −2=0，圆C :( x −1)
2+( y −2)
2= 4．
(1)求直线l与圆C相交所得的弦长；
(2)求圆C关于直线l对称所得的圆的方程．
【答案】(1)8√5
5
(2)(x + 3
5)
2
+( y −6
5)
2
= 4
【分析】（1）根据题意，由点到直线的距离公式结合勾股定理代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由点关于直线对称，即可得到圆心M的坐标，即可得到结果.
【详解】（1）设直线l:2 x + y −2=0与圆C相交的弦为线段AB，
因为圆C :( x −1)
2+( y −2)
2= 4圆心为C (1,2)，半径为2，
则圆心到直线l的距离为d =|2+2−2|
√5
= 2
√5 = 2
5 √5，
则|AB|=2√
2
2−(
2
5 √5)
2
= 8√5
5
，
所以直线l与圆C相交所得的弦长为8√5
5
.
（2）设圆C关于直线l对称所得的圆为圆M，
由题意可得圆心C与圆心M关于直线l对称，
设圆心M (m,n)，则¿，解得¿，
33
则M(−3
5 , 6
5)，则圆M的方程为(x + 3
5)
2
+( y −6
5)
2
= 4.
【题型6：点与圆有关的最值问题】
例6．（23-24 高二上·辽宁鞍山·期中）若点P(x , y)在圆x
2+ y
2−4 y +1=0上，则( x−1)
2+ y
2的最小值为
.
【答案】8−2√15
【分析】利用( x−1)
2+ y
2表示点( x , y)与点(1,0)的距离的平方，求出圆心(0,2)与点(1,0)的距离为√5，
可求得最小距离，继而可求得所求.
【详解】因为x
2+ y
2−4 y +1=0，化为x
2+( y −2)
2=3，
圆心为(0,2)，半径为√3，
又( x −1)
2+ y
2表示点( x , y)与点(1,0)的距离的平方，
圆心(0,2)与点(1,0)的距离为√5，
所以点( x , y)与点(1,0)的距离的最小值为√5−√3，
故( x −1)
2+ y
2的最小值为(√5−√3)
2=8−2√15，
故答案为：8−2√15.
变式1.（23-24 高三上·河南驻马店·期末）若点P(x , y)是圆C:x
2+ y
2−8 x +6 y +16=0上一点,则x
2+ y
2的
最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可.
【详解】圆C:x
2+ y
2−8 x +6 y +16=0可化为(x−4)
2+( y +3)
2=9.
x
2+ y
2表示点P(x , y)到点O(0,0)的距离的平方,
因为|CO|=√4
2+(−3)
2=5，
所以x
2+ y
2的最小值为(5−3)
2= 4.
故选：B.
34
变式2.（23-24 高二上·山东泰安·期中）已知曲线x−1=√4−y
2，则√x
2+( y −4)
2的最大值，最小值分别
为（ ）
A．√17+2，√17−2
B．√17+2，√5
C．√37，√17−2
D．√37，√5
【答案】B
【分析】首先化简题给条件x−1=√4−y
2，得到其为以A(1,0)为圆心半径为2 的圆的右半部分，再利用
数形结合即可求得√x
2+( y −4)
2的最大值，最小值.
【详解】由x−1=√4−y
2，可得(x −1)
2+ y
2=4,(x ≥1)，
此方程表示的曲线为以A(1,0)为圆心半径为2 的圆的右半部分，
则√x
2+( y −4)
2表示点P(0,4)与此半圆上点的距离，
其最大值为|PA|+2，最小值为|PB|，
又B(1,2)，|PB|=√1+ 4 =√5，|PA|=√1+16=√17，
则√x
2+( y −4)
2最大值为√17+2，最小值为√5.
故选：B
变式3. （2024· 山东枣庄· 一模）在平面直角坐标系xOy中，已知A (−3,0),B (1,0), P为圆
C :( x −3)
2+( y −3)
2=1上动点，则|PA|
2+|PB|
2的最小值为（ ）
A．34
B．40
C．44
D．48
【答案】B
【分析】借助点到直线的距离公式与圆上的点到定点距离的最值计算即可得.
35
【详解】设P(x , y)，则|PA|
2+|PB|
2=(x +3)
2+ y
2+(x−1)
2+ y
2=2 x
2+2 y
2+ 4 x +10
=2[(x +1)
2+ y
2]+8，
即|PA|
2+|PB|
2等价于点P到点Q (−1,0)的距离的平方的两倍加八，
又|PQ|≥|QC|−|PC|=√(3+1)
2+3
2−1=5−1= 4，
即|PA|
2+|PB|
2≥2×4
2+8= 40.
故选：B.
变式4.（23-24 高二上·山东菏泽·阶段练习）在Rt△AOB中，∠BOA =90°，|OA|=8，|OB|=6，点P 为
它的内切圆C 上任一点，求点P 到顶点A ,B ,O的距离的平方和的最大值是 ，最小值是 ．
【答案】 88 72
【分析】如图所示，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy，然后表示出三角形内切圆的
方程，设P(x , y)为圆C 上任一点，表示出点P 到顶点A，B，O 的距离的平方和为d，化简变形后可求得
答案.
【详解】如图所示，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy，则A (8,0)，B (0,6)，内切C
的半径r =
1
2 ×6×8
1
2 ×(6+8+10)
=2．
36
∴圆心坐标为(2,2)．∴内切圆C 的方程为(x−2)
2+( y −2)
2= 4．
设P(x , y)为圆C 上任一点，点P 到顶点A，B，O 的距离的平方和为d，
则d =|PA|
2+|PB|
2+|PO|
2=(x−8)
2+ y
2+ x
2+( y −6)
2+ x
2+ y
2
=3 x
2+3 y
2−16 x−12 y +100=3[(x−2)
2+( y −2)
2]−4 x +76．
∵点P(x , y)在圆上，∴(x−2)
2+( y −2)
2= 4．
∴d =3×4−4 x +76=88−4 x．
∵点P(x , y)是圆C 上的任意点，∴x∈[0,4]．
∴当x =0时，dmax=88；当x = 4时，dmin=72．
故答案为：88，72
变式5.（22-23 高二上·重庆·期末）已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2,−2)，且圆心C 在直线
l: x−y +1=0上．
(1)求圆心为C 的圆的一般方程；
(2)已知P(2,1)，Q 为圆C 上的点，求|PQ|的最大值和最小值．
【答案】(1)x
2+ y
2+6 x + 4 y −12=0
(2)最大值为√34 +5，最小值为√34−5
【分析】（1）直接设圆心坐标并建立|CA|=|CB|方程计算即可得圆心及半径，从而求出一般方程；
（2）利用圆的性质及两点坐标公式计算即可.
【详解】（1）∵圆心C 在直线l: x−y +1=0上，不妨设C (a,a+1)，半径r，
则|CA|
2=(a−1)
2+a
2=|CB|
2=(a−2)
2+(a+3)
2=r
2⇒a=−3,r =5，
∴圆心C 坐标为C (−3,−2)，则圆C 的方程为(x +3)
2+( y +2)
2=25；
其一般方程为x
2+ y
2+6 x + 4 y −12=0.
（2）由（1）知圆C 的方程为(x +3)
2+( y +2)
2=25，
∴|PC|
2=(2+3)
2+(1+2)
2=34>25，∴P 在圆C 外，
∴|PQ|的最大值为|PC|+r =√34+5，最小值为|PC|−r =√34−5．
变式6.（2023 高二上·全国·专题练习）已知实数x，y 满足方程(x −2)
2+ y
2=3，求x
2+ y
2的最大值和最小
37
值．
【答案】最大值为7+ 4√3，最小值为7−4√3
【分析】根据方程(x−2)
2+ y
2=3表示以（2，0）为圆心，√3为半径的圆以及x
2+ y
2表示圆上的一点与原
点距离的平方即可求解.
【详解】方程(x −2)
2+ y
2=3表示以（2，0）为圆心，√3为半径的圆．
x
2+ y
2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心所连的直线与圆的两个交点
处取得最大值和最小值（如图）．
又圆心到原点的距离为√(2−0)
2+(0−0)
2=2，
所以√x
2+ y
2的最大值为2+√3，最小值为2−√3，
即x
2+ y
2的最大值为7+ 4√3，最小值为7−4√3．
变式7.（23-24 高二上·福建龙岩·期中）已知圆C的半径为2，且圆心在直线y = x上，点A (2,4)在圆C上，
点B (0,2)在圆C外.
(1)求圆C的圆心坐标；
(2)若点D在圆C上，求|BD|的最大值与最小值.
【答案】(1)(4,4)
(2)最大值为2√5+2，最小值为2√5−2.
【分析】（1）设出圆的标准方程：( x−a)
2+( y −b)
2= 4，然后利用题中相关点及几何条件从而求解；
（2）先求圆外B点到圆心的距离d，则可知：d −r ≤|BD|≤d +r.
【详解】（1）设圆的标准方程为：C :( x−a)
2+( y −b)
2= 4，
由题意得：¿，得：¿，
38
即：圆C的圆心坐标：(4,4).
（2）由题意得:|BC|=√(4−0)
2+(4−2)
2=2√5，
所以：|BC|−2=2√5−2≤|BD|≤|BC|+2=2√5+2，
所以：|BD|最大值为：：2√5+2，最小值为：2√5−2.
【方法技巧与总结】
圆上的点到直接距离最值:
1.把圆化成圆的标准方程
找出圆心
和半径r
2.利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离
3.判断位置关系
【题型7：直线与圆有关的最值问题】
例7 ．（23-24 高二下· 山西吕梁· 阶段练习）已知P 是圆O: x
2+ y
2=1上一动点，则点P 到直线
l:(2+ λ) x−(1+ λ) y −6−4 λ =0(λ∈R)的距离的取值范围为（ ）
A．[0,2√2−1]
B．[1,2√2+1]
C．[0,2√2+1]
D．[0,2√2+1)
【答案】D
【分析】根据题意，得到l过定点Q (2,−2)，得到点P在圆O上，且|OQ|=2√2，结合直线与圆的位置关系，
即可求解.
【详解】因为直线(2+ λ)x−(1+ λ) y −6−4 λ =0，可化为(x−y −4) λ+2 x−y −6=0，
39
由¿，解得x =2, y =−2，所以l 过定点Q (2,−2)，
又因为点P在圆O上，且|OQ|=2√2，
又由圆O: x
2+ y
2=1，可得圆心为O(0,0)，半径r =1，
当OQ⊥l时，点P 到l的距离最大，最大距离为2√2+1，此时kOQ= −2−0
2−0 =−1，
所以直线l的斜率为1，此时2+ λ =1+ λ无解，故直线l 不存在，所以距离d <2√2+1；
当直线l与圆O 相交时，点P 到l 的距离最小，最小距离为0，
故点P 到l的距离的取值范围为[0,2√2+1).
故选：D.
变式1．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 d为点 P(cosθ，sinθ) 到直线
kx −y −3k + 4 =0 的距离， 则当 θ，k变化时， d的最大值与最小值之差为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】D
【分析】由直线方程得到其过定点A(3,4)，而P(cosθ，sinθ)可看成单位圆上的一点，故可将求点P到
直线之距转化为求圆心到直线之距，要使距离最大，需使直线l⊥OA，此时最大距离即圆心到点A(3,4)
的距离再加上半径即得.
【详解】由直线 l:kx −y −3k + 4 =0整理得k( x−3)−y + 4 =0，可知直线经过定点A(3,4)，
而由P(cosθ，sinθ)知，点P可看成圆O: x
2+ y
2=1上的动点，
于是求点 P(cosθ，sinθ) 到直线 kx −y −3k + 4 =0 的距离最值可通过求圆心到直线的距离得到.
如图知当直线l与圆相交时，P(cosθ，sinθ) 到直线 kx −y −3k + 4 =0 的距离最小值为dmin=0，
要使点P到直线l距离最大，需使圆心O(0,0)到直线l距离最大，
又因直线l过定点A(3,4)，故当且仅当l⊥OA时距离最大，（若直线l与OA不垂直，则过点O作直线l的垂
线段长必定比OA短）
此时|OA |=5，故点P到直线l距离的最大值为dmax=|OA |+r =5+1=6，即d的最大值与最小值之差为
40
6−0=6.
故选：D.
变式2.（23-24 高二上·江苏南京·开学考试）已知圆C：(x −3)
2+( y −4)
2=1，直线2 x−y −12=0上点P，
过点P作圆C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），则四边形PACB面积的最小值为 .
【答案】√19
【分析】根据勾股定理可得|PB|min=√20−1=√19，即可根据面积公式即可求解.
【详解】
四边形PACB的面积S =CB⋅PB = PB,
当CP与直线垂直时，此时CP取最小值，故最小值为|6−4−12|
√4+1
=2√5，
又半径r =1，所以|PB|min=√20−1=√19，则四边形PACB面积的最小值为√19.
故答案为：√19
变式3 ．（23-24 高二上· 江苏南京· 开学考试）设圆C1：x
2+ y
2−10 x + 4 y +25=0与圆C2：
x
2+ y
2−6 x +8=0，点A，B分别是C1，C2上的动点，M为直线y = x +1上的动点，则|MA|+|MB|的最
小值为（ ）
A．2√2+3
B．3−2√2
C．6√2−3
D．6√2+3
【答案】C
【分析】分析发现两圆心C1和C2的连线恰好垂直于直线y = x +1，从而得出当M与C1和C2共线时
|MA|+|MB|最小，从而得解.
【详解】
41
因为圆C1：x
2+ y
2−10 x + 4 y +25=0的标准方程为(x−5)
2+( y +2)
2= 4；
圆C2：x
2+ y
2−6 x +8=0的标准方程为：(x−3)
2+ v
2=1
所以C1和C2的圆心坐标分别为(5,−2)、(3,0)，半径r1=2，r2=1，
所以直线C1C2的斜率k = 0−(−2)
3−5
=−1，而直线y = x +1的斜率为1
所以直线C1C2与直线y = x +1垂直，如图，
所以当M与C1和C2共线时最小，此时MA + MB= M C1−r1+ M C2−r2，
又此时M C1=|5+2+1|
√2
= 4√2，M C2=|3−0+1|
√2
=2√2，
所以|MA|+|MB|最小值为4√2−2+2√2−1=6√2−3.
故选：C
变式4．（多选）（23-24 高二上·江苏南京·开学考试）已知圆O: x
2+ y
2= 4，直线l1: x cosθ+ y sinθ = 4与
l2: x sinθ−y cosθ =1，下列结论正确的是（ ）
A．直线l1，l2不可能平行
B．直线l1与圆O相切
C．直线l2与圆O截得弦长为2√3
D．l1⊥l2
【答案】ACD
【分析】根据l1∥l2⇔¿结合cos
2θ+sin
2θ =1，利用点到直线的距离公式求解，利用2√r
2−d
2计算，利用
A1 A2+ B1B2=0即可判断．
【详解】A．由¿得直线l1，l2不可能平行，故A 正确；
B．圆O: x
2+ y
2= 4的圆心为(0,0)，半径为2，所以圆心到直线l1的距离为
|0+0−4|
√sin
2θ+cos
2θ
= 4>2，所以直
线l1与圆O相离，故B 错误；
C．直线l2到圆心的距离为
|0+0−1|
√sin
2θ+cos
2θ
=1<2，
所以直线l2与圆O截得弦长为2√4−1=2√3，故C 正确；
D．∵sinθcosθ−cosθsinθ =0，故l1⊥l2，故D 正确．
故选：ACD．
42
变式5．（24-25 高三上·河北邢台·开学考试）已知实数a,b满足a
2+b
2=2a−2b，则3−b
a+1 的最大值为
.
【答案】7
【分析】依题意可得(a−1)
2+(b+1)
2=2，从而得到点(a,b)在圆(x−1)
2+( y +1)
2=2上，再由
b−3
a−(−1)表
示点(a,b)与点P(−1,3)连线的斜率，结合图象及直线与圆的位置关系求出b−3
a−(−1)的最值，即可得解.
【详解】因为a
2+b
2=2a−2b，所以(a−1)
2+(b+1)
2=2，
所以点(a,b)在圆(x−1)
2+( y +1)
2=2上，其中圆心为(1,−1)，半径为√2，
又3−b
a+1 =−
b−3
a−(−1)，其中b−3
a−(−1)表示点(a,b)与点P(−1,3)连线的斜率，
又(−1−1)
2+(3+1)
2>2，所以点P(−1,3)在圆外，
由图可知，当直线与圆相切时，b−3
a−(−1)取得最值，设过点P(−1,3)的直线l的方程为y −3=k (x +1)，
即kx−y + k +3=0，则d =|k +1+k +3|
√1+k
2
=√2，解得k =−1或k =−7，
即b−3
a−(−1)的最大值为−1，最小值为−7，
所以3−b
a+1 的最大值为7.
故答案为：7
变式6．（2023·江西上饶·模拟预测）直线2 x⋅sinθ+ y =0被圆x
2+ y
2−2√5 y +2=0截得最大弦长为
43
．
【答案】2√2
【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案.
【详解】由已知，圆的标准方程为x
2+( y −√5)
2=3，圆心为(0,√5)，半径r =√3，
圆心到直线2 x⋅sinθ+ y =0的距离d =
√5
√4 sin
2θ+1
<√3，解得sin
2θ> 1
6，
所以弦长为2√r
2−d
2=2√
3−
5
4 sin
2θ+1
，因为5
3 <4 sin
2θ+1≤5，
所以1≤
5
4 sin
2θ+1
<3，所以弦长2√r
2−d
2=2√
3−
5
4 sin
2θ+1
∈(0,2√2]，
当4 sin
2θ+1=5即sin
2θ =1时，弦长有最大值2√2.
故答案为：2√2.
变式7．（24-25 高三上·北京·开学考试）已知直线x−y +m=0与圆C : x
2+ y
2+ 4 x−2 y =0相交，能说明
“直线x−y +m=0截圆C : x
2+ y
2+ 4 x−2 y =0所得弦长不小于2√3”是假命题的一个m的值为 ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】根据题意，利用直线与圆的位置关系和圆的弦长公式，列出不等式，求得实数m取值范围，进而
得到答案.
【详解】由圆C : x
2+ y
2+ 4 x−2 y =0，可得圆心C(−2,1)，半径为r =√5，
因为直线x−y +m=0与圆C相交，可得d =|−2−1+m|
√1
2+(−1)
2 <√5，
解得3−√10<m<3+√10，
又由“直线x−y +m=0截圆C : x
2+ y
2+ 4 x−2 y =0所得弦长不小于2√3”是假命题，
可得“直线x−y +m=0截圆C : x
2+ y
2+ 4 x−2 y =0所得弦长小于2√3”是真命题，
则满足2√r
2−d
2<2√3，即√5−d
2<3，解得d >√2，
可得d =|−2−1+m|
√1
2+(−1)
2 >√2，解得m<1或m>5，
综上可得，3−√10<m<1或5<m<3+√10，
44
即实数m的取值范围为(3−√10,1)∪(5,3+√10)，
所以一个实数m的为可以为0.
故答案为：0（答案不唯一）.
一、单选题
1．（23-24 高二下·湖北武汉·期中）若圆C 的圆心为(1,2)，且被x 轴截得弦长为4，则圆C 的方程为
（ ）
A．x
2+ y
2−2 x−4 y −3=0
B．x
2+ y
2−2 x−4 y +1=0
C．x
2+ y
2−2 x + 4 y −3=0
D．x
2+ y
2−2 x + 4 y +1=0
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，利用垂径定理可求得BD，继而求出圆的半径，写出圆的方程.
【详解】
如图，过点C作CD⊥AB于D，依题意，BD = 1
2 AB =2,因C (1,2),故CD =2，
从而，圆的半径为：BC =√2
2+2
2=2√2,
故所求圆的方程为：( x −1)
2+( y −2)
2=8，即x
2+ y
2−2 x−4 y −3=0.
故选：A.
2．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）已知直线ax +by +1=0与圆(x +1)
2+ y
2=1相切，则b
2+2a的值
（ ）
45
A．与a 有关，与b 有关B．与a 有关，与b 无关
C．与a 无关，与b 有关D．与a 无关，与b 无关
【答案】D
【分析】先求得圆的圆心坐标为(−1,0)和半径为1，结合题意圆心到直线的距离等于半径，即|−a+1|
√a
2+b
2 =1，
化简即可得到答案.
【详解】圆(x +1)
2+ y
2=1的圆心坐标为(−1,0)，半径为1，
因为直线ax +by +1=0与圆(x +1)
2+ y
2=1相切，
则圆心到直线的距离等于半径，即|−a+1|
√a
2+b
2 =1，
化简得a
2−2a+1=a
2+b
2，可知b
2+2a=1，
故选：D.
3．（23-24 高二下·河南·阶段练习）若直线x + y +2=0与圆M :(x−a)❑
2+( y −a)❑
2=8a❑
2(a>0)相切
则圆M的半径为（ ）
A．2
B．4
C．2√2
D．8
【答案】C
【分析】由圆心到直线的距离等于半径列方程即可得解.
【详解】依题意，|a+a+2|
√2
=|2√2a|，解得a=1（负值舍），所以圆M的半径为2√2.
故选:C.
4．（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O 作圆C : x
2+ y
2−4 x−4 y + 4 =0的两条切线OA，OB，切点分
别为A，B，则|AB|=（ ）
A．√2
B．2
C．2√2
D．4
【答案】C
【分析】由圆的标准方程作出圆的图形，易得切点坐标，利用两点之间距离公式计算即得.
【详解】
46
如图，由圆C :(x−2)
2+( y −2)
2= 4可得x 轴，y 轴，即是过点O 的切线，
所以切点为A (2,0)，B (0,2)，故|AB|=2√2．
故选：C.
5．（2024·河南南阳·模拟预测）若圆C :( x−a)
2+( y −4 a)
2= 4被直线l:3 x−y +2=0平分，则a=
（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【答案】D
【分析】由题设，将圆心坐标代入直线方程即可求解.
【详解】由题意得圆心(a,4 a)在直线l:3 x−y +2=0上，
则3a−4 a+2=0，解得a=2.
故选：D.
6．（23-24 高三上·浙江嘉兴·期末）已知直线l:√3 x + y −1=0与圆O：x
2+ y
2=1相交于A，B 两点，则
∠AOB =（ ）
A．π
2
B．2π
3
C．3 π
4
D．5 π
6
【答案】B
【分析】求得圆心为O到直线l:√3 x + y −1=0的距离，求出弦长，计算即可得出结果.
【详解】因为圆心为O到直线l:√3 x + y −1=0的距离为：d =
1
√1+3 = 1
2，
所以|AB|=2√r
2−d
2=√3
所以∠OAB =∠OBA =π
6 ,即∠AOB = 2π
3 .
故选：B
47
7．（23-24 高二上·广东深圳·期末）若直线l:mx +ny −1=0圆x
2+ y
2+2 x =0相切，则原点O到直线l距离
的最大值为（ ）
A．√3
B．2
C．2√2
D．1
【答案】B
【分析】原点O在圆上，到切线的最大距离等于圆的直径.
【详解】圆x
2+ y
2+2 x =0，即(x +1)
2+ y
2=1，圆心坐标(−1,0)，半径为1，
直线l:mx +ny −1=0与圆相切，则圆心到直线距离等于半径1，
原点O在圆上，所以原点O到直线l距离的最大值为1+1=2.
故选：B
8．（23-24 高二上·上海·期末）已知圆C : x
2+ y
2−2 x−1=0，当圆心C 到直线l: y =kx +3的距离最大时，
实数k的值是（ ）
A．−1
3
B．1
3
C．－3
D．3
【答案】B
【分析】圆心C(1,0)，半径r =√2，直线l恒过定点P(0,3)，当直线l与PC垂直时，圆心C到直线l的距离
最大，由斜率公式求得PC的斜率，再由垂直关系可得答案．
【详解】因为圆C的方程为：x
2+ y
2−2 x−1=0，化为标准方程得：( x −1)
2+ y
2=2，
所以圆心为C(1,0)，半径r =√2，
直线l: y =kx +3恒过定点P(0,3)，
当直线l与PC垂直时，圆心C到直线l的距离最大，
由斜率公式得直线PC的斜率为：3−0
0−1 =−3，
由垂直关系的斜率公式得：k ⋅(−3)=−1，解得k = 1
3，
故选：B．
二、多选题
9．（24-25 高二上·广西·开学考试）对于直线l:(m−2) x + y −2m+1=0与圆C : x
2+ y
2−6 x−4 y + 4 =0，
下列说法不正确的是（ ）
A．l过定点(2,3)
B．C的半径为9
48
C．l与C可能相切
D．l被C截得的弦长最小值为2√7
【答案】BC
【分析】根据含参直线方程求定点坐标判断A；把圆的方程化为标准方程求得圆的半径判断B；判断直线
过的定点在圆内判断C；当l与点(2,3)和圆心(3,2)的连线垂直时，l被C截得的弦长最小，计算可求弦长的
最小值判断D.
【详解】(m−2) x + y −2m+1=0可变形为(x−2)m−2 x + y +1=0，
由¿，得¿，所以直线l过定点(2,3)，故A 正确；
圆C : x
2+ y
2−6 x−4 y + 4 =0的标准方程为( x−3)
2+( y −2)
2=9，半径为3，故B 不正确；
由(2−3)
2+(3−2)
2=2<9，所以点(2,3)在圆C的内部，
所以l与C相交，不会相切，故C 不正确；
当l与点(2,3)和圆心(3,2)的连线垂直时，l被C截得的弦长最小.
因为点(2,3)和圆心(3,2)连线的斜率为3−2
2−3 =−1，所以−m−2
1
=1，解得m=1，
此时l的方程为x−y +1=0，因为圆心(3,2)到直线l的距离d =|3−2+1|
√1
2+1
2 =√2，
所以弦长为2√9−(√2)
2=2√7，故D 正确.
故选：BC.
10．（23-24 高二下·福建厦门·期末）已知直线x + y −4 =0与圆O：x
2+ y
2=r
2有公共点，则半径r可以是
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】CD
【分析】根据直线与圆相交或相切，则圆心到直线的距离d ≤r，可解问题.
【详解】圆x
2+ y
2=r
2的圆心坐标为(0,0)，半径为r，
由于直线x + y −4 =0与圆x
2+ y
2=r
2有公共点，
则|−4|
√2 ≤r，解得r ≥2√2，
由于3
2>8=(2√2)
2，所以符合条件的选项为C、D.
49
故选：CD.
11．（23-24 高二下·安徽芜湖·期末）已知直线l: y =kx−k，圆C : x
2+ y
2= 4，则下列结论正确的有
（ ）
A．直线l过定点(1,0)
B．直线l与圆C恒相交
C．直线l被圆C截得的弦长最短为4
D．若直线l被圆C截得的弦长为√14，则k =±1
【答案】ABD
【分析】利用直线的点斜式方程可判断A；利用定点与圆的位置关系可判断B；根据定点为弦的中点时，
直线l被圆C截得的弦长最短可判断C；利用弦长公式可判断D.
【详解】对于A，直线l: y =kx−k，即y =k (x−1)，则直线恒过定点(1,0)，故A 正确；
对于B，因为1
2+0
2=1<4，所以定点(1,0)在圆C : x
2+ y
2= 4内部，所以直线l与圆C恒相交，故B 正确；
对于C，直线l与x轴垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时l: x =1，
直线l被圆C截得的弦长为2√4−1
2=2√3，故C 错误；
对于D，直线l:kx−y −k =0，圆心C到直线l的距离d = |−k|
√k
2+1
=√
2
2−(
√14
2 )
2
，
得k =±1，故D 正确.
故选：ABD
三、填空题
12．（24-25 高二上·全国·单元测试）已知圆C与直线y =−x及x + y −4 =0相切，圆心在直线y = x上，则
圆C的标准方程为 ．
【答案】(x−1)
2+( y −1)
2=2
【分析】假设圆心的坐标，根据相切，列出方程求解即可得到圆心，进而可以求出半径.
【详解】根据题意设圆心坐标为(a,a)，
∵圆C与直线y =−x及x + y −4 =0都相切，
∴圆心到两直线y =−x及x + y −4 =0的距离相等，
即|2a|
√2 =|2a−4|
√2
，解得a=1，
50
∴圆心坐标为(1,1)，R = 2
√2 =√2，
∴圆C的标准方程为(x−1)
2+( y −1)
2=2．
故答案为：(x−1)
2+( y −1)
2=2.
13．（23-24 高二下·河南南阳·期末）已知点P(x , y)在圆x
2+ y
2−2 x + 4 y + 4 =0上运动，则x
y 的最小值是
【答案】−4
3
【分析】确定圆心和圆的半径，再根据x
y 的几何意义数形结合即可得到x
y 的最小值的情况进而求解即可.
【详解】由x
2+ y
2−2 x + 4 y + 4 =0得( x−1)
2+( y +2)
2=1，
故圆的圆心为(1,−2)，半径为1，当P(0,−2)时，x
y =
0
−2−0 =0，
当P(x , y)(x≠0)时，
x
y = x−0
y −0 =
1
y −0
x−0
= 1
kOP，
如图可知kOP<0，故此时x
y 的最小值是直线OP斜率k的最大值的倒数，
令y =kx，即kx−y =0，则圆心到该直线的距离满足d = |k +2|
√k
2+1
=1，
两边平方整理得4 k +3=0，解得k =−3
4 ，故此时x
y 的最小值是−4
3 ，
又−4
3 <0，故x
y 的最小值为−4
3 .
故答案为：−4
3 .
51
14．（23-24 高二上·浙江宁波·期末）若直线l与单位圆和曲线x
2
4 −y
2
3 =1均相切，则直线l的方程可以是
.（写出符合条件的一个方程即可）
【答案】y =± 2√3
3
x ± √21
3 （写出符合条件的一个方程即可）
【分析】设直线方程为：y =kx +b，根据直线l与单位圆和曲线x
2
4 −y
2
3 =1均相切，方程联立，由判别式为
零求解.
【详解】解：易知直线的斜率存在，设直线方程为：y =kx +b，
由¿消去y 得：(1+ k
2) x
2+2kbx +b
2−1=0，
则Δ1= 4 k
2b
2−4(1+ k
2)(b
2−1)=0，化简得b
2=1+ k
2，
由¿，消去y 得：(3−4 k
2) x
2−8kbx −4 b
2−12=0，
则Δ2=64 k
2b
2−4(3−4 k
2)(−4 b
2−12)=0，化简得b
2=16k
2−4，
由¿，解得b
2= 7
3 ,k
2= 4
3 ，则k =± 2√3
3
,b=± √21
3 ，
所以直线方程为：y =± 2√3
3
x ± √21
3 ，
故答案为：y =± 2√3
3
x ± √21
3 （写出符合条件的一个方程即可）
四、解答题
15．（11-12 高二上·浙江衢州·期末）已知关于x , y的方程C：x
2+ y
2−2 x−4 y +m=0．
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)若圆C 与直线l: x +2 y −4 =0相交于M , N两点，且| MN |= 4
√5，求m的值．
【答案】(1)m<5
(2)m= 4
【分析】（1）直接利用圆的一般式的条件求解即可；
（2）利用弦长公式计算参数即可.
【详解】（1）由圆的一般方程性质可知：(−2)
2+(−4)
2−4 m>0
52
解得m<5，
所以当m<5时，方程C表示圆.
（2）由x
2+ y
2−2 x−4 y +m=0，得(x−1)
2+( y −2)
2=5−m，
所以该圆圆心为(1,2)，半径r =√5−m
所以圆心到直线l: x +2 y −4 =0的距离d =|1+ 4−4|
√1
2+2
2 = √5
5
根据弦长公式可知：r
2=d
2+(
|MN|
2 )
2
⇒5−m= 1
5 + 4
5
解得m= 4.
16．（23-24 高二上·北京西城·期中）已知圆C的圆心在直线2 x−y =0上，且与x轴相切于点(1,0).
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C直线l: x−y +m=0交于A，B两点，____，求m的值.
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长比为2:1；
条件②：| AB|=2√2；
条件③：∠ACB =90°.
【答案】(1)(x−1)
2+( y −2)
2= 4
(2)答案见解析
【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；
（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.
【详解】（1）设圆心坐标为C (a,b)，半径为r.
由圆C的圆心在直线2 x−y =0上，知：2a=b.
又∵圆C与x轴相切于点(1,0)，
∴a=1，b=2，则r =|b−0|=2.
∴圆C圆心坐标为(1,2)，则圆C的方程为(x−1)
2+( y −2)
2= 4
（2）如果选择条件①：∠ACB =120°，而|CA|=|CB|=2，
∴圆心C到直线l的距离d =|CA|×cos60
∘=1，
53
则d =|1−2+m|
√1+1
=1，
解得m=√2+1或−√2+1.
如果选择条件②和③：|AB|=2√2，而|CA|=|CB|=2，
∴圆心C到直线l的距离d =√|CA|
2−|
1
2 AB|
2
=√2，
则d =|1−2+m|
√1+1
=√2，
解得m=−1或3.
如果选择条件③：∠ACB =90°，而|CA|=|CB|=2，
∴圆心C到直线l的距离d =|CA|×cos 45
∘=√2，
则d =|1−2+m|
√1+1
=√2，
解得m=−1或3.
17．（24-25 高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 8
3 的圆C 的圆心在 y 轴的正半轴上，且直线
12 x−9 y −1=0与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程．
(2)若 M (x , y)是圆C 上任意一点，求（x +3）
2+（y −1
3 ）
2的取值范围
(3)已知A (0,−1)，P为圆C上任意一点，试问在y 轴上是否存在定点B（异于点A），使得|PB|
|PA|为定值？
若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)x
2+( y −13
3 )
2
= 64
9
(2)[
49
9 , 529
9 ]
(3)存在，B (0,3)
【分析】（1）由题意圆心坐标为(0,b)(b>0)，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径，从
而可得出答案.
（2）若 M (x , y)是圆C 上任意一点，则（x +3）
2+（y −1
3 ）
2表示圆上任意一点到点D(−3, 1
3)距
54
离的平方，画出图可知最大值为|DB|
2=(|DC|+r)
2，最小值为|DA|
2=(|DC|−r)
2，然后求解取值范围即可.
（3）设B (0,m)(m≠−1)，P(x , y)，分别表示出|PB|,|PA|，由|PB|
|PA|为定值得出答案.
【详解】（1）依题可设圆心坐标为(0,b)(b>0)，
则圆C的方程为x
2+( y −b)
2= 64
9 ，
因为直线12 x−9 y −1=0与圆C相切，
所以点C (0,b)到直线12 x−9 y −1=0的距离d =|−9b−1|
√12
2+9
2 = 8
3 ，
因为b>0，所以b= 13
3 ，故圆C的标准方程为x
2+( y −13
3 )
2
= 64
9 .
（2）
若 M (x , y)是圆C 上任意一点，
则（x +3）
2+（y −1
3 ）
2表示圆上任意一点到点D(−3, 1
3)距离的平方，
所
以
（x +3）
2+（y −1
3 ）
2的
最
大
值
为
|DB|
2=(|DC|+r)
2=(√
(0−3)
2+(
13
3 −1
3)+ 8
3)
2
=(5+ 8
3)
2
=(
23
3 )
2
= 529
9
，
（x +3）
2+（y −1
3 ）
2的最小值为：
|DA|
2=(|DC|−r)
2=(√
(0−3)
2+(
13
3 −1
3)−8
3)
2
=(5−8
3)
2
=(
7
3)
2
= 49
9
，
所以（x +3）
2+（y −1
3 ）
2的取值范围为：[
49
9 , 529
9 ]
55
（3）假设存在定点B，设B (0,m)(m≠−1)，P(x , y) ，
则x
2= 64
9 −( y −13
3 )
2
=−y
2+ 26
3 y −35
3 ，
则
|PB|
|PA| = √x
2+( y −m)
2
√x
2+( y +1)
2 =√−y
2+ 26
3 y −35
3 +( y −m)
2
√−y
2+ 26
3 y −35
3 +( y +1)
2
=√
m
2−35
3 +(
26
3 −2m) y
√−32
3 + 32
3 y
，
当
m
2−35
3
−32
3
=
26
3 −2m
32
3
>0，即m=3，m=−1（舍去）时，|PB|
|PA|为定值，
且定值为1
2，故存在定点B，且B的坐标为(0,3).
18．（24-25 高二上·江苏南通·开学考试）根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：
(1)已知以点A (−1，2)为圆心的圆与直线l1: x +2 y +7＝0相切，过点B (−2,0)的动直线l与圆A 相交于
M , N，当|MN|=2√19时，求直线l的方程；
(2)以C (4 ,−3)为圆心的圆与圆x
2+ y
2= 4相切，求圆C的方程.
【答案】(1)3 x−4 y +6=0或x =−2
(2)(x −4)
2+( y +3)
2=9或(x −4)
2+( y +3)
2= 49
【分析】（1）分直线 l 的斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，然后利用弦长公式| AB|=√d
2−r
2求解
即可；
（2）分外切、内切两种情况，利用圆心之间的距离和半径之间的关系求解即可.
【详解】（1）易知A (−1,2)到直线x +2 y +7＝0的距离为圆A 半径r，
所以r =|−1×1+2×2+7|
√1
2+2
2
=2√5，则圆A 方程为(x +1)
2+( y −2)
2=20，
过A 做AQ⊥MN,由垂径定理可知∠MQA ＝90°，且|MQ|=√19，
在Rt △AMQ中由勾股定理易知|AQ|=√|AM|
2−|MQ|
2=√20−(√19)
2=1.
56
当动直线l斜率不存在时，设直线l的方程为x =−2，
经检验圆心到直线l的距离为1，且根据勾股定理可知|MN|=2√19，
显然x =−2合题意，
当动直线l斜率存在时，l过点B (−2,0)，设l方程为：y =k (x +2)，
由A (−1,2)到l距离为1知|−k +2k −2|
√1+ k
2
=1得k = 3
4 ，
代入解之可得3 x−4 y +6=0，
所以3 x−4 y +6=0或x =−2为所求l方程．
（2）两圆的圆心之间的距离为√4
2+(−3)
2=5.
当两圆外切时，圆C的半径为5−2=3；
当两圆内切时，圆C的半径为5+2=7.
∴圆C的方程为(x−4)
2+( y +3)
2=9或(x−4)
2+( y +3)
2= 49.
故答案为：(x−4)
2+( y +3)
2=9或(x−4)
2+( y +3)
2= 49.
19．（23-24 高二上·福建泉州·期中）已知圆C：x
2+ y
2−2 y −4 =0，直线l：mx−y +1−m=0.
(1)设l 与圆C 交于不同的两点A，B，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；
(2)若定点P(1,1)分弦AB 为AP
PB = 1
2，求此时直线l 的方程.
【答案】(1)x
2+ y
2−x−2 y +1=0(x≠1)
(2)x−y =0或x + y −2=0
【分析】（1）设M (x , y)，根据已知列式|CM|
2+|MP|
2=|CP|
2化简，即可得解；
（2）联立方程组应用韦达定理结合向量关系求出直线方程.
【详解】（1）∵直线l：mx−y +1−m=0过定点P(1,1)，斜率一定存在，
而P(1,1)在圆C：x
2+ y
2−2 y −4 =0内，
∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点；
57
圆C：x
2+ y
2−2 y −4 =0的圆心为C (0,1)，
所以M 与P 不重合时，连接CM，CP，则CM ⊥MP，
∴|CM|
2+|MP|
2=|CP|
2.
设M (x , y)(x≠1)，则x
2+( y −1)
2+(x−1)
2+( y −1)
2=1，
化简得：x
2+ y
2−x−2 y +1=0(x≠1)；
（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由AP
PB = 1
2，得⃗AP = 1
2⃗PB，
∴1−x1= 1
2 (x2−1)，化简得x2=3−2 x1，①
又由¿，消去y 得(1+m
2) x
2−2m
2 x +m
2−5=0 (*).
∴x1+ x2= 2m
2
1+m
2，②
由①②解得x1= 3+m
2
1+m
2，代入（*）解得m=±1.
∴直线l 的方程为x−y =0或x + y −2=0.
