1
2.3.3 直线与圆的位置关系
课程标准
学习目标
1.理解直线与圆的三种位置关系:
2.能根据方程判断直线与圆的位置关系;
3.掌握判断直线与圆位置关系的两种方法，
体验数形结合思想在解决问题中的应用。
1.重点:①能根据给定直线、圆的方程，判断直线和
圆的位置关系、
②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
2.难点:数形结合思想方法的灵活应用直线和圆的三
种位置关系的性质与判定的应用。
知识点01 直线与圆的位置关系
直线Ax＋By＋C＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2 个
1 个
0 个
判定
方法
几何法：设圆心到直
线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由
消元得到一元二次方
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
2
程根的判别式Δ
图形
【即学即练1】（22-23 高二上·新疆喀什·期末）直线y = x +1与圆x
2+ y
2=1的位置关系为（ ）
A．相切
B．相交但直线过圆心
C．相交但直线不过圆心D．相离
【即学即练2】(多选)（22-23 高二上·甘肃金昌·期末）下列直线中，与圆x
2+ y
2= 4相切的有（ ）
A．x + y =2
B．√3 x + y −4 =0
C．x + y =2√2
D．x−√3 y +8=0
知识点02 圆的切线
1.过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x ＋
y 0y ＝
r 2 .
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是( x 0－
a )( x －
a ) ＋
( y 0－
b )( y －
b ) ＝
r 2 .
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率
k，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
【即学即练3】（23-24 高三上·湖北武汉·期末）若点A (0,1)在圆C :(x −1)
2+ y
2=r
2(r >0)上，则过A的圆
的切线方程为 .
【即学即练4】（23-24 高三上·浙江·阶段练习）过圆x
2+ y
2=1
上点P(−√2
2 , √2
2 )
的切线方程为
．
知识点03 切线长
1.从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 .
2.两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2 倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，
即b＝.
【即学即练5】（22-23 高二上·重庆北碚·阶段练习）过点A (2,3)作圆M : x
2+ y
2=1的一条切线，切点为
B，则|AB|=（ ）
A．3
B．2√3
C．√7
D．√10
【即学即练6】（24-25 高二上·全国·课前预习）如图，直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长
的最小值= ．
3
知识点04 圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2.
(2)代数法：若直线y＝kx＋b 与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
【即学即练7】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知圆C :(x−2)
2+ y
2= 4
，直线l: y =−x +1被圆C 截得的弦长
为
.
【即学即练8】（22-23 高二上·河北保定·期末）直线l: x−y +1=0与圆C : x
2+ y
2−2 x−3=0交于A ,B两
点，则△AOB的面积为（ ）
A．√3
B．2
C．2√2
D．√3
2
难点：最值问题
示例1：（24-25 高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线1−x =√4−y
2，则√x
2+( y −4)
2的最大值，最小值分别为（
）
A．√17＋2，√17－2
B．√17＋2，√5
C．√37，√17－2
D．√37，√5
4
【题型1：直线与圆有关的位置关系】
例1．（24-25 高三上·四川成都·开学考试）在同一平面直角坐标系中，直线mx −y +1=0(m∈R)与圆
x
2+ y
2=2的位置不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．（23-24 高二下·云南曲靖·期末）已知圆C :( x−2)
2+ y
2=16，直线l:mx + y −3m−1=0，则下列
结论中正确的是（ ）
A．直线l恒过定点(2,1)
B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C相交
D．直线l与圆C相离
变式2．（24-25 高二上·上海·单元测试）直线x−√3 y =0绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l 与圆
(x −2)
2+ y
2=3的位置关系是（ ）
A．直线l 过圆心
B．直线l 与圆相交，但不过圆心
C．直线l 与圆相切
D．直线l 与圆无公共点
5
变式3.（23-24 高三下·浙江金华·阶段练习）设直线l: x−2 y −a
2=0
，圆C :(x−1)
2+( y −2)
2=1
，则l 与圆
C（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上都有可能
变式4 ．（2007 高二· 全国· 竞赛）直线y = √3
3 x绕原点逆时针方向旋转30° 后，所得直线与圆
(x −2)
2+ y
2=3的位置关系为（ ）
A．直线过圆心
B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切
D．直线与圆没有公共点
变式5.（10-11 高二上·湖南益阳·阶段练习）如果直线ax +by −1=0与圆x
2+ y
2=1有两个不同的交点，则
点P(a,b)与圆的位置关系为（ ）
A．P 在圆外
B．P 在圆上
C．P 在圆内
D．P 与圆的位置不确定
变式6.(多选)（2024·全国·模拟预测）已知直线l:mx +ny −r
2=0与圆C : x
2+ y
2=r
2，点P(m,n)，则下列
命题中是假命题的是（ ）.
A．若点P在圆C外，则直线l与圆C相离
B．若点P在圆C内，则直线l与圆C相交
C．若点P在圆C上，则直线l与圆C相切
D．若点P在直线l上，则直线l与圆C相切
变式7．（2024·四川泸州·三模）动直线l：mx + y −2m−1=0被圆C：x
2+ y
2+2 x−25=0截得弦长的最
小值为 ．
【方法技巧与总结】
一.直线与圆相交的性质，
如图，直线l 与圆C 相交与A,B，半径为r，弦AB 的中点为D，则
1. 点C 到直线l 的距离d=|CD，称为弦心距；
2. CD⊥l;
3. |
| AD|
2+d
2=r
2,| AB|=2√r
2−d
2
二.直线与圆相切的性质
如图，直线l 与圆C 相切，切点为P，半径为r.则
（1）CP⊥l；
（2）点C 到直线l 的距离d=|CP|=r；
（3）切点P 在直线l 上，也在圆上.
6
【题型2：由直线与圆的位置关系求参数】
例2．（24-25 高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线l：x
a + y
a =1及圆C：x
2+ y
2−6 x−2 y +2=0，则“
a=8”是“直线l 与圆C 相切”的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
变式1．（24-25 高二上·江苏徐州·阶段练习）直线y = x +b与曲线x =√1−y
2恰有1 个交点，则实数b的取
值范围是（ ）
A．−1<b≤1
B．−√2≤b≤1
C．−√2<b≤−1
D．−1<b≤1或b=−√2
变式2．（2024·全国·模拟预测）若直线mx +ny =1与圆x
2+ y
2=1有交点，则（ ）
A．m
2+n
2⩾1
B．m
2+n
2⩽1
C．m
2+n
2>1
D．m
2+n
2<1
变式3．（23-24 高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线y =k( x +2)与曲线y =√1−x
2有公共点，则实数k
的取值范围是（ ）
A．[−√3
3 , √3
3 ]
B．[0, √3
3 ]
C．[−√3
3 ,0]
D．[−√3,√3]
变式4.（22-23 高二上·河北保定·期末）在直角坐标系xOy中，A (2,0)，B (0,2)，且圆M是以AB为直径的
圆.
(1)求圆M的标准方程；
(2)若直线y =kx +2与圆M相切，求实数k的值.
变式5.（2025·江苏苏州·模拟预测）过原点的圆的圆心为(−sin3,cos3)，则原点处与圆相切的直线的倾斜
角为（ ）
A．3
B．π-3
C．3 π −6
2
D．6−π
2
变式6.（23-24 高二下·云南昆明·阶段练习）过点P(−2,4)作圆O:( x −2)
2+( y −1)
2=25的切线l，直线
7
m:4 x−by =0与直线l平行，则直线l与m的距离为（ ）
A．4
B．2
C．8
5
D．12
5
变式7.（2024 高三·全国·专题练习）设过点P(0,−√5)与圆C : x
2+ y
2−4 x−1=0相切的两条直线的夹角
为α，则cosα =（ ）
A．1
9
B．4√5
9
C．−1
9
D．−4√5
9
【题型3：圆的切线问题】
例3．（2024 高三·全国·专题练习）圆C :(x −1)
2+ y
2= 4
在点P(0,√3)处的切线方程为 .
变式1．（2024 高三·全国·专题练习）已知圆C :(x −1)
2+ y
2=2
外一点P(2,2)，过点P 作圆C 的两条切线，
切点分别为A 和B，则直线AB的方程为
变式2.（24-25 高三上·四川成都·开学考试）已知点P在圆( x−5)
2+( y −5)
2=16上，点A (4,0),B (0,2)，
当∠PBA最小时，|PB|= .
变式3.（22-23 高二上·四川成都·阶段练习）已知圆C 的方程为：( x +1)
2+ y
2= 4；
(1)过点P(1,3)作圆的切线，求切线l的方程.
(2)已知圆C 上有2 个点到直线l：x +my +2=0的距离为1，求m 的取值范围.
变式4.（23-24 高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：
(1)求过点A (3,5)且与圆O: x
2+ y
2−2 x−4 y +1=0相切的直线方程；
(2)求圆心在直线3 x−y =0上，与x轴相切，且被直线x−y =0截得的弦长为2√7的圆的方程.
变式5.（23-24 高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2 的圆C的圆心在射线y = x( x>0)上，点A(−1,1)
在圆C上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点B(−1,0)且与圆C相切的直线方程．
变式6.（23-24 高二上·江苏常州·阶段练习）实数x , y满足( x−1)
2+( y −1)
2=2，则y +2
x
的取值范围是
（ ）
A．[−7,1]
B．[−1,7]
C．(−∞,−7]∪[1,+∞)
D．(−∞,−1]∪[7,+∞)
变式7.(多选)（23-24 高二下·广西桂林·期末）直线l：y = x +m，圆C：x
2+ y
2−2 x =0，下列结论正确的
8
是（ ）
A．直线l 的倾斜角为π
3
B．圆C 的圆心坐标为（1，0）
C．当m=√2−1时，直线l 与圆C 相切
D．当m∈(−√2−1,√2−1)时，直线l 与圆C 相交
【方法技巧与总结】
1.过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x ＋
y 0y ＝
r 2 .
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是( x 0－
a )( x －
a ) ＋
( y 0－
b )( y －
b ) ＝
r 2 .
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率
k，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
【题型4：弦长问题】
例4．（24-25 高三上·陕西·开学考试）由直线y = x +1上的一点向圆x
2+ y
2−6 x +8=0引切线，则切线段
的最小值为（ ）
A．3
B．2√2
C．√7
D．√6
变式1．（24-25 高二上·江苏徐州·阶段练习）圆x
2+ y
2−2 x−2 y −1=0的所有经过坐标原点的弦中最短
弦长为（ ）
A．√2
B．2
C．2√2
D．4
变式2．（24-25 高二上·江苏徐州·阶段练习）圆
(x −2)
2+ y
2= 4
与直线x−y −2+√2=0相交所得弦长为（
）
A．1
B．√2
C．2√3
D．2√2
变式3．（24-25 高二上·陕西西安·开学考试）直线l 过点(2,1)，且与圆C：
(x−2)
2+( y −4)
2=10
相交所形
成的长度为整数的弦的条数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
变式4．（22-23 高二下·北京延庆·期中）已知点P(−1
3 , 2
3)，圆C : x
2+ y
2= 4，则经过圆C内一点P且被圆
截得弦长最短的直线的方程为（ ）
A．3 x−6 y −5=0
B．3 x−6 y +5=0
C．x−y +1=0
D．6 x−3 y + 4 =0
9
变式5．（23-24 高二下·甘肃白银·期末）已知直线l:ax + y −a+2=0与圆C :( x−2)
2+( y +1)
2=9交于A,B
两点，则当弦AB最短时，直线l 的方程为（ ）
A．3 x + y +1=0
B．x +2 y +3=0
C．2 x + y =0
D．x + y +1=0
变式6．（21-22 高二下·全国·期末）设M 是圆C：
(x +2)
2+ y
2=16
上的动点，MN是圆的切线，且
|MN|=2√5，则点N 到点(4,8)距离的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．16
变式7.（23-24 高二下·北京海淀·期末）已知直线l: y =k (x +1)与⊙C :(x−1)
2+ y
2= 4
交于A、B两点，则
“k =±1”是“△ABC的面积取得最大值”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【方法技巧与总结】
解决有关弦长问题的常用方法及结论
几何法
如图所示，设直线l 被圆C 截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线
的距离为d，则有关系式：|AB|＝2
代数法
若斜率为k 的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|
yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0 时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在
时，|AB|＝|yA－yB|，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角
三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用
【题型5：与圆有关的对称问题】
例5 ．（24-25 高三上· 贵州· 开学考试）已知圆C : x
2+ y
2−4 x−6 y + 4 =0关于直线
l:ax +by −1=0(ab>0)对称，则1
2a + 1
3b
的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．6
D．4
变式1．（23-24 高二上·福建厦门·期中）若圆x
2+ y
2−ax +2 y +1=0与圆x
2+ y
2=1关于直线y = x−1对称
过点C(−a,a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A．x
2+ 4 x−4 y +8=0 B．y
2−2 x−2 y +2=0
C．y
2−2 x−y −1=0
D．y
2+ 4 x−4 y +8=0
10
变式2．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）过直线y =2 x−1上的一点P作圆C :( x +2)
2+( y −5)
2=1的两条
切线l1,l2，当直线l1,l2关于y =2 x−1对称时，|PC|=（ ）
A．2√2
B．2√3
C．4
D．2√5
变式3．（23-24 高二下·云南昆明·期中）已知圆x
2+ y
2+2 x−4 y +1=0关于直线x−y +t =0对称，则实数
t =（ ）
A．−3
B．1
C．−1
D．3
变式4．（23-24 高三下·浙江宁波·阶段练习）过直线y =3 x上的点P作圆C :( x +2)
2+( y −4)
2= 4的两条切
线l1,l2，当直线l1,l2关于直线y =3 x对称时，点P的坐标为（ ）
A．(
3
5 , 9
5)
B．(
6
5 , 18
5 )
C．(1,3)
D．(
3
2 , 9
2)
变式5.（23-24 高二上·贵州铜仁·期中）已知圆x
2−4 x + y
2−2 y =5关于直线2ax + y +b−3=0（a，b 为大
于0 的数）对称，则1
a + 1
b
的最小值为 ，此时直线方程为 ．
变式6.（24-25 高二上·上海·课后作业）已知圆x
2+ y
2+2 x−4 y +1=0关于直线2ax−by +2=0(a,b∈R)
对称，则下列结论正确的是 ．（填序号）
①圆x
2+ y
2+2 x−4 y +1=0的圆心是(−1,2)；②圆x
2+ y
2+2 x−4 y +1=0的半径是2；③a+b=1；④ab
的取值范围是(−∞, 1
4]．
变式7.（23-24 高二下·上海·期中）已知直线l:2 x + y −2=0，圆C :( x−1)
2+( y −2)
2= 4．
(1)求直线l与圆C相交所得的弦长；
(2)求圆C关于直线l对称所得的圆的方程．
【题型6：点与圆有关的最值问题】
例6．（23-24 高二上·辽宁鞍山·期中）若点P(x , y)在圆x
2+ y
2−4 y +1=0
上，则( x−1)
2+ y
2的最小值为
.
变式1.（23-24 高三上·河南驻马店·期末）若点P(x , y)是圆C:x
2+ y
2−8 x +6 y +16=0上一点,则x
2+ y
2的
最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
11
变式2.（23-24 高二上·山东泰安·期中）已知曲线x−1=√4−y
2，则√x
2+( y −4)
2的最大值，最小值分别
为（ ）
A．√17+2，√17−2
B．√17+2，√5
C．√37，√17−2
D．√37，√5
变式3. （2024· 山东枣庄· 一模）在平面直角坐标系xOy中，已知A (−3,0),B (1,0), P为圆
C :( x −3)
2+( y −3)
2=1上动点，则|PA|
2+|PB|
2的最小值为（ ）
A．34
B．40
C．44
D．48
变式4.（23-24 高二上·山东菏泽·阶段练习）在Rt△AOB中，∠BOA =90°，|OA|=8，|OB|=6，点P 为
它的内切圆C 上任一点，求点P 到顶点A ,B ,O的距离的平方和的最大值是 ，最小值是 ．
变式5.（22-23 高二上·重庆·期末）已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2,−2)，且圆心C 在直线
l: x−y +1=0上．
(1)求圆心为C 的圆的一般方程；
(2)已知P(2,1)，Q 为圆C 上的点，求|PQ|的最大值和最小值．
变式6.（2023 高二上·全国·专题练习）已知实数x，y 满足方程
(x −2)
2+ y
2=3
，求x
2+ y
2的最大值和最小
值．
变式7.（23-24 高二上·福建龙岩·期中）已知圆C的半径为2，且圆心在直线y = x上，点A (2,4)在圆C上，
点B (0,2)在圆C外.
(1)求圆C的圆心坐标；
(2)若点D在圆C上，求|BD|的最大值与最小值.
【方法技巧与总结】
圆上的点到直接距离最值:
1.把圆化成圆的标准方程
找出圆心
和半径r
2.利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离
12
3.判断位置关系
【题型7：直线与圆有关的最值问题】
例7 ．（23-24 高二下· 山西吕梁· 阶段练习）已知P 是圆O: x
2+ y
2=1上一动点，则点P 到直线
l:(2+ λ) x−(1+ λ) y −6−4 λ =0(λ∈R)的距离的取值范围为（ ）
A．[0,2√2−1]
B．[1,2√2+1]
C．[0,2√2+1]
D．[0,2√2+1)
变式1．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 d为点 P(cosθ，sinθ) 到直线
kx−y −3k + 4 =0 的距离， 则当 θ，k变化时， d的最大值与最小值之差为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
变式2.（23-24 高二上·江苏南京·开学考试）已知圆C：
(x−3)
2+( y −4)
2=1
，直线2 x−y −12=0上点P，
过点P作圆C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），则四边形PACB面积的最小值为 .
变式3 ．（23-24 高二上· 江苏南京· 开学考试）设圆C1：x
2+ y
2−10 x + 4 y +25=0与圆C2：
x
2+ y
2−6 x +8=0，点A，B分别是C1，C2上的动点，M为直线y = x +1上的动点，则|MA|+|MB|的最
小值为（ ）
A．2√2+3
B．3−2√2
C．6√2−3
D．6√2+3
变式4．（多选）（23-24 高二上·江苏南京·开学考试）已知圆O: x
2+ y
2= 4，直线l1: x cosθ+ y sinθ = 4与
l2: x sinθ−y cosθ =1，下列结论正确的是（ ）
A．直线l1，l2不可能平行
B．直线l1与圆O相切
C．直线l2与圆O截得弦长为2√3
D．l1⊥l2
变式5．（24-25 高三上·河北邢台·开学考试）已知实数a,b满足a
2+b
2=2a−2b，则3−b
a+1
的最大值为
.
变式6．（2023·江西上饶·模拟预测）直线2 x⋅sinθ+ y =0被圆x
2+ y
2−2√5 y +2=0截得最大弦长为
13
．
变式7．（24-25 高三上·北京·开学考试）已知直线x−y +m=0与圆C : x
2+ y
2+ 4 x−2 y =0相交，能说明
“直线x−y +m=0截圆C : x
2+ y
2+ 4 x−2 y =0所得弦长不小于2√3”是假命题的一个m的值为 ．
一、单选题
1．（23-24 高二下·湖北武汉·期中）若圆C 的圆心为(1,2)，且被x 轴截得弦长为4，则圆C 的方程为
（ ）
A．x
2+ y
2−2 x−4 y −3=0
B．x
2+ y
2−2 x−4 y +1=0
C．x
2+ y
2−2 x + 4 y −3=0
D．x
2+ y
2−2 x + 4 y +1=0
2．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）已知直线ax +by +1=0与圆
(x +1)
2+ y
2=1
相切，则b
2+2a
的值
（ ）
A．与a 有关，与b 有关B．与a 有关，与b 无关
C．与a 无关，与b 有关D．与a 无关，与b 无关
3．（23-24 高二下·河南·阶段练习）若直线x + y +2=0与圆M :(x−a)❑
2+( y −a)❑
2=8a❑
2(a>0)相切
则圆M的半径为（ ）
A．2
B．4
C．2√2
D．8
4．（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O 作圆C : x
2+ y
2−4 x−4 y + 4 =0的两条切线OA，OB，切点分
别为A，B，则|AB|=（ ）
A．√2
B．2
C．2√2
D．4
5．（2024·河南南阳·模拟预测）若圆C :( x −a)
2+( y −4 a)
2= 4被直线l:3 x−y +2=0平分，则a=
（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
6．（23-24 高三上·浙江嘉兴·期末）已知直线l:√3 x + y −1=0与圆O：x
2+ y
2=1相交于A，B 两点，则
14
∠AOB =（ ）
A．π
2
B．2π
3
C．3 π
4
D．5 π
6
7．（23-24 高二上·广东深圳·期末）若直线l:mx +ny −1=0圆x
2+ y
2+2 x =0相切，则原点O到直线l距离
的最大值为（ ）
A．√3
B．2
C．2√2
D．1
8．（23-24 高二上·上海·期末）已知圆C : x
2+ y
2−2 x−1=0，当圆心C 到直线l: y =kx +3的距离最大时，
实数k的值是（ ）
A．−1
3
B．1
3
C．－3
D．3
二、多选题
9．（24-25 高二上·广西·开学考试）对于直线l:(m−2) x + y −2m+1=0与圆C : x
2+ y
2−6 x−4 y + 4 =0，
下列说法不正确的是（ ）
A．l过定点(2,3)
B．C的半径为9
C．l与C可能相切
D．l被C截得的弦长最小值为2√7
10．（23-24 高二下·福建厦门·期末）已知直线x + y −4 =0与圆O：x
2+ y
2=r
2有公共点，则半径r可以是
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．（23-24 高二下·安徽芜湖·期末）已知直线l: y =kx −k，圆C : x
2+ y
2= 4，则下列结论正确的有
（ ）
A．直线l过定点(1,0)
B．直线l与圆C恒相交
C．直线l被圆C截得的弦长最短为4
D．若直线l被圆C截得的弦长为√14，则k =±1
三、填空题
12．（24-25 高二上·全国·单元测试）已知圆C与直线y =−x及x + y −4 =0相切，圆心在直线y = x上，则
圆C的标准方程为 ．
15
13．（23-24 高二下·河南南阳·期末）已知点P(x , y)在圆x
2+ y
2−2 x + 4 y + 4 =0上运动，则x
y
的最小值是
14．（23-24 高二上·浙江宁波·期末）若直线l与单位圆和曲线x
2
4 −y
2
3 =1均相切，则直线l的方程可以是
.（写出符合条件的一个方程即可）
四、解答题
15．（11-12 高二上·浙江衢州·期末）已知关于x , y的方程C：x
2+ y
2−2 x−4 y +m=0．
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)若圆C 与直线l: x +2 y −4 =0相交于M , N两点，且| MN |= 4
√5
，求m的值．
16．（23-24 高二上·北京西城·期中）已知圆C的圆心在直线2 x−y =0上，且与x轴相切于点(1,0).
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C直线l: x−y +m=0交于A，B两点，____，求m的值.
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长比为2:1；
条件②：| AB|=2√2；
条件③：∠ACB =90°.
17．（24-25 高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 8
3
的圆C 的圆心在 y 轴的正半轴上，且直线
12 x−9 y −1=0与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程．
(2)若 M (x , y)是圆C 上任意一点，求（x +3）
2+（y −1
3 ）
2的取值范围
(3)已知A (0,−1)，P为圆C上任意一点，试问在y 轴上是否存在定点B（异于点A），使得|PB|
|PA|为定值？
若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（24-25 高二上·江苏南通·开学考试）根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：
(1)已知以点A (−1，2)为圆心的圆与直线l1: x +2 y +7＝0相切，过点B (−2,0)的动直线l与圆A 相交于
M , N，当|MN|=2√19时，求直线l的方程；
16
(2)以C (4 ,−3)为圆心的圆与圆x
2+ y
2= 4相切，求圆C的方程.
19．（23-24 高二上·福建泉州·期中）已知圆C：x
2+ y
2−2 y −4 =0，直线l：mx−y +1−m=0.
(1)设l 与圆C 交于不同的两点A，B，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；
(2)若定点P(1,1)分弦AB 为AP
PB = 1
2
，求此时直线l 的方程.
