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8.2.2 两角和与差的正弦、正切
课程标准
学习目标
（1）能利用两角和与差的正弦、正切公式进行化
简求值；
（2）掌握两角和与差的正弦、正切公式的逆用、
变形用。
（1）掌握两角和与差的正弦、正切公式；
（2）会用两角和与差的正弦、正切公式进行简单
的三角函数的求值、化简、计算等；
（3）熟悉两角和与差的正弦、正切公式的灵活运
用，了解公式的正用、逆用、变形用，以及角的
变换的常用方法；
（4）通过对两角和与差的正弦、正切的学习，增
强逻辑推理、数学运算的核心素养。
知识点01 两角和与差的正弦
1、公式与简记：
:sin(α+β)=sinα cos β+cosα sin β
:sin(α−β)=sinα cos β−cosα sin β
2、对两角和与差正弦公式的理解
（1）公式中的角
，
都是任意角；
（2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即
；
（3）注意公式的你想运用和变形运用
①公式的逆用：如
；
②公式的变形运用：变形运用涉及两个方面，一个是公式本身的变形运用，
如
；一个是角的变形运用，也称角的拆分变换，
如
，
等，这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现。
3、辅助角公式
对于形如
的式子，可变形如下：
=
由于上式中
和
的平方和为1，故令
，
则
=
=
其中
角所在象限由
的符号确定，
角的值由
确定，
或由
和
共同确定．
【即学即练1】（23-24 高一上·河北沧州·阶段练习）已知点
是角
的终边上一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 两角和与差的正切
1、公式与简记
:
.
:
.
注意：
公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围。
2、两角和与差正切公式的变形
（1）
（2）
当
为特殊角时，常考虑使用变形（1），遇到1 与切的乘积的和（或差）时常用变形（2）
【即学即练2】（23-24 高一上·山西忻州·期末）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型一：求两角和与差的正弦值】
例1．（23-24 高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知角
的终边过点
.则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（21-22 高二上·云南临沧·期末）已知
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-2．（23-24 高一上·全国·课时练习）若
，
是第三象限的角，则
＝ .
变式1-3．（22-23 高一上·浙江丽水·期末）若
，
且
，
，则
.
【方法技巧与总结】
直接利用两角和差与的正弦公式求正弦值时，要深刻理解公式的特征，不要死记。
【题型二：求特殊角和差的函数值】
例2．（23-24 高一·全国·课时练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-1．（22-23 高一下·江苏淮安·期中）
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-2．（22-23 高一下·江西赣州·阶段练习）计算
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-3．（2024·山西晋城·一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
将题目所给的角度转化为已知三角函数值的特殊角的和与差，正用公式直接求值。
【题型三：和差正弦公式的逆用】
例3．（23-24 高一上·宁夏吴忠·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．（23-24 高一上·山东济南·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-2．（23-24 高一上·河北石家庄·期末）化简
，得（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-3．（23-24 高一上·福建漳州·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-4．（23-24 高一上·吉林·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
在两角和与差的正弦公式中，
，
可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时长将两角的
和或差视为一个整体。
【题型四：用和差正弦公式凑角求值】
例4．（23-24 高一上·山东菏泽·期末）已知
，
都是锐角，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．（23-24 高一上·云南昆明·期末）已知
，
，
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．（22-23 高一下·广东东莞·阶段练习）已知
均是锐角，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-3．（23-24 高三上·北京·阶段练习）已知
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-4．（23-24 高一下·河北石家庄·开学考试）若
，且
，则
的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方
法.
1、关键是把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
2、常见的配角技巧：
，
，
，
等．
【题型五：用和差正弦公式给值求角】
例5．（23-24 高一下·上海闵行·阶段练习）已知
，则
是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
变式5-1．（22-23 高一下·甘肃天水·期中）已知
，
均为锐角，且
，
，
的值为 .
变式5-2．（23-24 高二上·广东广州·期中）已知
，角
的顶点为坐标原点，始边与
轴
的非负半轴重合，终边经过点
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-3．（23-24 高二上·湖北恩施·阶段练习）已知
，
，
，
，
则
变式5-4．（23-24 高三上·江苏连云港·阶段练习）定义运算
.若
，则
.
【方法技巧与总结】
给值求角实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.
遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
若角的范围是
，选正、余弦皆可；若角的范围是
，选余弦较好；
若角的范围是
，选正弦较好.
【题型六：辅助角公式的应用】
例6．（23-24 高一上·河北唐山·期末）若函数
，则
可以化简为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-1．（23-24 高一下·上海·假期作业）把下列各式化为
的形式：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
变式6-2．（22-23 高一下·广东珠海·期中）函数
的最大值为 .
变式6-3．（23-24 高一上·山东菏泽·期末）已知
，当
时，
取得最大值，则
.
【方法技巧与总结】
辅助角公式的应用：
（1）公式形式：公式
或
将
形如
（
不同时为零）的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式；
（2）形式选择：还为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角
的系数为正，这样更有利
于研究函数的性质；
【题型七：求两角和与差的正切值】
例7．（22-23 高一下·北京延庆·期末）
，则
（ ）
A．
B．2 C．
D．
变式7-1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知
，且
，则
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-2．（23-24 高一上·广东广州·期末）已知点
在角
的终边上，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
变式7-3．（23-24 高一上·全国·课时练习）设
，则
的值为（
）
A．
B．
C．
D．
变式7-4．（23-24 高三上·全国·开学考试）已知角
的终边上一点
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
直接利用两角和差与的正切公式求正切值时，要深刻理解公式的特征，不要死记。
【题型八：求特殊角和差的正切值】
例8．（22-23 高一下·福建泉州·期中）
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8-1．（22-23 高一下·全国·阶段测试）
．
变式8-2．（22-23 高三下·广东·阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8-3．（22-23 高一·全国·随堂练习）若
，则
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
将题目所给的角度转化为已知三角函数值的特殊角的和与差，正用公式直接求值。
【题型九：和与差正切公式的逆用】
例9．（23-24 高一上·广东·期末）
（ ）
A．2 B．
C．1 D．
变式9-1．（22-23 高一下·云南玉溪·期末）
（ ）
A．1 B．
C．3 D．
变式9-2．（23-24 高一上·安徽蚌埠·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式9-3．（22-23 高一下·福建莆田·阶段练习）
（
，
），则
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
变式9-4．（22-23 高一下·江苏徐州·期中）计算：
．
【方法技巧与总结】
在两角和与差的正切公式中，
，
可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时长将两角的
和或差视为一个整体。
【题型十：用和差正切公式凑角求值】
例10．（23-24 高一上·广西河池·期末）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式10-1．（23-24 高一下·山东临沂·开学考试）已知
则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式10-2．（23-24 高一上·浙江台州·期末）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式10-3．（23-24 高一上·湖南株洲·期末）已知
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
变式10-4．（22-23 高一上·吉林·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【方法技巧与总结】
“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方
法.
1、关键是把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
2、常见的配角技巧：
，
，
，
等．
【题型十一：用和差正切公式给值求角】
例11．（23-24 高一上·广东深圳·期末）如图，有三个相同的正方形相接，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式11-1．（22-23 高一下·江苏苏州·月考）已知
，
均为锐角，则
（
）
A．
B．
C．
D．
变式11-2．（22-23 高一下·河南南阳·阶段练习）已知
是方程
的两根，且
，则
的值等于 .
变式11-3．（22-23 高一下·上海奉贤·阶段练习）若
、
为锐角，
，
，则角
．
【方法技巧与总结】
给值求角实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.
遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
若角的范围是
，选正、余弦皆可；若角的范围是
，选余弦较好；
若角的范围是
，选正弦较好.
【题型十二：和差公式综合应用化简】
例12．（2022 高三上·河南·专题练习）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式12-1．（23-24 高三下·河南·开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．2 D．
变式12-2．（22-23 高一下·甘肃临夏·期末）已知
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
变式12-3．（22-23 高一下·湖北黄冈·阶段练习）求
的值．
【方法技巧与总结】
解决化简求值问题的策略：
（1）对于非特殊角的三角函数式的化简求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合
三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形；
（2）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母
形式进行约分。
一、单选题
1．（23-24 高一上·福建宁德·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高一上·湖南株洲·期末）若
，则
（ ）
A．0 B．1 C．
D．2
3．（21-22 高一下·全国·课时练习）计算
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
．
（
23-24
高
三
上
·
山
东
青
岛
·
期
中
）
已
知
角
，
且
，则
（ ）
A．－2 B．
C．
D．2
5．（23-24 高一上·湖南娄底·期末）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知
，
，则
等于（
）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高三上·山西太原·期末）已知
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（22-23 高一下·江苏连云港·期中）在
中，
，
，则
的大小为（
）
A．
或
B．
C．
D．
或
二、多选题
9．（23-24 高一下·黑龙江绥化·开学考试）下列四个式子中，计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（23-24 高一上·浙江宁波·期末）下列式子化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24 高三上·山西大同·期末）若
，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（23-24 高一上·内蒙古赤峰·期末）
．
13．（2024 高三·全国·专题练习）若
，
且
，
，则
的值为 ．
14．（22-23 高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知
，
是方程
的两根，则
.
四、解答题
15．（23-24 高一上·湖南长沙·期末）已知
都是锐角，
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求
的值．
16．（23-24 高一上·江苏南通·期末）已知
，
，
，
.
（1）求
；
（2）求
.
17．（23-24 高一下·湖北·阶段练习）已知
的三个内角
满足：
.
（1）求
的值；
（2）求角
的大小.
18．（23-24 高一上·湖北武汉·期末）已知函数
．
（1）化简
的解析式；
（2）若
，且
，
，求
．
19．（22-23 高一下·全国·单元测试）在平面直角坐标系
中，以
为始边作两个锐角
，它们的终
边分别与单位圆相交于A，B 两点．已知点A，B 的横坐标分别为
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
