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第九章 解三角形章末测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（2025 高一下·全国·专题练习）在
中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由正弦定理求解即可.
【详解】由正弦定理可得
，所以，
，
故选：A
2．（24-25 高一下·北京·阶段练习）在
中，已知
，则这个三角形的最大角的弧度数为
（ ）
A．
B．
C．
D．120°
【答案】B
【分析】根据大边对大角判断最大角，利用余弦定理求解.
【详解】由
，令
，
，
又
，则
，
所以这个三角形的最大角的弧度数为
.
故选：B.
3．（24-25 高一下·河南南阳·期中）在
中，已知
，则C＝（ ）
A．60°
B．30°
C．30°或150°
D．60°或120°
【答案】D
【分析】利用正弦定理求出
，再求出对应角
.
【详解】由正弦定理可得
，即
，解得
，
则
或
.
故选：D
4．（24-25 高一下·江苏南京·期中）在
中，内角
，
，
所对应的边分别为
，
，．若
，且
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】C
【分析】由余弦定理及三角形面积公式即可求解.
【详解】由余弦定理可得：
，
所以
，
所以
，
故选：C
5．（24-25 高一下·山东济宁·期中）某市居民小区内的重兴塔，在2013 年被列为国家级重点保护单位.塔身
为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，
层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B 在同一水平面内
的两个测量基点C 与D，在C 点测得重兴塔在北偏东75°的点B 处，塔顶A 的仰角为45°，在D 点测得重兴
塔在北偏西60°的B 处，通过测量两个测量基点C 与D 之间的距离约为
米，则塔高
约为（ ）米.
A．54
B．30
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，求出各个角，再用正弦定理求解即可.
【详解】根据题意，
，
，
所以
，
在
中由正弦定理可知
，
所以
，
在
中
，
所以
.
故选：B．
6．（24-25 高一下·江苏徐州·期中）在
中，角
的对边分别为
的面积为，且满足
条件
，
为
边上一点，
，则
的边长为（ ）
A．2
B．
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求出
，再利用直角三角形边角关系及差角的正
弦、正弦定理求解.
【详解】在
中，由
及余弦定理、面积公式得：
，则
，而
，故
，
在
中，
，
则
，
，
在
中，
，
由正弦定理得
.
故选：D
7．（24-25 高一下·湖南永州·阶段练习）在
中，
，
，其面积为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由三角形面积公式可得
，由余弦定理得
，结合正弦定理即可求解.
【详解】由题意知，
，即
，解得
，
由余弦定理得
，即
，
由正弦定理
（
为三角形外接圆半径），可得：
，
故选：C.
8．（24-25 高一下·广东·阶段练习）记
的内角
的对边分别为
．已知
，则
为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】B
【分析】利用二倍角公式和余弦定理化简给定条件，最后利用勾股定理逆定理求解即可.
【详解】因为
，所以
，
则
，即
，
得到
，即
，
则
，即
，
由勾股定理逆定理得
为直角三角形，故B 正确.
故选：B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（24-25 高一下·安徽阜阳·阶段练习）在
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】由正弦定理边角互化结合正弦函数值域可判断选项正误
【详解】对于AB，注意到
，又
，则
，然后由正弦定理边角互化可得
，故A 错误，B 正确；
对于CD，由正弦定理边角互化，
，故C 正确；
，题目条件不足，无法判断.
故选：BC
10．（24-25 高一下·河南驻马店·阶段练习）在
中，已知
.则（ ）
A．
为锐角三角形
B．
的面积为
C．
D．
【答案】AB
【分析】由余弦定理即可判断AC，由三角形的面积公式即可判断B，再由正弦定理即可判断D.
【详解】对于A，因为
，则角
最大，
由余弦定理可得
，
即角
为锐角，所以
为锐角三角形，故A 正确；
对于B，由A 可得
，则
，
则
，故B 正确；
对于C，由余弦定理可得
，故C 错误；
对于D，由正弦定理可得
，即
，故D 错误；
故选：AB
11．（24-25 高一下·江苏宿迁·期中）在
中， 角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
有一解
B．若
，则
有两解
C．
面积的最大值为
D．若
是锐角三角形，则
的取值范围为
.
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理，即可判断AB，根据余弦定理，面积公式，结合基本不等式，即可判断C，根据正
弦定理，转化为三角函数问题，即可判断D.
【详解】A.根据正弦定理，
，即
，得
,
且
，则
，则
有一解，故A 正确；
B.若
，则
，可得
，得
，则
有一解，故B 错误；
C.由余弦定理
，
，当
时等号成立，
所以
，所以
面积的最大值为
，故C 正确；
D.由
，则
，
，且
，得
，
所以
，
,
所以
的范围是
，故D 正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（24-25 高一下·江苏盐城·期中）在
中，已知
，
，
，则
.
【答案】
/
【分析】直接利用三角形面积公式求解即可.
【详解】因为
，
，
，所以
.
故答案为：
13．（24-25 高一下·上海宝山·期中）已知
中，三边分别为
，所对角为
、
、
，
若
， 则
【答案】
/
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由
可得
，
故
,
由于
，故
，
故答案为：
14．（24-25 高一下·浙江宁波·期中）在锐角
中，a、b、c 分别是角A、B、C 所对的边，已知
且
，则锐角
面积的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先利用正弦定理求出角
，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变
换转化为三角函数求范围即可.
【详解】
且
，
,
根据正弦定理得，
,
即
，
整理得
，
，
，
，解得
，
，
，
，
,
的面积
为锐角三角形，
，
，
，
，
，
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）（24-25 高三上·江西·阶段练习）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
．
(1)求
的值；
(2)若
时，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化角为边可求答案；
（2）先求
，利用面积公式可得答案.
【详解】（1）
，由余弦定理得，
，
又
，
，化简得
，
．
（2）由（1）得
，
为锐角，
，
，
，
的面积
．
16．（15 分）（24-25 高一下·河北唐山·期中）锐角
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
且
.
(1)求
；
(2)若
，
的面积为3，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化、两角和差正弦公式和同角三角函数的关系可得结果；
（2）由三角形面积公式和余弦定理可得结果.
【详解】（1）由已知及正弦定理得
，
则
，即
，
因为
，所以
，
因为
为锐角，所以
.
（2）由
，得
.
由余弦定理得
，
故
.
17．（15 分）（24-25 高一下·福建厦门·阶段练习）如图，观测站
在目标
的南偏西
方向，经过
处
有一条南偏东
走向的公路，在
处观测到与
相距31km 的
处有一人正沿此公路向
处行走，走
20km 到达
处，此时测得
，
相距21km.
(1)求
；
(2)求
，
之间的距离.
【答案】(1)
(2)15km
【分析】（1）利用余弦定理求出
，即可求
；
（2）由正弦定理有
求出
，再由余弦定理有
即可求解.
【详解】（1）由题意知：
，
，
在
中，由余弦定理
因为
,
所以
（2）
，
,
，
由题意知：
在
中，由正弦定理得：
，所以
由余弦定理得：
，
即
，
解得：
或
（舍）
，
之间的距离为
18．（17 分）（24-25 高一下·河南郑州·期中）已知
，
，分别为
三个内角
，
，
的对边，
(1)求角
；
(2)若
，
的面积为
，求
，；
(3)若
，且
为锐角三角形，
为
的中点，求中线
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
，
.
(3)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和差的正弦公式化简计算可得；
（2）利用余弦定理及面积公式得到方程组，解得即可；
（3）依题意可得
将两边平方，结合余弦定理得到
，再由正弦定理将边化
角，结合三角恒等变换公式及三角函数的性质求出
的取值范围，即可得解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理知可得
，
而
，
，
即
，又
，
，即
，
又
，则
，则
.
（2）由（1）及题设可得
，即
，
将
代入
，整理得
，则
，
即
（负值舍去），故
.
（3）因为
为
的中点，所以
，
两边平方得
，
在
中，由余弦定理得
，即
，
所以
，
在
中，由正弦定理得
，
所以
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
且
，解得
，
所以
，所以
，则
，
所以
，
所以中线
的取值范围是
.
19．（17 分）（24-25 高一下·浙江宁波·期中）设A 是直线
外一点，点M 在直线
上（点M 与点P，Q
任一点均不重合），我们称如下操作为“由A 点对
施以视角运算”：若点M 在线段
上，记
；若点M 在线段
外，记
.在
中，角A，B，C
的对边分别是a，b，c，点D 在射线BC 上.
(1)若D 是BC 的中点，由A 点对BC 施以视角运算，求
的值；
(2)若
，
，
，由A 点对BC 施以视角运算，
，求
的周长；
(3)若
，
，由A 点对BC 施以视角运算，
，求
的最小值.
【答案】(1)1
(2)
(3)36
【分析】（1）由新定义结合正弦定理即可求解；
（2）根据所给定义及条件得到
，再由余弦定理求出，即可求出
，从而求出三角形的周长；
（3）依题意可得
，由等面积法得到
，从而得到
，再由乘“1”法及基
本不等式计算可得.
【详解】（1）
由定义可知：
，
在三角形
中，
，即
，
在三角形
中，
，即
，
因为D 是BC 的中点，且
,
所以
（2）因为点
在射线
上，
，且
，所以
在线段
外，且
，
所以
，
所以
，
在
中，由余弦定理可得
，
即
，解得
（负值已舍去），
所以
，
所以
的周长为
.
（3）因为
，所以
，则
，
因为
，所以
，
又
，所以
，
又
，所以
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
所以
的最小值为
.
