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第三章 排列、组合与二项式定理
教学目标
1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义．
2.通过实例，理解排列、组合的概念．
3.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
4.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．
5.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
教学重难点
1.重点
基本概念和基本方法为主；涉及特殊元素与特殊位置、两元索相邻或不相邻、分组、
分配等问题；二项式定理的展开项与特定项；二项式中系数之和及系数的最值问题.
2.难点
涂色问题；分组与分配问题（平均分）；多面手问题及排列与组合的综合问题；二项
式系数之和与二项式展开式中的之和；二项式展开式中的系数的最大值问题.
知识点01 分类加法计数原理
完成一件事，有
类办法，在第1 类办法中有
种不同的办法，在第2 类办法中有
种不同的方法，…，
在第
类办法中有
种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
【即学即练】
1．三个人传球，由甲开始发球，并作为第1 次传球，经过5 次传球后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方
式共有 种．
2．某实践团有
个男生、个女生，从中任选人发起问卷调研，那么恰好有
个女生被选中的方法有
种.
知识点02 分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成
个步骤，做第1 步有
种不同的方法，做第2 步有
种不同的方法，…，做第
步有
种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
注意：两个原理及其区别
分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有
类办法，这
类办法之间是互斥的，那么求
完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理．
分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题．如果完成某件事情有
个步骤，而且
这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这
个步骤后，这件事情才算完成，那么求
完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理．
当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个
计数原理．即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方
法数．对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验
排列组合问题的很好方法．
【即学即练】
1．从1，2，3，…，20，21 这21 个整数中任选两个不同的整数
，其中使得
的个位上的数字为9 的
有序数组
的个数为（ ）
A．75
B．80
C．85
D．90
2．一对非负整数组成的有序数对
，如果在做
与
的加法时不用进位，则称
为“中国梦数对”，
称为“中国梦数对”
的和，则和为2018 的“中国梦数对”的个数为（ ）
A．36 个
B．48 个
C．54 个
D．56 个
知识点03 排列与排列数
（1）定义：从
个不同元素中取出
个元素排成一列，叫做从
个不同元素中取出
个元素的
一个排列．从
个不同元素中取出
个元素的所有排列的个数，叫做从
个不同元素中取出
个元素
的排列数，用符号
表示．
（2）排列数的公式：
．
特例：当
时，
；规定：
．
（3）排列数的性质：
①
；②
；③
．
（4）解排列应用题的基本思路：
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．
注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，
常用
于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用
．
【即学即练】
1．甲、乙、丙等人站成一排，其中甲、乙、丙3 人相邻，则不同的站法共有 种．
2．甲、乙等6 人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法数为 ．（用数字表示）
知识点04 组合与组合数
（1）定义：从
个不同元素中取出
个元素并成一组，叫做从
个不同元素中取出
个元素的
一个组合．从
个不同元素中取出
个元素的所有组合的个数，叫做从
个不同元素中取出
个元素
的组合数，用符号
表示．
（2）组合数公式及其推导
求从
个不同元素中取出
个元素的排列数
，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这
个不同元素中取出
个元素的组合数
；
第二步，求每一个组合中
个元素的全排列数
；
根据分步计数原理，得到
；
因此
．
这里
，
，且
，这个公式叫做组合数公式．因为
，所以组合数公式还可表示
为：
．特例：
．
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按
先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式
常用于具体数字计算，
常用于含字母算式的化简或证明．
（3）组合数的主要性质：①
；②
．
（4）组合应用题的常见题型：
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型
②“至少”或“最多”含有几个元素的题型
【即学即练】
1．20 个不加区别的小球放入编号为1、2、3 的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不
同的放法种数共有（ ）
A．120
B．240
C．300
D．360
2．（24-25 高二下·安徽合肥·期末）包含甲在内的5 名在校大学生计划参加学校运动会的志愿者服务，有跳高、
跳远、铅球、篮球四个项目可以选择，每个学生只能选择一个项目，每个项目至少招募这5 名志愿者中的一
名.若甲不能参加跳高，跳远这两个项目的服务，则不同的招募方式共有（ ）
A．180 种
B．150 种
C．120 种
D．90 种
知识点05 二项式定理
（1） 二项式定理
(1).式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2).通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1 项；
(3).二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
（2）二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N*)时，是递增的
当k＞(n∈N*)时，是递减的
二项式系
数最大值
当n 为偶数时，中间的一项
取得最大值
当n 为奇数时，中间的两项
与
取得最大值
（3）各二项式系数和
(1).(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2).偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
【知识必备】(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1).项数为n＋1.
(2).各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a 与b 的指数的和为n.
(3).字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1 直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次
数由零逐项增1 直到n.
(4).二项式的系数从C，C，一直到C，C.
【即学即练】
1．（多选题）二项式
的展开式中含
的项的系数是60，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．展开式中含
的项的系数是
C．展开式中一定有含
的项
D．展开式中的常数项是
2．（多选题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选题）关于多项式
的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．各项系数之和为32
B．各项系数的绝对值之和为
C．常数项为80
D．
的系数为0
4．
的展开式中
的系数为 .
题型01 计数原理-分类用加法，分步用乘法
【典例1】.（25-26 高二上·江苏南京·开学考试）书架上有6 本不同的书，再往书架放另外3 本不同的书，要
求不改变原来书架上6 本书的左右顺序，则不同的放法有（ ）种.
A．504
B．84
C．1008
D．168
【典例2】．（25-26 高二上·四川成都·月考）重新排列数字
，使得偶数在偶数的位置上，但都
不在原来的位置上，奇数在奇数位置上，但除其中一个奇数在原本位置上以外，其余3 个奇数都不在原来的
位置上，则有 种不同的排法.
【变式1】．设集合
，选择集合
的两个非空子集
和
，要使
中最小的数大于
中最大的
数，则不同的选择方法共有（ ）.
A．50 种
B．49 种
C．48 种
D．47 种
【变式2】．（2025·广西南宁·模拟预测）一个3×3 的正方形花坛被划分为9 个1×1 小方格（如图），计划种
植4 种花卉（玫瑰、月季、百合、郁金香）每个小方格种1 种花卉.要求：花坛中任意2×2 的小区域内，4 种
花卉必须全部种植且不重复，则不同的种植方案共有 种.
题型02 无限制的排列与组合问题-直接法
【典例3】．（23-24 高二下·河南周口·月考）A，B，C，D，E 五人站成一排，那么排法种数为 .
【典例4】．（24-25 高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某旅行社设计了4 条不同的旅游路线，甲要从中任选2
条路线，分别在假期7 月和8 月出游，则不同的选择及安排方法有（ ）
A．24 种
B．16 种
C．12 种
D．6 种
【变式1】．（23-24 高二下·天津和平·期末）某校举办“中华颂”朗诵比赛，现有3 名男生和3 名女生报名，
需将这6 名同学分为3 组，每组由1 名男生和1 名女生组成，则有 种分组方法.（请用数字作答）
【变式2】．（24-25 高二下·江苏南通·月考）书架共四层，将3 本不同的书放入书架，书架恰有一层空着，
则不同的放法有（ ）
A．24 种
B．15 种
C．12 种
D．6 种
题型03 相邻问题-捆绑法
【典例5】．（24-25 高二下·河南商丘·月考）5 名学生排成一排，甲、乙、丙3 人相邻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例6】．（24-25 高二下·河南商丘·期中）现有甲、乙等5 人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在
甲的右边，那么不同的排法种数有（ ）
A．24
B．36
C．48
D．60
【变式1】．（24-25 高二下·福建厦门·月考）有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，当甲
和乙相邻时，甲必须在乙的右边，则不同的排列方式共有 种.
【变式2】．
名男生和
名女生排成一排，若女生必须相邻，则有 种不同排法. 用数字作答
题型04 不相邻问题-插空法
【典例7】．（24-25 高三上·上海·月考）2 位女生3 位男生排成一排，则2 位女生不相邻，且3 位男生相邻的
排法共有 种．
【典例8】．（23-24 高二下·陕西咸阳·期末）中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用
这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有 种.
（用数字作答）
【变式1】．（24-25 高二下·河南·月考）若3 个男生和2 个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（ ）
A．120
B．72
C．48
D．12
【变式2】．（24-25 高二下·湖北·月考）袋中装有红色小球1 个、黄色小球2 个、绿色小球3 个，小球除了
颜色外完全相同，现从中取出5 个小球排成一行，相同颜色的小球不能相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．8
B．11
C．12
D．15
题型05 定序问题-除法
【典例9】五人并排站在一排，如果A，B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ）
A．60 种
B．48 种
C．36 种
D．24 种
【典例10】DNA 是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就
像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA 中只有4 种类型的碱基，分别用
A、C、G 和T 表示，DNA 中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T，或者是C-
G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条
链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA 单链模型示意图，现在某同学想在碱基T 和碱基C 之间插入3 个碱基
A，2 个碱基C 和1 个碱基T，则不同的插入方式的种数为（ ）
A．20
B．40
C．60
D．120
【变式1】．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如
图，现有悬挂着的6 盏不同的花灯需要取下，每次取1 盏，则不同取法总数为_________
【变式2】某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10 条不同灯谜分别装在了如图所示的10
个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就
拿掉），则这10 条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）
题型06 多面手问题
【典例11】．某国际旅行社现有11 名对外翻译人员，其中有5 人只会英语，4 人只会法语，2 人既会英语又
会法语，现从这11 人中选出4 人当英语翻译，4 人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225
B．185
C．145
D．110
【典例12】．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存
在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8 名队员中有3 人只会划左桨，3 人只会
划右桨，2 人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3 人、划右桨的3 人共6 人去参加比赛，则不同的选
派方法共有（ ）
A．26 种
B．30 种
C．37 种
D．42 种
【变式1】．某龙舟队有9 名队员，其中3 人只会划左舷，4 人只会划右舷，2 人既会划左舷又会划右舷．现
要选派划左舷的3 人、右舷的3 人共6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．56 种
B．68 种
C．74 种
D．92 种
【变式2】．我校去年11 月份，高二年级有10 人参加了赴日本交流访问团，其中3 人只会唱歌，2 人只会跳
舞，其余5 人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6 人上台表演，3 人唱歌，3 人跳舞，有（ ）种不同的选法．
A．
B．
C．
D．
题型07 涂色问题
【典例13】．（24-25 高二下·新疆乌鲁木齐·期中）如图为我国数学家赵爽（约3 世纪初）在为《周髀算经》
作注时验证勾股定理的示意图，现用4 种不同颜色给图中的5 个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜
色，则不同的涂色方法共有多少种（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例14】．在如图所示的6 块区域中，用4 种颜色填涂，且相邻区域不同色，不同的染色方法有 种.
【变式1】．某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且
每个区域只布置一种花卉，若有5 种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有（ ）
A．360 种
B．420 种
C．480 种
D．540 种
【变式2】．（24-25 高二下·江苏南京·月考）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5 个不同品种的
菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有 种．
题型08 相同元素的排列问题
【典例15】．从3 个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8 个小球，每个箱子至少选2 个小球，不同的选法
有 种.
【典例16】．（24-25 高二下·青海西宁·期末）已知方程
，若x，y，z 均为正整数，则称
为该方程的正整数解.则方程
共有（ ）个正整数解.
A．171
B．190
C．342
D．380
【变式1】．（24-25 高二下·天津南开·期中）把个相同的小球放入
个不同的盒子中，每个盒子最多放
个
小球，则不同方法有 种（用数字作答）.
【变式2】．已知
，
，
，则关于
，
，
的方程
共有（ ）组不同的解.
A．
B．
C．
D．
题型09 分组分配问题（平均分）
【典例17】．（2025·湖南郴州·一模）“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设
备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为
个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药
球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【典例18】．（24-25 高二下·安徽宿州·期末）现将《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、
《史记》5 本不同的书籍分发给甲乙丙3 人，每人至少分得1 本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发
方式种数是（ ）
A．150
B．100
C．25
D．50
【变式1】．（25-26 高三上·湖南邵阳·期中）赣超联赛作为江西本土热门足球赛事，正处于激烈的关键赛程
阶段.为保障赛事服务质量，需将4 名志愿者小赵、小孙、小周、小吴平均分配到A，B 两个比赛场馆服务，
则恰好小赵与小周分到同一个场馆的概率为 ．
【变式2】．（25-26 高三上·广东·月考）为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4 个价钱相同的礼盒
全部分给这3 名同学，若购买的4 个礼盒仅有2 个相同，按一人2 个礼盒，另两人各1 个礼盒进行分配，共
有 种分法.（用数字作答）
题型10 与数字有关的排列问题
【典例19】．（23-24 高二下·天津北辰·月考）从1，3，5，7 中任取两个数，从0，2，4，6 中任取两个数，
组成没有重复数字的四位数．这样的四位偶数有 个．（用数字作答）
【典例20】．（24-25 高二下·山西·月考）由0，1，2，3，4，5 所组成的无重复数字的4 位数中偶数的个数
为（ ）
A．360
B．280
C．156
D．150
【变式1】．用数字1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的三位数，这样的三位
数一共有 个.（用数字作答）
【变式2】．（2024·河南新乡·二模）从
这5 个数字中任取2 个偶数和1 个奇数，组成一个三位数，
则不同的三位数的个数为（ ）
A．16
B．24
C．28
D．36
题型11 与几何图形有关的排列问题
【典例21】．（24-25 高二下·广西河池·月考）从正六边形的
个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，
如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例22】．（24-25 高二下·山西·期中）已知平面
平面
，平面
内有
共5 个点，其中有且
仅有
三点共线，平面
内有
共4 个点，任意三点不共线，则以这9 个点为顶点的三棱锥最多
有（ ）
A．80 个
B．86 个
C．116 个
D．136 个
【变式1】．如图，点
，
，
，
分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组
共有 个．
【变式2】．（24-25 高二上·上海·期末）从边长为1 的正八边形的顶点中随机选3 个点作为三角形
的顶点，
从棱长为2 的正方体的顶点中随机选3 个点作为三角形
的顶点，则
为直角三角形的概率是
为等腰三角
形的概率的 倍．
题型12 环排问题
【典例23】．21 个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1 到3 循环报数，报数字“3”的人
出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为
（ ）
A．19
B．38
C．51
D．57
【典例24】．A，B，C，D，E，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅
子，B，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）
A．60 种
B．48 种
C．30 种
D．24 种
【变式1】．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个
区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（ ）.
A．40320 种
B．5040 种
C．20160 种
D．2520 种
【变式2】．5 个女孩与6 个男孩围成一圈，任意2 个女孩中间至少站1 个男孩，则不同排法有______种（填
数字）．
题型13 二项式的特定项及系数问题
【典例25】．（25-26 高三上·上海·期中）
的二项式展开式中
的系数为 ．
【典例26】．（25-26 高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）二项式
的展开式中常数项为（ ）
A．
B．540
C．15
D．
【变式1】．（25-26 高三上·浙江·期中）在
的展开式中，含
的项的系数是 .
【变式2】．（多选题）在
的展开式中，（ ）
A．常数项为20
B．含
的项的系数为80
C．各项系数的和为32
D．各项系数中的最大值为80
题型14 二项式系数的性质与各项系数的和
【典例27】．（25-26 高三上·江苏泰州·月考）已知
的二项展开式中各项系数的和为 ．
【典例28】．（24-25 高二下·贵州遵义·月考）已知在
的二项展开式中，只有第4 项的二项式系数
最大，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．展开式的各项系数和为729
C．展开式中
的系数为15
D．展开式中奇数项的二项式系数和为32
【变式1】．（25-26 高三上·北京·月考）若二项式
的展开式的二项式系数之和为8，则
，该展开式每一项的系数之和为 .
【变式2】．（24-25 高二下·广东惠州·期中）已知
的展开式共有13 项，则下列说法中正确的是
（ ）
A．所有奇数项的二项式系数和为
B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第6 项或第7 项
D．有理项共5 项
题型15 多项式展开式中的特定项（系数问题）
【典例29】．（24-25 高二下·山东聊城·期末）
的展开式中
的系数为（ ）
A．75
B．135
C．180
D．195
【典例30】．（24-25 高二下·江苏南京·期中）在
的展开式中
项的系数为（ ）
A．360
B．540
C．720
D．1080
【变式1】．（多选题）关于
展开式中，则（ ）
A．展开式的各项系数和为
B．展开式中
项的系数为120
C．展开式中含
的各项系数之和为100 D．展开式中不含字母
的各项的系数之和为1
【变式2】．（2025·辽宁·模拟预测）在
的展开式中，常数项为 .
一、选择题
1．（24-25 高三上·河南周口·期中）从标号分别为
的四个不同圆形图标与标号分别为
的三个不同
方形图标中任取个图标排成一排，则不同的排法共有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
2．（24-25 高一下·江苏南京·期末）书架上有2 本体育杂志和3 本文学杂志，从中任意挑选2 本，则挑选的杂
志类型相同的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二下·福建福州·期中）在电影《哪吒之魔童闹海》宣传海报中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公
豹、鹿童五个主人公站成一排，其中哪吒和敖丙必须相邻，且太乙真人和申公豹不能相邻，那么共有多少种
不同的站法（ ）
A．18
B．12
C．28
D．24
4．（24-25 高二下·广东·期中）高三毕业来临之际，3 名教师，4 名女同学和2 名男同学排成一排拍照，已知
3 名教师互不相邻，4 名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2 名男同学互不相邻且不在最左边也不在最
右边，则不同的排法种数共有（ ）
A．1152 种
B．384 种
C．288 种
D．144 种
5．（24-25 高二下·黑龙江大庆·期中）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花
坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有
种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能
布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
6．某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5 个区域．现有6 种不同的花
卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布
置方案有（ ）
A．720 种
B．1440 种
C．1560 种
D．2520 种
7．用0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数，其中能被3 整除的有（ ）
A．96 个
B．72 个
C．24 个
D．300 个
8．北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的
斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，
D，E，F，G 表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F 看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点
中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ）
A．35
B．34
C．31
D．30
9．（2025 高三上·广东·专题练习）
的展开式中，
的系数为（ ）
A．-54
B．-24
C．27
D．54
10．（2025·湖南益阳·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（25-26 高三上·广东·月考）在
的展开式中，
的系数为
；在
的展开式中，
的系数为
.则
（ ）
A．10
B．
C．
D．
12．（25-26 高三上·广东广州·月考）（多选题）在二项式
的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项为15
B．各项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第4 项
D．有理项的系数和为16
13．（多选题）若
的二项展开式共有8 项，则该二项展开式（ ）
A．
B．各项二项式系数和为128
C．二项式系数最大项有2 项
D．第5 项系数等于-35
14．（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选题）已知
的展开式中各项的系数之和为0，则（ ）
A．
B．二项式系数的和为1314
C．展开式中每一项
的指数都是偶数
D．展开式中不存在常数项
二、填空题
15．（2025 高三·全国·专题练习）假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了伤，只能
爬行，假设只能向右（包括右上，右下）从一间蜂房爬到与之相邻的蜂房中去，则从最初位置爬到
号蜂房
共有 种方法．
16．（24-25 高二下·重庆·期末）某校的艺术节活动中，高二年级有4 个参加歌唱展示的名额和5 个参加书画
展示的名额，将这些名额分配给高二年级的1，2，3 三个班，则每个班都能够获得歌唱展示名额和书画展示
名额的分配方案有 种．
17．某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域
只布置一种花卉，若有5 种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有 .
18．（2025·安徽安庆·模拟预测）“四进制”是一种以4 为基数的计数系统，对于现代计算机科学和技术发展
有着深远的影响.四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4 的相应次方（从0 开始），
然后将所有乘积相加.例如：四进制数013 转换为十进制数为
；四进制数0033 转换为十
进制数为
.现将所有由
，，
，组成的4 位（如：1233，3201）四进制数
转化为十进制数，在这些非零十进制数中任取一个，则这个数能被3 整除的概率为 .
19．（2025·辽宁锦州·模拟预测）渤大附中校园景色优美，道路和楼宇的命名都蕴含着深远的意义，值得同
学们在三年的时光里驻足留意.小陈､小张等6 位即将毕业的同学在知博楼､君子路､红色文化广场､三到园4 个
标志性场所中各选择一个拍照留念，若每个地方至少有一位同学拍照，每位同学都恰选择一处地方拍照，且
小陈､小张不在同一个地方拍照，则不同的拍照方式共有 种.（用数字作答）
20．（24-25 高三·上海·随堂练习）从0，1，2，3，4，5 中任取3 个数字组成没有重复数字的三位数，其中能
被5 整除的概率为 （用数字作答）．
21．（23-24 高二下·上海·期末）如图，6 只小狗恰好在正六边形广场的顶点上玩耍，从中随机选取三只（视
作点）连结成线，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是 .
22．（25-26 高二上·北京·期中）若
，则
，
.（用数字作答）
23．（2025·河北廊坊·模拟预测）
的展开式中的常数项为 （用数字作答）.
24．（2024·安徽·三模）
的展开式中
的系数为 .
三、解答题
25．（25-26 高二上·湖北十堰·期中）某多选题有
，
，
，
四个选项.
(1)若已知有且仅有两个选项正确，则随机任选两项，能全对的概率是多少；
(2)若已知有且仅有三个选项正确，则随机任选两项，能得分（不是0 分）的概率是多少？
26．（25-26 高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知
的展开式中第3 项与第
项的二项式
系数之和为30.
(1)求
的值；
(2)记
，从
中任取两个相乘，求积为负数的概率.
27．（25-26 高二上·黑龙江哈尔滨·期中）组合恒等式是一类含有组合数的恒等式，其结构工整精美，是数学
园林中的一组瑰宝.其证明方法有很多，有构造计数模型法（算两次），构造函数法及数学归纳法等等.请根据
条件解决以下问题：
(1)求证：
；
(2)设
，求证：
；
(3)求证：
，m，
.
（提示：证明过程中，可能会用到以下公式：
），（a，
，
）.
28．（25-26 高二上·上海奉贤·月考）已知
（
为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于
67.
(1)求
的值，从集合
中任取一个元素
，求该元素满足不等式
的概率；
(2)若
，求
除以7 所得的余数；
(3)求展开式中系数最大的项.
