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第七章 三角函数 章末题型大总结
题型01 三角函数的定义
【典例1】（24-25 高一下·福建莆田·开学考试）若角
的终边过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解.
【详解】因为角
的终边过点
，
所以
，
所以
.
故选：A
【变式1】（24-25 高一下·湖南永州·开学考试）已知角
的终边上有一点
，
，则
的值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解．
【详解】由已知可得
，
，则
，
又
，所以
，则
故选：C.
【变式2】（24-25 高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点
在角
的终边上，若
，则
（ ）
A．
B．
为第二象限的角
解题锦囊
1．已知角α 的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)在α 的终边上任选一点P(x，y)，P 到原点的距离为r(r＞0)．则sin α＝，cos α＝.已知α 的终边求α 的三
角函数值时，用这几个公式更方便．
2．当角α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据终边上的点及已知函数值得
，即
，再结合三角函数的定义判断各项的正误.
【详解】由题设
，可得
，A 错；
所以
，则
为第三象限的角，B 错；
，C 错；
，D 对.
【变式3】（24-25 高一上·广东广州·期末）已知角
的终边上有一点
的坐标是
，其中
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的定义求得
即可判断.
【详解】由题意得，
由三角函数的定义可得，
.
若
，则
，
，
；
若
，则
，
，
；
故选：D.
【变式4】（23-24 高一上·山西阳泉·期末）已知点
是角
终边上的一点，且
，则
的值为
（ ）
A．2
B．
C．
或2
D．
或
【答案】D
【分析】由三角函数的定义计算可得；
【详解】由三角函数定义可得
，解得
，
所以
的值为
或
.
故选：D.
【变式5】（24-25 高一下·重庆渝中·开学考试）如图，以
为始边作角
与
，它们
的终边分别与单位圆相交于点
，已知点
的坐标为
，若
，求
的坐标为 ．
【答案】
【分析】首先由点在单位圆上，求
，再根据三角函数的定义求
，最后利用诱导公
式求
，
，再根据三角函数的定义求点的坐标.
【详解】因为点
在单位圆上且
，所以
，得
．
即
，且由三角函数定义知，
．由
，得：
，故
．
故答案为：
.
题型02 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用
解题锦囊
1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1 及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、
证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α 的值，可求cos αsin α.注意应用(cos
α±sin α)2＝1±2sin αcos α.
2．诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．
【典例2】（24-25 高一上·广西百色·期末）已知角
的终边过点
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】由三角函数的定义求得
，利用诱导公式化为齐次式，进而求解即可.
【详解】因为角
的终边过点
，所以
，
所以
.
故选：D.
【变式1】（24-25 高二上·云南曲靖·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式结合齐次式问题分析求解即可.
【详解】因为
，解得
.
故选：B.
【变式2】（24-25 高一下·河北张家口·开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可.
【详解】因为
，
则
.
故选：B.
【变式3】（多选）（24-25 高一下·河北张家口·开学考试）已知
，则下列结论正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】由
，平方可得
，进而可得
，求解可得
，逐项分析判断即可.
【详解】对A：因为
，则
，
所以
，
又因为
，则
，
，所以
，故A 正确；
对D：可得
，且
，
所以
，故D 错误；
对B：联立
，可得
，
，故B 正确；
对C：可得
，故C 正确.
故选：ABC.
【变式4】（多选）（24-25 高一上·广东梅州·期末）下列等式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据诱导公式化简可判断ABC 的真假；根据同角三角函数的商数关系结合诱导公式可判断D 的真
假.
【详解】对A：
，故A 正确；
对B：
，故B 错误；
对C：
，故C 正确；
对D：
，故D 正确.
故选：ACD
【变式5】（多选）（24-25 高一上·浙江温州·期末）已知
，下列式子中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据诱导公式逐项计算后可得正确的选项.
【详解】对于A，
，故
，
故A 成立；
对于B，
，故B 成立；
对于C，
，而
，
故
，故C 不成立；
对于D，
，故D 成立，
故选：ABD.
【变式6】（24-25 高一上·内蒙古·期末）已知
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
是第三象限角，且
，则
D．若角
的终边过点
，则
【答案】ABD
【分析】由已知结合诱导公式对已知函数进行化简，然后结合同角基本关系，诱导公式检验各选项即可判
断.
【详解】
，A 正确；
若
，则
，即
，B 正确；
若
是第三象限角，且
，则
，
所以
，
所以
，C 错误；
若角
的终边过点
，则
，
，D 正确.
故选：
题型03 三角函数的图像及变换
【典例3】（24-25 高一上·福建漳州·期末）某同学用“五点法”画函数
在一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
解题锦囊
三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要
体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．
0
2
根据这些数据，要得到函数
的图象，需要将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】A
【分析】根据表格中的数据，列出关于
的方程组，解方程组得出函数
的解析式，根据三角函数图
象的变换规则即可得出结果.
【详解】由表中的数据可得
，
，解得，
所以
，
将
图象向左平移
单位后，
得到
的图象.
故选：A
【变式1】（2025·广东汕头·一模）要得到函数
的图象，只要将函数
的图象（ ）
A．向右平移
个单位
B．向左平移
个单位
C．向右平移
个单位
D．向左平移
个单位
【答案】C
【分析】根据函数平移性质判定即可.
【详解】向右平移
个单位
，
将函数
的图像得到函数
的图象
故选：C.
【变式2】（24-25 高一上·江苏镇江·期末）若将函数
的图象上各点的横坐标扩大为原来的2 倍，再
将图象向右平移
个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数图象变换以求得正确答案.
【详解】函数
的图象上各点的横坐标变为原来的2 倍得到
，
再将图象向右平移
个长度单位得到
.
故选：A
【变式3】（24-25 高三下·重庆北碚·阶段练习）函数
的图象如图所示，其中
，
， 为了得到
的图象，可以将
的图象 （ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】C
【分析】根据函数图象求出
的解析式，再根据三角函数的变换规则判断即可.
【详解】由函数图象可知：
，函数过
、
两点，
设
的最小正周期为
，因为
，所以有
，而
，因此
，
即
，因为
，
所以
，即
，所以
，因为
，
所以
，即
，因此
，
而
，
所以将
的图象向左平移
个单位长度得到
的图象.
故选：C
【变式4】（24-25 高三下·江西·阶段练习）为了得到函数
的图象，可将函数
的图
象向左平移
个单位长度，或向右平移
个单位长度（
均为正数），则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数图象的平移可得
，即可根据三角函数的性质得
，
，
求解.
【详解】因为
，
所以
，
，
，
即得
，
，
，
故得
，
，
当
时，
的最小值是
.
故选：B
【变式5】（多选）（24-25 高一上·湖南湘潭·期末）已知函数
的
部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．将
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
纵坐标不变，再把得到的图象向右平移
个单位长度，
得到函数
的图象
【答案】AB
【分析】由图象确定函数解析式判断ABC，由图象变换判断D．
【详解】由图可知
，由
，得
，则
，A，B 正确．
因为
，所以
，得
，又
，所以
，C 错误．
由题意得
，D 错误．
故选：AB
题型04 三角函数的性质
【典例4】（多选）（24-25 高一上·云南曲靖·期末）某个简谐运动可以用函数
（
，
），
来表示，其中部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．该简谐运动的频率为
，初相为
C．直线
是
的一个对称轴
D．点
是曲线
的一个对称中心
【答案】ACD
解题锦囊
研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ 看作一个整体来解决.
【分析】根据图象可得
，选项A，利用
的图象与性质可得
，即可判断选
项A 的正误；选项B，由频率和初相的定义，结合
，即可求解；选项C 和D，
，利用
性质，求出
的对称轴和对称中心，即可判断
出选项C 和D 的正误.
【详解】由图知
，由图像知
，又
，
所以
，又由五点作图法知，第三个点为
，所以
，得到
，
所以
，
对于选项A：设
，由
，
得到
，
所以
，故选项A 正确；
对于选项B：因为
，所以频率为
，由
知初相为
，所以选项B 错误；
对于选项C：因为
，
由
，即
，故直线
是
的一个对称轴，故选项C 正确；
对于选项D：因为
，
由
，即
，
故点
是曲线
的一个对称中心，故选项D 正确；
故选：ACD
【变式1】（24-25 高二上·云南曲靖·期中）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．函数
最小正周期为
B．定义域为
C．函数
图象所有对称中心为
，
D．函数
的单调递增区间为
，
【答案】D
【分析】利用周期公式计算可得A 错误，由正切函数定义域可判断B 错误，根据对称中心方程可得C 错误，
再由正切函数单调性计算可得D 正确.
【详解】对于A，由
可得
，所以函数
最小正周期为
，即A 错误；
对于B，由正切函数定义域可得
，解得
；
可得
的定义域为
，即B 错误；
对于C，利用对称中心方程可得
，解得
,
因此函数
图象所有对称中心为
，
，可知C 错误；
对于D，根据正切函数单调性可得
，
解得
，
所以函数
的单调递增区间为
，可得D 正确.
故选：D
【变式2】（24-25 高一上·湖北武汉·期末）已知函数
，则
的增区间是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用整体代换法求正弦型函数的增区间.
【详解】令
，
解得
，
所以函数的增区间是
.
故选：C.
【变式3】（24-25 高一下·云南德宏·开学考试）若函数
（
，
，
）的
部分图象如图，则函数
图象的一条对称轴方程可能为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用函数的图象求得其解析式，再判断即可.
【详解】由题意得
，
，
即
，
把点
代入方程可得
，
所以
，
，即
，
，
因为
，所以
，
，
因为
，
经检验，其他选项都不满足，所以函数
的一条对称轴方程为
，
故选：A．
【变式4】（多选）.（24-25 高一下·云南大理·开学考试）已知函数
，则下列结论正
确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
图象的一个对称中心为
C．
的单调递增区间是
D．把函数
图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，可得到函数
的图象
【答案】ABC
【分析】利用正弦函数的周期公式判断A；求出对称中心判断B；求出单调递增区间判断C；利用三角函数
图象的变换规则判断D.
【详解】对于A：因为
，所以周期
，故A 正确；
对于B：令
，得
，
时可得该函数图象的一个对称中心为
，故B 正确；
对于C：由
，解得
，
的单调递增区间为
，故C 正确；
对于D：把函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，可得到
，故D 错误，
故选：ABC．
【变式5】（多选）（24-25 高三上·江苏·期末）已知函数
，其图象相邻
两条对称轴之间的距离为
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．函数
在
上单调递增
D．函数
的图象关于点
对称
【答案】ACD
【分析】求出函数
的最小正周期，结合正弦型函数的周期公式可判断A 选项；由
结合
的
取值范围可求出
的值，可判断B 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的对称
性可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，因为函数
的图象相邻两条对称轴之间的距离为
，
则该函数的最小正周期为
，则
，A 对；
对于B 选项，因为
，可得
，
所以，
，则
，
因为
，故
，B 错；
对于C 选项，由AB 选项可知
，
当
时，
，
所以，函数
在
上单调递增，C 对；
对于D 选项，因为
，所以，函数
的图象关于点
对称，D 对.
故选：ACD.
.【变式6】（24-25 高一上·湖南株洲·期末）已知函数
．
(1)求函数
的单调增区间；
(2)求函数
的对称轴方程和对称中心；
(3)当
时，求
的值域．
【答案】(1)
(2)对称轴方程：
，
；对称中心：
，
(3)
【分析】（1）由正弦函数的单调性求解正弦型函数的单调区间即可；
（2）根据正弦函数的对称轴以及对称中心可求得结果；
（3）先由
，求出
，然后转化为正弦函数的值域问题求解即可．
【详解】（1）由
，
所以函数
的单调增区间是
．
（2）根据
，可得对称轴为
，
；
根据
，解得
，
，
因为函数为
，
所以对称中心为
，
；
（3）由
，可得
，
从而
，所以
．
所以
的值域为
．
