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第一章 空间向量与立体几何 章末大总结
教学目标
1.逻辑推理：通过例题讲解让学生掌握用向量解决空间角问题这一方法，能
培养学生逻辑推理的核心素养；
2.数学运算：通过例题的完成，经历解题运算，能培养学生数学运算的核心
素养；
3.直观想象：利用图形描述数学问题，建立数与形的联系，培养学生直观想
象的核心素养.
教学重难点
重点：空间向量法解决立体几何空间角问题
难点：空间向量法解决立体几何空间角问题
知识点01 空间向量加法，减法运算
1、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量
，则向量
叫做向量
的和．记作
，即
2、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量
叫做
与
差，记作
，即
【即学即练】在平行六面体
中，
与
相交于点
，设
，
，
，
则下列向量中与
相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 空间向量数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数
与空间向量
的乘积
仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量
与向量
的关系
的范围
的方向
的模
与向量
的
，其方向是
与向量
的
知识点03 共面向量定理
1 共面向量定理：如果两个向量
不共线，那么向量
与向量
共面的充要条件是存在 的有
序实数对
，使
2 空间共面向量的表示
如图空间一点
位于平面
内的充要条件是存在有序实数对
，使
．
或者等价于：对空间任意一点
，空间一点
位于平面
内（
四点共面）的充要条件是存
在有序实数对
，使
，该式称为空间平面
的向量表示式，由此可知，空间
中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3 拓展
对于空间任意一点
，四点
共面（其中
不共线）的充要条件是
（其中 ）．
【即学即练】在下列条件中，使M 与A，B，C 一定共面的是（其中O 为坐标原点）（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点04 空间向量基本定理
1、定理：如果向量三个向量
，那么对空间任意向量
存在
使得
2、基底与基向量
如果向量三个向量
不共面，那么所有空间向量组成
集合就是
这个集
合可看作是由向量
生成的，我们把
叫做空间的一个
都叫做 ．
【即学即练】已知
是空间向量的一组基底，
是空间向量的另一组基底，若向量
在基底
下的坐标为
，则向量
在基底
下的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点05 空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
平行（
）
垂直（
）
2、两个向量夹角的坐标计算公式
设
，则
【即学即练】已知
，
，
，若
，则
的值为 .
知识点06 用向量运算求直线与平面所成角
设直线的方向向量为
，平面
的法向量为
，直线与平面所成的角为
，
与
的角为
，则有
①
②
【即学即练】在空间直角坐标系中，已知点
，
，且平面
的一个法向量
，则直线
与平面
所成角的正弦值为 .
知识点07 用向量运算求平面与平面所成角
如图，若
于A，
于B，平面PAB 交于E，则∠AEB 为二面角
的平面角，
∠AEB+∠APB=180°.
若
分别为面
，
的法向量
①
②
根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则
；
若二面角为顿二面角（取负），则
；
【即学即练】如图，在正方体
中，平面
与平面
的夹角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点08 点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为
，
是直线上的定点，
是直线外一点.设
，则向量
在直线
上的投影向量
，在
中，由勾股定理得：
【即学即练】已知正方体
的边长为
，点
是
的中点，则点
到直线
的距离为
.
知识点09 点到平面的距离
如图，已知平面
的法向量为
，
是平面
内的定点，
是平面
外一点.过点
作平面
的垂线
，交平面
于点
，则
是直线的方向向量，且点
到平面
的距离就是
在直线上的投影向量
的长度.
【即学即练】如图所示，在直四棱柱
中，
，点
在棱
上，且
，则点
到平面
的距离为 .
知识点10 线面间的距离
1.定义：当直线与平面平行时，直线上 称为这条直线与这个平面之间的距离，
2.公式：如果直线l 与平面α 平行，n 是平面α 的一个法向量，A、B 分别是l 上和α 内
的点，则直线l 与平面α 之间的距离为
题型01 空间向量的概念及运算
【典例1】四面体
中，
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】在三棱锥
中，
、
分别是
、
的中点，设
，以
为空间的一个基底，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】如图，在三棱锥
中，
是
的中点，点
在
上，
，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知三棱柱
如图所示，其中
，若点
为棱
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】如图，三棱锥
中，
，
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 四点共面问题
【典例1】已知点
在平面
上，点
是空间内任意一点，且
，则
的
值为 ．
【变式1】
是三棱锥
底面
所在平面内的一点，满足
的一组数对
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知
为空间任意一点，
四点中任意三点不共线，但四点共面，且
，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．2
【变式3】在下列条件中，使点
与点
，
，
一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（多选）．已知空间四边形
为平面
内一点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
对于空间任意一点
，四点
共面（其中
不共线）的充要条件是
（其中
）．
题型03 平面法向量的求解
【典例1】在空间直角坐标系
中，
，则平面
的一个法向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知空间中，点
，则平面
的一个法向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】在空间直角坐标系
中，已知点
，则下列向量坐标可以作为平
面
的一个法向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知向量
，
，则平面
的一个法向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知
，若平面
的一个法向量为
，则
．
平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面
的法向量为
选向量：选取两不共线向量
列方程组：由
列出方程组
解方程组：解方程组
赋非零值：取其中一个为非零值（常取
)
得结论：得到平面的一个法向量.
题型04 利用空间向量证明平行、垂直关系
【典例1】如图，已知在直三棱柱
中，
，
，
，
．
(1)在线段
上是否存在点
，使得
?
(2)在线段
上是否存在点
，使得
平面
?说明理由．
【变式1】如图，在正方体
中，
分别为底面
和侧面
的中心．求证：
(1)
平面
；
(2)平面
平面
．
【变式2】如图，在正方体
中，
是
的中点，
是
的中点.
(1)在平面
内确定一点
，使
平面
；
(2)证明：棱
上不存在点
，使平面
平面
.
【变式3】如图，在四棱锥
中，
，
，四边形
为
矩形，
在
上，且
，
为
的中点，平面
交
于点
．
(1)求证：
；
(2)在线段
上是否存在点
（异于点
），使得平面
与平面
的夹角为
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
【变式4】如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，
为
上一点，且
．（请用空间向量法予以证明）
(1)求证：
平面PBC；
(2)求证：
平面BDE．
空间中直线、平面的垂直
设直线
的方向向量为
，直线
的方向向量为
，平面
的法向量
，平面
的法向量为
，则
线线垂直
⇔
⇔
线面垂直
⇔
⇔
⇔
面面垂直
⇔
⇔
⇔
题型05 异面直线所成角
【典例1】如图，在棱长为2 的正方体
中，E，F，G 分别为
，
，
的中点，则
与
所成的角的余弦值为 ．
【变式1】如图，边长为1 的菱形
中，
，沿
将
翻折，得到三棱锥
，
当平面
平面
时，异面直线
与
所成的角的余弦值等于 ．
【变式2】如图，在直三棱柱
中，D 为棱
的中点，
，
，
，
则异面直线CD 与
所成角的余弦值为
【变式3】在直三棱柱
中，
，点
是
的中点，则
与
所
成角的余弦值为 .
【变式4】在直三棱柱
中，
，
，
分别是
，
的中点，
，则
与
所成角的余弦值是 .
1、用向量运算求两条直线所成角
已知
，
为两异面直线，
，
与
，
分别是
，
上的任意两点，
，
所成的角为
，则
①
②
.
题型06 利用向量法求直线与平面所成角
【典例1】如图，在正方体
中，M 为线段BD 的中点，N 为线段
上的一动点含端点
，则直线MN 与平面
所成角的正弦值的最大值为 .
【变式1】在四棱柱
中，
平面ABCD，
，
，点E，F 满
足
，
，则直线EF 与底面ABCD 所成角的正弦值为 .
【变式2】在四棱柱
中，
平面
，
，
，
，
，其中
，
.若
与底面
所成角的正弦值为
，则
的最大值是
.
【变式3】已知正四棱柱
中，
，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面
的一个法向量是 （答案不唯一，写出一个坐标即可），直线
与平面
所成角的正弦
值等于 .
【变式4】如图，在四棱台体
中，
平面
，底面
为正方形，
，则该四棱台的体积
，直线
与平面
所成角的正弦值为
.
设直线的方向向量为
，平面
的法向量为
，直线与平面所成的角为
，
与
的角为
，则有
①
②
.（注意此公式中最后的形式是：
）
题型07 利用向量法解决直线与平面所成角的探索性问题
【典例1】如图，多面体
中，
，
，
两两垂直，
‖
‖
，
‖
，且
．
(1)设面
与面
的交线为，求证：‖
；
(2)求证：
；
(3)已知线段
上存在一点
，使得直线
与平面
所成的角的正弦值为
，求
的长．
【变式1】如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求三棱锥
的外接球的体积；
(3)线段
上（不含端点）是否存在点
，使得
与平面
所成角为
？若存在，确定
点的位
置；若不存在，请说明理由.
【变式2】如图，在直三棱柱
中，
分别为
的中点.
(1)证明：
平面ACF；
(2)在线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求平面
AFM 与平面
夹角的余弦值；若不存在，请说明理由.
【变式3】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，
平面ABCD，
，
，
，E 为AB 的中点.
(1)求平面EMC 与平面MBC 夹角的余弦值；
(2)在线段AM 上是否存在点P，使直线PE 与平面MBC 所成的角为
?若存在，求出PE 的长；若不存在，
请说明理由.
【变式4】如图，在四棱锥
中，底面
是边长为
的菱形，侧面
底面
，
，
，
是
中点，点
在侧棱
上（不包括端点）．
(1)求证：
；
(2)是否存在点
，使
与平面
所成角的正弦值为
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明
理由．
题型08 利用向量法求二面角
【典例1】在正四棱柱
中，
，
，
是
的中点，则平面
与平面
夹角的余弦值为 ．
【变式1】已知
是棱长为6 的正方体，
分别是棱
上的动点，且
．当
共面时，平面
与平面
夹角的余弦值为 ．
【变式2】在长方体
中，
，
，点
为长方体的底面
的中心，
点
为棱
的中点，则平面
与平面
夹角的余弦值为 .
【变式3】如图，在五棱锥
中，
底面ABCDE，
，
，
，
，
，则平面
与平面
的夹角的余弦值为 ．
【变式4】中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面
平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，
均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1 和2，对应的圆心角为
，则图中平面
与平面
所成角的余弦值为 .
用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若
于A，
于B，平面PAB 交于E，则∠AEB 为二面角
的平面角，
∠AEB+∠APB=180°.
若
分别为面
，
的法向量
①
②
根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则
；
若二面角为顿二面角（取负），则
；
题型09 利用向量法解决二面角中的探索性问题
【典例1】如图，在直三棱柱
中，
分别为
的中点，且
.
(1)证明：
平面
.
(2)若
，在线段
上是否存在点
，使平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，
确定点
的位置；若不存在，请说明理由.
【变式1】如图，直四棱柱
的底面
为梯形，
，
，
.
(1)若
，E 为
的中点，在侧面
内是否存在点F，使
平面
？若存在，请确定点F
的位置；若不存在，请说明理由.
(2)若点K 为
的中点，平面
与平面
所成锐二面角为60°，求
的长.
【变式2】如图，在三棱锥
中，
，
，
平面
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
，
为线段
的中点，点
为线段
的动点，且二面角
的余弦值为
，求
.
【变式3】如图，DE 是正
的一条中位线，O 为线段DE 的中点，
，将
沿DE 折起，得
到四棱锥
，且平面
平面ABED．
(1)证明：
平面ABED；
(2)R 为棱PB 上一点（不包括端点），若平面AOR 与平面AOB 夹角的余弦值为
，求
的值．
【变式4】如图，在四棱锥
中，侧面
平面
，
是边长为2 的等边三角形，底
面
为直角梯形，其中
，
，
.
(1)取线段
中点
，连接
，证明：
平面
；
(2)求
到平面
的距离；
(3)线段
上是否存在一点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，求出
的值；
若不存在，请说明理由.
题型10 利用向量法求点到直线的距离
【典例1】在空间直角坐标系中，点
，
，
，则
到直线
的距离为
【变式1】在棱长为2 的正方体
中，E 为
的中点，则点A 到直线
的最短距离为
.
【变式2】已知直线经过点
，且
是的方向向量，则点
到的距离为
．
【变式3】如图所示，在长方体
中，
，
，
与平面
交于点
，则点
到直线
的距离为 ．
【变式4】在空间直角坐标系中，已知三点
，则点
到直线
的距离为
.
点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为
，
是直线上的定点，
是直线外一点.设
，则向量
在直线
上的投影向量
，在
中，由勾股定理得：
题型11 利用向量法求点到平面的距离
【典例1】已知空间四点
，
，
，
，则点
到平面
的距离为
．
【变式1】已知正方体
的棱长为1，
为棱
的中点，
为侧面
的中心，点
分别为直线
上的动点，且
，当
取得最小值时，点
到平面
的距离为
．
【变式2】正方体
的棱长为
分别为
的中点，
为底面
的中心，则点
到平面
的距离为 .
【变式3】在正六棱柱
中，
，
，
分别为
，
的中点，则点
到平面
的距离为 ．
【变式4】在长方体
中，
，已知异面直线
与
，
与
所成角的大小分
别为
和
，
为
中点，则点
到平面
的距离为 .
点到平面的距离
如图，已知平面
的法向量为
，
是平面
内的定点，
是平面
外一点.过点
作平面
的垂线，
交平面
于点
，则
是直线的方向向量，且点
到平面
的距离就是
在直线上的投影向量
的长度.
题型12 利用向量法解决点到平面的距离的探索性问题
【典例1】如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
底面
，
，
，
是
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)若点
在棱
上运动，当点
到平面
的距离为
时，求
的长度．
【变式1】已知梯形
中，
，如图1.将
沿
折起到
，得到三棱锥
，如图2，
分别为棱
､
的中点.
(1)若
，求证：平面
平面
；
(2)若
，求二面角
的正弦值；
(3)是否存在点
，使得点
到平面
的距离为
？若存在，确定点
的位置；若不存在，请说明理由.
【变式2】如图，在直四棱柱
中，底面ABCD 为矩形，E 为棱
的中点．
(1)若
，证明：
．
(2)设
，
，
，
，且点F 到平面
的距离为
，求λ 的值．
【变式3】如图，直线
垂直于梯形
所在的平面，
，
为线段
上一点，
，
，四边形
为矩形．
(1)若
是
的中点，求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值
(3)若点
到平面
的距离为
，求
的长．
【变式4】如图1，在四边形
中，
，
，
，如图2，把
沿
折起，使点
到达点
处，且平面
平面
，
为
的中点.
(1)求证：
；
(2)求二面角
的余弦值；
(3)判断线段
上是否存在点
，使得三棱锥
的体积为
．若存在，求出
的值；若不存在，
请说明理由.
1．下列命题中正确的是（ ）
①若
，则
，
，
三点共线；
②若
，则
，
，
，
四点共面；
③若
，则
，
，
，
四点共面．
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
2．已知
是平面
的一个法向量，点
，
在平面
内，则
（ ）
A．2
B．5
C．7
D．9
3．已知
，
，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．，
，
4．如图，在棱长为1 的正方体
中，
为
的中点，则点
到平面
的距离为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知向量
，
，则“
与
的夹角为钝角”是“
”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
，点
是棱
的中点，点
在棱
上运动，则点
到直线
的距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在直三棱柱
中，已知
，E 是
的中点，D 是
的中点，
与
相交于点
F，
，
，
，则
与
所成的角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在正方体
，中，E 是
的中点，则
与平面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）若
是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选）已知四棱台
的上、下底面均为正方形，
底面
，
，
，
是底面
的中心，以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴建立空
间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．点
的坐标为
B．
C．平面
的一个法向量为
D．点
到平面
的距离为
11．已知直线的方向向量为
，平面
的一个法向量为
，若
，则
的值为
．
12．如图，在长方体
中，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值
为 ．
13．如图，四棱柱
的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且
，
是侧棱
上的
点，
，
是线段
上的动点．
(1)以
为坐标原点、
为
轴正方向、
为
轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点
的坐标．
(2)求点
到平面
的距离．
(3)在线段
上是否存在一点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
?若存在，求出点
的
位置；若不存在，请说明理由．
14．如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
与
均为等腰直角三角形，且
，
．
(1)求
与平面
所成角的余弦值；
(2)
是线段
上的动点，若线段
上存在点
（不包含端点），使得异面直线
与
成30°角，求线
段
长的取值范围．
15．如图，
是菱形
所在平面外一点，且
为等边三角形，
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
且
，问线段
上是否存在点
（不包含端点），使得平面
与平面
夹角
的正弦值是
?若存在，求
的值，若不存在请说明理由．
