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第8 章：向量的数量积与三角恒等变换章末综合测试卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．（23-24 高一下·江苏淮安·月考）已知向量
，
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若
，则
，即
，解得
.故选：A.
2．（23-24 高三下·河北·月考）将向量
绕坐标原点
逆时针旋转
得到
，则
（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2
【答案】B
【解析】因为
，且
，
所以
.故选：B.
3．（22-23 高三上·甘肃张掖·月考）已知向量
，
，若
，
，
与
的夹角为
，则
＝
（ ）
A．6
B．
C．3
D．
【答案】A
【解析】∵向量
，
，
与
的夹角为
，∴
，
∴
.故选：A.
4．（23-24 高一上·湖北·月考）
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】
，
，
，
所以
，
所以
.故选：A
5．（22-23 高一下·广东佛山·月考）
的值等于（ ）
A．
B．1
C．0
D．
【答案】B
【解析】
，故选：B.
6．（22-23 高一下·广东佛山·月考）在
中，若
，则
是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
【答案】C
【解析】由题意，得
．即
所以
．
又
，故
为钝角三角形．故选：C
7．（22-23 高一下·四川达州·月考）化简
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】
故选：A.
8．（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为
，半径为1 的圆O 的圆心为正六边形的中心，若点M
在正六边形的边上运动，动点A，B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
，
当
与正六边形的边垂直时，
，
当点
运动到正六边形的顶点时，
，
所以
，则
，即
.故选：B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（23-24 高一下·云南昆明·月考）已知
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
的最小值为
D．若向量
与向量
的夹角为钝角，则的取值范围为
【答案】AC
【解析】对于A，若
，则
，解得
，故A 正确；
对于B，若
，则
，解得
，故B 错误；
对于C，
，则
，
当
时，
，故C 正确；
对于D，因为向量
与向量
的夹角为钝角，所以
且
不共线，
由
，得
，由
得
，
所以的取值范围为
，故D 错误．故选：AC．
10．（23-24 高一下·江苏扬州·月考）下列式子化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于选项A：因为
，故选项A 错误；
对于选项B：
，故选项B 正确；
对于选项C：因为
，故选项C 正确；
对于选项D：因为
，故选项D 错误.故选：BC.
11．（23-24 高二上·四川德阳·期末）已知函数
的图象为（ ）
A．
的最小值为0
B．
的最小正周期为
C．将
向右平移
个单位所得图象关于原点中心对称
D．函数
在区间
上单调递增
【答案】BC
【解析】
，
对于A，
的最小值为
，故A 错误；
对于B，
的最小正周期为
，故B 正确；
对于C，将
向右平移
个单位可得：
，
为奇函数，关于原点对称，故C 正确；
对于D，由于
，所以
，根据正弦函数的单调性可知，
函数
在区间
上有增有减，故D 错误.故选：BC.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（23-24 高一下·重庆·月考）设
为单位向量，
，当
的夹角为
时，
在
上的投影向量为
.
【答案】
【解析】根据题意可得向量
在
上的投影向量为
.
13．（23-24 高一下·湖北黄冈·月考）已知
，
，则
..
【答案】
【解析】因为
，则
，
因为
，所以
，
所以
，
则
.
14．（22-23 高一下·河南开封·月考）在锐角
中，
，若点
为
的外心，且
，则实数
的值为
【答案】
【解析】设
的外接圆的半径为
，
若
，
，
，
，
，
即
，
由于二倍角公式可得
即
，故
，故
，故
．故
且
即
，
由于
为锐角，所以
，即
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）（22-23 高一下·江苏连云港·月考）已知向量
，
，
．
（1）求
（2）若
，求实数
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
，
，
,
所以
（2）
，
，
因为
，
所以
，解得
.
16．（15 分）（22-23 高一下·广西柳州·月考）已知
为第一象限角，
为第二象限角，且
，
（1）求
的值；
（2）求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
为第一象限角，
，则
，
所以
，
则
；
（2）由
为第一象限角，
，则
，所以
，
由于
为第二象限角，
，则
，
所以
，则
.
17．（15 分）（22-23 高一下·江苏·月考）已知向量
，
，且
.
（1）求
的值；
（2）求
的取值范围；
（3）记函数
，若
的最小值为
，求实数
的值.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）向量
，
，
.
（2）
，
，
，
，
，
所以
的取值范围为
.
（3）由（1）（2）可知，函数
，
令
，则
，
，其图像抛物线开口向上，对称轴方程为
，
当
，即
时，最小值为
，解得
（舍去）；
当
，即
时，最小值为
，解得
或
（舍
去）；
当
，即
时，最小值为
.
综上可知，
.
18．（17 分）（23-24 高一上·湖北·月考）已知
在区间
上最大值为6.
（1）求
单调增区间；
（2）当
时，关于
不等式
有解，求实数
取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）依题意，
，
由
，得
，则当
，
即
时，
，解得
，
因此
，
由
，得
，
所以函数
的单调增区间为
.
（2）由（1）知，
，不等式
化为
，
依题意，不等式
对
有解，
由
，得
，则
，因此
，
从而
，则
，
所以实数
取值范围是
.
19．（17 分）（23-24 高一上·福建宁德·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链
线.1691 年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程
，其中为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，类似地我们可以定义双曲正弦函数
.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
（1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:
_________.（只写出
即可，不要求证明）；
（2）
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）若
，试比较
与
的大小关系，并证明你的结论.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【解析】（1）
.
（2）依题意，
，不等式
，
函数
在
上单调递增，
，令
，
显然函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
又
，于是
，
，
因此
，
，显然函数
在
上单调递减，
当
时，
，从而
，
所以实数
的取值范围是
.
（3）
，
.
依题意，
，
，
当
时，
，
，即
，
于是
，而
，因此
，
当
时，
，则
，
，
即
，而
，因此
，
于是
，
，所以
.
