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第一章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．点
在空间直角坐标系中的（ ）
A．
轴上
B．
平面上
C．
平面上
D．第一象限内
2．已知平面
的法向量为
，则直线
和平面
的位置关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
与
相交但不垂直
3．已知平面
的一个法向量为
，平面
的一个法向量为
，若
，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
4．已知四面体
，M、N 分别是
的中点，且
，用
表示
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知向量
，
，
，当
时，向量
在向量上的投影的数量为
（ ）
A．
B．
C．3
D．
6．在平行六面体
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且
､
均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为
，
、
、
、
均与曲池的底面
垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和
，对应的圆心角为
，则图中异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，已知正方体
的棱长为
为
上三等分点且靠近
点，在侧面
内作边
长为1 的正方形
，
是侧面
内一动点，且点
到平面
的距离与线段PF 的长度相等．
则当点
运动时，
的最小值是（ ）
A．12
B．13
C．14
D．17
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知点
，
，则（ ）
A．
为
B．线段
的中点坐标为
C．点B 到x 轴的距离为5
D．直线
的一个方向向量为
10．若
构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
11．如图，在棱长为1 的正方体
中，点P 在线段
上（含端点）运动，下列选项中正确
的有（ ）
A．线段
长度的最大值是
B．点P 到平面
的距离是定值
C．直线
与BD 所成角的最小值是
D．直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围是
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．向量
且
，则实数
.
13．在空间直角坐标系中，若
，
，
，
四点共面，则
．
14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架
，
的边长都是1，且它们所在的平面互相垂
直.活动弹子
，
分别在正方形对角线
和
上移动，且
和
的长度保持相等，记
，则当
的长最小时，平面
与平面
夹角的余弦值为 .
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．如图所示，四棱柱
中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两
两夹角为60°．设
，
，
．
(1)用
为基底表示向量
，并求
的长；
(2)求
的值．
16．如图，在正三棱柱
中，
，
为
的中点．
(1)求点
到直线
的距离；
(2)求异面直线
与
所成角的余弦值．
17．如图，在三棱锥
中，
，
，
，点E 为
的中点.
(1)求证：
；
(2)若平面
平面
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
18．如图，在五边形ABCDE 中，四边形ABCD 是正方形，
是以AD 为底边的等腰三角形，
，
，以AD 为折痕，把
折起，使点E 到达点F 的位置，得到四棱锥
．
(1)当
时，求四棱锥
外接球的表面积．
(2)当
时，
①求
的面积；
②求平面
与平面
夹角的余弦值．
19．如果
与
是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量
，存在唯一的一组实数
与，使
得
，其中的
称为向量
的一个基，系数
称为向量
在基
下的坐
标.已知
分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量
在基
下的坐标为
.且
是空间中的另一个基.
(1)求向量
在基
下的坐标；
(2)若向量
在基
下的坐标为
，向量与
共线，且
.
①求向量在基
下的坐标；
②若向量
在基
下的坐标为
，且与的夹角为锐角，将
的起点平移至同一点
后，以
为邻边的三角形区域绕旋转一周得到旋转体
，求
的体积.
