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第二章 等式与不等式（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．下列等式中，属于恒等式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列关于方程
的说法中，正确的是（ ）
A．两根之和为2
B．解集为
C．两根之和为1
D．有两不等实根
3．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作
、
两种类型的灯笼，其中
型灯笼
每个需要0.5 米彩带，
型灯笼每个需要1 米彩带．活动规定：两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已
知某同学用60 米长的彩带制作
型灯笼
个，
型灯笼
个．若要使该同学的得分最高，则实数
，
的
值分别为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
5．若
，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设集合
．若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
7．对于下列结论：
①方程
的两根之和为
，两根之积为
；
②方程
的两根之和为
，两根之积为
；
③方程
的两根之和为
，两根之积为
；
④方程
的两根之和为
，两根之积为
．
其中正确的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若关于
的不等式
的解集为
或
，则不等式
的解集为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列命题为假命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
且
，则
D．
10．（多选）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国
数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深
远，若
，则下面结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
有最小值
C．若
，则
D．若
，则
有最大值1
11．如图，二次函数
的图象与
轴交于两点
，其中
．下列四个结
论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若不等式
有解，则实数
的取值集合是 .
13．若正数
满足
，则
的最小值是 .
14．如图，
地在自西向东的一条直线铁路上，在距
地
的B 地有一金属矿，
地到该铁路的距离
．现拟定在
之间的
地修建一条公路到
地，即修建一条
的运输路线．若公路运
费是铁路运费的
倍，则当
地到
地的距离为
时，总运费最低．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．解下列不等式.
(1)
；
(2)
.
16．（1）求不等式
的解集；
（2）求不等式
的解集
17．已知关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实数根为
、
．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)若
，求实数m 的取值范围．
18．荆州中学坐落于历史文化名城荆州，发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院贡院，弦歌不
､
辍，薪火相传，文脉不绝.其近代教育始于1903 年清政府创办的荆州府中学堂，临近121 周年校庆，学校
计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：
）为
.
(1)已知阁楼屋顶为高
，底边长
的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）.
（i）要使窗户面积不小于2 平方米，求x 的取值范围；
（ii）规定：公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于
，若
阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5 平方米，则当边长x 为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平
方米？
(2)一般认为，在公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积的规定下，窗户面积与地板面积的比值越大，
采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说
明理由.
19．问题：正数a，b 满足
，求
的最小值.
有一种解法是：
，当且仅当
且
时，即
且
时
取等号.学习上述解法并解决下列问题：
(1)正数a，b 满足
，求
的最小值；
(2)若正数a，b，x，y 满足
，求证：
(3)利用（2）的结论，求
的最小值，并求出使得M 最小的m 的值.
