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第二章 等式与不等式（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．下列等式中，属于恒等式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】取特殊值可判断ABD，根据等式的性质可判断C.
【详解】对于A，
时，
，故A 错误；
对于B，取
，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，取
,可得
,
与
无意义，故D 错误.
故选:C.
2．下列关于方程
的说法中，正确的是（ ）
A．两根之和为2
B．解集为
C．两根之和为1
D．有两不等实根
【答案】B
【分析】由根的判别式作出判断.
【详解】
中，
，故解集为
.
故选：B
3．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质求解易得.
【详解】由
可得
，故得
.
故选：C.
4．某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作
、
两种类型的灯笼，其中
型灯笼
每个需要0.5 米彩带，
型灯笼每个需要1 米彩带．活动规定：两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已
知某同学用60 米长的彩带制作
型灯笼
个，
型灯笼
个．若要使该同学的得分最高，则实数
，
的
值分别为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】依题意可得
，再利用基本不等式计算可得
【详解】依题意
，
且
，即
，
又
，所以
，当且仅当
时取等号，由
，解得
，
故当
，
时该同学的得分最高.
故选：A
5．若
，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由
可得
，
故
，
故选：D
6．设集合
．若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【详解】由
，得
，即
．因为
，所以
或
，解得
或
，即实数a 的取值范围是
或
．
7．对于下列结论：
①方程
的两根之和为
，两根之积为
；
②方程
的两根之和为
，两根之积为
；
③方程
的两根之和为
，两根之积为
；
④方程
的两根之和为
，两根之积为
．
其中正确的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系、
逐项判断即可.
【详解】对于①，方程
的判别式
，
由一元二次方程根与系数的关系可知，这个方程的两根之和为
，
两根之积为
，①对；
对于②，方程
的判别式为
，这个方程无实解，②错；
对于③，方程
的判别式为
，
这方程的两根之和为
，两根之积为
，③对；
对于④，方程
的判别式为
，
这个方程的两根之和为
，两根之积为
，④错.
故选：B.
8．若关于
的不等式
的解集为
或
，则不等式
的解集为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】先利用已知一元二次不等式的解集求得参数
，
，再代入所求不等式，利用分式大于
零，则分子分母同号，列不等式计算即得结果.
【详解】因为关于
的不等式
的解集为
或
，
所以
的两根是
和
，所以
，
，
所以
可转化为
，
等价于
或
，解得
或
．
所以原不等式的解集为
或
.
故选：B．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列命题为假命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
且
，则
D．
【答案】AB
【分析】举反例即可判断AB；作差法即可判断CD．
【详解】对于A，当
，
，故A 为假命题；
对于B，若
，则
，故B 为假命题；
对于C，若
且
，则
，
所以
，故C 为真命题；
对于D，
，
所以
，故D 为真命题；
故选：AB．
10．（多选）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国
数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深
远，若
，则下面结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
有最小值
C．若
，则
D．若
，则
有最大值1
【答案】ABD
【分析】由不等式的基本性质与基本不等式逐项求解判断即可.
【详解】对于A，
，则
，即
，故A 正确；
对于B，
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，故B 正确；
对于C，
，由
，取
，满足条件，
则
，故C 不正确；
对于D，
，则
，
当且仅当
时取等号，故D 正确.
故选：ABD.
11．如图，二次函数
的图象与
轴交于两点
，其中
．下列四个结
论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的图象可知
，
，
，从而可判断A；根据二次函数
的图象与x 轴交于两点
，
，其中
，可得
，
，从而可判断
B,C；利用基本不等式并验证取等条件即可判断D.
【详解】由图可知，抛物线开口向上，且交于
轴正半轴，则
，
，
因为对称轴在
轴右侧，则
，所以
，
所以
，故A 错误；
当
时，
，故B 正确；
当
时，
，则
，
又
，则
，
所以
，故C 正确；
因为
，则
，当且仅当
时等号成立，
但二次函数
的图象与x 轴交于两点
，
，其中
，
则对称轴为
，则
，则等号无法取到，故
，故D 正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若不等式
有解，则实数
的取值集合是 .
【答案】
【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可.
【详解】由题意，可得
，即
，
则实数
的取值集合是
.
故答案为：
.
13．若正数
满足
，则
的最小值是 .
【答案】
【分析】由条件可得
，故
展开，结合基本不等式求其最小值.
【详解】由
，可得
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故答案为：
.
14．如图，
地在自西向东的一条直线铁路上，在距
地
的B 地有一金属矿，
地到该铁路的距离
．现拟定在
之间的
地修建一条公路到
地，即修建一条
的运输路线．若公路运
费是铁路运费的
倍，则当
地到
地的距离为
时，总运费最低．
【答案】
【分析】根据已知列出总运费
，再应用判别式法计算求解即可.
【详解】设当
地到
地的距离为
时，铁路每公里运费为
，公路每公里运费为
．
由题意得
，则总运费
，
要使总费用最低，只需
最小即可．
设
，则
，
得
，则
，得
．
当
时，总费用最低，则
，得
，
所以当
地到
地的距离为
时，总运费最低．
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．解下列不等式.
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案,
（2）分
，
和
三种情况求解.
【详解】（1）不等式可化为
，
∴ 不等式的解集是
.
（2）原不等式可化为
，
若
时，解为
,
若
时，解为
，
若
时，解为
.
16．（1）求不等式
的解集；
（2）求不等式
的解集
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）移项、作差转化为一元二次不等式即可；
（2）对于绝对值不等式，平方后可去掉绝对值，然后解不等式即可.
【详解】（1）移项有
，即
，即
，且
，
解得
或
，
则其解集为
.
（2）由不等式
，可得
，
即
，即
，
解得
，即原不等式的解集为
.
17．已知关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实数根为
、
．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)若
，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
．
(2)
．
【分析】（1）由判别式大于0 可得；
（2）由韦达定理求解．
【详解】（1）由题意
，解得
或
，
的范围是
．
（2）由题意
，
，
所以
，解得
，
又
，所以
，即
．
18．荆州中学坐落于历史文化名城荆州，发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院贡院，弦歌不
､
辍，薪火相传，文脉不绝.其近代教育始于1903 年清政府创办的荆州府中学堂，临近121 周年校庆，学校
计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：
）为
.
(1)已知阁楼屋顶为高
，底边长
的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）.
（i）要使窗户面积不小于2 平方米，求x 的取值范围；
（ii）规定：公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于
，若
阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5 平方米，则当边长x 为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平
方米？
(2)一般认为，在公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积的规定下，窗户面积与地板面积的比值越大，
采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说
明理由.
【答案】(1)（i）
；（ii）当
为
米或
米时，窗户面积最小为
平方
米
(2)采光条件变好了，理由见解析
【分析】（1）（i）利用三角形相似可得
，得出面积表达式解不等式可得结果；
（ii）依题意得出不等式组即可解得结果；
（2）利用作差法即可判断出采光效果是变好了.
【详解】（1）（i）设矩形的另一边长为
，
由三角形相似得
且
，所以
，
又矩形窗户面积
，
解得
，
故的取值范围为
.
（ii）设地板面积为
，解不等式组
，
所以
，即
，解得
，
故窗户面积最小为
，
令
，可得
，解得
或
.
故当
为
米或
米时，窗户面积最小，为
平方米.
（2）设
分别表示原来窗户面积和地板面积，
表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），
由题意得
，则
.
因为
，所以
，即
，
所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了.
19．问题：正数a，b 满足
，求
的最小值.
有一种解法是：
，当且仅当
且
时，即
且
时
取等号.学习上述解法并解决下列问题：
(1)正数a，b 满足
，求
的最小值；
(2)若正数a，b，x，y 满足
，求证：
(3)利用（2）的结论，求
的最小值，并求出使得M 最小的m 的值.
【答案】(1)9
(2)证明见解析
(3)
，
【分析】（1）根据题干中的方法，将
与
相乘，即可求最值；
（2）根据题干中的方法，将
与
相乘，化简后利用基本不等式即可得证；
（3）记
，
，根据
可求
的值，再利用
可求最值.
【详解】（1）∵a＞0，b＞0，a＋b＝1
∴
当且仅当
，即
，
时，等号成立，所以
的最小值为9.
（2）
，
又
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
所以
，当且仅当
且
时，等号成立.
（3）记
，
构造
，
由
，解得
，
因为
，所以
，
，
，
所以
取等号时，
，解得
，即
，
所以
时，M 取得最小值
.
