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第一章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知点
是点
在坐标平面
内的射影，则
（ ）
A．
B．
C．
D．5
2．在斜四棱柱
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知空间向量
，则下列向量可以与
构成空间向量的一组基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若空间向量
，则向量
在向量
上的投影向量的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，下列各正方体中，
为下底面中心，
为其所在棱的中点，
，
为正方体的顶点，则满足
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知正方体
的棱长为1，
为棱
的中点，则点
到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
知在四面体
中，
为等边三角形，
的面积为
，点
在平面
上的投影为
点
，点
分别为
的中点，则（ ）
A．
与
相交
B．
与
异面
C．
D．
8．在直棱柱
中，
，且
，N 是棱
上的一点，且满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．6
C．3
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间中任意两个向量一定共面
B．若空间向量
，
，则
与
的夹角为钝角
C．若
是空间的一个基底，则
，
，中任意两个向量不共线
D．若
是空间的一个基底，则
也是空间的一个基底
10．在正三棱柱
中，D 为BC 中点，则（ ）
A．
B．
平面
C．
D．
平面
11．如图，在直三棱柱
中，
分别为棱
上的动点，且
，则（ ）
A．存在
使得
B．存在
使得
平面
C．若
长度为定值，则
时三棱锥
体积最大
D．当
时，直线PQ 与
所成角的余弦值的最小值为
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知空间向量
，
，若
，则实数
的值为 ．
13．已知A，B，C，P 是空间中不共面的四点，满足
，若
，且点P 到平面ABC 的距离等于1，则a 的值为 ．
14．在正四棱柱
中，
是正四棱柱内 (含表面)的动点，
且
，则点
在正四棱柱内运动所形成的图形的面积为 .
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．如图，在正三棱柱
中，
是棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
16．如图，已知
是底面边长为2 的正四棱柱，
为
与
的交点，O 为AC 与BD 的
交点．
(1)证明：
平面
；
(2)若点
到平面
的距离为
，求正四棱柱
的高．
17．如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，平面
平面
，
，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
18．如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为正方形，
底面ABCD，
，E 为线段PB 的中
点．
(1)若F 为线段BC 上的动点，证明：平面
平面PBC；
(2)若F 为线段BC 上的动点，探究是否存在点F 使得
平面AEF，说明理由；
(3)若F 为线段DC 的中点，
，过A、E、F 三点的平面交PC 于点G，求四棱锥
与
的体积之比．
19．如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，M
为棱
的中点.
(1)证明：
平面
.
(2)已知
.
（i）求平面
与平面
夹角的余弦值.
（ii）在线段
上是否存在点Q，使得点Q 到平面
的距离是
？若存在，求出
的值；若不存
在，说明理由.
