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第一章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知点
是点
在坐标平面
内的射影，则
（ ）
A．
B．
C．
D．5
【答案】A
【分析】求出点
的坐标，再利用两点间距离公式计算得解.
【详解】依题意，
，所以
.
故选：A
2．在斜四棱柱
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用空间向量数量积可求
.
【详解】
，
则
．
故选：A.
3．已知空间向量
，则下列向量可以与
构成空间向量的一组基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据基底的定义，判断
是否共面即可逐一求解.
【详解】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A 错误，
对于B，由于
与
不共面，符合基底要求，故B 正确，
对于C，
，故
共面，不符合要求，C 错误，
对于D，
，故
共面，不符合要求，D 错误，
故选：B
4．若空间向量
，则向量
在向量
上的投影向量的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】代入投影向量坐标公式，即可求解.
【详解】向量
在向量
上的投影向量的坐标是
.
故选：D
5．如图，下列各正方体中，
为下底面中心，
为其所在棱的中点，
，
为正方体的顶点，则满足
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过建立空间直角坐标系，对于每个选项，先确定相关点的坐标，进而得到向量
与
的坐
标，再计算它们的数量积进行判断.
【详解】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为
.
根据正方体的性质以及点的位置，可得
，
，
，
.
，
，
.
因为
，根据向量垂直的性质可知
，即满足
，故A 正确.
对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为
.
根据正方体的性质以及点的位置，可得
，
，
，
.
，
，
.则
与
不垂直.故B 错误.
对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为
，
根据正方体的性质以及点的位置，可得
，
，
，
.
，
.则
.则
与
不垂直.故C 错误.
对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为
，
根据正方体的性质以及点的位置，可得
，
，
，
.
，
，则
.则
与
不垂直.故D 错误.
故选：A.
6．已知正方体
的棱长为1，
为棱
的中点，则点
到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据几何体特征，建立空间直角坐标系，根据空间点到线的距离公式计算即可.
【详解】根据题意，以正方体
的顶点
为坐标原点，以
，
，
为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，
，
，所以
，
，
设
与
的夹角为
，则
，
所以
，
所以点
到直线
的距离为
.
故选：D.
7．如图，已知在四面体
中，
为等边三角形，
的面积为
，点
在平面
上的投影为点
，点
分别为
的中点，则（ ）
A．
与
相交
B．
与
异面
C．
D．
【答案】C
【分析】AB 选项，作出辅助线，得到
，由于
与
相交，故
与
异面；CD 选项，建立
空间直角坐标系，利用三角形面积求出等边三角形边长，写出点的坐标，利用向量夹角公式得到C 正确，
D 错误.
【详解】AB 选项，连接
，则
，
平面
，
平面
，
由于
与
相交，故
与
异面，故AB 错误；
C 选项，
的面积为
，
为等边三角形，
设
的边长为
，则
，解得
，
因为
分别为
的中点，所以
⊥
，
又
在平面
上的投影为点
，故
⊥平面
，
以
为坐标原点，
所在直线为
轴，平行
的直线为
轴，
所在直线为
轴，
建立空间直角坐标系，
又
，故
，
则
，
，
所以
，C 正确；
D 选项，
，
，
，
故
故
所成角的余弦值为
，故D 错误.
故选：C.
8．在直棱柱
中，
，且
，N 是棱
上的一点，且满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．6
C．3
D．
【答案】B
【分析】设
，
，
，将向量
分别用
表示，代入
，利
用向量数量积的运算律化简，求得
，借助于二次函数的性质即可求得
的最小
值.
【详解】
设
，
，
，
则
，
，
由
，
因
，
，则
，
代入整理得，
，显然
，故
，
因
，故当
时，
取得最大值
，
此时
取得最小值为36，故
的最小值为为6.
故选：B.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间中任意两个向量一定共面
B．若空间向量
，
，则
与
的夹角为钝角
C．若
是空间的一个基底，则
，
，中任意两个向量不共线
D．若
是空间的一个基底，则
也是空间的一个基底
【答案】ACD
【分析】根据向量的性质可判断A；利用空间向量坐标计算
，即可判断B 错误；根据空间基底的
性质及定义，可判定CD 正确.
【详解】对于A，因为空间中任意两个向量都可以平移至起点重合，成为同一个平面的两个向量，故A 正
确；
对于B，
，故B 不正确；
对于C，基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，故C 正确；
对于D，由
是空间的一个基底，设
，显然不存在实数
使得
成立，
所以
一定不共面，则
也是空间的一个基底，故D 正确；
故选：ACD.
10．在正三棱柱
中，D 为BC 中点，则（ ）
A．
B．
平面
C．
D．
平面
【答案】BD
【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定
与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法
二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】法一：对于A，在正三棱柱
中，
平面
，
又
平面
，则
，则
，
因为
是正三角形，
为
中点，则
，则
又
，
所以
，
则
不成立，故A 错误；
对于B，因为在正三棱柱
中，
平面
，
又
平面
，则
，
因为
是正三角形，
为
中点，则
，
又
平面
，
所以
平面
，故B 正确；
对于D，因为在正三棱柱
中，
又
平面
平面
，所以
平面
，故D 正确；
对于C，因为在正三棱柱
中，
，
假设
，则
，这与
矛盾，
所以
不成立，故C 错误；
故选：BD.
法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为
，高为，
则
，
对于A，
，
则
，
则
不成立，故A 错误；
对于BD，
，
设平面
的法向量为
，
则
，得
，令
，则
，
所以
，
，
则
平面
，
平面
，故BD 正确；
对于C，
，
则
，显然
不成立，故C 错误；
故选：BD.
11．如图，在直三棱柱
中，
分别为棱
上的动点，且
，则（ ）
A．存在
使得
B．存在
使得
平面
C．若
长度为定值，则
时三棱锥
体积最大
D．当
时，直线PQ 与
所成角的余弦值的最小值为
【答案】BCD
【分析】建立空间直角坐标系
，用向量在空间直线、面位置关系和空间角、距离上的应用方法一
一去计算求解，并结合一元二次函数、基本不等式求最值即可.
【详解】如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系
，设
，
则由题：
，
所以
，
因为
，
，
所以
，所以
，
，
所以
，所以
，
对于A：由
，故A 错误；
对于B：由
是平面
的一个法向量，
则
，
所以当
时，
，所以
平面
，故B 正确；
对于C：由
，
设平面
的一个法向量为
，
所以
，令
，
设点
到平面
的距离为
，则
，
所以
，
所以
，
因为
长度为定值，所以当
时，三棱锥
体积最大，故C 正确；
对于D：设直线
与
所成角为
，
由上当
时，
，
当且仅当
即
时等号成立，故D 正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知空间向量
，
，若
，则实数
的值为 ．
【答案】
【分析】利用向量共线定理求解.
【详解】根据题意，因为
，设
，则有
，
可得
，所以
.
故答案为：
.
13．已知A，B，C，P 是空间中不共面的四点，满足
，若
，且点P 到平面ABC 的距离等于1，则a 的值为 ．
【答案】
【分析】求得平面
的一个法向量为
，再根据
和向量的数量积的运算，即可求解.
【详解】由
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，可得
，即
，
点P 到平面ABC 的距离等于
，所以
，即得
，且
，
所以
，
所以
，所以
.
故答案为：
.
14．在正四棱柱
中，
是正四棱柱内 (含表面)的动点，
且
，则点
在正四棱柱内运动所形成的图形的面积为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，
，写出
点的坐标，根据
，利用空间数量积求
解，得到答案.
【详解】根据题意建立如图所示空间直角坐标系，
，
则
由
，则
，设
，由题意可知，
，
则
，
，
由
，则
，
故
的轨迹为矩形，且顶点为
，
又
，故
.
故答案为:
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．如图，在正三棱柱
中，
是棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据中位线性质利用线面平行判定定理即可证明得出结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面
的法向量即可计算得出直线
与平面
所成角的正弦值.
【详解】（1）连接
，与
相交于点
，连接
，如下图：
因为四边形
为矩形，故
为
的中点.
又
为
的中点，故
，
又
平面
平面
，
所以
平面
（2）取
的中点
，连接
，则
，
由于
平面
，故
平面
，
故以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
因为
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，
解得
，令
得
，故
，
又
设直线
与平面
所成的角为
，
所以
，
故直线
与平面
所成角正弦值为
.
16．如图，已知
是底面边长为2 的正四棱柱，
为
与
的交点，O 为AC 与BD 的
交点．
(1)证明：
平面
；
(2)若点
到平面
的距离为
，求正四棱柱
的高．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
，可证
，根据线面平行的判断定理可得
平面
.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设
，则可用表示平面
的法向量，根据距离公式可求
.
【详解】（1）在正四棱柱
中，连接
，
由
，得四边形
为平行四边形，则
，
，
又
为
与
的交点，
为
与
的交点，则
，
，
因此四边形
为平行四边形，
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）以
为坐标原点，
分别为
轴正方向建立空间直角坐标系，
则
，设
，则
，
设平面
的一个法向量为
，而
，
则
，令
，得
，又
，
由点
到平面
的距离为
，得
，解得
，
所以正四棱柱
的高为
.
17．如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，平面
平面
，
，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【分析】（1）利用面面垂直性质以及勾股定理，结合线面垂直判定定理可得结论；
（2）建立空间直角坐标系并利用空间向量求得两平面的法向量，即可得出结论.
【详解】（1）因为平面
平面
，平面
平面
，
，
所以
平面
，所以
；
在
中，
，
，
，
所以
，
所以
，即
；
又因为
，
所以
平面
.
（2）由（1）知，
平面
，
，
建立以A 为原点，
，
，
分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，如下图所示：
则
，
，
，
所以
，
，
设平面
的一个平面法向量
，
则
，即
，所以取
；
同理可得，平面
的一个法向量
；
所以
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
18．如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为正方形，
底面ABCD，
，E 为线段PB 的中
点．
(1)若F 为线段BC 上的动点，证明：平面
平面PBC；
(2)若F 为线段BC 上的动点，探究是否存在点F 使得
平面AEF，说明理由；
(3)若F 为线段DC 的中点，
，过A、E、F 三点的平面交PC 于点G，求四棱锥
与
的体积之比．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
(3)
．
【分析】（1）根据题意，分别证得
和
，利用线面垂直的判定定理，证得
平面
PBC，再由面面垂直的判定定理，即可证得平面
平面PBC；
（2）连接AC，BD 交于点O，得到O 为BD 的中点，证得
，利用线面平行的判定定理，证得
平面ACE，进而得到点F 与点C 重合时，直线
平面AEF，得到结论；
（3）连接EF，则四棱锥
可分为
和
两个三棱锥，利用锥体的体积公式，求得四
棱锥
的体积，再由点G 为PC 的靠近C 的三等分点，分别求得
和
，根据
，求得
即可得到答案．
【详解】（1）证明：在
中，因为
，且E 为线段PB 的中点，所以
，
又因为
底面ABCD，
底面ABCD，
所以
，
因为
，
，且AB，
平面PAB，
所以
平面PAB，
又因为
平面PAB，所以
，
因为
，且PB，
平面PBC，
所以
平面PBC，因为
平面AEF，
所以平面
平面PBC；
（2）存在，理由如下：
如图所示，连接AC，BD 交于点O，可得O 为BD 的中点，
因为E 为PB 的中点，所以
，
又因为
平面ACE，
平面ACE，所以
平面ACE，
当点F 与点C 重合时，此时
平面AEF，
即在BC 上存在点F，使得
平面AEF．
（3）如图所示，连接EF，则四棱锥
可分为
和
两个三棱锥，
因为
，且
底面ABCD，
所以四棱锥
的体积为
，
以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得
，
则
，
，
，
，
设
，其中
，
则
，
因为A，E，G，F 共面，
则存在实数x，y 使得
，
即
，
可得
，
解得
，
即
，
所以G 为PC 的靠近C 的三等分点，
因为F 为线段DC 的中点，可得
，
即
，
又因设E 到平面PCD 的距离为d，B 到平面PCD 的距离为d1，
则
，
所以
，
又因为F 为线段DC 的中点，且
平面PAB，
因为
，
平面PAB，
平面PAB，
所以
平面PAB，
所以F 到平面PAB 的距离等于C 到平面PAB 的距离，此时距离为
，
则
，
所以
，
所以
．
19．如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，M
为棱
的中点.
(1)证明：
平面
.
(2)已知
.
（i）求平面
与平面
夹角的余弦值.
（ii）在线段
上是否存在点Q，使得点Q 到平面
的距离是
？若存在，求出
的值；若不存
在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
；（ii）存在，
【分析】（1）作
的中点
，连接
，
，可证四边形
是平行四边形，可得
，可
证得结论.
（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离得向量法求解即可.
【详解】（1）取
的中点
，连接
，
，如图所示，
为棱
的中点，
，
，
，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
又
平面
，
平面
，
平面
.
（2）
平面
，
，
，
，
两两垂直，
以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，
，
，
，
，
为棱
的中点，
，
（i）
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，
，
，
取
的中点
，连接
，易知
平面
，
即
是平面
的一个法向量，
，
设平面
与平面
夹角为
，
，
平面
与平面
夹角的余弦值为
；
（ii）假设在线段
上存在点Q，使得点Q 到平面
的距离是
，
设
，
，则
，
，
由（i）知平面
的一个法向量为
，
，
点Q 到平面
的距离是
，
，
，所以存在点Q 满足题意，此时
.
