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第一章 空间向量与立体几何 章末大总结
教学目标
1.逻辑推理：通过例题讲解让学生掌握用向量解决空间角问题这一方法，能
培养学生逻辑推理的核心素养；
2.数学运算：通过例题的完成，经历解题运算，能培养学生数学运算的核心
素养；
3.直观想象：利用图形描述数学问题，建立数与形的联系，培养学生直观想
象的核心素养.
教学重难点
重点：空间向量法解决立体几何空间角问题
难点：空间向量法解决立体几何空间角问题
知识点01 空间向量加法，减法运算
1、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量
，则向量
叫做向量
的和．记作
，即
2、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量
叫做
与
差，记作
，即
【即学即练】在平行六面体
中，
与
相交于点
，设
，
，
，
则下列向量中与
相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
【详解】根据题意，
，
故选：B.
知识点02 空间向量数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数
与空间向量
的乘积
仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量
与向量
的关系
的范围
的方向
的模
与向量
的方向相同
，其方向是任意的
与向量
的方向相反
知识点03 共面向量定理
1 共面向量定理：如果两个向量
不共线，那么向量
与向量
共面的充要条件是存在唯一的有序实数
对
，使
2 空间共面向量的表示
如图空间一点
位于平面
内的充要条件是存在有序实数对
，使
．
或者等价于：对空间任意一点
，空间一点
位于平面
内（
四点共面）的充要条件是存
在有序实数对
，使
，该式称为空间平面
的向量表示式，由此可知，空间
中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3 拓展
对于空间任意一点
，四点
共面（其中
不共线）的充要条件是
（其中
）．
【即学即练】在下列条件中，使M 与A，B，C 一定共面的是（其中O 为坐标原点）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论.
【详解】空间向量共面定理：
，
若
不共线，且
共面，其充要条件是
.
对A，因为
，所以
四点不共面；
对B，因为
，所以
四点不共面；
对C，由
可得
，
因为
，所以
四点不共面；
对D，由
可得
，
即
，因为
，所以
四点共面.
故选：D
知识点04 空间向量基本定理
1、定理：如果向量三个向量
不共面，那么对空间任意向量
存在有序实数组
使得
2、基底与基向量
如果向量三个向量
不共面，那么所有空间向量组成
集合就是
这个集
合可看作是由向量
生成的，我们把
叫做空间的一个基底
都叫做基向量．
【即学即练】已知
是空间向量的一组基底，
是空间向量的另一组基底，若向量
在基底
下的坐标为
，则向量
在基底
下的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由空间向量基本定理设向量
在基底
下的坐标为
，根据题意结合空间向
量相等的条件建立方程组，解方程组可得答案．
【详解】设向量
在基底
下的坐标为
，则
，
整理得
，
所以
，解得
，
所以向量
在基底
下的坐标为
．
故选：B
知识点05 空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
平行（
）
垂直（
）
（
均
非零向量）
2、两个向量夹角的坐标计算公式
设
，则
【即学即练】已知
，
，
，若
，则
的值为 .
【答案】
【分析】先求出
，再根据
可得
，利用空间向量垂直的坐标运算列式可
求
的值.
【详解】因为
，
，所以
，
由
得
，又
，
所以
，解得
.
故答案为：
知识点06 用向量运算求直线与平面所成角
设直线的方向向量为
，平面
的法向量为
，直线与平面所成的角为
，
与
的角为
，则有
①
②
. （注意此公式中最后的形式是：
）
【即学即练】在空间直角坐标系中，已知点
，
，且平面
的一个法向量
，则直线
与平面
所成角的正弦值为 .
【答案】
/
【分析】根据线面角的向量求法计算.
【详解】因为
，所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
故答案为：
知识点07 用向量运算求平面与平面所成角
如图，若
于A，
于B，平面PAB 交于E，则∠AEB 为二面角
的平面角，
∠AEB+∠APB=180°.
若
分别为面
，
的法向量
①
②
根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则
；
若二面角为顿二面角（取负），则
；
【即学即练】如图，在正方体
中，平面
与平面
的夹角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】以
为原点，以
所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求
解即可.
【详解】如图，以
为原点，以
所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则
，
所以
，
因为
平面
，
所以平面
的一个法向量为
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，
则
，所以
为平面
的一个法向量，
设平面
与平面
的夹角为
，则
，
因为
为锐角，所以
，
所以
，
所以平面
与平面
的夹角的正切值为
.
故选：A
知识点08 点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为
，
是直线上的定点，
是直线外一点.设
，则向量
在直线
上的投影向量
，在
中，由勾股定理得：
【即学即练】已知正方体
的边长为
，点
是
的中点，则点
到直线
的距离为
.
【答案】
/
【分析】以
为原点，以
所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求
解即可.
【详解】以
为原点，以
所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
所以
，
设点
到直线
的距离为
，则
.
故答案为：
知识点09 点到平面的距离
如图，已知平面
的法向量为
，
是平面
内的定点，
是平面
外一点.过点
作平面
的垂线
，交平面
于点
，则
是直线的方向向量，且点
到平面
的距离就是
在直线上的投影向量
的长度.
【即学即练】如图所示，在直四棱柱
中，
，点
在棱
上，且
，则点
到平面
的距离为 .
【答案】
/
【详解】建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量为
，由距离公式
求解即
可.
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
.
设平面
的法向量为
，则
令
，则
.
点
到平面
的距离
.
故答案为：
.
知识点10 线面间的距离
1.定义：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之
间的距离，
2.公式：如果直线l 与平面α 平行，n 是平面α 的一个法向量，A、B 分别是l 上和α 内
的点，则直线l 与平面α 之间的距离为d ＝
．
题型01 空间向量的概念及运算
【典例1】四面体
中，
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用空间向量线性运算计算即可.
【详解】
因为
，
所以
，点
为
的中点，
所以
，即
.
故选：B
【变式1】在三棱锥
中，
、
分别是
、
的中点，设
，以
为空间的一个基底，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求解.
【详解】因为
、
分别是
、
的中点，
则
，
，
所以
，
故选：A.
【变式2】如图，在三棱锥
中，
是
的中点，点
在
上，
，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用向量的加减法则，将
逐步转化为已知向量
、
、的线性组合.
【详解】
是
的中点，
，又
，由
，
.
故选：
.
【变式3】已知三棱柱
如图所示，其中
，若点
为棱
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：
．
故选：D
【变式4】如图，三棱锥
中，
，
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的运算法则求解即可.
【详解】如图所示：
.
故选：B
题型02 四点共面问题
【典例1】已知点
在平面
上，点
是空间内任意一点，且
，则
的
值为 ．
【答案】
【分析】根据条件，利用空间向量基本定理得到
，进而可得到
，结合条件有
，即可求出结果.
【详解】因为点
在平面
上，由空间向量基本定理知，
，
得到
，即
，
又
，所以
，解得
，
故答案为：
.
【变式1】
是三棱锥
底面
所在平面内的一点，满足
的一组数对
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用共面向量基本定理得到
，代入验证即可.
【详解】因为
根据共面向量基本定理得
，从而
，
代入选项验证，只有B 选项满足条件.
故选：B.
【变式2】已知
为空间任意一点，
四点中任意三点不共线，但四点共面，且
，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】由题设条件推得
,再由四点共面可求得
.
【详解】因为
,
所以由
,
得
,
即
,
因为
为空间任意一点,
满足任意三点不共线,且四点共面,
所以
,故
.
故选:C.
【变式3】在下列条件中，使点
与点
，
，
一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据共面向量定理，利用三个向量表示向量
，其系数和为，则可得四点共面．
【详解】D 选项中，
，结合共面定理的推论，且ABD 三个选项的系数和不为，所以
不共面．
C 选项可化为：
即
，系数和为．
故选：C．
【变式4】（多选）．已知空间四边形
为平面
内一点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据空间向量基本定理的结论，即可判断选项.
【详解】在空间四边形
中，
为平面
内一点，则
，其中
，
B，D 正确．
故选：BD
对于空间任意一点
，四点
共面（其中
不共线）的充要条件是
（其中
）．
题型03 平面法向量的求解
【典例1】在空间直角坐标系
中，
，则平面
的一个法向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据法向量的求法求解即可.
【详解】由已知
，设平面
的一个法向量为
，
，取
，得
，
选项A 符合，另外选项BCD 中的向量与选项A 中的向量不共线.
故选：A.
【变式1】已知空间中，点
，则平面
的一个法向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出
，
，设平面
的一个法向量为
，由
，
，列方程组，解方
程即可得出答案.
【详解】由题
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
令
，
，得
.
故选：B.
【变式2】在空间直角坐标系
中，已知点
，则下列向量坐标可以作为平
面
的一个法向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由法向量定义求出一个法向量，与它平行的向量即可．
【详解】设法向量为
，
由已知
，
则
，取
，则
，
只有B 选项中向量与
平行，可表示为
，
故选：B．
【变式3】已知向量
，
，则平面
的一个法向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先设平面
的一个法向量为
，结合法向量的定义得出
应满足的条件，进而判
断即可.
【详解】设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，即
，
所以满足上述条件的只有A 符合.
故选：A.
【变式4】已知
，若平面
的一个法向量为
，则
．
【答案】
.
【分析】根据题意，求得向量
，得到方程组
，即可求解.
【详解】因为
，可得
，
因为平面
的一个法向量为
，则
，
解得
，所以
.
故答案为：
.
平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面
的法向量为
选向量：选取两不共线向量
列方程组：由
列出方程组
解方程组：解方程组
赋非零值：取其中一个为非零值（常取
)
得结论：得到平面的一个法向量.
题型04 利用空间向量证明平行、垂直关系
【典例1】如图，已知在直三棱柱
中，
，
，
，
．
(1)在线段
上是否存在点
，使得
?
(2)在线段
上是否存在点
，使得
平面
?说明理由．
【答案】(1)存在
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）设
，假设
，利用
，求出点
坐标即可；
（2）设
，求出平面
的法向量
，由
，求出点
坐标即可.
【详解】（1）因为
，
，
，所以
，故
，
如图，以
为坐标原点，
，
，
分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
假设在
上存在点
满足条件．
设
，
，
因为
，所以
，解得
，
即在
上存在点
使得
，此时点
与点
重合．
（2）假设在
上存在点
，使得
平面
．
设
，
，
．
设平面
的一个法向量
，
则有
，得
，取
，可得
，
由
，解得
，
所以在
上存在点
，使得
平面
，这时
为
的中点．
【变式1】如图，在正方体
中，
分别为底面
和侧面
的中心．求证：
(1)
平面
；
(2)平面
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证法1：建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，可得
，由线面平行的判定定理
证明即可；
证法2：求出平面
的法向量
，判断
即可证明
（2）求出平面
的一个法向量
，判断
与
关系即可证明；
【详解】（1）以
为原点，
，
，
分别为
轴、
轴、
轴，建立空间直角坐标系，
令正方体的棱长为2，则
，
，
，
，
，
．
证法1：
，
，因为
，所以
，又
平面
，
平
面
，所以
平面
．
证法2：设平面
的一个法向量
，
，
，根据
，可得
，令
，则
，
，即
，
因为
，又
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）设平面
的一个法向量
，
，
，根据
，可得
，取
，则
，所以
，则
，所以平面
平面
．
【变式2】如图，在正方体
中，
是
的中点，
是
的中点.
(1)在平面
内确定一点
，使
平面
；
(2)证明：棱
上不存在点
，使平面
平面
.
【答案】(1)当点
的坐标为
时，
平面
.
(2)证明见解析
【分析】（1）根据证明线面垂直的向量方法，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，表示出方向向量，
列出方程组，求出结果；
（2）根据证明面面平行的向量方法，设出点的坐标，证明面上两条直线方向向量，不能同时与另一个面
的法向量垂直即可.
【详解】（1）
建立如图所示的空间直角坐标系
，设正方体的棱长为2，
则
，
，
，
，
，
，
设
，
.
因为
，
，
，又
，
不共线，
所以当
时，
平面
.
所以
，解得
，
，
所以当点
的坐标为
时，
平面
.
（2）设平面
的法向量为
，则
，
因为
，
，所以
，
令
，则
，
，所以平面
的一个法向量
.
若平面
平面
，则
也是平面
的一个法向量.
因为
，
，
所以
，即
，得
，
此时
，
所以
不是平面
的一个法向量，即
与平面
不垂直.
所以棱
上不存在点
，使平面
平面
.
【变式3】如图，在四棱锥
中，
，
，四边形
为
矩形，
在
上，且
，
为
的中点，平面
交
于点
．
(1)求证：
；
(2)在线段
上是否存在点
（异于点
），使得平面
与平面
的夹角为
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
，
【分析】（1）根据三角形的边长，结合勾股定理可建立空间直角坐标系，理由向量证明线面垂直即可求
证，
（2）求解平面法向量，即可根据法向量的夹角求解.
【详解】（1）由
可得
，
由于
，故
，
又
，故
，
故
，故
，
结合底面为矩形，故
，
故
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.
，
则
，
故
，
因此
平面
，
故
平面
，
平面
，
故
（2）设
，
则
设平面
的法向量为
，
故
，
取
，则
.
设平面
的法向量为
，
故
，
取
，则
.
故
，
解得
，
故存在
，此时
.
【变式4】如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，
为
上一点，且
．（请用空间向量法予以证明）
(1)求证：
平面PBC；
(2)求证：
平面BDE．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）以A 为原点，
，
，
的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标
系，证明
，
，原题即得证；
（2）设平面BDE 的法向量为
，证明
即得证.
【详解】（1）证明：如图，以A 为原点，
，
，
的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空
间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
，
所以
，
，即
，
，
又因为
，
平面PBC．
所以
平面PBC．
（2）证明：由（1）可得
，
，
．
设平面BDE 的法向量为
，
则
，即
令
，得
，
，
则
是平面BDE 的一个法向量，
因为
，所以
，
因为
平面BDE，所以
平面BDE．
空间中直线、平面的垂直
设直线
的方向向量为
，直线
的方向向量为
，平面
的法向量
，平面
的法向量为
，则
线线垂直
⇔
⇔
线面垂直
⇔
⇔
⇔
面面垂直
⇔
⇔
⇔
题型05 异面直线所成角
【典例1】如图，在棱长为2 的正方体
中，E，F，G 分别为
，
，
的中点，则
与
所成的角的余弦值为 ．
【答案】
/
【分析】建立空间直角坐标系，分别求得
，
，再利用向量的夹角公式求解.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系：
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
所以
与
所成角的余弦值为
.
故答案为：
.
【变式1】如图，边长为1 的菱形
中，
，沿
将
翻折，得到三棱锥
，
当平面
平面
时，异面直线
与
所成的角的余弦值等于 ．
【答案】
/
【分析】取
的中点
，以
为原点，建立空间直角坐标系，分别求得
的坐标，结合向量的夹角
公式，即可求解.
【详解】取
的中点
，连接
，可得
，
因为平面
平面
，
平面
，且平面
平面
，
所以
平面
，
以
为原点，以
所在的直线分别为
轴，
轴和
轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则
，
可得
，
设异面直线
与
所成的角为
，
则
，
所以异面直线
与
所成的角的余弦值为
.
故答案为：
.
【变式2】如图，在直三棱柱
中，D 为棱
的中点，
，
，
，
则异面直线CD 与
所成角的余弦值为
【答案】
【分析】利用已知条件可以建立空间直角坐标系，然后利用空间向量去求异面直线所成的角.
【详解】
因为三棱柱
是直三棱柱，且
，
所以以
为坐标原点，分别以
，
，
的方向为
，
，
轴的正方向，建立如图所示的空间直角
坐标系.
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又因为异面直线所成角的范围为
，
所以异面直线CD 与
所成角的余弦值为
.
故答案为：
.
【变式3】在直三棱柱
中，
，点
是
的中点，则
与
所
成角的余弦值为 .
【答案】
【分析】根据条件建立空间直角坐标系，表示向量，结合公式求解即可得到结果.
【详解】
设
，以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
与
所成角的余弦值为
.
故答案为：
.
【变式4】在直三棱柱
中，
，
，
分别是
，
的中点，
，则
与
所成角的余弦值是 .
【答案】
/
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出
与
对应的方向向量，结合向量夹角的余弦的坐标公式
即可得解.
【详解】建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角.
直三棱柱
，且
，
以C 为原点，分别以
，
，
为x 轴，y 轴，z 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
，
，
设直线
与
成的角为
，
则
，
直线
与
所成角的余弦值为
.
故答案为：
.
1、用向量运算求两条直线所成角
已知
，
为两异面直线，
，
与
，
分别是
，
上的任意两点，
，
所成的角为
，则
①
②
.
题型06 利用向量法求直线与平面所成角
【典例1】如图，在正方体
中，M 为线段BD 的中点，N 为线段
上的一动点含端点
，则直线MN 与平面
所成角的正弦值的最大值为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，得到点坐标即向量坐标，设
，求得
点坐标，从而得到
坐标.由空间向量求得平面
的一个法向量，由空间向量的夹角求得直线MN 与平面
所成角的正弦
值的表达式，再由函数的性质求得最大值.
【详解】设
，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
设
，
，
，又
，
所以
，
则
，
，
，
即
，
所以
，
设平面
的一个法向量为
，
又
，
，
则
，
取
，
设直线MN 与平面
所成角为
，
，
当
时，N 与
上的重合，直线MN 在平面
内，
不合题意，
当
时，
，
令
，则
，
则
，
时，
有最小值6，
所以当
，即
，即
时
故答案为：
【点睛】方法点睛，在求线面角的的正弦值问题时，一般采用空间直角坐标系来完成，所以建系设线段长
是本题的关键.关于动点问题，一般我们采用向量共线的方法设出动点坐标，然后借助空间向量的夹角求得
线面角.
【变式1】在四棱柱
中，
平面ABCD，
，
，点E，F 满
足
，
，则直线EF 与底面ABCD 所成角的正弦值为 .
【答案】
【分析】构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求直线EF 与底面ABCD 所成角的正弦值.
【详解】如图，以A 为坐标原点，AB、AD、
所在直线分别为x、y、z 轴，建立如图所示空间直角坐标
系，
则
，
，
，
，
故
，
，
，
由
，
，
所以
，
由题知
是平面ABCD 的一个法向量，
设直线EF 与底面ABCD 所成角为
，则
，
即直线EF 与底面ABCD 所成角的正弦值为
故答案为：
【变式2】在四棱柱
中，
平面
，
，
，
，
，其中
，
.若
与底面
所成角的正弦值为
，则
的最大值是
.
【答案】
【分析】利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值，再由基本不等式可求最大值.
【详解】
以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
，
则
.
由已知可得
是平面
的一个法向量.
，
平方得：
，整理得：
.
因为
，
，所以
，
当且仅当
时，等号成立.
令
，则不等式
可转化为
，
解得
或
（舍去），
则
，
故
的最大值为
.
故答案为：
.
【变式3】已知正四棱柱
中，
，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面
的一个法向量是 （答案不唯一，写出一个坐标即可），直线
与平面
所成角的正弦
值等于 .
【答案】
/
【分析】平面的法向量为
，由
求出即可；利用空间线面角公式求解即可；
【详解】不妨设
，则
，
由题图可知
，
，
，
，
，
故
，
，
.
设平面的法向量为
，则
取
令
，则
，
.
故平面
的一个法向量为
，
设
与平面
所成角为
，
则
.
故答案为：
；
.
【变式4】如图，在四棱台体
中，
平面
，底面
为正方形，
，则该四棱台的体积
，直线
与平面
所成角的正弦值为
.
【答案】
【分析】（1）运用台体体积公式计算即可；
（2）借助空间直角坐标系，求出关键点坐标，借助向量夹角公式计算即可.
【详解】（1）运用台体体积公式计算，
.
（2）建立如图空间直角坐标系，则
，
，
所以
.
设平面
的法向量为
，则
取
，
则
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
.
设直线的方向向量为
，平面
的法向量为
，直线与平面所成的角为
，
与
的角为
，则有
①
②
.（注意此公式中最后的形式是：
）
题型07 利用向量法解决直线与平面所成角的探索性问题
【典例1】如图，多面体
中，
，
，
两两垂直，
‖
‖
，
‖
，且
．
(1)设面
与面
的交线为，求证：‖
；
(2)求证：
；
(3)已知线段
上存在一点
，使得直线
与平面
所成的角的正弦值为
，求
的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)1
【分析】（1）由
‖
，可得
‖平面
，再利用线面平行的性质定理可证得结论；
（2）由已知条件可证得四边形
为菱形，则
，由
，
，得
平面
，则
，从而可得
面
，进而可证得
；
（3）以
为原点，分别以
，
，
的方向为
轴，
轴，
轴的正方向的空间直角坐标系，利用空
间向量求解即可.
【详解】（1）因为
‖
，又
平面
，
平面
，
所以
‖平面
．
又
平面
，平面
平面
，
所以‖
．
（2）因为
‖
，且
，所以四边形
为平行四边形．
又
，所以四边形
为菱形，所以
．
因为
，又
，
，
平面
，
所以
平面
．
又
平面
，所以
．
又
，
，
平面
，
所以
平面
．
又
平面
，所以
．
（3）由于
两两垂直，则以
为原点，分别以
，
，
的方向为
轴，
轴，
轴的正方
向的空间直角坐标系，如图，
则
，
，
，
，
，
．
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，得
．
假设线段
上存在点
，使得直线
与平面
所成的角的正弦值为
．
设
，
则
，
所以
，
化简整理得
，解得
．
所以线段
上存在点
，且当
时，使得直线
与平面
所成的角的正弦值为
．
因为
，所以
．
【变式1】如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求三棱锥
的外接球的体积；
(3)线段
上（不含端点）是否存在点
，使得
与平面
所成角为
？若存在，确定
点的位
置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)存在
为
靠近
的
处或中点，满足要求.
【分析】（1）若
是
的中点，连接
，易得四边形
为平行四边形，则
，再由线
面平行的判定证明结论；
（2）首先注意
是长宽高分别为
的长方体的一部分，再求出外接球的半径，即可求球
体的体积；
（3）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标并设
且
，再求出
与平面
的方向向量、法向量，应用向量法求线面角得到方程，即可得结论.
【详解】（1）若
是
的中点，连接
，又
为
中点，则
，
，
由
且
，所以
，
，
所以四边形
为平行四边形，则
，
平面
，
平面
，则
平面
；
（2）由
平面
，即
平面
，
平面
，则
由
，
，则
，
且都在平面
内，
所以
平面
，易知
是长宽高分别为
的长方体的一部分，
所以
为长方体的体对角线，且
与该长方体的外接球重合，故
，
所以外接球半径
，则外接球的体积为
；
（3）构建如上图示的空间直角坐标系
，则
且
，
所以
，
若
是平面
的一个法向量，则
，取
，则
，
由
与平面
所成角为
，则
，
所以
，可得
，可得
或
，
综上，存在
为
靠近
的
处或中点时，
与平面
所成角为
.
【变式2】如图，在直三棱柱
中，
分别为
的中点.
(1)证明：
平面ACF；
(2)在线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求平面
AFM 与平面
夹角的余弦值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）根据给定条件，以C 为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证.
（2）求出平面
的法向量，利用线面角的向量求法求出点
坐标，再求出平面AFM 的法向量，利用
面面角的向量求法求解.
【详解】（1）在直三棱柱
中，
，则直线
两两垂直，
以C 为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
于是
，
，
，
，
而
和AF 是平面ACF 内两条相交直线，
所以
平面ACF.
（2）设点
存在，
，
，
，
设平面
法向量为
，则
，
取
，得
，
设
与平面
所成角为
，
，
由
，解得
，
即
为
中点，坐标为
，
，设面AFM 法向量
，
则
，取
，得
，
设平面AFM 与平面
的夹角为
，则
，
所以平面AFM 与平面
夹角的余弦值
.
【变式3】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，
平面ABCD，
，
，
，E 为AB 的中点.
(1)求平面EMC 与平面MBC 夹角的余弦值；
(2)在线段AM 上是否存在点P，使直线PE 与平面MBC 所成的角为
?若存在，求出PE 的长；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)
；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据题意可得
，利用线面垂直的性质定理得到
，建立如图空间
直角坐标系D-xyz，利用空间向量法求解面面所成角即可；
（2）设
，则
，由（2）知平面MBC 的法向量，利用空间向量法求解线面角，即可判
断.
【详解】（1）连接DE，由四边形ABCD 是菱形，
，
所以
为正三角形，又E 是AB 的中点，得
，即
，
因为
平面ABCD，
平面ABCD，
所以
，建立如图空间直角坐标系D-xyz，
则
，
，
，
，
，
得
，
，
，
设平面
、平面MBC 的一个法向量分别为
、
，
则
，
令
，得
，令
，得
，
∴
，
，
得
，
又平面
与平面MBC 的夹角为锐角，
∴平面
与平面MBC 所成角的余弦值为
；
（2）设
，则
，且
，
由（2）知平面MBC 的法向量为
，
设直线PE 与平面MBC 的所成角为
，则
，
所以
，
解得
，不符合题意，
∴在线段AM 上不存在点P，使直线PE 与平面MBC 的所成角为
．
【变式4】如图，在四棱锥
中，底面
是边长为
的菱形，侧面
底面
，
，
，
是
中点，点
在侧棱
上（不包括端点）．
(1)求证：
；
(2)是否存在点
，使
与平面
所成角的正弦值为
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，
【分析】（1）连接
，分别证得
和
，利用线面垂直的判定定理，证得
平面
，进而证得
；
（2）利用面面垂直的性质定理，证得
平面
，得到
，
，以
为坐标原点，设
， 求得
，再求得平面
的一个法向量
，利用向量的
夹角公式，列出方程，求得，进而得出答案.
【详解】（1）证明：如图所示，连接
，
因为
，且
为
中点，所以
，
在菱形
中，
，可得
为等边三角形 ，所以
，
又因为
平面
，且
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
（2）解：因为
，平面
平面
，平面
平面
，
且
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
，
因为
，以
为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
假设存在点
满足题意，设
，
则
，
所以
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，
，所以
，
设
与平面
所成角为
，则
解得
或
（舍），所以存在点
，使得
与平面
所成角的正弦值为
，
此时
.
题型08 利用向量法求二面角
【典例1】在正四棱柱
中，
，
，
是
的中点，则平面
与平面
夹角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角.
【详解】
如图，以点
为坐标原点，以
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
由题意，
，
则
，
设平面
的一个法向量
，
则有
，令
，则
，所以
.
设平面
的一个法向量
，
则有
，令
，则
，所以
.
设平面
与平面
夹角为
，
则
.
故答案为：
.
【变式1】已知
是棱长为6 的正方体，
分别是棱
上的动点，且
．当
共面时，平面
与平面
夹角的余弦值为 ．
【答案】
/
【分析】可以先建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量
，
，平面夹角的余弦值即为两个法向量
所成角的余弦值的绝对值，代入坐标公式
计算即可.
【详解】解析：以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，如图所
示，
易知当取
点和
点分别为棱的中点时，
，坐标为：
，
，
四点共
面．设平面
的法向量为
，
依题意得：
，令
，可取
，
同理可得平面
的一个法向量为
．
故平面
与平面
夹角的余弦值为
．
故答案为：
【变式2】在长方体
中，
，
，点
为长方体的底面
的中心，
点
为棱
的中点，则平面
与平面
夹角的余弦值为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，分别求出平面
与平面
的法向量，利用面面角的向量公式求解
即可.
【详解】
如图所示，以点
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系
；
由题意，
，
，
，则
，
，
设平面
的法向量
，
由
，得
，令
，解得
，
，
则平面
的一个法向量
，
因为
平面
，所以
是平面
的一个法向量，
设平面
与平面
夹角为
，
则
,
因此，平面
与平面
夹角的余弦值为
.
故答案为：
.
【变式3】如图，在五棱锥
中，
底面ABCDE，
，
，
，
，
，则平面
与平面
的夹角的余弦值为 ．
【答案】
/
【分析】建立空间直角坐标系，分别求出平面
与平面
的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即
可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
因为
，
，
所以
,
则
，
假设平面
的一个法向量为
，
则
，
令
，则
，所以
，
假设平面
的一个法向量为
，
则
，
令
，则
，所以
，
假设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
故答案为：
【变式4】中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面
平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，
均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1 和2，对应的圆心角为
，则图中平面
与平面
所成角的余弦值为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解平面
与平面
夹角的余弦值.
【详解】设上底面圆心为
，下底面圆心为
，连接
，
，
，以
为原点，分别以
，
，
所在直线为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
则
，
，
，
，
设
为平面
的一个法向量，
则
，令
可得
，所以
，
设
为平面
的一个法向量，
则
，令
可得
，所以
设平面
与平面
所成角为
，
，
则
，
故平面
与平面
所成角的余弦值为
.
故答案为：
.
用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若
于A，
于B，平面PAB 交于E，则∠AEB 为二面角
的平面角，
∠AEB+∠APB=180°.
若
分别为面
，
的法向量
①
②
根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则
；
若二面角为顿二面角（取负），则
；
题型09 利用向量法解决二面角中的探索性问题
【典例1】如图，在直三棱柱
中，
分别为
的中点，且
.
(1)证明：
平面
.
(2)若
，在线段
上是否存在点
，使平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，
确定点
的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，理由见解析.
【分析】（1）先求证
，接着由题设
结合线面垂直判定定理求证
平面
，进
而得
，再由直三棱柱性质得
，进而由线面垂直判定定理即可求证
平面
；
（2）建立适当的空间直角坐标系，设
，
，求出平面
的一
个法向量为
和平面
的一个法向量为
， 再由
求解即可.
【详解】（1）证明：因为
，
所以由题在
和
中，
，故
，
所以
，
所以可得
，又
，
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
，
又由直三棱柱性质可得
，
平面
，
所以
平面
.
（2）由题意和（1）可以C 为原点，
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
若
，则可设
，
则
,设
，
则
，
设平面
的一个法向量为
，平面
的一个法向量为
，
则
，
，
则
，
，
取
，则
，
所以
，
解得
（舍去）或
，
所以若
，在线段
上存在点
，使平面
与平面
夹角的余弦值为
，此时
为
线段
的中点.
【变式1】如图，直四棱柱
的底面
为梯形，
，
，
.
(1)若
，E 为
的中点，在侧面
内是否存在点F，使
平面
？若存在，请确定点F
的位置；若不存在，请说明理由.
(2)若点K 为
的中点，平面
与平面
所成锐二面角为60°，求
的长.
【答案】(1)不存在满足条件的点F，理由见解析
(2)
或
.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设
，其中
，
，由
平面
，得
，
，利用数量积求
，进而判断点
是否存在；
（2）设
（
），求平面
与平面
的法向量，利用夹角公式即可求解.
【详解】（1）以B 为原点，
，
，
所在直线分别为x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
.
若存在这样的点F，则可设
，其中
，
.
，
，
，
平面
，
，
，
则
，
，
即
与
，
矛盾，所以不存在满足条件的点
.
（2）设
（
），则
，
.
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
即
，取
，则
，
设平面
的一个法向量
，则
，
即
，取
，则
.
由题意得
，
即
，解得
或
（负值舍去），
即
的长为
或
.
【变式2】如图，在三棱锥
中，
，
，
平面
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
，
为线段
的中点，点
为线段
的动点，且二面角
的余弦值为
，求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得
，则利用线面垂直的判断定理得
平面
，进
而利用面面垂直的判定定理正解即可.
（2）
平面
，建立空间直角坐标系，求出平面
和平面
的法向量，利用向量法求出
，可得
，即可得解.
【详解】（1）∵
平面
，
平面
，∴
，
又∵
，
，
平面
，
∴
平面
，
平面
，
∴平面
平面
.
（2）过
在平面
内作
，
以
为原点，以
，
，
为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，如图
∵
，
，∴
，
∴
，
，
，∵
为
中点，∴
，
设
，
，
设平面
的法向量为
，
∴
，
令
，
，
，即
，
由（1）知
平面
，∴
为平面
的一个法向量，
设平面
与平面
所成角为
，
∴
，
解得
或
，
由（1）知，当
为
中点即
时
，∴
平面
，
又∵二面角
的余弦值为
，∴二面角
为锐角，
∴
∴
，∴
，
∴
，∴
.
【变式3】如图，DE 是正
的一条中位线，O 为线段DE 的中点，
，将
沿DE 折起，得
到四棱锥
，且平面
平面ABED．
(1)证明：
平面ABED；
(2)R 为棱PB 上一点（不包括端点），若平面AOR 与平面AOB 夹角的余弦值为
，求
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据中线及翻转问题得到
，再利用面面垂直即可得到
平面ABED；
（2）根据题意以O 为原点建立空间直角坐标系，设
，利用空间向量法求得平面AOR
与平面AOB 夹角的余弦值即可求
，得到
的值.
【详解】（1）（1）连接CO．
因为DE 为正
的中位线，O 为DE 的中点，
所以
，所以
，
因为平面
平面ABED，平面
平面
，
平面PDE，
所以
平面ABED．
（2）延长CO 交AB 于点F，则F 为AB 的中点，
所以
，
，所以
，
，
由（1）可知
平面ABED，所以OD，OF，OP 两两垂直，
以O 为原点，OD，OF，OP 所在直线分别为x，y，z:轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
设
，则
，
所以
，所以
．
设平面AOR 的法向量为
，
则
，
取
，得
，
，所以
．
由（1）可知
平面AOB，所以
为平面AOB 的一个法向量．
设平面AOR 与平面AOB 的夹角为
，
则
．
化简得
，解得
或
（舍），所以
.
【变式4】如图，在四棱锥
中，侧面
平面
，
是边长为2 的等边三角形，底
面
为直角梯形，其中
，
，
.
(1)取线段
中点
，连接
，证明：
平面
；
(2)求
到平面
的距离；
(3)线段
上是否存在一点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，求出
的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)存在，
.
【分析】（1）取
中点
，连接
，证出四边形
为平行四边形，即可得证.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量
以及
，利用
到平面
的距离的向量公式即可
求解.
（3）求得平面
的法向量
以及
，利用向量夹角公式即可求解．
【详解】（1）在四棱锥
中，取
中点
，连接
，
由
为
的中点，且
，
，得
，
，
则四边形
为平行四边形，
，而
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（2）取
的中点
，连接
，
，由
为等边三角形，得
，
而平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
则
平面
，由
，得四边形
是平行四边形，
于是
，而
，则
，直线
两两垂直，
以
为坐标原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，如图，
则
，
，
设平面
的法向量为
，则
，取
，得
，
又
，所以
到平面
的距离
.
（3）令
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，得
，平面
的法向量为
，
于是
，
化简得
，又
，解得
，即
，
所以线段
上存在点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
，
.
题型10 利用向量法求点到直线的距离
【典例1】在空间直角坐标系中，点
，
，
，则
到直线
的距离为
【答案】
【分析】利用空间向量的点到直线的距离公式求解即可.
【详解】设直线
的单位方向向量为
，
点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
到直线
的距离为
.
故答案为：
.
【变式1】在棱长为2 的正方体
中，E 为
的中点，则点A 到直线
的最短距离为
.
【答案】2
【分析】由题设建立空间直角坐标系
，再利用点到直线距离的空间向量法计算求解即可得解.
【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
所以
，
所以直线
方向上的单位向量为
，
所以
，
所以点A 到直线
的最短距离为
.
故答案为：2.
【变式2】已知直线经过点
，且
是的方向向量，则点
到的距离为
．
【答案】
【分析】根据空间中点到直线的距离公式可得解.
【详解】
，
故
，
，
设直线
与直线所成的角为
，则
，
故
，
点
到直线的距离
，
故答案为：
.
【变式3】如图所示，在长方体
中，
，
，
与平面
交于点
，则点
到直线
的距离为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，先求出点
的坐标，再根据点到直线距离的向量公式计算即可．
【详解】以点
为原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，
，
由
平面
，设
，
所以
，
设
，
所以
，即
，解得
，
所以
，则
，
设直线
的夹角为
，
则
，
所以
，
所以点
到直线
的距离为
，
故答案为：
．
【变式4】在空间直角坐标系中，已知三点
，则点
到直线
的距离为
.
【答案】
【分析】根据条件，求出
，进而得出
，再利用
点到直线的距离的向量法即可求出结果.
【详解】因为
，所以
，
所以
，得到
，
所以点
到直线
的距离为
，
故答案为：
.
点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为
，
是直线上的定点，
是直线外一点.设
，则向量
在直线
上的投影向量
，在
中，由勾股定理得：
题型11 利用向量法求点到平面的距离
【典例1】已知空间四点
，
，
，
，则点
到平面
的距离为
．
【答案】
/
【分析】方法一：借助体积法求点到平面的距离.
方法二：利用空间向量求点到平面的距离.
【详解】方法一：首先
.
设
到平面
的距离为，则
.
又
为等边三角形，边长为
，所以
，
所以
.
故答案为：
方法二：设平面
的法向量为
.
因为
，
，
由
，取
在
投影为：
.即为点
到平面
的距离.
故答案为：
【变式1】已知正方体
的棱长为1，
为棱
的中点，
为侧面
的中心，点
分别为直线
上的动点，且
，当
取得最小值时，点
到平面
的距离为
．
【答案】
/
【分析】建立空间直角坐标系，设
，
，根据
，得到
，从而得到
，再由向量模的坐标表示求出
的最小值及此时
、
的值，求出平面
的法向量以及
的坐标，最后利用空间向量法求出点到平面的距离.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则
，
，设
，
，
所以
，
，
因为
，所以
，即
，所以
，
又
，所以
，当且仅当
时取等号，此时
，
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，
所以
，
令
可得
,取
，
所以当
取得最小值时，点Q 到平面
的距离
.
故答案为：
.
【变式2】正方体
的棱长为
分别为
的中点，
为底面
的中心，则点
到平面
的距离为 .
【答案】
/
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离.
【详解】在棱长为
的正方体
中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
令平面
的法向量
，则
，
取
，得
，
所以点
到平面
的距离为
.
故答案为：
【变式3】在正六棱柱
中，
，
，
分别为
，
的中点，则点
到平面
的距离为 ．
【答案】
/
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离.
【详解】连接
，
，设其交点为
．由正六棱柱的性质知，
，且
，取
的中点
，连接
，则
平面
．
以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系．
因为
，
，
分别为
，
的中点，
所以
，
，
，
，
则
，
，
．
设平面
的法向量为
，
则
令
，则
．
故点
到平面
的距离
．
故答案为：
【变式4】在长方体
中，
，已知异面直线
与
，
与
所成角的大小分
别为
和
，
为
中点，则点
到平面
的距离为 .
【答案】
/
【分析】建立为空间直角坐标系设
，
，
根据异面直线
与
，
与
所成角
求出
，
，再应用空间向量公式计算点到平面距离即可.
【详解】如图建立以
为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，
所在直线为z 轴的空
间直角坐标系
，
，且设
，
则
，
，
，
，
，
则
，
，
.
因为异面直线
与
所成角为
，
所以
，
因为异面直线
与
所成角为
，
所以
，
所以可得
，
，所以
，
，
设平面
法向量为
，则
，
令
，则
因为
，
，
则点
到平面
的距离
.
故答案为：
.
点到平面的距离
如图，已知平面
的法向量为
，
是平面
内的定点，
是平面
外一点.过点
作平面
的垂线，
交平面
于点
，则
是直线的方向向量，且点
到平面
的距离就是
在直线上的投影向量
的长度.
题型12 利用向量法解决点到平面的距离的探索性问题
【典例1】如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
底面
，
，
，
是
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)若点
在棱
上运动，当点
到平面
的距离为
时，求
的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，运用线面角向量法求解即可；
（3）设
，得
，运用点到平面距离向量法求解即可.
【详解】（1）证明：连接
交
于点
，连接
，如图1 所示，
因为底面
是矩形，所以
是
的中点，
因为
是
的中点，所以在
中，
是中位线，所以
，
因为
平面
平面
，
所以
平面
；
（2）如图2，因为
底面
，所以
，
，
又在矩形
中，
，所以
两两垂直．以点
为原点，分别以
所在直线为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
因为
是
的中点，所以
所以
，
设平面
的法向量为
，则
，即
，
令
，则
，所以
，
，
设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
，
，
所以
即直线
与平面
所成角的正弦值为
；
（3）由（2）知平面
的一个法向量为
，
设
，
，
则
，又
，
则
，所以
，
，
设点
到平面
的距离为
，
则
，得
，
解得
或
（舍去），
又
，故
，
所以
的长度为
．
【变式1】已知梯形
中，
，如图1.将
沿
折起到
，得到三棱锥
，如图2，
分别为棱
､
的中点.
(1)若
，求证：平面
平面
；
(2)若
，求二面角
的正弦值；
(3)是否存在点
，使得点
到平面
的距离为
？若存在，确定点
的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在点
【分析】（1）先利用勾股定理得
，再利用线面垂直的判定推理得
平面
，进而由面面
垂直的判定定理证明即可.
（2）由二面角的定义及面面垂直的性质定理得
两两互相垂直，建立空间直角坐标系，分别求
出平面
和平面
的法向量，利用向量法求解即可.
（3）建立空间直角坐标系，设
，由
得以
，求出平面
的法向量，利用点
面距离的向量公式列方程求出
，
，即可得解．
【详解】（1）因为梯形
中，
，
所以
，所以
，所以
，
又
，
平面
，且
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
．
（2）因为
分别为棱
､
的中点，所以
，所以
，
又
，所以
为二面角
的平面角，
因为
，所以平面
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
，又
，故建立如图所示的
空间直角坐标系
.
则
，
，
，
，
，
.
易知平面
的一个法向量为
，
设平面
的一个法向量为
，
，
，
则
，即
，取
，则
，
所以
，
所以二面角
的正弦值为
.
（3）由（2）可知
平面
，故分别以
为
轴的正方向，
轴在平面
内且以向上的方向为正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
.
则
，
，
，
，
.
设
，因为
，所以
，又
，
，
，设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，取
，则
，
则点
到平面
的距离为
，所以
，
因为
，所以
，即
，
所以
或
，因为
，所以
或
，
因为
，所以
，
，所以
，
所以存在点
，使得点
到平面
的距离为
.
【变式2】如图，在直四棱柱
中，底面ABCD 为矩形，E 为棱
的中点．
(1)若
，证明：
．
(2)设
，
，
，
，且点F 到平面
的距离为
，求λ 的值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
或
【分析】（1）连接BD，
，先根据正方形的性质、直四棱柱的性质及线面垂直的判定可证明
平
面
，再根据线面垂直的性质即可证明
；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，先求出平面
的法向量为
，再根据向量的加法求出
，进而
根据点F 到平面
的距离为
即可求出λ 的值．
【详解】（1）连接BD，
，
因为
，底面ABCD 为矩形，
所以底面ABCD 为正方形，所以
，
在直四棱柱
中，
底面ABCD，则
，
因为
，
平面
，所以
平面
．
又
平面
，所以
．
（2）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则
，
，
，
，
，
则
，
，
,
设平面
的法向量为
，
则
令
，得
,
由
，
，
所以
，
所以点F 到平面
的距离
，
解得
或
．
【变式3】如图，直线
垂直于梯形
所在的平面，
，
为线段
上一点，
，
，四边形
为矩形．
(1)若
是
的中点，求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值
(3)若点
到平面
的距离为
，求
的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）设
，
交于点
，连接
，利用线面平行的判定定理，先证明
，进而即可
证明
平面
；
（2）建立空间直角坐标系，求直线
的方向向量和平面
的法向量，利用空间向量法求解即可；
（3）设
，利用点到平面的向量公式求
的值即可．
【详解】（1）证明：设
，
交于点
，连接
，
因为四边形
为矩形，所以
是
中点，
又因为
是
的中点，所以在
中，
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（2）因为直线
垂直于梯形
所在的平面，
，
平面
，
，
所以
，
，
两两垂直，
以
为原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴建立如图所示坐标系，
由题意可知
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的法向量
，
则
，则
，
取
可得平面
的一个法向量
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
所以
，
故直线
与平面
所成角的余弦值为
．
（3）在（2）所建空间直角坐标系中
，
设
，
由（2）可知平面
的一个法向量
，
所以点
到平面
的距离
，解得
，
又因为
，所以
，
即
的长为
．
【变式4】如图1，在四边形
中，
，
，
，如图2，把
沿
折起，使点
到达点
处，且平面
平面
，
为
的中点.
(1)求证：
；
(2)求二面角
的余弦值；
(3)判断线段
上是否存在点
，使得三棱锥
的体积为
．若存在，求出
的值；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)线段
上是否存在点
，使得三棱锥
的体积为
，且
【分析】（1）在平面图形中证得
，
，取
的中点
，连接
，利用线面垂直的
判定性质推理得证.
（2）以
为原点建立空间直角坐标系，求出平面
与平面
的法向量，再利用面面角的向量法求
解.
（3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解.
【详解】（1）在图1 中，由
，
，得
，则
，
所以
，由
，得
，即
，
在图2 中，
，取
的中点
，连接
，由
为
的中点，
得
，则
，由
，得
，而
，
平面
，则
平面
，又
平面
，所以
.
（2）由已知及（1）得平面
平面
，平面
平面
，
，
于是
平面
，直线
两两垂直，
以
为坐标原点，直线
分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
所以平面
的一个法向量为
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
所以平面
的法向量为
，
则
，
由图知二面角
为锐二面角，所以二面角
的余弦值为
.
（3）假设线段
上是否存在点
，使得三棱锥的体积为
，
在
中，
，所以
，
因为三棱锥
的体积为
，设点
到平面
的距离为
，
所以
，所以
，所以点
到平面
的距离为
，
令
，由（2）得，
，
又平面
的法向量为
，
则点
到平面
的距离为
，解得
，
线段
上是否存在点
，使得三棱锥
的体积为
，且
.
1．下列命题中正确的是（ ）
①若
，则
，
，
三点共线；
②若
，则
，
，
，
四点共面；
③若
，则
，
，
，
四点共面．
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】C
【分析】根据空间向量基本定理判断即可.
【详解】根据共线定理推论，系数
，所以
，
，
三点共线，命题①正确；
，若
，
，
不共面，
则根据平行六面体法则，此时
四点不共面，命题②错误；
，
所以
，即
，
，
，
四点共面，命题③正确．
故选：C.
2．已知
是平面
的一个法向量，点
，
在平面
内，则
（ ）
A．2
B．5
C．7
D．9
【答案】D
【分析】依题意得
，所以
，即可求解．
【详解】因为
是平面
的一个法向量，
点
在平面
内，所以
，
所以
.
由条件得
，
所以
，解得
.
故选：D
3．已知
，
，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．，
，
【答案】A
【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.
【详解】假定向量
，
，
共面，则存在不全为0 的实数
，
使得
，显然不成立，
所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A 正确；
由于
，则
，
，
共面，故B 错误；
由于
，则
，
，
共面，故C 错误；
由于
，则，
，
共面，故D 错误；
故选：A.
4．如图，在棱长为1 的正方体
中，
为
的中点，则点
到平面
的距离为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.
【详解】分别以
，
，
为
轴、
轴、
轴正方向建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量
，由
，得
，取
，得
，
又
，
点
到平面
的距离为
，
故选：D．
5．已知向量
，
，则“
与
的夹角为钝角”是“
”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若
与
的夹角为钝角，则
且
与
不共线，结合向量的坐标运算求得的取值范围，再根据范围之间的关系即可判断其充分性或
必要性.
【详解】依题意得，
，
，
当
与
的夹角为钝角时，
，且
与
不共线，
当
时，
，
当
与
共线时，存在实数，使
，
于是得
解得
，
.
所以
与
不共线时，
，
所以
的取值范围为
．
所以“
与
的夹角为钝角”是“
”的充分不必要条件．
故选:
6．如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
，点
是棱
的中点，点
在棱
上运动，则点
到直线
的距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】以
为原点，
所在直线分别为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设
，其中
，利用空间向量法可求得点
到直线
的距离的取值范围，即可得解.
【详解】因为
平面
，
，
所以以
为原点，
所在直线分别为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
连接
，则
，
，设
，其中
，
所以
，
，则点
到直线
的距离：
.
设
，因为
，所以
，则
.
所以点
到直线
的距离的最小值为
.
故选：D
7．在直三棱柱
中，已知
，E 是
的中点，D 是
的中点，
与
相交于点
F，
，
，
，则
与
所成的角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出
与
的方向向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解.
【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系，
因为
，
，
，
所以
，
由于
在
平面内，所以
的纵坐标为0，
且直线
方程满足
，
满足
，联立
，解得
，
所以
，
因为
，
所以
与
所成的角的余弦值为
，
所以
与
所成的角的大小为
.
故选：B.
8．在正方体
，中，E 是
的中点，则
与平面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式即可求解.
【详解】以
为原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则
，所以
，
设平面
的法向量为
，
所以
，令
，所以
，
设
与平面
所成角为
，
所以
.
故选：B.
9．（多选）若
是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据空间向量基本定理逐一分析即可.
【详解】对A，因为
是空间向量的一组基，则
可以构成空间向量的一组基，故A 正确；
对B，设
，其中
，
则
，无解，则
能构成空间向量的一组基，故B 正确；
对C，显然不存在实数
使得
成立，
则
能构成空间向量的一组基，故C 正确；
对D，因为
，则
不能构成空间向量的一组基，故D
错误.
故选：ABC.
10．（多选）已知四棱台
的上、下底面均为正方形，
底面
，
，
，
是底面
的中心，以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴建立空
间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．点
的坐标为
B．
C．平面
的一个法向量为
D．点
到平面
的距离为
【答案】AC
【分析】写出点的坐标可判断A 选项，利用空间向量的坐标运算可判断B 选项，利用求平面法向量的方法
求解可判断C，利用空间点到平面的距离的向量解法可求D.
【详解】由题意得，
，故A 正确；
，所以
，
，故B 不正确；
由题意得，
，
，
，
所以
，
，
设
是平面
的法向量，则
,
令
，则
，
，则
，故C 正确
，则点
到平面
的距离为
，故D 不正确.
故选：AC
11．已知直线的方向向量为
，平面
的一个法向量为
，若
，则
的值为
．
【答案】
/
【分析】由线面垂直可得
，结合向量共线的坐标运算代入计算，即可得到结果.
【详解】由
可得
，即
，解得
.
故答案为：
12．如图，在长方体
中，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值
为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线
与
所成的角的余弦值.
【详解】以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则
，
所以
，
则
,
则异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故答案为：
.
13．如图，四棱柱
的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且
，
是侧棱
上的
点，
，
是线段
上的动点．
(1)以
为坐标原点、
为
轴正方向、
为
轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点
的坐标．
(2)求点
到平面
的距离．
(3)在线段
上是否存在一点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
?若存在，求出点
的
位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)6
(3)存在，点
在线段
上且与点
的距离为2
【分析】（1）取
的中点
，连接
，根据菱形的性质及线面垂直的性质得到
，
，
两两
垂直，从而结合题意即可建立空间直角坐标系，再求出
的长度，进而即可得到点
的坐标；
（2）先结合（1）求出平面
的一个法向量
，再根据点到平面的距离公式计算求解即可；
（3）设
，则
，先求平面
的一个法向量
，再根据二面角与平面
法向量夹角的求解公式求出
，进而即可得出出点
的位置．
【详解】（1）依题意可得四边形
是菱形，
又
，连接
，则
是正三角形，
取
的中点
，连接
，得
，
．
因为四棱柱的侧棱与底面垂直，即
平面
，
又
，
平面
，所以
，
，
所以
，
，
两两垂直．
则以
为坐标原点，分别以
，
，
为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．
由直四棱柱
的棱长均为6，且
，
则
，所以
，
从而点
的坐标为
．
（2）由
，则
，
则结合（1）得
，
，
，
，
所以
，
，设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，
取
，则
，
，所以
，
又
，
所以点
到平面
的距离为
．
（3）设
，则
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即结合（2）得
，
取
，则
，
，所以
，
又
，
则
，
化简得
，解得
或
，
因为
，所以
，即
．
故当点
在线段
上且与点
的距离为2 时，平面
与平面
夹角的余弦值为
．
14．如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
与
均为等腰直角三角形，且
，
．
(1)求
与平面
所成角的余弦值；
(2)
是线段
上的动点，若线段
上存在点
（不包含端点），使得异面直线
与
成30°角，求线
段
长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，故
，
，
两两垂直，建立空间直角坐标
系，利用线面角的向量公式和同角三角函数关系进行求解；
（2）设
，
．设
，其中
，则
，根据
与
成30°角得到方程，求出
，其中
，即
，结合
求出答案.
【详解】（1）因为
，所以
⊥
，
又平面
平面
，交线为
，
平面
，所以
⊥平面
，
又
平面
，所以
⊥
，
⊥
，
以
为原点、
为
轴、
为
轴、平面
上过点
的
的垂线为
轴建立空间直角坐标系，如
图，
与
均为等腰直角三角形，
，则
，
，
，
平面
的法向量为
，
设
与平面
所成的角为
，
，
，
故
；
（2）
，设
，
．设
，其中
，
但当
时，
两点重合，此时
与
不是异面直线，故
，所以
，
则
．
由
，得
，
其中
，即
，解得
，
又
，所以
故
．
15．如图，
是菱形
所在平面外一点，且
为等边三角形，
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
且
，问线段
上是否存在点
（不包含端点），使得平面
与平面
夹角
的正弦值是
?若存在，求
的值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
或
【分析】（1）根据题意可得
，
，结合面面垂直的判定即可证明；
（2）以
为原点建立空间直角坐标系，设
，再利用面面角的向量求法即可求解.
【详解】（1）连接
交
于点
，连接
．
因为
是菱形，所以
，
因为
为
的中点，且
为等边三角形，所以
．
又
平面
，且
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
．
（2）存在
因为
，所以
为等边三角形，
，
又
，所以
，所以三棱锥
为正三棱锥，
过
作
平面
，垂足为
，故
为
的重心，
设
，则
，所以
，
以
为原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系
如下图所示，
故
，
则
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，故
．
设
，
则
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，故
．
设平面
与平面
的夹角为
，
于是
，
，由于
，则
，
即
，由于
，所以
或
，
所以
或
．
