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第二章 等式与不等式 单元题型大总结
教学目标
（1）掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．
（2）进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．
（3）掌握一元二次不等式及其根与系数的关系、
（4）掌握和理解基本不等式
教学重难点
教学重点：两个实数大小关系的基本事实的理解和运用，掌握不等式性质及其应用，
一元二次不等式解法，基本不等式
教学难点：从不等关系中抽象出不等式与不等式性质的应用，一元二次不等式含参数
解法，基本不等式的灵活应用
知识点01 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
一元二次方程
有两个根分别是x1, x2，则：
，
，则
所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系
如果ax 2+bx +c=0(a≠0)的两个根分别为x1, x2，则：
，这一关系式也被称为韦达定理
.
【即学即练】已知二次函数
的零点为
和3，则
（ ）
A．
B．
C．7
D．
【答案】A
【分析】1）一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
（2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的图象开口方向及与
轴的交点和相应一元
二次方程的根，可以通过代入根或利用根与系数的关系求待定系数．
【方法一】由题意知二次函数
的零点为
和3，
所以
，
所以
．
【方法二】由题意得方程
的两根为
和3，由根与系数的关系可得
解得
所以
．
故选：A
知识点02 不等式性质
性质1(可加性) 如果
，那么
性质2(可乘性) 如果
，
，那么
.
性质3(可乘性) 如果
，
，那么
.
性质4(传递性) 如果
，
，那么
.
注：如果性质4 中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？
(1)如果性质4 中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果
且
，那么
；如果
且
，那么
.
(2)如果两个不等式都带有等号，那么有若
且
，则
，其中
时必有
且
.
推论1(移项法则) 如果
，那么
.
不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．
推论2(同向可加性) 如果
，
，那么
我们把
和
(或
和
)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式．
推论3(同向同正可乘性) 如果
，
，那么
推论4(可乘方性) 如果
，那么
(n∈N，n>1).
推论5(可开方性) 如果
，那么
.
注：(1)推论2 可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不
等式同向．推论2 是同向不等式相加法则的依据．
(2)同向不等式可以相加但不能相减，即由
，
，可以得到
，但不能得到
.需要特别注意的是，由
，
，不能得到
，但可以得到
.
这是因为若
，则
，又
，所以
【即学即练】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质比较数（式）大小即可.
【详解】因为
，所以
．
由于
，故在不等式上同时乘以a 得
，
即
，因此，
．
故选：C.
知识点03 绝对值不等式
（1）绝对值不等式的概念
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
注：①数轴上表示数
的点与原点的距离称为数
的绝对值，记作
②绝对值不等式
几何意义为数轴上与原点的距离大于
的点．
（2）绝对值不等式的解集
①当
时，关于
的不等式
的解为
或
，因此解集为
②关于
的不等式
的解为
，因此解集为
.
【即学即练】不等式
的解集是 .
【答案】
【分析】根据题意，结合绝对值的不等式的解法，准确计算，即可求解.
【详解】由不等式
，可得
或
，解得
或
，
所以不等式的解集为
.
故答案为：
.
知识点04 一元二次不等式的解
1 定义：使某一个一元二次不等式成立的
的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个
一元二次不等式的解集.
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.
2、一元二次不等式的解法
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程
，计算判别式Δ ：
①
时，求出两根
，且
（注意灵活运用十字相乘法）；
②
时，求根x1=x2=−b
2a ；
③
时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
【即学即练】不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式得到答案.
【详解】由
得
，解得
或
，
故选：B.
知识点05 二次函数、一元二次方程，一元二次不等式关系
对于一元二次方程
的两根为
且
，设Δ=b2−4ac ，它的解按照
Δ>0 ，Δ=0 ，Δ<0 可分三种情况，相应地，二次函数
的图象与
轴的位置关
系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式
或
的解集.
判别式Δ=b2−4ac
二次函数
(
的图象
一元二次方程
(
)的根
有两个不相等的实数
根
，
(
)
有两个相等的实数根
没有实数根
(
)的解集
(
)的解集
【即学即练】已知关于x 的不等式
的解集为
，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先求得
，然后解一元二次不等式即可求解.
【详解】因为关于x 的不等式
的解集为
，
所以
的两个根为1，2，
所以由韦达定理有
，解得
，
所以不等式
，即不等式
或
.
故选：A.
知识点06 分式不等式
1、定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如
或
（其中
,
为整式且
的不等式称为分式不等式。
2、分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
【即学即练】不等式
的解集为（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
【答案】D
【分析】分式不等式的解法.
【详解】由
，得
，即
，
即
，解得
，D 正确.
故选：D
知识点07 均值不等式
均值不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
均值不等式:
,
,（当且仅当a=b 时，取“=”号）其中
叫做正数
，
的几何平均数；
叫做正数
，
的算数平均数．
如果
a,b∈R ，有a2+b2≥2ab （当且仅当a=b 时，取“=”号）
特别的，如果
,用
分别代替
,代入a2+b2≥2ab ，可得：
，当且仅
当a=b 时，“=”号成立.
【即学即练】已知
，且
，求
的最小值．
【答案】
【分析】通过对
进行变形，构造出可以使用的基本不等式的形式，从而求出最小值.
【详解】
，
，
，
，
，
，
根据基本不等式可得，
，
当且仅当
时，即
时等号成立．
．
题型01 一元二次根与系数的关系的应用
【典例1】已知关于x 的一元二次方程
．若方程的两根为
，且满足
，则m 的值为
【答案】
/
【分析】根据韦达定理可得
的表示，化简条件结合韦达定理形式可求结果.
【详解】因为
的两根为
，
所以
，
所以
，解得
，符合条件，
故答案为：
.
【变式1】设常数
，已知关于
的一元二次方程
的两个实根分别为
、
，
若
，则
．
【答案】
【分析】根据根的判别式求出
的范围，再由韦达定理计算可得.
【详解】因为关于
的一元二次方程
的两个实根分别为
、
，
则
，解得
，
所以
，
，
又
，即
，解得
或
（舍去）；
故答案为：
【变式2】已知
是关于
的方程
的两实根，
是关于
的方程
的两实根，则
.
【答案】3
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，列出方程组
，解出验证即可.
【详解】因为
是关于
的方程
的两实根，
所以由根与系数的关系得
，
因为
是关于
的方程
的两实根，
所以
，
即
，
，
所以
，解得
，
经验证可得
，所以
，
所以
.
故答案为：3.
【变式3】方程
的两个实数根为
，若
，则实数
．
【答案】
【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系求解即可.
【详解】由根与系数的关系知，
，
所以
，
解得
，
故答案为：
【变式4】已知一元二次方程
的两个实根分别为
、
，且
，求实数
的值.
【答案】
【分析】利用韦达定理，结合完全平方公式即可得解.
【详解】一元二次方程
的两个实根分别为
，
则
，
所以
，解得
或
，
当
时，
，不符合题意，舍去，
当
时，
，符合题意；
综上，
.
题型02 作差法比较大小
【典例1】比较下列各组中两式的大小：
(1)设
，
，比较
，
大小；
(2)当
时，比较
与
的值的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】作差法比较即可
【详解】（1）
，
则
.
（2）
，
则
【变式1】设
为实数，试比较以下两个式子的大小
(1)
与
(2)
与
.
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】（1）用作差法比较大小．
（2）用作差法比较大小．
【详解】（1）
，当且仅当
时等号成立，
所以
；
（2）
，
所以
．
【变式2】设
为实数，比较
与
的值的大小；
【答案】
【分析】根据作差比较法即可得解.
【详解】因为
，当
时等号成立，
所以
.
【变式3】（1）比较下列各组中两个代数式的大小：
（i）
；
（ii）
与
．
【答案】（1）（i）
，（ii）
，（2）
【分析】（1）利用作差法即可求解，
【详解】（1）（i）
，
所以
；
（ii）
，
故
．
【变式4】（1）已知
，比较
与
的大小；
（2）已知
，比较
与
的大小；
【答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）利用作差法可比较两数的大小.
（2）利用作差法可得出
，进而分类讨论可得出结果.
【详解】（1）根据作差法有：
，
所以
；
（2）根据作差法有：
且
，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
综上所述，当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
题型03 根据不等式求取值范围
【典例1】已知实数
满足
，
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】设
，得到
，结合不等式的性质，即可
求解.
【详解】由题意，设
，整理得
，
所以
，解得
，即
，
因为
，
，
所以
，
，
所以
，即
，
所以
的取值范围是
，
故答案为：
【变式1】已知
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由题意得
，进而求得
即可求解.
【详解】因为
，所以
，即
，
所以
，则
，
所以
.
故选：D.
【变式2】已知
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】A
【分析】用
表示
，利用不等式的性质求
的范围.
【详解】由不等式的性质得，
，
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
当且仅当
即
时，
取到最大值
.
故选：A.
【变式3】已知实数
，
满足
，
，则
范围是
【答案】
.
【分析】变形
,利用不等式的可加性结合题设条件即可求
的范围.
【详解】由题意，实数
，
满足
，
，
令
，即
，
可得
，解得
，所以
，
则
，
，
所以
.
故答案为：
.
【变式4】已知实数
满足
且
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由已知条件结合不等式的性质即可求解．
【详解】因为实数
满足
且
，
设
，则
，
得
，故
，
又因为
，
所以
．
故答案为：
．
题型04 一元二次不等式（不含参）
【典例1】不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】不等式
等价于
，则解集为
，
故答案为：
【变式1】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】B
【分析】将不等式
化为不等式
，结合三个二次的关系即可求得答案.
【详解】不等式
即不等式
，
故
，即不等式
的解集为
，
故选：B
【变式2】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】由题有
转化为求方程
的根即可求解.
【详解】由题意有
，方程
有两个根，即
和1，
则
的解集为
或
，
即不等式
的解集为
或
.
故选：C.
【变式3】不等式
的解集为（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
【答案】B
【分析】根据题意解一元二次不等式即可.
【详解】由
，可得
，即
，
解得
，所以不等式
的解集为
.
故选：B
【变式4】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将一元二次不等式化为标准形式求解即可.
【详解】原不等式化为
，即
，解得
，
故原不等式的解集为
.
故选：B.
题型05 一元二次不等式（含参）
【典例1】求关于
的不等式的解集：
.
【答案】答案见解析
【分析】将不等式变形为
，然后根据
与1 的关系进行分类讨论，
求解即可．
【详解】不等式
，即
，
当
时，不等式为
，解得
，则不等式的解集
；
当
时，不等式变形为
，
由于
，解得
或
，
故此时不等式的解集为
；
当
时，不等式变形为
，
由于
，解得
，
故此时不等式的解集为
．
综上所述，当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
．
【变式1】（多选）关于x 的不等式
的解集可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】分类讨论
的大小，利用二次不等式的解法即可得解.
【详解】由
，得
.
当
，即
时，原不等式的解集为
；
当
，即
时，原不等式的解集为
；
当
，即
时，原不等式的解集为
.
故选：ACD.
【变式2】（多选）对于给定实数
，关于
的一元二次不等式
的解集可能是（ ）
A．
B．
C．
D．R
【答案】AB
【分析】讨论参数
，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误．
【详解】由
，分类讨论a 如下：
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
或
；
当
时，
；
当
时，
或
．
故选：AB．
【变式3】若
，则关于
的不等式
的解集为 .
【答案】
或
【分析】解出方程
的两根，即可得解不等式的解集.
【详解】因为
，方程
的两根为和
，
所以不等式
的解集为
或
.
故答案为：
或
.
【变式4】解关于x 的不等式
.
【答案】答案见解析
【分析】利用因式分解，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可.
【详解】原不等式可化为
.
当
时，不等式解集为
；
当
时，不等式解集为
；
当
时，不等式解集为
.
综上所述：当
时，不等式解集为
；
当
时，不等式解集为
；
当
时，不等式解集为
.
题型06 分式不等式
【典例1】解关于
的不等式：
.
【答案】答案见解析
【分析】由题意，原不等式可变形为
，分类讨论
的取值情况，结合一元二次不等
式的解法求解即可.
【详解】
，
当
时，
，解得
，此时原不等式的解集为
；
当
时，令
，得
，
当
即
时，
，此时原不等式的解集为
；
当
且
即
时，此时原不等式的解集为
；
当
且
即
时，此时原不等式的解集为
；
当
且
即
时，此时原不等式的解集为
.
综上，
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
.
【变式1】（多选）
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】解分式不等式，再由充分不必要条件的概念得解.
【详解】由
，
所以
成立的一个充分不必要条件为
的真子集即可，
结合选项可知AD 符合.
故选：AD
【变式2】（多选）关于x 的不等式
的解集可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据题意，将分式不等式化为整式不等式，然后分类讨论求解，即可得到结果.
【详解】由
可得
，即
，
当
时，不等式为
，不等式无解；
当
时，不等式为
，不等式的解集为
；
当
时，不等式为
，不等式的解集为
；
故选：BC
【变式3】不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】将分式不等式
，移项通分后再转化为整式不等式
，结合一元二次不等
式求解即可.
【详解】不等式
，移项得
，即
，
可化为
，解得
，则原不等式的解集为
．
故答案为：
．
【变式4】解关于
的不等式：
.
【答案】答案见解析
【分析】先将原不等式化为右边为零的形式，再转化成整式不等式，对
进行分类讨论，根据一元二次不
等式的解法，即可求得不等式的解集.
【详解】由
，得到
，等价于
且
，
当
时，解得
或
，当
时，解得
，
当
，即
时，
，当
，即
时，
，
当
，即
时，
，
综上所述，当
时，原不等式解集为
或
，
当
时，原不等式解集为
，
当
时，原不等式解集为
，
当
时，原不等式解集为
，
当
时，原不等式解集为
.
题型07 含有一个绝对值的不等式
【典例1】已知不等式
成立的一个必要不充分条件是
，则实数m 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求得不等式
解集，结合题意，得到关于
的不等式，从而得解．
【详解】因为
等价于
，即
，
当
，不等式为
，显然不成立；
当
时，不等式解得
，
当
时，不等式解得
，
所以
等价于
或
；
因为不等式
成立的一个必要不充分条件是
，
所以
或
是
的真子集，
则
或
，解得
或
，
即实数m 的取值范围是
.
故选：C．
【变式1】下面是
的解集的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】绝对值不等式分类讨论即可.
【详解】
等价于
或者
，
解得
或者
，
故选：D
【变式2】不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】由绝对值不等式的解法解原不等式即可得解.
【详解】由
可得
，解得
，
故原不等式的解集为
.
故选：A.
【变式3】不等式
的解集是 ．
【答案】
【分析】变换得到
，解得答案.
【详解】
，则
，解得
或
.
故答案为：
.
【变式4】不等式
的解集为： .（结果用集合或区间表示）
【答案】
【分析】不等式
即为
，解出即可.
【详解】不等式
即为
，即为
，则解集为
，
故答案为：
.
题型08 含有两个绝对值的不等式
【典例1】使不等式
中等号成立的x 的取值范围是 .
【答案】
【分析】绝对值不等式可以通过讨论绝对值内代数式值的正负来去掉绝对值符号，从而化简为一次不等
式，求出对应解集即可.
【详解】当
时，原不等式化简为
,不合题意；
当
时，原不等式化简为
，符合题意；
当
时，原不等式化简为
，不合题意；
综上所述：
.
故答案为：
.
【变式1】请写出一个满足不等式
的
值： .
【答案】1（答案不唯一）
【分析】取
即可得出答案.
【详解】当
时，
满足题意
故答案为：1（答案不唯一）
【变式2】请写出不等式
的一个解： ．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】转化为分段函数解不等式即可.
【详解】由条件可知设
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
综上
的解集为
；
故答案为:
（答案不唯一）
【变式3】解不等式
.
【答案】
【解析】将不等式分
进行分类讨论，求得不同情况下不等式的解集，再求并集即可.
【详解】由
.
当
时，原不等式化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，此时不等式无解.
综上可得原不等式的解集为
.
【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，属简单题.
题型09 基本不等式中“1”的妙用
【典例1】若正实数x、y 满足
，则
的最小值是 .
【答案】1
【分析】变形，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】正实数x、y 满足
，故
，
故
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为1.
故答案为：1
【变式1】已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．5
【答案】A
【分析】
，根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可.
【详解】
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故选：
.
【变式2】已知正数
、
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将
代入所求代数式，结合基本不等式可求得其最小值.
【详解】因为正数
、
满足
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，故
的最小值为
．
故选：C.
【变式3】已知
，
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出
的最小值,从而可以求出结果.
【详解】设
，
，则
，且
，
，
，
当且仅当
时，即
时取等；
，
.
故答案为：
.
【变式4】已知
，
，且
，则
的最小值为 .
【答案】1
【分析】由条件得到
，再结合基本不等式即可求解.
【详解】因为
，
且
，
所以
，
所以
，
当且仅当
，
即
，
时，等号成立，所以
的最小值为
故答案为：1
题型10 基本不等式（凑配法）
【典例1】已知
，求
的最大值；
【答案】1
【分析】将
变形为
，然后利用基本不等式求解最大值即可.
【详解】∵
，
∴
，
∴
，
当且仅当
，即
时，上式等号成立，
故当
时，
．
【变式1】已知
，
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．
D．5
【答案】C
【分析】由题意有
，利用均值不等式即可求解.
【详解】由
，所以
，
当且仅当
时等号成立，所以
的最小值为
.
故选：C.
【变式2】已知
，则函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到
，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为
，可得
，
则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以函数
的最大值为
.
故选：C.
【变式3】函数
的最小值是（ ）
A．7
B．1
C．5
D．
【答案】A
【分析】先将
变为
，然后利用基本不等式求解最小值即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
．
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值是7．
故选：A
【变式4】已知
，则
的最小值为 ．
【答案】3
【分析】对目标式子变形后由基本不等式求解即可.
【详解】由于
，所以
，故
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故答案为：3
题型11 基本不等式（消元法）
【典例1】已知正实数x，y 满足
，则
的最大值为 ．
【答案】1
【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解.
【详解】因为
，
所以
，则
,
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故答案为：1
【变式1】已知
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】根据已知得
，进而有
，应用基本不等式求最小值即可.
【详解】由题设
且
，则
，
所以
，
当且仅当
时取等号，
所以
的最小值是0.
故选：A
【变式2】已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．5
C．
D．7
【答案】D
【分析】根据条件得
，代入
，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案.
【详解】
，
，可得
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为7.
故选：D.
【变式3】已知
，
，
，则
（ ）
A．有最大值
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
【答案】D
【分析】根据基本不等式可求最值，也可构造函数，根据函数单调性可求最值.
【详解】方法一：因为
，
，则由基本不等式可得
，
解得
，当且仅当
，
时，等号成立；
方法二：由原式变形得，
，则
，
所以
，令
，
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
无最大值；
故选：
.
【变式4】已知
，满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
且
，进而
，结合基本不等式的应用即可求解.
【详解】由
，可得
，
由
，可得
且
，解得
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
．
故选：B
题型12 基本不等式（换元法）
【典例1】已知
且
.
(1)求
的最小值
(2)求
的最小值
(3)求
的最小值
【答案】(1)25
(2)10
(3)
【分析】（1）利用基本不等式得到
，求出
；
（2）利用基本不等式得到
，求出
；
（3）求出
，
，从而得到
，换元后，利用基本不等式得到最小值.
【详解】（1）
且
，
由于
，故
，
解得
或
（舍去），
故
，当且仅当
时，等号成立，
故
的最小值为25
（2）
且
，
由于
，故
，
两边平方后，解得
或
（舍去），
故
的最小值为10，当且仅当
时，等号成立；
（3）
，若
，此时
，不成立，舍去，
故
，故
，
因为
，故
，
故
，
令
，
，
由基本不等式得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
此时
，
，故
的最小值为
.
【变式1】若正实数x，y 满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由基本不等式得到
，求出答案.
【详解】正实数x，y 满足
，则
，当且仅当
时取等号，
所以
，即
，即
，两边平方, 结合
，解的
.
故选：D.
【变式2】若正实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】正实数x，y 满足
，利用基本不等式的性质可得
，设
，即可求出
的最小值．
【详解】∵正实数x，y 满足
，
，
∴
，当且仅当
取等，
设
，∴
，
∴
，即
，
，∴
，
故
的最小值为2.
故选：A．
【变式3】（多选）已知正实数
，
满足
，则（ ）
A．
的最小值为3
B．
的最小值为6
C．
的最小值为6
D．
的最小值为9
【答案】BD
【分析】根据基本不等式结合一元二次不等式求法即可得到答案
【详解】正实数
，
满足
，则
，
令
，则
，解得
（舍），或
，
即
，当且仅当
时，等号成立，
故
的最小值为6，故B 对；
正实数
，
满足
，则
，
令
，则
，解得
，或
（舍），
即
，当且仅当
时，等号成立，故
的最小值为9，故D 对；
故选：BD
【变式4】已知
，
，
，则
的最小值为 .
【答案】
/
【分析】依题意可得
且
，从而将目标式化为
，再换元，利用基本不
等式计算可得.
【详解】∵
，
，
，∴
，且
，
则
令
，
原式
，
当且仅当
，即
取等号，故
的最小值为
.
故答案为：
题型13 基本不等式（商式）
【典例1】求下列函数的最小值
（1）
；
（2）
；
（3）
.
【答案】（1）3；（2）
；（3）10.
【分析】对分式函数利用分离常数法构造基本不等式（对勾函数）的结构，或利用基本不等式（1,、2）或
利用函数单调性求最值.
【详解】（1）
∵
（当且仅当
，即x=1 时取“=”）
即
的最小值为3；
（2）令
，则
在
是单增，
∴当t=2 时，y 取最小值
；
即y 的最小值为
（3）令
，则
可化为：
当且仅当t=3 时取“=”
即y 的最小值为10
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成
积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所
求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
【变式1】已知
，则
有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最大值3
D．最小值3
【答案】D
【解析】先将解析式化为
，根据基本不等式，即可求出最值.
【详解】因为
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
即
有最小值3.
故选：D.
【点睛】本题主要考查由基本不等式求函数的最值，属于基础题型.
【变式2】已知
，
的最小值为 .
【答案】
【分析】将所求代数式变形为
，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由
，则
，
当且仅当
时，即
时取等号，此时取得最小值
．
故答案为：
【变式3】函数
的最小值为 .
【答案】9
【分析】由题意得
，原函数表达式可化为关于
的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等
式求最值的问题，即可得答案.
【详解】因为
，则
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立，
∴已知函数的最小值为9.
故答案为：9.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行
配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题.
1．若关于
的不等式
的解集为非空集合
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系求解即可.
【详解】因为
的解集为
，
所以
且
，故
.
故选：D.
2．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】方法一：分
、
、
讨论去绝对值可得答案；方法二：利用绝对值的几何意义求
解数形结合可得答案.
【详解】方法一
当
时，原不等式可以化为
，解得
；
当
时，原不等式可以化为
，即
，无解；
当
时，原不等式可以化为
，解得
综上所述，原不等式的解集为
；
方法二 如图，设数轴上与
，1 对应的点分别为
，
那么点
之间的点到
两点的距离和为2，
因此区间
上的数都不是不等式的解．
设在点
左侧有一点
到
两点的距离之和为3，则
对应数轴上的
．
由
，得
．设点
右侧有一点
到
两点的距离之和为3，
则
对应数轴上的
，由
，得
．
从数轴上可看到，点
之间（不包含
）的点到
的距离之和都小于3，
点
的左侧或点
的右侧的任何点到
的距离之和都大于3，
所以原不等式的解集为
．
故选：D.
【点睛】方法点睛：形如
和
型不等式的两种求解方法
（1）令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根，把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个
区间，然后利用区间分段讨论法去绝对值符号求解，这种方法体现了分类讨论的思想，是解绝对值不等式
最常用的方法．（2）利用绝对值的几何意义求解，这种方法体现了数形结合的思想，给绝对值不等式以
准确的几何解释是解题的关键．
3．若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.
【详解】当
时，不等式
，解得
，显然解集不是
，不符合题意；
当
，由不等式的解集为
，
则
，
，解得
，
即
的取值范围为
．
故选：A．
4．已知
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．
D．
【答案】C
【分析】由基本不等式“1”的妙用，根据
展开，利用基本不等式即可得到.
【详解】
，
当
时取等，所以
的最小值为
.
故选：C.
5．若不等式
对任意实数
均成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】C
【分析】将不等式整理为
；当
时可知不等式恒成立；当
时，结合二次
函数图象可得
，解不等式组求得结果.
【详解】不等式
可化为：
，
当
，即
时，不等式为
，恒成立，
满足题意；
当
，即
时，要使不等式恒成立，则需
，
解得：
；
综上所述：
的取值范围为
.
故选：C.
6．已知
，且
，则
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合已知将
变形为
，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解最小值即
可.
【详解】
，又
，可得
，
且
，
当且仅当
，
时等号成立．
即
最小值为
.
故选：B．
7．实数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知
的范围，然后将目标式转化为
，利用基本不等式可得.
【详解】因为
，所以
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：B.
8．已知
，
均为正数，且
，则
的最大值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据换元法，将方程进行换元，得到关于
的一元二次方程，根据一元二次方程有正根，求出
代数式的最大值.
【详解】令
，则
，
代入得
，化简得
，
可知
，
因为方程有实数根，所以
，解得
，
当
时，根据韦达定理可知两根之和
，两根之积
，
此时有正数根，符合题意，所以
的最大值为
.
故选：C.
9．（多选）已知
，
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据条件，利用不等式的基本性质逐项判断即可.
【详解】对于A，∵
，
，∴
，
，∴
，故A 正确；
对于B，∵
，
，∴
，故B 正确；
对于C，∵
，∴
，又∵
，∴
，故C 不正确；
对于D，∵
，∴
，又
，∴
，∴
，∴
，故D 正确；
故选：ABD
10．（多选）已知正数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】选项A 利用基本不等式构造出
的不等式解出即可，选项B 利用完全平方公式、基本不等式，以
及不等式性质求解
的取值范围即可，将
变形得
，代入
中转化为二次函
数求解即可得C 选项，将
变形得
乘以
变形构造基本不等式即可得出D
选项.
【详解】因为
，
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立，
所以
，
即
，所以
，故A 不正确；
由
，
则
，
由A 有
，所以
，
所以
，即
当且仅当
时等号成立，故B 选项正确；
由
，则
代入
中有：
，
，
所以当
时，等号成立，故C 正确；
因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，故D 正确；
故选：BCD.
11．已知正数
，
满足
，则
的最小值是 .
【答案】1
【分析】首先将条件等式可转化为
，再利用基本不等式求出最值.
【详解】由
，得
，
于是
，
当且仅当
，
时取等号，故最小值为1.
故答案为：1
12．已知关于
的不等式
的解是
，则关于
的不等式
的解为 ．
【答案】
或
【分析】依题意可得
和
是方程
的两个实根，再根据根与系数的关系得
，在分
和
两种情况讨论即可求解答案．
【详解】由关于
的不等式
的解是
，
则
和
是方程
的两个实根，
由根与系数的关系得
，整理得
，
则当
时，关于
的不等式
转化为
，解得
；
当
时，关于
的不等式
转化为
，解得
．
综上关于
的不等式
的解为
或
．
故答案为：
或
．
13．求下列各题的最值．
(1)已知
，求
的最小值；
(2)设
，求函数
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用基本不等式，直接求解，即可得到答案；
（2）根据题意，化简得到
，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由
，则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，所以
的最小值为
.
（2）解：由
，可得
，
则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，所以
的最大值为
.
14．已知关于x 的不等式
，
(1)若
的解集为
，求实数a，b 的值；
(2)若
求关于x 的不等式
的解集．
【答案】(1)
，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，然后代入方程求出
，解一元二次不等
式求解
.
（2）按照
，
和
分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可.
【详解】（1）若
的解集为
，
则
是方程
的一个根，即
，解得
，
所以不等式为
，解得：
，所以
.
即
，
.
（2）因为
，即
，
当
时，令
，解得
，
若
时，
，不等式
解集为：
；
若
时，
，不等式
解集为：
；
若
时，
，不等式
解集为：
；
综上所述： 当
时，不等式解集为：
；
当
时，不等式解集为：
；
当
时， 不等式解集为：
.
