文档文本内容
专题三 立体几何
微专题1 球的切接问题
一、考点透析
考点1 球的面积和体积
1.(2025·辽宁省朝阳市·模拟)某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座ABCD是
边长为4
√2的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线A A1，B B1，C C1，D D1一头
连着底座端点，另一头都连在球O的表面上(底座厚度忽略不计)，若该艺术吊灯总高度为
14，则球O的体积为( )
A. 108 π
3
B. 256 π
3
C. 500 π
3
D. 864 π
3
考点2 外接球
1.(2025·湖南省·单元测试)如图，三棱锥P−ABC的底面ABC的斜二测直观图为
△A ′ B′ C ′，已知PB⊥底面ABC，PB =
√5，A ′ D′ = D′ C ′，A ′ O′ =O′ B′ =O′ D′ =1，
则三棱锥P−ABC外接球的体积V = ．
2.(2025·河南省开封市·模拟)已知四面体A −BCD的各顶点均在球O的球面上，平面
ABC ⊥平面BCD，AB = BC = AC =CD =2，BC ⊥CD，则球O的表面积为( )
A. 28 π
3
B. 14 π
C. 28 π
D. 32π
3.(2025·山东省济宁市·模拟)一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半
径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为( )
A. 2
3
B. 2
√2
3
C.
√2
2
D.
√10
10
4.(2025·河北省承德市·月考)在三棱锥P−ABC中，AB = BC =10，∠ABC =120°，D为
AC的中点，PD⊥平面ABC，且PD =15，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为 ．
5.(2025·陕西省西安市·模拟)已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两
个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 ．
考点3 内切球
1.(2025·陕西省西安市·模拟)正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到
正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为( )
A. 14:π
B. 7:π
C. 7:2π
D. 7:
√2π
2. （多选题）(2025· 湖北省武汉市· 月考) 如图，在直三棱柱ABC −A1B1C1中，
AC = BC =C C1=2，AC ⊥BC，Q是线段AB的中点，P是线段BC1上的动点(含端点)，
则下列命题正确的是( )
A. 三棱锥P−A1QC的体积为定值
B. 在直三棱柱ABC −A1B1C1内部能够放入一个表面积为4 π的球
C. 直线PQ与AC所成角的正切值的最小值是
√2
2
D. A1 P+ PQ的最小值为 √10+2
√6
3.(2025·江苏省南京市·模拟)直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的10个
半径为r的小球，全部放进棱长为8+ 4
√6的正四面体盒子中，则r的最大值为( )
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
考点4 解析法研究球的切接问题
1.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)如图，在棱长为6的正四面体ABCD中，点E满足DE⃗=2 EA⃗，
则四面体ABCE的外接球的表面积为 ．
2.(2025·湖南省·模拟)已知正四棱锥P−ABCD的底面边长为3，该四棱锥内部的球O与其
所有面均相切，若球面上有且仅有一点Q满足AC
→
⋅PQ
→
= AQ
→
⋅PC
→
=0
，则球O的表面积
为 ．
二、跟踪练习
1.(2025·西藏自治区拉萨市·模拟)已知三棱锥P−ABC的所有顶点都在体积为36 π的球O的
表面上，点O在棱PC上，△PAB是边长为4的正三角形，则三棱锥P−ABC的体积
为 ．
2.(2025·广西壮族自治区玉林市·模拟)在正四棱台ABCD−A1B1C1 D1中，
A1B1= A A1=2，AB = 4，则该正四棱台的外接球的表面积为( )
A. 40 π
B. 40
√10 π
C. 40
3 π
D. 40
√10 π
3
3.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)在直三棱柱ABC −A1B1C1中，AB = AC =2，AB⊥AC，若
该棱柱外接球的表面积为12π，则侧面B B1C1C绕直线B B1旋转一周所得到的旋转体的体
积为( )
A. 12π
B. 16 π
C. 20 π
D. 24 π
4.（多选题）(2025·浙江省杭州市·模拟)已知圆锥SO的侧面积为3 π，母线SA =l，底面圆
的半径为r，点P满足AP⃗=2 PS⃗
，则( )
A. 当r =1时，圆锥SO的体积为2
√2π
3
B. 当r =1时，从点A绕圆锥一周到达点P的最短长度为 √13
C. 当r = 2
3时，顶点S和两条母线构成的截面三角形的最大面积为3
√7
4
D. 当r = 2
3时，棱长为
√2
2
的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
5.(2025·宁夏回族自治区银川市·模拟)已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为1，点P在
正方体的内切球表面上运动，且满足D1 P//平面A1BC1，则AP的最小值为 ．
