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专题08 解答题15 题、16 题、17 题必会题
（6 阶题组）专项训练（二）
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．已知等差数列
和等比数列
满足
，
，
，
.
（1）求
和
的通项公式；
（2）数列
和
中的所有项分别构成集合
，
，将
的所有元素按从小到大依次排列构成一个
新数列
，求数列
的前60 项和
.
【答案】（1）
，
；（2）
.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，
由
，
∴
，
，
∴
，
.
（2）当
的前60 项中含有
的前6 项时，令
，
此时至多有
项（不符）.
当
的前60 项中含有
的前7 项时，令
，
且
，
，
是
和
的公共项，则
的前60 项中含有
的前7 项且含有
的前56 项，再减
去公共的三项.
∴
.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分析新数列
是由
和
中的哪些选项构成的，还要注
意去掉公共项.
16．某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球个，白球
个，黑球个，小球除颜色外没有任何区别.
规定：摸到红球记分，摸到白球记
分，摸到黑球记
分.抽奖人摸个球为一次抽奖，总分记为
，若
，则获奖.
方案一：从中一次摸个球，记录分数后不放回.
方案二：从中一次摸个球，记录分数后放回.
(1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率；
(2)若丙顾客按照方案二摸球记分，求
的分布列和数学期望.
【答案】(1)
；
(2)分布列见解析，
.
【分析】（1）分析可知，甲顾客摸到个红球
个白球、或者是个红球个白球个黑球，结合组合计数
原理以及古典概型的概率公式可得出
的值；
（2）从袋中每次随机摸出个球，摸到红球的概率为
，摸到白球的概率为
，摸到黑球的概率为
，
的可能取值有
、
、
、
、、
、，计算出随机变量
在不同取值下的概率，可得出随机变量
的分布列，进而可求得
的值.
【详解】（1）若
，则甲顾客摸到个红球
个白球、或者是个红球个白球个黑球，
所以，
.
（2）从袋中每次随机摸出个球，摸到红球的概率为
，摸到白球的概率为
，摸到黑球的概率为
，
则
的可能取值有
、
、
、
、、
、，
，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量
的分布列如下表所示：
故
.
17．如图，在圆锥
中，
为底面圆
的一条直径，
为底面圆周上不同于
的两点，圆锥母线
长为
.
(1)若
，平面
与平面
的交线为，证明：
∥；
(2)若
与平面
所成角的正切值为
，求
的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可得
，可证
平面
，结合线面平行的性质定理分析证明；
（2）方法一：以
点为坐标原点建立空间直角坐标系，设
，利用空间向量处理线面夹角问题；方
法二：以
点为坐标原点建立空间直角坐标系，设
，利用空间向量处理线面夹角问题.
【详解】（1）因为
为直径，则
，
且
，则
且
，
又因为
，则
，即
.
且
，
平面
，可知
，
且
平面
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，平面
平面
，
所以
.
（2）方法一：由题意知，
，
如图，以
点为坐标原点，
所在直线为
轴，过
与
平行的直线为
轴，建立空间直角坐标
系，
可知
，设
，
则
，
可得
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，可得
，
设
与平面
所成角为
，
则
，可得
，
且
，解得
，
即
，
整理得
，解得
，即
；
方法二：以
点为坐标原点，
所在直线分别为
和
轴，在平面
内过
垂直于
的直线为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
设
，可得
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，可得
，
设
与平面
所成角为
，则
，可得
，
且
，解得
，
即
，
整理得
，解得
，
所以
，即
.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．已知公比大于的等比数列
满足
．
（1）求
的通项公式；
（2）求
.
【答案】（1）
；（2）
【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项
公式；
(2)首先求得数列
的通项公式，然后结合等比数列前n 项和公式求解其前n 项和即可.
【详解】(1) 设等比数列
的公比为q(q>1)，则
，
整理可得：
，
，
数列的通项公式为：
.
(2)由于：
，故：
.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数
列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.
16．如图，在四棱锥
中，四边形ABCD 为菱形，
，E，F 分别是PA，PD 的中点，
过E，F 作平面
交线段PB，PC 分别于点G，H，且
(1)求证：
；
(2)若PD⊥平面ABCD，且二面角
为
，二面角
的正弦值为
，求t 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意，可得
，根据线面平行的判定定理可得
平面PBC，从而由线面平行
的性质定理可得
，由平行公理即可得证；
（2）由PD⊥平面ABCD，可得∠ADC 为二面角
的平面角，则
，取BC 中点O，
连接OD，以D 为原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而求出平面PBD 的法向量
与平面EFG 的法向量为
，从而利用向量法即可求解.
【详解】（1）证明：∵E，F 分别是PA，PD 中点，
∴
，
又∵
，
∴
，
又∵
平面PBC，
平面PBC，
∴
平面PBC，
又∵
平面α，平面
平面
，
∴
，
∴
；
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，AD，
平面ABCD，
∴
，
，
∴∠ADC 为二面角
的平面角，则
，
取BC 中点O，连接OD，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DO 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴建
立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，设点G 坐标为
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
设平面PBD 的法向量为
，则
，
即
，令
，则
，
，则
，
设平面EFG 的法向量为
，
，
，
∴
，即
，
令
，则
，
，则
，
设二面角E-FG-P 的平面角为θ，
∵二面角E-FG-P 的正弦值为
，
∴
，
，
∴
，
∴
，解得
或
（舍去）.
17．已知函数
，
.
(1)求
的单调区间和极小值；
(2)证明：当
时，
.
【答案】(1)递增区间为
，递减区间为
，极小值为1；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数
的导数，利用导数求出单调区间及极值.
（2）根据给定条件，构造函数，利用导数结合基本不等式推理即得.
【详解】（1）函数
，
，求导得
，
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减，
所以
的递增区间为
；递减区间为
，
的极小值为
.
（2）证明：当
时，令
，
求导得
，
令
，求导得
，
函数
在
上单调递增，则
，
在
上单调递增，
因此
，所以
.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．记
中内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求A；
(2)若
，
边上的中线
长为
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）将边化角，结合两角和的正弦公式即可化简求解；
（2）在
中，由余弦定理可求
，进而可得
，再利用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得
，
又
，
所以
，
因为
，
，所以
，
又因为
，
，所以
，
.
（2）在
中，因为
，
，
，由余弦定理可得：
，
即
，解得
，所以
，
所以
.
16．在四棱锥
中，底面
为正方形，平面
平面
，
，
，点E
为线段
的中点，点F 为线段
上的动点（不含端点）.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若平面
与平面
的夹角为
，求点P 到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理、判定定理可得答案；
（2）利用线面垂直的性质定理、判定定理得出
平面
，以A 为原点，
，
，
分别为x
轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设
，记
的中点为
，求出平面
、平面
的一个法向量，由二面角的斜率求法求出
，再由点面距离的向量求法可得答案.
【详解】（1）因为
，
，
，所以
.
又因为平面
平面
，且平面
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
；
（2）由（1）知，
平面
，
平面
，所以
，
又因为底面
为正方形，所以
，由
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
又因为
，
，
平面
，所以
平面
，
以A 为原点，
，
，
分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
则
，
，
，
，
设
，则
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，
，故
，
设平面
的法向量
，
，令
，则
，
则平面
的法向量
，
由题意得，
，即
，
整理得，
，解得
或
（舍），则
所以平面
的法向量可取
，
所以点
到平面
的距离
.
17．已知函数
，其中
.
(1)求
的极值；
(2)讨论
的零点的个数.
【答案】(1)极小值为
，无极大值
(2)答案见解析
【分析】（1）求导得函数单调性，进而得极值；
（2）求导
，对
分类讨论得函数对应的单调性，从而结合零点存在定理即可得解.
【详解】（1）因为
，其定义域为
，
且
.
因为
，由
，所以函数在
和
上单调递减，
在
上单调递增，所以
在
处取极小值，
且极小值为
，无极大值.
（2）因为
，所以当
时，有
，此时
无零点；
当
时，由（1）知，
在
处取极小值
.
①当
时，
在
处取极小值0，此时
恰有一个零点；
②当
时，
在
处取极小值
，此时
无零点；
③当
时，
在
处取极小值
.
下面先证明：当
时，
.
令
，则
，当
时，
单调递减，
时，
单调递增，所以
，即
，等号当且仅当
时成立.
所以
，又当
且
时，
.
所以
在
和
各有一个零点，此时，
共有2 个零点.
综上可知，当
时，
无零点；当
时，
有一个零点；
当
时，
共有2 个零点.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．在圆内接四边形
中，
.
(1)求
的大小；
(2)若
，求
的面积最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理列出等式，然后化简可求得
的大小.
（2）首先利用正弦定理将
表示出来，然后利用三角形面积公式和角的范围即可求出三角形面积的
最大值.
【详解】（1）在
中，
，
由正弦定理得
，所以
，
所以
，所以
，
所以
；
（2）由（1）可知
，所以
是四边形
外接圆直径，
，
设
，则
，
在
中，
，由正弦定理得
，即
，
在
中，
，
，
当且仅当
时取等号，所以
面积的最大值为
.
16．已知椭圆C
的焦距为2，且过点
.
(1)求C 的方程；
(2)若A，B 分别是C 的左、右顶点，设直线
与x 轴交于点P，点Q 是直线
上不同于点
的一点，
直线BQ 与C 交于另一点M，直线AM 与
交于点N，是否存在点Q，使得
？若存在，
求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
或
【分析】（1）由题意得
及
，即可求解；
（2）假设存在点
，使得
，则
，设
，则
，直线BQ
的方程为
．由
即可求解．
【详解】（1）由题意知
，且过点
，即
，
，解得
，
，
所以椭圆的方程为
；
（2）假设存在点
，使得
，则
．
设
，则
，
∴
，直线
的方程为
．
∵点
在直线
上，∴
，
∵点
是直线
上不同于点
的一点，∴
，解得
∵点
在椭圆
上，∴
，解得
或
，
当
时，解得
；当
时，解得
∴存在点
，使得
，点
的坐标为
或
．
17．在四棱台
中，底面ABCD 是边长为2 的菱形，
，
，
，过
的平面
分别交
，
于点M，N，且
平面
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若点
在棱
上，求直线
与平面
所成角的正弦值取最大值时，
的值；
(3)求平面MAC 与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）求证
，再证
平面
，即可得出
，再利用勾股定理得出
，则
平面
，即可求证；
（2）以
为原点建立空间直角坐标系，求证
平面
，再计算
的最值即可；
（3）求出两个平面的法向量，再求夹角即可.
【详解】（1）
平面
，
平面
，平面
平面
，
，
设
，连接
，
在四棱台
中，平面
平面
，
平面
平面
，平面
平面
，
，
又由题意知
，
四边形
是等腰梯形，
，同理
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
底面ABCD 是菱形，
，
平面
，
，∴
平面
，
平面
，∴
，则
；
菱形
的边长为2，
，
，
，
，四边形
是平行四边形，∴
，
∴
，∴
，∴
，∴
，
∵过
的平面
分别交
，
于点
，∴
平面
，
平面
，∴平面
平面
；
（2）由（1）知
平面
，且
，以
为原点，直线
，
，
分别为
轴建立空
间直角坐标系，如图，
，
，
，
，
，
，
由（1）知
且
平面
，∴
，
又在等腰梯形
中
，∴
，
∵
，
平面
，∴
平面
，
∴平面
的一个法向量即为
，∴
，
设
，∵
，
∴
，∴
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
当
时
取最大值
，此时
；
（3）设
，
，设平面
的法向量为
，
，令
，
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
又
在
上，设
，即
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
，令
，
，
，
平面MAC 与平面
夹角的余弦值
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．记
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角A；
(2)若
，求
外接圆面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理进行边化角，根据三角函数的恒等变化，可得答案；
（2）由余弦定理与重要不等式，可得边
的最小值，根据正弦定理可得外接圆的半径，可得答案.
【详解】（1）由
，根据正弦定理，
则
，
即
，由
，则
，
由
，即
，则
，解得
.
（2）由余弦定理可得
，
当且仅当
时，等号成立，则
的最小值为
，
设
的外接圆的半径为
，由正弦定理可得
，则
的最小值为
，
所以外接圆面积的最小值为
.
16．如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是菱形，
，点
在线段
上，
平面
.
(1)证明：
为
的中点；
(2)若
，二面角
的余弦值为
，求
的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
交
于点
，连接
，根据线面平行的性质得到
，即可得证；
（2）取
中点
，连接
，即可得到
，建立空间直角坐标，设
，求出平面
、
平面
的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出.
【详解】（1）连接
交
于点
，连接
．
因为底面
为菱形，所以
为
的中点．
又因为
平面
，
平面
，平面
平面
，
所以
，
所以
为
的中点.
（2）取
中点
，连接
．
在菱形
中，
，所以
，则
为正三角形，
所以
，又
，所以
．
又因为
平面
，如图建立空间直角坐标系
．
设
， 则
，
，
，
，
则
，
，
，
则平面
的一个法向量为
．
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，
因为二面角
的余弦值为
，
所以
，解得
（负值已舍去），
所以
．
17．近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为
了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200 名学生的化
学成绩，将他们的成绩分成以下6 组：
，
，
，
，
，统计结果如下面的频
数分布表所示.
组别
频数
20
30
40
60
30
20
(1)现利用分层抽样的方法从前3 组中抽取9 人，再从这9 人中随机抽取4 人调查其成绩不理想的原因，试
求这4 人中至少有2 人来自前2 组的概率.
(2)高一学生的这次化学成绩
（单位：分）近似地服从正态分布
，其中
近似为样本平均数
，
近似为样本的标准差，并已求得
.且这次测试恰有2 万名学生参加.
（i）试估计这些学生这次化学成绩在区间
内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表）；
（ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：
方案1：每人均赠送25 小时学习视频；
方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19 分的学生赠送40 小时的学习视频，化学成绩在
内
的学生赠送30 小时的学习视频，化学成绩高于84.81 分的学生赠送10 小时的学习视频.问：哪种方案该平
台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明.
参考数据：则
，
.
【答案】(1)
(2)（i）
，（ii）方案2
【分析】（1）由古典概率公式结合对立事件的概率求解即可；
（2）（i）由平均数的计算公式求出
，再由
原则求解即可；（ii）对于方案2，设每位学生所
获赠学习视频的小时数为X，求出X 的所有可能取值及其概率，再求出
，与方案一比较即可得出答
案..
【详解】（1）因为抽样比
，
所以
抽取
人，
抽取
人，
抽取
人.
设事件
：这4 人中至少有2 人来自前2 组，
.
（2）
，
所以
，
，
，
.
所以
.
对于方案2：设每位学生所获增学习视频小时数为
，则
.
，
，
.
，
所以方案2 该平台赠送的学习视频总时长更多.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．已知各项都是正数的数列
，其前
项和为
，
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对题干条件化简，求出前
项和为
与
的关系式，再利用关系式求出通项公式.
（2）先求出数列
的通项公式，根据列项求和法求出
的值.
【详解】（1）由题意得
，
所以
，又数列
是各项都是正数的数列，
，
所以
，
，
当
时，有
，
所以
，
所以
，故数列
是1 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
.
（2）由（1）得
，
所以
，
所以
，
裂项得
，证毕.
16．已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式即得切线方程；
（2）解法一：将函数求导，根据参数
的取值，判断函数的单调性，验证是否满足条件，可发现在
时，需使
，用
换元后，讨论函数的单调性和零点即得参数
的范围；解法
二：将
进行整理，通过
换元，从而将不等式
化简为
恒成立，继
而利用其单调性推得
，即得
，通过求函数
的最小值即得参数
的范围.
【详解】（1）当
时，
，函数定义域为
，
则
，
所以
，
，
所以切线方程为
，即
.
（2）解法一：
，
，
，∵
，∴
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，
不满足
恒成立，故舍去；
当
时，当
时，
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减，
则
的最大值为
，
依题意
恒成立，
令
，
，
，
则
，则
在
上单调递增，
又
，故
等价于
，
所以
且
，
即
，则
的取值范围是
.
解法二：由题意得
，
设
，则
恒成立，
又因为
恒成立，即函数
在
上为增函数，
又
，所以要使
恒成立，需使
，
即
，得
，
设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
从而
，即
的取值范围是
.
17．有一款网络答题竞赛游戏，答题类型有科普类与文学类两种，随机抽取了50 名参赛人员进行答题偏
好的问卷调查，调查所得数据如下表：
科普类
文学类
合计
男生
5
女生
10
合计
25
50
(1)完成以上列联表，依据小概率值
的
独立性检验，能否据此推断该游戏的答题偏好与性别有
关联？
(2)随着参赛人员越多，题库提供的题量越多，某同学统计了当参赛人数分别为2~6 人时，题库给出的题
量
的数据，用最小二乘法得到答题量
关于参赛人数
的回归直线方程为
，已知该组数据的相
关系数
，题量
的方差
，求
的值（结果精确到0.1）.
附：参考公式：
，其中
.
回归系数
，相关系数
，
.
参考数据：
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)列联表见解析，能
(2)
【分析】（1）根据题设中的数据完善列联表，计算卡方后可得相应判断；
（2）根据相关系数可求
，从而可求回归系数.
【详解】（1）完成列联表如下：
科普类
文学类
合计
男生
15
5
20
女生
10
20
30
合计
25
25
50
零假设为
：该游戏的答题偏好与性别无关.
，
根据小概率值
的
独立性检验，我们推断
不成立，即认为该游戏的答题偏好与性别有关联，
此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）由题意可得：
，
，
因为
，可得
，
又因为
可得
所以
