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“8+3+3”73 分三轮冲刺保分强化训练(17)
(时间：45 分钟分值：73 分)
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026·湖北荆州·一模）已知向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】利用向量平行的坐标公式和充分条件及必要条件求解.
【解析】充分性分析：
，
，
，
，
，故充分性成立；
必要性分析：
，
，
，
，
，
，
，故必要性不成立.
故“
”是“
”的充分不必要条件
2．（2026·北京石景山·一模）如图，在正方体中，
为底面的中心，
为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点.
则满足
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】利用空间向量法可解.
【解析】
不妨以
为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
对于A，则
，
，
则
，所以
不垂直，故A 错误；
对于B，则
，
，则
，所以
不垂直；故B 错误；
对于C，则
，
，则
，所以
垂直，故C 正确；
对于D，则
，
，则
，所以
不垂直，故D 错误.
3．（25-26 高一下·安徽合肥·月考）某校在一次考试后，对
两班的数学成绩进行分析.已知
班有
人，平均
成绩为
分，方差为
；
班有
人，平均成绩为
分，方差为
.则两班全部
名同学数学成绩的方差
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
两班全部
名同学数学成绩的平均数为
，
方差
.
4．（25-26 高三下·湖南长沙·月考）在等比数列
中，
为其前n 项和，若
，
，
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．20
D．30
【答案】B
【解题思路】先分析出
，然后由条件求出
及
的值，再根据在等比数列中
仍构成等比
数列，列出方程，即可求出
.
【解析】在等比数列
中,若
，则
，
由
，知
显然不成立，故
.
将
代入
，解得
，进而可得
.
设
，在等比数列中，因为
仍构成等比数列，
所以
，即
，
整理可得
，即
，解得
或
.
因为
，所以
.
5．（25-26 高三下·重庆渝中·月考）已知向量
且
，对任意实数，恒有
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解题思路】将模长不等式转化为关于的二次函数，利用二次函数性质，由其在
处取最小值推导出点积.
【解析】不等式
等价于
，设
，
原不等式等价于
对所有实数恒成立，即
是
的最小值，
整理
，
，
易得二次函数
开口向上，在对称轴
处取最小值，
则有
，解得
.
6．（2026·陕西西安·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
，则
最大内角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】先由正弦定理得到边的比例关系，再结合边的关系推导出最大边，最后用余弦定理求最大角的余弦
值即可.
【解析】由题意得
，
结合正弦定理得：
，
所以
因为
，所以
，
则
，即
，
由正弦定理，得
．
又
，同理可得
，
所以
，故
为
的最大内角，
设
，所以
．
7．（2026·河南焦作·一模）已知函数
若方程
恰有2 个实根，则实数的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】画出函数图象，数形结合得到答案.
【解析】
时，
，则
，
令
得
，令
得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
时，
，故
，
当
时，
单调递增，且
，
画出
的图象如下：
方程
恰有2 个实根，即
与
有2 个交点，
则
，则实数的取值范围是
.
8．（2026·湖南怀化·一模）设
为坐标原点，
是
的左、右焦点，若在双曲线上存在点
，满足三角形
的面积为
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】利用已知
，双曲线定义和
的面积，最后利用双曲线离心率公式计算得到离心率.
【解析】设
，双曲线焦点
，
，
由
，得
，
又因为
的面积
，
所以
，
平方得：
，
因为
在双曲线上，满足
，
所以
，
所以
化简得
，
代入
，得：
，
，约去
得
，即
,
代入
得
，
因此离心率：
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（2026·江苏南京·一模）已知复数
，
，且
，下列说法正确的是（ ）
A．
是纯虚数
B．
是实数
C．
是虚数
D．若
，则
是实数
【答案】AD
【解析】A.
为纯虚数，故A 正确；
B.
，只有
时，
才是实数，故B 错误；
C.
，只有
时为虚数，
为实数，故C 错误；
D.
为实数，故D 正确.
10．（2026·湖南邵阳·二模）下列说法正确的是（ ）
A．数据2，3，4，5，6，7，8，9 的第25 百分位数为3
B．若随机变量
，
，则
C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10 名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为
24，随机抽取5 名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15 名学生的数学成绩的方差为25
D．一箱12 罐的饮料中4 罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2 罐，则这2 罐中有奖券的概率为
【答案】BC
【解题思路】A 选项，由百分位数的定义进行求解；B 选项，利用二项分布的期望和方差公式进行求解；C 选项，
利用总体方差和样本方差的关系进行求解；D 选项，利用超几何分布求解相应的概率
【解析】A 选项，
，故从小到大选取第2 和第3 个数的平均数作为第25 百分位数，
即
，故数据2，3，4，5，6，7，8，9 的第25 百分位数为3.5，A 错误；
B 选项，随机变量
，
，即
，解得
，
所以则
，B 正确；
C 选项，这15 名学生的数学成绩的平均数为
，
故这15 名学生的数学成绩的方差为
，C 正确；
D 选项，2 罐中有奖券的概率为
，D 错误.
11．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
及其导函数
的定义域均为R，
在R 上单调递增，
为奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于直线
对称
D．
【答案】AC
【解题思路】A 根据奇函数以及令
可得；B 根据奇函数以及反证法结合单调性可判断；C 结合A 选项以及单
调性即可求出
；D 结合函数的单调性和对称性判断.
【解析】因为
为奇函数，所以
，
令
，得
，得
，故A 正确；
令
，则
，即
，
若
，则
恒成立，与
在R 上单调递增矛盾，故B 错误；
因为
，所以
的图象关于点
中心对称，
又
，
在R 上单调递增，所以
时
，
时
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
又函数
的导函数为
，则
，得
，其中为常数，
令
，得
，得
，故
，
故
的图象关于直线
对称，故C 正确；
由
的对称性可知，
，
因为
，以及
的单调性可知，
，故D 错误.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（25-26 高三下·上海·月考）已知A、B 为互斥事件，且
，则
______．
【答案】0.2/
【解题思路】利用互斥事件和的概率公式求得
再利用对立事件的概率求解即得.
【解析】因为
为互斥事件，则
，
所以
.
13．（2026 高三·湖南·专题练习）如图所示，若
，点
与
分别在直线
两侧，且
，则
长度的最大值为______．
【答案】
/
【解题思路】设
，利用余弦定理及三角恒等变换将
表示为
的函数，再利用正弦函数的性质求出最
大值.
【解析】在
中，
，设
，则
，
，
在
中，
，则
，
由余弦定理得
，
因
，则
，
故当
，即
时，
，
所以
的最大值为
.
14．（2026·山东德州·一模）在矩形
中，已知
是
的中点，将
沿直线
翻折成
为线段
的中点，连接
.当
与平面
所成角为
时，三棱锥
外接球的表面积为
__________.
【答案】
/
【解题思路】取
的中点
，先证明平面
平面
，则
与平面
所成角为
，即
，再证
为
的外接圆的圆心，设
为三棱锥
外接球的球心，半径为
，设
，分
别考虑球心
和点
位于平面
的两侧和同侧分别讨论，利用球的表面积公式求解.
【解析】因
是
的中点，则
，
是矩形，
，
翻折后
，因
为线段
的中点，则
，
因
，
，则
，故
，
取
的中点
，连接
，则
，
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
平面
，
在平面
的射影为
，
与平面
所成角为
，
，
因
和
都是直角三角形，则
，
为等边三角形，
取
的中点为
，连
，则
，
平面
，
平面
，
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
是直角三角形，
，
为
的外接圆的圆心，
设
为三棱锥
外接球的球心，半径为
，则
平面
，
设
，则
，
若球心
和点
位于平面
的两侧，如图1，延长
到点
，使得
，
平面
，
平面
，
，
四边形
为平行四边形，
，
，
，
解得
，则
，
三棱锥
外接球的表面积
；
若球心
和点
位于平面
的同侧，如图2，
平面
，
平面
，
，
过点
作
，交
于点
，则四边形
为平行四边形，
则
，
，
则
，解得
，舍去.
综上可得，三棱锥
外接球的表面积为
.
【点睛】
