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专题08 数列中的奇偶项和插入项问题
目录
高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）
核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）
聚焦题型精准解密（5 大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 等差 / 等比数列奇偶项和性质问题（
）
题型二 含分段函数的奇偶项求和问题（
）
题型三 连续两项和 / 积型奇偶项问题（
）
题型四 插入项构造新数列问题（
）
题型五 含(-1)
n的奇偶项并项求和问题（
）
实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中的题型分布：客观题以中档题为主，侧重奇偶项通项求解、局部和计算；解答题可能作为第二
问，结合函数、不等式综合考查，难度中档偏难
基础知识必备：等差、等比数列的通项公式与前 n 项和公式，这是处理奇偶项、插入项问题的核心依据。
数列递推关系的基本处理方法，包括累加法、累乘法、构造法等基础技巧。 分奇偶项的数列通项拆分原
则，以及插入项问题中原有数列与新数列的项数、公差 / 公比关联逻辑。 数列前 n 项和的分组求和、并
项求和等基础方法，适配奇偶项分段求和场景
2026 高考预测：考查重点：奇偶项数列的分段通项推导、前 n 项和的分类计算，插入项问题中公差 / 公
比的求解与新数列性质分析。 命题趋势：强化知识交汇，可能结合新定义、实际情境设计题目，突出对
分类讨论、转化化归思想的考查，与近三年高考 “情景新颖、素养导向” 的命题风格保持一致。
重难知识汇总：奇偶项数列的通项推导 隔项递推型（如
）：需分别构造奇数项、偶数
项两个独立数列求解。 含
型：通过并项转化为等差或等比数列，或直接分 n 为奇、偶讨论。 分
段型：明确 n 为奇数、偶数时的不同递推关系，分别求通项后整合。 奇偶项数列的前 n 项和计算 分 n
为奇、偶两种情况讨论，准确判断奇数项、偶数项的项数及对应数列类型。 利用
与
、
的关
系简化计算，规避项数计数错误。 插入项问题的核心逻辑 等差插入：在两项间插入 k 项后，新数列仍
为等差数列，利用中项性质或公差公式建立等式。 等比插入：插入项后保持等比性质，通过公比的传递
性求解参数，注意正负项的讨论。
常用技巧方法：分类讨论法：处理奇偶项问题的核心，明确 n 的奇偶性后，将复杂数列拆分为两个常规
等差或等比数列。 构造新数列法：将奇数项
、偶数项
分别构造为新数列，利用等差、等比数
列公式求解。 分组 / 并项求和法：奇偶项交替的数列优先并项（如相邻两项相加为常数或等比数列），
再整体求和。 方程法：插入项问题中，设新数列的公差 / 公比，根据原有项与插入项的关系列方程求解。
易错避坑提效：项数误判：计算前 n 项和时，混淆奇数项、偶数项的项数（如 n 为奇数时，奇数项有
项，偶数项有
项）。 公差 / 公比混淆：插入项问题中，误将原有数列的公差 / 公比等同于新数列，
忽略插入项对项数间隔的影响。 分类不完整：推导通项或求和时，未明确 n 的取值范围（n∈N*），导
致结论遗漏部分情况。 公式应用错误：等比数列求和时忽略 q=1 的特殊情况，奇偶项并项时符号处理失
误。
题型一 等差 / 等比数列奇偶项和性质问题
方法点拨：等差数列：项数为 2n 时，S偶- S奇=nd；项数为 2n-1 时，S奇- S偶=an（中间项）。
等比数列：项数为 2n 时，
S偶
S奇
=q；项数为 2n+1 时，
S奇-a1
S偶
=q。优先判断项数奇偶性，直接套用性质
简化计算，避免复杂通项推导。
【典例01】（25-26 高三上·广西南宁·开学考试）《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，
疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更
加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5 尺，一月织了
七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29 天，记该女子一个月中的第
天所织布的尺数为
，
则
值为（ ）
A．15
B．
C．
D．
【典例02】（25-26 高三上·新疆昌吉·月考）已知数列
是等差数列.
(1)若
，
，求
；
(2)若
，
，求
；
(3)若数列
的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列的项数.
【变式01】（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，则
的前
40 项和为 .
【变式02】（24-25 高三下·广东广州·月考）已知数列
满足
，其前
项和为
，且
．则
；若对任意的
，
恒成立，则首项
的取值范围是
．
【变式03】（2025·山东威海·一模）已知数列
的各项均为正数，记
为
的前n 项和，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前n 项和
.
题型二 含分段函数的奇偶项求和问题
方法点拨：分组求和：将奇数项和偶数项分别视为两个独立数列求和。项数区分：n 为偶数时，奇偶
项各n
2项；n 为奇数时，奇数项n+1
2
项、偶数项n-1
2
项。可先求前 2n 项和（奇偶项成对），再推导 n
为奇数时的和（T n=T n+1-bn+1）
【典例01】（25-26 高三上·福建福州·月考）已知数列
满足
，对任意
，有
，则数列
的前
项和
=（ ）
A．0
B．
C．
D．2
【典例02】（25-26 高三上·新疆乌鲁木齐·月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若
是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈
．这
就是数学史上著名的“冰雹猜想”．（又称角谷猜想等）如取正整数
，根据上述运算法则得出
，共需经过8 个步骤变成1（简称为8 步“雹程”）．现给出冰雹猜
想的递推关系如下：已知数列
满足：
，（
为正整数），
，若
，记数列
的前
项和为
，则
【变式01】（24-25 高三上·辽宁·期末）已知数列
满足
且
，
，记
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式02】（2024·全国·模拟预测）在等比数列
中，
，若
，且
的前
项和为
，则满足
的最小正整数
的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式03】（24-25 高三上·天津和平·月考）设数列
满足
，
，
，令
，则数列
的前100 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三 连续两项和 / 积型奇偶项问题
方法点拨：①隔项递推：由an+2±an=常数（或规律项），判断奇数项、偶数项分别为等差 / 等比数
列。②分组求和：相邻两项为一组（如(a1+a2)+(a3+a4)+⋯），利用 f (n) 的规律求和。③通项求解：
分别求出奇数项、偶数项通项，统一表达式（若可统一）。
【典例01】（24-25 高三·河南焦作·期末）已知数列
满足
，则
的前100 项和为
（ ）
A．2475
B．2500
C．2525
D．5050
【典例02】（25-26 高三上·重庆·期中）(多选)已知数列
的前
项和为
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【变式01】（25-26 高三上·福建厦门·期中）已知数列
满足
，数列
满足
，
其中
，则数列
的前2025 项和为（ ）
A．2025
B．2023
C．
D．0
【变式02】（2025·湖北黄冈·三模）(多选)已知数列
的前
项和为
，
.则下列
式子的值可以确定的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式03】（2025·河北·二模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，
，
则以下说法正确的是（ ）
A．
是等比数列
B．
是等比数列
C．
D．
题型四 插入项构造新数列问题
方法点拨：确定新数列构成：插入 n 项后，相邻原数列项与插入项共 n+2 项，利用等差 / 等比通
项公式求插入项的公差或公比。 项数计算：统计原数列项数与插入项总数，确定目标项在新数列中的位
置。 分组求和：分原数列项和插入项分别求和，再合并结果
【典例01】（2025·山东日照·二模）已知数列
的通项公式
，在每相邻两项
，
之间插入
个2（
），使它们和原数列的项构成一个新的数列
，记数列
的前n 项和为
，则
成立的n 的最小值为（ ）
A．20
B．21
C．22
D．23
【典例02】（2025·天津·一模）已知数列
和
的通项公式分别为
，在
与
之间插
入数列
的前m 项，构成新数列
，即
，…．记数列
的
前n 项和为
，则
（ ）
A．30
B．4944
C．9876
D．14748
【变式01】（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知数列
的通项公式
，在每相邻两项
之间插
入
个
，使它们和原数列的项构成一个新的数列
，记数列
的前n 项和为
，则
成立的n 的最小值为（ ）
A．35
B．36
C．37
D．38
【变式02】（25-26 高三上·辽宁大连·月考）设数列
满足
（
），
，
.在
数列
的任意
与
项之间，都插入
（
）个相同的数
，组成数列
，记数列
的
前
项的和为
，求
.
【变式03】（25-26 高三上·天津滨海新·期中）已知数列
是等差数列，
是公比不为1 的等比数列，
，
，且
是
与
的等差中项.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求
；
(3)若对于数列
，在
和
之间插入
个
组成一个新的数列
，记数列
的前
项
和为
，求
题型五 含(-1)
n的奇偶项并项求和问题
方法点拨：并项求和：n 为偶数时，相邻两项合并（如(-a1+a2)+(-a3+a4)+⋯）；n 为奇数时，
先求前 n-1 项和（偶数项）再加第 n 项。裂项辅助：若含分式，先裂项再并项（如
(-1)
n(
1
2n-1 +
1
2n+1 )），简化计算。分类表达：最终和式按 n 的奇偶性分类书写，避免统一表达式复
杂
【典例01】（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列
满足
，某同学将其前20 项中某一项正
负号写错，得其前20 项和为82，则写错之前这个数为（ ）
A．64
B．
C．100
D．
【典例02】（25-26 高三上·重庆·期中）(多选)已知数列
的前
项和为
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【变式01】（2025·天津武清·模拟预测）已知数列
的通项公式为
，其前n 项和为
，则数
列
的前2025 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式02】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列
的公差
，且
成等比数列，则数列
的前2025 项和为（ ）
A．
B．
C．505
D．1013
【变式03】（2025 高三上·湖北孝感·专题练习）数列
满足：
，
，
．
(1)求数列
的通项公式.
(2)数列
满足：
，求数列
的前
项和
．
（限时训练：15 分钟）
1． （25-26 高三上·四川绵阳·月考）已知等差数列
共有
项，奇数项之和为
，偶数项之和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2． （2025 高三·全国·专题练习）一个等差数列共有
项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，
则此数列第
项为（ ）
A．31
B．30
C．29
D．28
3．（24-25 高三下·河北张家口·开学考试）已知数列
的前
项和为
，且
，
，则
的值为（ ）
A．360
B．480
C．960
D．1280
4．（2025·广东广州·模拟预测）已知
是首项为2，公比为2 的等比数列，记
，其
中
，记数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．9143
B．9145
C．10009
D．10154
5. （2025·江西·三模）（多选）已知数列
的前
项和为
，数列
的前
项积为
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6. （2025·山东日照·二模）已知数列
的通项公式
，在每相邻两项
，
之间插入
个2（
），使它们和原数列的项构成一个新的数列
，记数列
的前n 项和为
，则
成立的n
的最小值为（ ）
A．20
B．21
C．22
D．23
7.（24-25 高三上·黑龙江牡丹江·期中）(多选)数列
满足
，
，则下列结
论正确的是（ ）
A．若
，则
前n 项和为
B．
C．数列
的前n 项和为
D．数列
最大项为第10 项
8. （2025·湖南·三模）已知数列
满足
，数列
满足
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求
的通项公式；
(3)将
中的项按从小到大的顺序插入
中，且在任意的
之间插入
项，从而构成一个新
数列
，设
的前
项和为
，求
.
