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5.5 数列与其他知识的综合应用（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知等差数列
的首项
，公差
，在
中每相邻两项之间都插
入3 个数，组成一个新的等差数列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
的公差为
，则
，
，故
.故选：B.
2．（2025·重庆·三模）已知
，则数列
前2025 项的第1 百分位数是（ ）
A．-1
B．1
C．0
D．
【答案】A
【解析】因为
，故所求为数列
的前2025 项从小到达排列后的第21 项，
当
时，
，
当
时，
，
故数列
的前2025 项有
个
，
个，
所以数列
的前2025 项从小到达排列后的第21 项为
.
故选：A.
3．（2025·山东济南·模拟预测）将数列
与数列
的公共项从小到大排列得到新数列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】数列
是以1 为首项的奇数列，即
，
数列
是以1 为首项，公差为3 的奇偶交错的等差数列，即
，
故数列
与
的公共项所构成的新数列
为，即首项为，公差为
的等差数列，即
，
.
故选：A.
4．（2025·天津·一模）已知数列
和
的通项公式分别为
，在
与
之间插入数列
的
前m 项，构成新数列
，即
，…．记数列
的前n 项和为
，则
（ ）
A．30
B．4944
C．9876
D．14748
【答案】B
【解析】因为数列
的通项公式为
，所以数列
为等差数列，
所以数列
的前
项和为
，
数列
的通项公式为
，所以数列
为等比数列，
所以数列
的前
项和为
，
所以
，
，
当
时，
.
故选：B.
5．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）将正整数集
中所有与21 不互素的数划掉，记剩下的数由小到大排成数列
，再按照两项，一项，两项，一项
的顺序循环分组：
，那么
在第（ ）
组．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】正整数集
中，划掉所有与21 不互素的数等价于划掉3 或7 的倍数，
余下的数按题设要求可分组如下：
，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
每行均有组（共
个元素），且各组中的元素除以
后余数相异，
而
，故
在第
行，
而第
行的第一组为
，
第二组为
，第三组为
，
故
为第
行的第组．则
在第
组．
故选：A.
6．（2025·海南·模拟预测）数列
满足
，对于任意的
恒成立，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意令
，所以
，对比
，可得
，
所以数列
是以
为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，
所以
，
对于任意的
恒成立，即对于任意的
恒成立，
即对于任意的
恒成立，
显然当
增大时，
减小，此时
增大，
所以
.
故选：A.
7．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840 种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为
你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H 老师借“21840”与“无穷尽”命
题如下：设集合
，
，
为数列
的前
项和，若
取
中每个数字的概率
相同．记
为事件“
等于奇数”的概率，当
趋近于无穷大时，
的近似值为
，则（ ）．
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】
中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为
，取到偶数的概率为
，
的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性.
设
，
，有
；
考虑递推关系：
代入
，
，
，
当
时，
，为奇数的概率为
，故
.
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列；
所以
，
当
时，
，
当
时，
.
故选：A
8．（2025·贵州黔南·模拟预测）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该数除
以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈
．这就是数学史上著名的“冰
雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数
，共需经过8 个步骤变成1（简称为8 步“雹程”），即
．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列
满足：
（
为
正整数），
，前
项和为
．则下列结论不正确的是（ ）
A．
时，使得
要6 步雹程
B．
时，
C．
时，
D．使得
的
的值有6 个
【答案】B
【解析】若
，则
，
则需要6 步雹程，故A 正确；
若
，则
，
因
，则
，故B 错误；
若
，则
，
，
则
，故C 正确；
若
，则
或
，
若
，则
，
，
，
；
若
，则
，
，
，
；
若
，则
，
，
，
；
若
，则
，
，
，
；
若
，则
，
，
，
；
若
，则
，
，
，
；
故
的所有取值为
，共
个，故D 正确.
故选：B
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025·四川成都·模拟预测）已知随机变量X 的分布列如下表：
X
1
2
3
4
5
其中
成等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
成等差数列
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对于A，由
，得
，则
成等差数列，A 正确；
对于B，由
成等比数列，得
，而
，解得
，B 错误；
对于C，
，
，C 错误；
对于D，
，D 正确.
故选：AD
10（2025·山东·模拟预测）已知数列
的通项公式为
，将
按照从小到大
的顺序排列起来构成数列
，其中
，数列
中落在区间
内项的个数记为数列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】BCD
【解析】由
，
则
则
的最小项为：
，
，
，
，故A 错误；
是数列
中落在区间
内的项的个数，对于
，区间为
，
则
中落在区间
的项为；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
因此共有
项，则
，故B 正确；
确定
，则数列
的项是
，
为非负整数，且
，
相当于在
中选择个不同的元素,则
,
,
所以
是最大的和,其中最大的元素为
则
是下一个和,即
,所以
,故C 正确.
确定
，数列
的项
可以表示为
,
因此由组合
.
因此
，故D 正确.
故选：BCD
11．（2025·湖北武汉·三模）某乒乓球比赛采用单淘汰制，即参赛选手按照随机组合方式逐轮进行比赛，每场
比赛负方淘汰，胜方晋级到下一轮，直到最终决出冠亚军．现有运动员
（
且
）名，随机编号到对
阵位置，且所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为
．若甲、乙是其中的两名运动员，则下列结论中正
确的有（ ）
A．若
，则甲、乙在第1 轮比赛中相遇的概率为
B．若
，则甲、乙在第2 轮比赛中相遇的概率为
C．若
（
且
），则甲、乙两人在第4 轮比赛中相遇的概率为
D．若
，则甲、乙两人在比赛中相遇的概率为
【答案】ACD
【解析】对于A，
时，甲的位置确定后，乙需在剩余7 个位置中选择同一组的1 个位置，概率为
，故A
正确；
对于B，当
时，甲、乙在第2 轮相遇，则甲、乙需在第一轮均晋级概率为
，又在第2 轮同一组
的概率为
，故所求概率为
，故B 错误；
对于C，当
时，甲、乙两人在第m 轮比赛中相遇的概率为
，
所以甲、乙两人在第4 轮比赛中相遇的概率为
，故C 正确；
对于D，当
时，甲、乙两人在比赛中相遇的概率为
，故D 正确；
故选：ACD.
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·贵州遵义·模拟预测）设
为正整数，数列
，
，…，
是公差不为0 的等差数列，若从中删
去两项
和
后剩余的
项可被平均分为
组，每组的4 个数都能构成等差数列，且公差与原数列的公
差相同，则取法有 种．（用含
的代数式作答）
【答案】
【解析】从
项的等差数列中删除2 项等价于该等差数列是由其中的
项增加2 项构成的，
把
项按每相邻4 项为一组分成
组，共有
个间隙，
若插入相邻2 项，则有
种方法；若插入不相邻项，则有
种方法，
所以不同取法种数是
.
故答案为：
13．（2025·山东·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，满足
，则
.
【答案】
【解析】因为
，所以
.
令
，则
的定义域为
，且
，所以
为奇函数.又因为
，所以
在
上单调递增.
令
，则
，故
，即
，则
，
故
.
故答案为：
.
14．（2025·江苏苏州·三模）已知数列
是公比不为1 的等比数列，从
中任取四项，则这四项
依然构成等比数列的概率为 ．
【答案】
【解析】从20 项中任取4 项，共有
种情况，
假设任取的4 项为
，
若这四项依然构成等比数列，则
构成等差数列，
设公差为
，则满足
，
对公差
进行一一列举：
当
时，的范围是
，共有17 种；
当
时，的范围是
，共有14 种；
当
时，的范围是
，共有11 种；
当
时，的范围是
，共有8 种；
当
时，的范围是
，共有5 种；
当
时，的范围是
，共有2 种，
所以共有
种情况，
所以这四项依然构成等比数列的概率为
.
故答案为：
.
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列
中，
，
，设
.
(1)证明数列
为等比数列，并求
的通项公式；
(2)设
，将数列
和数列
的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列
，求数列
的前50 项和
.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】（1）由
，
，得
，则
，
即
，又
，于是
，而
，
所以数列
为首项为3 公比为3 的等比数列，
.
（2）由（1）知
，数列
，
都是递增数列，
，即
，
因此数列
的前50 项包含
中的前46 项与
中的前4 项，
所以
.
16．（2025·湖南邵阳·三模）如图，过点
作
轴的垂线交曲线
于点
，曲线在点
处的切线
交
轴于点
，再过点
作
轴的垂线交曲线
于点
，依次重复上述过程，得到一系列点：
；
；
；
；
；
，记点
的坐标为
，其中
．
(1)记
组成一个数列
，求
的通项公式；
(2)令
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为
，所以
，因为
在
处的切线为
，
所以切线
的斜率
，所以切线
的方程为
，
又因为点
在切线
上，所以
，即
，
所以
，所以
，因为
，所以
，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
；
（2）
.
17．（2025·湖北十堰·模拟预测）某微信群群主统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相
等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分布直方图.
(1)群主预告今天晚上6 点将有2 个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包．小李是该群的
一位成员，以频率作为概率，求小李至少一次抢到5 元以上金额的红包的概率；
(2)群主为了活跃气氛，在群内开展“红包接龙游戏”，
规则如下：第一个红包由群主发，抢到“手气最佳”者发下一轮，每个红包发出后，所有人都参与抢红包，群
主发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为
；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为
．设
前
轮中群主发红包的次数为
，第
轮由群主发红包的概率为
．求
及
的期望
．
【答案】(1)0.8911；
(2)
，
.
【解析】（1）由题知，每个红包抢到5 元以上金额的概率为
，且2 次红
包相互独立，
由独立重复试验概率公式，至少一次抢到5 元以上金额的概率为
.
（2）由题意，
，
由
，又
，
是以
为首项，
为公比的等比数列，
，即
，
定义
为第
轮群主不发红包，
为第
轮群主发红包，
故
服从两点分布：
，
，由已知
，
则
.
18．（2025·江苏连云港·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创
造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公差不为0 的
等差数列
称为“一阶等差数列”，若数列
是“一阶等差数列”，则称数列
是“二阶
等差数列”．定义：若数列
是“
阶等差数列”，则称原数列
为“
阶等差数列”．例如：数
列
，它的后项与前项之差组成新数列
，新数列
是公差为的等差数列，则称数列
为二阶等差数列．
(1)若数列
满足
，
，且
，求证：数列
为二阶等差数列；
(2)若三阶等差数列
的前
项依次为
，求
的前
项和
；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为
，所以
，
所以
是首项为
，公差为
的等差数列，
则
是一阶等差数列，数列
为二阶等差数列
（2）因为
是“三阶等差数列”，所以
是“二阶等差数列”，
设
，所以
是“一阶等差数列”．
由题意得
，
，
，所以
，
所以
是首项为，公差为的等差数列，根据累加法有：
，
满足上式，所以
，
因为
满足上式，
.
19．（2025·山西·三模）已知函数
，从点
作
轴的垂线，交
的图象于点
，过
点
作曲线
的切线交
轴于点
，再过点
作
轴的垂线，交
的图象于点
，重复这一过程，
得到两个点列，
，
，点
的坐标记作
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)证明：
．(切线不等式
)
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）
，
，
记
，
，
，
切线
，有
，
代入
坐标可得，
，即
，可得
，
故
为公比为2 的等比数列，由于
，
，
故
，得
；
（2）由
，
记
，有
，
作差有
，有
，
有
，
故
；
（3）因为
，
由于
，故
，故
，右边证毕；
因为
，故
，
故
，又根据切线不等式
，故
，故有
，
综上所述：
．
