文档文本内容
2026 年新高考第15 题B 版分类训练
数列综合
考点
3 年考题
考情分析
数列综合
2025 年新高考Ⅱ卷第16 题
2024 年新高考Ⅰ卷第19 题
2024 年新高考Ⅱ卷第19 题
2023 年新高考Ⅰ卷第20 题
2023 年新高考Ⅱ卷第18 题
数列大题整体难度适中，但常与其他知识点综合考查，
一旦融入复杂计算，难度会显著提升。纵观近3 年新高
考数学试题，数列核心考查内容集中在：等差数列与等
比数列的通项公式、前 n 项和公式、数列求和方法、
最值问题及相关证明等，是高考冲刺阶段的重点复习模
块。
据此可预测，2026 年新高考数列命题方向仍将围绕等
差、等比数列的通项与前 n 项和、数列求和、不等式
证明、最值问题展开，延续核心考点与综合考查思路。
1.（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第16 题）设数列
满足
，
(1)证明：
为等差数列；
(2)设
，求
．
2．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第19 题）设m 为正整数，数列
是公差不为0
的等差数列，若从中删去两项
和
后剩余的
项可被平均分为
组，且每组的4
个数都能构成等差数列，则称数列
是
可分数列．
(1)写出所有的
，
，使数列
是
可分数列；
(2)当
时，证明：数列
是
可分数列；
(3)从
中一次任取两个数和
，记数列
是
可分数列
的概率为
，证明：
．
3.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第19 题）已知双曲线
，点
在
上，
为常数，
．按照如下方式依次构造点
，过
作斜率为
的直
线与
的左支交于点
，令
为
关于
轴的对称点，记
的坐标为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比数列；
(3)设
为
的面积，证明：对任意的正整数
，
.
4.（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第20 题）设等差数列
的公差为
，且
．令
，记
分别为数列
的前
项和．
（1）若
，求
的通项公式；
（2）若
为等差数列，且
，求
．
5.（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第18 题）已知
为等差数列，
，
记
，
分别为数列
，
的前n 项和，
，
．
（1）求
的通项公式；
（2）证明：当
时，
．
1.等差数列的通项公式与前n 项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n 项和公式：Sn＝na1＋＝.
2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n 项和公式：当q＝1 时，Sn＝na1；当q≠1 时，Sn＝＝.
3.数列的通项an与前n 项和Sn的关系
①当
时，a1若适合
，则
的情况可并入
时的通项
；
②当
时，a1若不适合
，则用分段函数的形式表示.
4.累加法：若在已知数列中相邻两项存在：
的关系，可用“累加
法”求通项.
5.累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：
的关系，可用“累乘法”
求通项.
6.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
积累裂项模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
积累裂项模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
积累裂项模型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
，设
，易得
，
于是
积累裂项模型4：对数型
7.分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，
则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
8.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成
的，那么求这个数列的前
项和即可用错位相减法求解．
9.倒序相加法：如果一个数列
与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常
数，那么求这个数列的前
项和即可用倒序相加法求解．
10.构造法求数列的通项的几种类型．
①形如
，则构造
进行求解.
②形如
，则构造
进行求解.
③形如
则构造
进行求解.
④形如
(
），则构造
进行求解.
⑤形如
,则构造
，
若
，则数列
成等差数列；若
，则再利用类型（1）进行构造.
⑥形如
，则构造
进行求解.
等差数列
1.（湖南怀化市2026 届高三下学期第一次模拟考试）已知等差数列
的前
项和为
，
且
.
(1)求数列
的前
项和
；
(2)记
，数列
的前
项积为
，求
的最小值.
2.（湖北武汉市2026 届高中毕业生三月调研）在数列{an)中，a1=6，a3=20，a4=30，
且{an+1−an)是等差数列.
(1)求a2；
(2)证明：1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an
< 1
2.
3.（安徽江南十校2026 届高三3 月联考）已知等差数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
4.（福建省福州市2026 届高三三月质量检测）记
为等差数列
的前n 项和，已知
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设函数
，记
，求数列
的前21 项和
.
5.（江西省重点中学协作体2026 届高三第一次联考）已知等差数列
的公差
，其
前n 项和为
，且
，
，
成等比数列，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，且
的前n 项和为
，求证：
（
）．
6. （杭州学军中学高三上学期期末）记
为等差数列
的前
项和，已知
．
（1）求
的通项公式；
（2）求数列
的前
项和
．
等差数列构造问题
1.（重庆市名校联盟2026 届高三下学期第一次联考）已知数列{an)的前n项和为Sn
，若
n Sn+1−(n+1)Sn=2(n
2+n)，且a1=2．
(1)证明：{
Sn
n )
为等差数列，并求Sn
．
(2)若bn=
1
2Sn−1，数列{bn)的前n项和T n，求证：T n< 1
2．
2.（九江市2026 届第一次高考模拟统一考试）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
，求
的最大值.
3.（湖北省云学联盟2026 届高三上学期期末联考）已知数列 {an) 中， a1= 4 ，
an=an−1+2
n−1+3 ， (n≥2，n∈N
∗) .
(1)证明数列 {an−2
n) 是等差数列，并求 {an) 的通项公式:
(2)设 bn= an
2
n −1 ，求 {bn) 的前 n 项和 T n
.
4.（2026 届江苏省G4 联考12 月）数列
中，
，
，
.
（1）证明：
是等差数列；
（2）设
，求
.
.
等比数列
1.（江苏省镇江市2026 届高三第一学期零模）已知等比数列
的前
项和为
，
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，求
.
2.（江西省部分学校2025-2026 学年高三上学期1 月测试）已知等比数列
满足
，
且
是
与
的等差中项．
（1）求
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前n 项和
．
3.（广东省东莞市2025-2026 学年上学期期末检测）已知
为等差数列，
是公比为
2 的等比数列，且
．
（1）证明：
；
（2）求集合
中元素个数．
等比数列的构造问题
1.（江西省部分省示范高中2025-2026 学年高三一轮复习摸底监测数）已知数列
中，
．
（1）证明数列
为等比数列，并求数列
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前n 项和
．
an与前n 项和Sn的关系
1.（安徽省黄山市2026 届高三第一次质量检测）已知
是正项数列
的前
项和，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
为函数
的导函数，记
，求数列
的前
项和
．
2.（湖南省湘一名校联盟2026 届高三上学期12 月质量检测）记数列
的前
项和为
，
已知
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
3.（浙江省强基联盟2026 年1 月高三联考）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
4.（四川省字节精准教育联盟2025-2026 学年高三上学期期末（第二阶段学情）考试）已
知数列{an)的前n项和为Sn，且2an= Sn+n+2(n∈N
*)，设bn=an+1.
(1)证明：数列{bn)是等比数列；
(2)求数列{nbn)的前n项和T n
.
5.（山东聊城市2026 届高三下学期高考模拟）已知数列{an)满足an={
3
4 ,n=1
2n−1,n≥2)
.
(1)求{an)的前n 项和Sn
；
(2)记数列{bn)的前n 项和为T n
，若T n=2bn−2
n+2+6．
（i）证明数列{
bn
2
n)
为等差数列，并求出{bn)的通项公式；
（ii）求数列{
T n
Sn)
的前n 项和M n．
6.（2026 河北张家口一模）已知数列
的前
项和为
，满足
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
7.（辽宁省名校联盟2026 届高三高考模拟卷(调研卷) 数学试题(二)）已知数列
的前n
项和为
，
，且
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)记
，求数列
的前
项和
递推关系的构造
1.（黑龙江省九师联盟2025 届高三下学期4 月联考）已知数列{an)满足a1=1，
an+1an=an−2an+1.
(1)求{an)的通项公式；
(2)记{an)的前n项和为Sn
，求证：Sn<2.
2.（2026 届辽宁省重点高中协作体调研测试（二））数列
满足
．
（1）当
时，判断数列
是否为等差数列，并说明理由；
（2）求证：“
”是“数列
单调递增”的充分不必要条件．
3.（江苏省九校2026 届高三下学期一模联考）已知数列{an)各项均不为零，a1=1，a2= 1
3
，
anan+1=(t an−an+1)an+2
.
(1)当t =1时，求{an)的前50 项和；
(2)若an>an+1，求正整数t的最小值.
4.（河南省九师联盟2025-2026 学年高三下学期开学考试数学试题）在数列
中，
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
为
的前
项和，求数列
的前
项和
．
5.（湖南省永州市2026 届高三第二次模拟考试）已知数列
满足
．
(1)求
的通项公式
；
(2)求
的前
项和
．
