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“8+3+3”73 分三轮冲刺保分强化训练(3)
(时间：45 分钟分值：73 分)
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026·四川成都·二模）已知集合
，
．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题可得集合
，
所以集合
，
所以
.
2．（吉林白山市2026 届高三下学期二模数学试题）若复数
（其中为虚数单位），则
的共
轭复数的虚部是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先确定满足关系
，
，
，
，再证明
，由此求结论.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
，
，
，
所以
，
所以复数
，
，
所以
即
，
所以
的共轭复数为
，其虚部为
.
3．（河北邢台市卓越联盟2025-2026 学年高二下学期开学测评数学试卷）已知直线
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当
时，直线
，即
与直线
平行，
由
，得
，解得
，
所以“
”是“
”的充要条件.
4．（河北邢台市卓越联盟2025-2026 学年高二下学期开学测评数学试卷）若等比数列
的前
项和为
，公比
为
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
可求得
的值，再利用
化简可得
的值.
【详解】因为等比数列
的前
项和为
，公比为
，且
，
，
则
，解得
，
又因为
，所以
，故
.
5．（2026·四川成都·二模）记
的面积为S，
的外接圆半径为1，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由正弦定理
（R 为
的外接圆半径），且
的外接圆半径为1，得
，
代入
得
.
由余弦定理得
，
又
，所以
，化简得
，
因为
，所以
.
6．（25-26 高三上·北京·月考）展开式
中
的系数为（ ）
A．
B．
C．160
D．80
【答案】A
【分析】将
看作5 个相同的括号相乘，利用组合的方法求解.
【详解】
表示5 个
相乘，每个
在相乘时均有三种选择，
选
或
或
．
设选
的有
个，选
的有
个，那么选
的有
个，
则有
，解得
或
或
，
即选5 个
；或者选1 个
、3 个
、1 个
；或者选2 个
、1 个
、2 个
；
因此含
项的系数为
.
故选：A
7．（天津红桥区2026 届高三下学期开学考试数学试卷）在等腰梯形
中，已知
，
，
，
.动点
和
分别在线段
和
上，且
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量的运算法则，先化简得到
，
，再利用向量数量积的运算，化
简得到
，结合基本不等式，即可求解.
【详解】在等腰梯形
中，已知
，且
，
所以
，
，
，
因为
，
，由题意知
，
则
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值为
.
8．（广西贵港市2025-2026 学年高三上学期9 月教学质量诊断检测数学试卷）已知定义在
上的函数
的图象
关于点
对称，且满足
，又
，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】D
【详解】因为函数
的图象关于点
对称，所以
，
又
，
，
令
，则
，则
，故函数
是偶函数，
又
，则
，所以
，故函数
的周
期为3，
所以
，
．
又
，故
．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（2026 高三下·福建厦门·专题练习）已知函数
的最小正周期为
，则下列结
论正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于直线
对称
C．
关于点
中心对称
D．
在
单调递减
【答案】BD
【详解】化简得
，
对于A，
，故A 错误，
对于B，
，令
，解得
，
令
，得
，故
的图象关于直线
对称，故B 正确，
对于C，令
，解得
，
令
，得
，
关于点
中心对称，故C 错误，
对于D，
，
当
，则
，根据余弦函数的性质可知，
在
单调递减，故D 正确.
10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆
，
，
分别是椭圆C 的左右焦点，O 是原点，P 是椭圆
C 上任意一点，下列说法正确的有（ ）
A．
的周长是
B．
时，
的面积是
C．
的最大值是2
D．过P 作椭圆C 的切线与x 轴和y 轴分别交于A，B 两点，则
面积的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，先得到
，再根据椭圆的定义求解判断即可；对于B，根据余弦定理可得
，再求解判断即可；对于C，由基本不等式求解判断即可；对于D，设
，易得切线方程为
，进而得到
，由
结合基本不等式可得
，进而求解判断即可.
【详解】对于A，由椭圆
知椭圆焦点在
轴上，且
，
则
的周长是
，故A 正确；
对于B，由椭圆的定义得
，
，
由余弦定理得，
，
则
，即
，则
，
所以
的面积为
，故B 错误；
对于C，由
，则
，
当且仅当
时等号成立，故C 正确；
对于D，先证明：椭圆
上的一点
处的切线方程为
.
联立
，得
，
点
在椭圆上，
，
，即
，
， 得
，故直线和椭圆仅有一个公共点，
则椭圆
上的一点
处的切线方程为
.
设
，由题意知
的切线斜率存在，则切线方程为
，
令
，得
，令
，得
，即
，
又
，则
，
即
，当且仅当
时等号成立，
则
面积为
，
即
的面积的最小值为
，故D 正确.
11．（2026·浙江·模拟预测）如图，在正四棱锥
中，
，
，
，
，
分别为侧棱PA，PB，
PC，PD 的中点，若多面体
的体积为
，则（ ）
A．
平面
B．四棱锥
的外接球半径为2
C．直线
与底面ABCD 所成角的余弦值为
D．点B 到平面PAD 的距离为
【答案】ACD
【分析】对于A 选项，通过中位线构造线面平行，再由线线平行推导线面平行即可；对于B 选项，先由棱台体积
求出棱台高，进而得到四棱锥高，再通过勾股定理判断侧棱与对角线的垂直关系，确定外接球球心，再求得半径
即可；对于C 选项，取中点构造垂线，将线面角转化为直角三角形内角，再用余弦定义求解即可；对于D 选项，
利用等体积法，将点到平面的距离转化为体积问题求解即可.
【详解】对于A，设AC，BD 交于点O，连接
，易知
，又
平面
，
，则
平
面
，A 正确；
对于B，多面体
为四棱台，
，设四棱台的高为h，则四棱台
的体积
，
得
，易知四棱锥
的高
，故
，又
，易知
，
，
所以点O 即为四棱锥P-ABCD 的外接球球心，其半径
，B 错误；
对于C，取OC 中点E，连接
，则
，
平面ABCD，则
即为直线
与底面ABCD 所成的
角，
又
，
，
，
，C 正确；
对于D，由
，得
为正三角形，
，又
，
则
，设点B 到平面PAD 的距离为d，
则
，解得
，
所以点B 到平面PAD 的距离为
，D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2026·四川成都·二模）已知
，
，则
__________
【答案】
/
【分析】对已知的两个式子左右两边平方，相加后利用同角三角函数基本关系，再结合两角差的正弦定理的逆用，
代入即可求解.
【详解】由题知
①，
②，
得
，
即
，
所以
，所以
.
13．（2026·贵州贵阳·一模）已知直线
与圆
，若存在以直线l 上一点为圆心，1 为
半径的圆与圆C 有交点，则k 的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据给定条件可得点
到直线的距离不大于2，再利用点到直线距离公式列式求解.
【详解】圆
的圆心
，半径
，令直线上为圆心的点为
，
以点
为圆心，1 为半径的圆与圆C 有交点，则
，即
，
依题意，存在以点
为圆心，1 为半径的圆与圆C 有交点，则点
到直线的距离不大于2，
因此
，即
，解得
，
所以k 的取值范围是
.
14．（2026 高三·全国·专题练习）曲线
在
处的切线也是曲线
的切线，则实数
________．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求出曲线
在
处的斜率，求出切点，利用点斜式求出切线方程，设
的切线的切点为
，利用导数的几何意义求出曲线
在
处的切线的斜率，
由
在
处的切线也是曲线
的切线，通过斜率相等得到
，将
代入
得
到
，从而得到曲线
的切线的切点坐标，又切点在切线
上，代入得到
.
【详解】将
代入
，得到
，则切点为
，
的导数
，则
，
则切线方程为
，即
.
的导数
，
设
的切线的切点为
，
则
，
因为
在
处的切线也是曲线
的切线，
所以
，所以
，解得
，
将
代入
得到
，
则切点为
，又切点在切线
上，则有
.
故答案为：
．
