文档文本内容
【匠心编题·直击考点】备战2026 年高考数学
仿真必刷卷01
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域化简集合
，解不等式化简集合
，再利用交集的定义求解.
【详解】依题意，
且
，
，
所以
.
故选：C
2．设等差数列
的前
项和为
.若
，则
（ ）
A．12
B．15
C．18
D．21
【答案】B
【分析】设等差数列
的公差为
，进而结合题意列出关于
的方程解得
，再根据通项公式求解
即可.
【详解】设等差数列
的公差为
，首项为
，
因为
，
所以
，即
，解得
，
所以
故选：B
3．已知向量
为单位向量，
，则
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量垂直的计算公式和向量数量积的定义求出
，结合两向量夹角的范围即可求得
答案.
【详解】由
可得
，
解得
，因
，则
.
故选：C.
4．若
为实数，则虚数
的实部为（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】设
且
，代入计算结合复数概念可得
，进而可解.
【详解】设
且
，
则
，
因为
为实数，所以
，
因为
，所以
，
故虚数
的实部为
.
故选：C
5．圆台
的母线长为
分别为上下底面的直径，且
､
.设四面体
外接球的表
面积为
，圆台
的表面积为
，则
（ ）
（附：圆台的侧面积公式
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题给出的公式，圆台的表面积可以由侧面积加上下两个圆的面积求出
，再由四面体
的外接球即为圆台
的外接球，计算出外接球半径即可求出
.
【详解】
设圆台
的上下底面的半径分别为
､
，母线，
，
由题意可知圆台
的表面积为
，
如图四面体
的外接球即为圆台
的外接球，
设外接球的球心为
，半径为
，
圆台的高
，
设
到上底面
的距离为
，到下底面
的距离为
由外接球性质，
，
则
，
，
联立解得
，
故
，
即
，
所以
，
所以
.
故选：C.
6．已知
，且
，则
（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.35
D．0.45
【答案】C
【分析】应用正态分布的对称性求解即可.
【详解】由正态分布的对称性可知，
，
，已知
，
所以
，因为
，
且
，所以
，又因为
，
所以
，代入
，
可得
，故
，所以
.
故选：C.
7．已知函数
及其导函数
的定义域都是
，若函数
是偶函数，
也是偶函数，则
不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性以及导函数性质可得
，求导并利用基本不等式可判断
的单调性，解不等式可得结果.
【详解】由题意知
，两边同时求导
，即
是奇函数，
令
，
则
，可得
，
令
，
可得
，
易知
，当且仅当
时，等号成立；
即函数
在
上单调递减，又
是奇函数，可得
,
当
时，
,
单调递增，当
时，
,
单调递减，
因函数
是偶函数，则
，
可知不等式
等价于
，即
，
即
，即可得
，解得
或
,
故选：D.
8．已知椭圆
的左右焦点分别为
､
是
的左顶点，
为
所在平面内一点，
且
.若
与
均为等腰三角形，则
的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
与
均为等腰三角形，结合
，分情况讨论三角形的腰长，进而求出
椭圆的离心率.
【详解】已知椭圆
的左、右焦点为
，
，左顶点
.
因为
为等腰三角形且
，所以
是等边三角形，边长为
，故
，
点坐标为
.
又
为等腰三角形，
，
，
.
由等腰三角形性质，
若
，则
，则
，离心率
.
若
，可得
，即
，则
，因为
，所以此情况不成立.
若
，可得
，则
，
化简得
，因为
，所以
，不满足
，此情况不成立.
因此，椭圆的离心率为
.
故选：D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知某地近一周的最高气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：
），则（ ）
A．这组数据的极差为7
B．这组数据的第40 百分位数为8.5
C．这组数据的众数为11
D．这组数据的方差为
【答案】ACD
【分析】A 选项，根据极差定义进行计算；B 选项，根据百分位数的定义进行计算；C 选项，根据众数的
定义进行计算；D 选项，计算出平均数，进而求出方差.
【详解】A 选项，极差为
，故A 正确；
B 选项，
，故从小到大，选择第3 个数据作为数据的第40 百分位数，即第40 百分位数为9，
故B 错误；
C 选项，11 出现了2 次，其他数均出现了1 次，故11 为众数，故C 正确；
D 选项，平均数为
，故方差为
，故D 正确；
故选：ACD
10．已知函数
在区间
上有且仅有3 条对称轴，给出下列四个结论，正确的
是（ ）
A．
在区间
上有且仅有2 个不同的零点；
B．
的最小正周期可能是
；
C．
的取值范围是
；
D．
在区间
上单调递减
【答案】BD
【分析】由已知结合余弦函数的对称性可得
的取值范围，从而判断C；再根据余弦函数的零点、周期
性、单调性结合
的取值范围分别检验即可判断A，B，D.
【详解】
的对称轴方程为
，
已知
在
上有且仅有3 条对称轴，
当
时，
时，
时，
时，
，
因为
上有且仅有3 条对称轴，所以
，解第一个不等式得
，解第二个不等式得
，即
，故C 不正确；
令
，则
，
当
时，
时，
,
当
时，
，
当
时，
.
即
在
上可能有3 个零点，故A 错误；
根据周期公式
，当
时，
在
范围内，所以
的最小正周期可能是
，故B 正确；
当
时，
，
因为
，则
，
由于
在
上单调递减，所以
在
上单调递减，故D 正确.
故选：BD.
11．如图，在直棱柱
中，
，
是
中
点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
四点共面
C．直棱柱
不存在外接球D．棱
的中点在平面
内
【答案】ABC
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用向量法得
，即可利用
基本事实的推论判断B；确定直角梯形是否有外接圆判断C；结合空间向量线性坐标运算，利用共面定理
判断D.
【详解】在直棱柱
中，
平面
，
又
，则直线
两两垂直，
以点
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
对于A，因为
，
所以
，
所以
，所以
，A 正确；
对于B，
，即
，又
直线
，
因此
，即
四点共面，B 正确；
对于C，在梯形
中，
，
则
为锐角，
，因此
，
所以梯形
无外接圆，则直棱柱
没有外接球，C 正确；
对于D，棱
的中点
，
，
假设棱
的中点M 在平面
内，
则有
，即
，该方程组无解，
所以棱
的中点不在平面
内，D 错误.
故选：ABC
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．在双曲线
中，过左焦点
的直线与双曲线
同一支交于不同的两点
，
，线段
的
中点为
．若直线
的斜率为
，则直线
的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】先根据方程求出焦点坐标，利用点差法及
的斜率可求斜率，点斜式可求方程.
【详解】由双曲线的方程可知
,设
，
则
，两式相减可得
，即
，
所以
，
因为直线
的斜率为
，所以
,所以
，
直线
的方程为
，即
，经检验符合题意.
故答案为：
13．若
，则
的值为 .
【答案】0
【分析】根据两角和的余弦公式化简，再根据二倍角的余弦公式求值.
【详解】由题意，
，
故
．
故答案为：0.
14．已知首项为1 的正项等比数列
满足
，则
的通项公式为
；设
，若
为数列
的前n 项和，则
．
【答案】
【分析】由
先求出
，所以
，
则
，利用裂项相消法求出
，
则
.
【详解】设等比数列
的公比为
，
因为
且
，所以
，
所以
，所以
，所以
则
，
所以
.
故答案为：
，
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）青岛文旅为了解天气状况对景点旅游满意度的影响，分别于晴天和阴雨天在栈桥景点共调查
了100 位游客，调查结果如下表.
满意
不满
意
合计
晴天
40
阴雨
天
20
合计
70
100
(1)完善上述表格，并根据小概率值
的独立性检验，能否认为天气状况对该景点旅游满意度有影
响；
(2)从这100 位游客中任选两人，在两人调查当天的天气状况一致的条件下，试求他们对该景点均满意的概
率；
(3)天气多变，文旅部门根据以往数据，为游客发布如下天气信息：若第1 天为晴天，则第2 天为晴天的概
率为
，为阴雨天的概率为
；若第1 天为阴雨天，则第2 天为阴雨天的概率为
，为晴天的概率为
.已
知第1 天是晴天.求第
天仍是晴天的概率
，并求前
天晴天的天数
的期望
.
附录：
，
.
0.05
0.010
0.005
3.841
6.635
7.879
【答案】
(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先补全列联表，再计算
最后与临界值表比较即可得解；
（2）根据条件概率公式计算求解；
（3）根据题意得到
的递推关系式，根据递推关系式得到
是等比数列，求出
的通项公式，
结合等比数列求和及两点分布性质最后求出数学期望．
【详解】（1）零假设
：天气状况与满意度独立；
列联表如下：
满意
不满意
合计
晴天
40
10
50
阴雨天
30
20
50
合计
70
30
100
，
根据小概率值
的独立性检验，零假设
不成立，即认为天气状况对该景点旅游满意度有影响；
（2）记事件A 为两人调查当天的天气状况一致，事件B 为他们对该景点均满意，
所以
（3）由题意知
，
所以
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，所以
.
某一天要么是晴天，要么是阴雨天，符合两点分布，记第i 天为
，
所以
所以
．
16．（15 分）已知
中，内角
的对边分别为
，有
．
(1)证明：
；
(2)若
，
是
边上一点，且
，求
．
【答案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、二倍角的正弦公式和两角和的正弦公式求解；
（2）由
结合余弦定理得到
，由
得到
，由
，求出
和
，由
得到
，在
中，利用正弦定理得到
，代入数值
计算出
，代入数值计算
即可得解.
【详解】（1）
，
，
，
，
，
，
又因为
，
；
（2）
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
在
中，
，
，
，
.
17．（15 分）如图，在三棱台
中，
，
，点
在底面的投影
是
的重心.
(1)证明：面
面
；
(2)若直线
与底面
的所成的角为
，求面
与面
夹角余弦值.
【答案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据棱台的几何性质，结合平行四边形的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）因为
，
，
所以三角形
等腰直角三角形，
设
，
的中点为
，连接
，
所以
，
因为点
在底面的投影
是
的重心，
所以点
在
上，因为
，
所以
，
于是
，所以
，
因此四边形
是平行四边形，所以
，
因为
面
，所以
面
，
而
面
，所以面
面
；
（2）建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
因为
面
，
所以
是平面
一个法向量，
，
因为直线
与底面
的所成的角为
，
所以
，
解得
，
舍去，
所以该三棱台的高为
，所以
，
因为面
面
，面
面
，
面
，
所以
面
，所以
是平面
一个法向量，
设平面
的法向量为
，
，
，
所以
，
取
，则
所以平面
的一个法向量为
，
所以
，
因此面
与面
夹角余弦值为
.
18．（17 分）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值；
(2)若
和
是
的两个极值点，其中
，求
的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若
，求
的最大值（e 是自然对数的底数）．
【答案】
(1)
(2)
(3)
．
【分析】（1）求出
，利用
求解；
（2）利用极值点定义得出
，同时有一元二次方程有两个不等实根得出
，计算
并
转化为关于
的函数后可求值域；
（3）设
，利用已知得
，计算
并转化为关于的函数，然后引入新函数，利用导数求
得其范围.
【详解】（1）
的导数为
，
曲线
在点
处的切线斜率为
，解得
；
（2）函数
的定义域为
，
依题意，方程
有两个不等的正根m，n（其中
）．
故
，
所以
，并且
．
所以
，
故
的取值范围是
．
（3）当
时，
．
若设
，则
．
于是有
．所以
，所以
，
所以同理得
，
构造函数
（其中
），则
，
所以
在
上单调递减，
．
故
的最大值是
．
19．（17 分）已知椭圆
和
，点
在
上.直线
均与
相切.
(1)若
的焦距为
.
（i）求
的方程；
（ii）已知直线
与
相切于点
，直线
交
于
两点（异于点
），
与
相交于点
，证明：
成等比数列；
(2)过
的两条直线分别与
相切于
两点（
位于
轴同侧），且分别交
轴于
两点，线段
与
交于点
垂直
于点
，射线
分别交
于
两点，证明：
.
【答案】
(1)（i）
（ii）证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）（i）根据
得
，进而根据焦距求得
即可求得答案；
（ii）结合题意求得直线
，
的方程得到
的方程为
，联立直线与
得
，
，
，联立与
得
，设
，联立
与
得
，再根据距离公式证明
即可.
（2）设
，且
，进而结合切线方程，求得
五点的横
坐标得
五点共线，故可以将证明
转化为证明
，即证
，最后求解对应纵坐标证明即可.
【详解】（1）解：（i）由题意得
，即
，
又
，所以
.
又因为焦距为
，所以
，
所以椭圆
的方程为
.
（ii）
由题意得
，
，
所以直线
的方程为
，所以
，
同理得直线
的方程为
，所以
，
所以
的方程为
，
又因为直线
与
相切，
故联立方程
得
，
故
，即
，
又因为
，所以
，可得
，即
联立
得直线与
交于点
，
设
，联立
与
，
整理得
，
由韦达定理得
，
所以
同理得
，
因为
，
，
又因为
，所以
，
所以
成等比数列.
（2）证明：
设
，且
，
过
点的切线方程为
，与
轴交点于
，
过
点的切线方程为
，与
轴交点于
，
所以点
的横坐标为
，
因为直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立两直线方程得点
的横坐标为
， 所以
，
又因为
，所以
为
在
轴上的投影，即
，
所以
五点共线，
所以
，又因为
在
上，所以
.
因为
，
所以直线
的方程为
，
又因为
在直线
上，且
，所以
，
所以要想证
，
只需证
，
只需证
，
因为
，
所以
，结论得证.
