文档文本内容
【匠心编题·直击考点】备战2026 年高考数学
仿真必刷卷06
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知
是复数
的共轭复数，
（为虚数单位），则
的虚部是（ ）
A．1
B．
C．
1
D．
【答案】A
【分析】利用复数的除法计算
，再利用共轭复数以及复数的定义即可.
【详解】
，则
，则
，故
的虚部是.
故选：A
2．已知集合
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题知集合
与
没有公共元素，进而根据集合关系求解即可.
【详解】因为集合
，
，
所以集合
与
没有公共元素，故
，
所以
的取值范围是
.
故选：B
3．已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将问题转化为图象交点的横坐标，数形结合可得；或利用函数的单调性以及零点存在性定理可比
较.
【详解】法1：由题意可知，
分别为
与
的函数图象的交点的横坐标，
图象如图：
由图可知，
；
法2：易知，
均为增函数，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
.
故选：A
4．已知点
，点
在抛物线
上运动，点
在圆
上运动，则
的最
小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】先判断
在抛物线
里面，然后
的最小值为
，过点
作抛物线准线
的垂线垂足为
，
的最小值等于求
的最小值.
【详解】把
代入
，得
，
所以点
在抛物线
里面，
圆
的圆心记为
，
因为
的最小值为
，而
正好是抛物线
的焦点，
过点
作抛物线准线
的垂线垂足为
，
则根据抛物线的定义得
，
所以
的最小值等于求
的最小值，
当
三点共线时
最小，最小值为
，
故
的最小值为
，
故选：B
5．函数
与
都为奇函数，且对
，都有
，则
（ ）
A．2525
B．2550
C．5049
D．5050
【答案】D
【分析】根据题意，可得
，结合
，可得
，利用等差数列求和公式求得
答案.
【详解】由
与
都为奇函数，
则
，
，
又
，所以
，
，
所以
，即
，
所以
，即
，
因为
，令
，得
，解得
，
因为
，令
，可得
，得
，
所以
，当
为正奇数时，
，
所以
，当
为正偶数时，
，
对于任意正整数
，有
，
所以
.
故选：D.
6．在正四棱台
中，
，且
，记能将正四棱台
罩住的半球的最小半径为
，正四棱台
外接球的半径为
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】取
，
的中点分别为
，
，通过计算分别求得
，
通过比较可知
，设外接球的球心到平面
的距离为
，通过勾股定理计算求得
、
，即可得出结果.
【详解】如图，连接
，
，它们的中点分别记为
，
，连接
，
，易知
为此正四棱台
的高，
，则
，所以
，
，
过点
作
的垂线，垂足为
， 则
，
，则
，
，
故能将正四棱台
罩住的半球的最小半径
．
设该正四棱台外接球的球心到平面
的距离为
，则
，解得
，
，故
．
故选：D
7．在平面直角坐标系
中，向量
，若
不共线，记以OA，
OB 为邻边的平行四边形的面积
．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先根据条件设出向量
和
，以及向量
的坐标，代入条件中定义，即可求解.
【详解】依题意设
，
则
，
，
，
，
则
.
故选：C．
8．若存在
，对任意的
，都有
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】问题转化为
在
上恒成立，令
，利用导数求出
，则存在
，使
，令
，利用导数求出
的最大值
即可得到
的最大值.
【详解】任意的
，都有
，
则有
在
上恒成立，
令
，函数定义域为
，
，令
，解得
，
时，
，
在
上单调递减；
时，
，
在
上单调递增，
，
因此存在
，使
，
令
，
，令
，解得
，
时
，
在
上单调递增；
时
，
在
上单调递减，
有
，
所以
时，
的最大值为
.
故选：C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．如图，在正方体
中，点 P，Q 分别为线段
，
上异于端点的动点，则下列结论
中，可能成立的有（ ）
A．
平面
B．
平面
C．
平面
D．
平面
【答案】ABC
【分析】根据图形，选项A 和C，假设图形中点
为线段AC 中点，点
为线段
中点，结合正方体图形
性质可以判断；选项B，取线段
靠近点
的四等分点为
，点
为线段
中点，可证明
进而
证明
平面
；选项D，根据经过点
且垂直于平面
的直线在平面
可以判断.
【详解】选项A 和C，如图所示，
令点
分别为线段
和
中点，在
中，根据中位线性质知
，
因为
，
不在平面
，所以
平面
，故A 正确，
因为
平面
，
，所以
平面
，故C 正确；
选项B，如图所示，
取线段
靠近点
的四等分点，点
为线段
中点，线段
交线段
于
，
易知
,则在
中由中位线性质知
，且
不在平面
，
所以
平面
，故正确；
选项D，如图所示，平面
平面
，
点
在平面
，所以过点
且垂直平面
的直线在平面
，
因为点
不在平面
，所以不存在
平面
，故错误，
故选：ABC.
10．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．AC 的中点为D，
，若
，则（ ）
A．
`
B．b 取值范围为
C．
面积的最大值为
D．
周长的最大值为6
【答案】BC
【分析】对于A，由三角函数恒等变形结合正弦定理边角互化可判断选项正误；对于B，
由
结合A 选项分析可得
，然后由余弦定理可得
，据此可判断选项正
误；对于C，由B 选项分析结合面积公式可判断选项正误；对于D，令
，由B 选项分析可得
，然后用导数研究函数
的单调性，可得周长最大值
情况.
【详解】对于A，
.
由正弦定理边角互化可得：
，
则
，故A 错误；
对于B，
，
则
，当且仅当
取等号.
由余弦定理，
，又
，
则
，因
，则
，故B 正确；
对于C，由B 分析可知，
，则
，故C 正确；
对于D，由B 分析，
，
得
.
.
令
，则
，由三角形三边关系可得
，
则
，则
.
则
，令
.
则
，令
，
因
，则
在
上单调递减，
则
，即
周长无最大值，恒小于
，
故D 错误.
故选：BC
11．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
是
的渐近线上一点（
在
轴上方），直线
与圆
相切，且与
的左、右两支分别交于
两点，若
，
则（ ）
A．以
为直径的圆与圆
相切
B．
的离心率
C．线段
的中点在直线
上
D．
的面积为
【答案】ABD
【分析】设
的中点为
，则
，即可判断A；设直线
与圆
的切点为
，直线
为双曲线的另一条渐近线，根据双曲线的对称性可得
，结合离心率的概念计算即可判断B；根据点
差法计算可得
，求出直线
的斜率即可判断C；设
，则
，
根据双曲线的定义可得
，结合
计算即可判断D.
【详解】设
的中点为
，则
，
以
为直径的圆与圆
的圆心距为两圆的半径之和，
故以
为直径的圆与圆
相切，故A 正确；
因为点
是双曲线的渐近线上的一点，
，
所以
，设直线
与圆
的切点为
，
则
，故直线
的斜率为
，
即直线
为双曲线的另一条渐近线，由双曲线的对称性知，
，即
，
所以双曲线的离心率为
，故B 正确；
设
的中点为
，设
，
则
，直线
的斜率为
，
且
，两式相减得
，
整理得
，即
，
又因为直线
的斜率为
，所以直线
的斜率为
，
所以
的中点在直线
上，故C 错误；
D：设
，因为
，
所以
，由双曲线的定义得，
，
因为
，代入得
，化简整理得
，
即
，即
，
解得
，又
，
所以
的面积为
，故D 正确.
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知直线
与函数
的图象相切，则实数
．
【答案】
/
【分析】设函数
在点
处的切线为
，根据导数的几何意义列式计算可求
得.
【详解】设函数
在点
处的切线为
，
函数
的定义域为
.
由
，得
，所以
，
所以
，解得
（舍去）或
.
又
，所以切点为
，
又切点在直线
上，所以
，解得
.
故答案为：
.
13．若样本数据
的平均数为
的平均数为22，则样本数据
的方差为 .
【答案】20
【分析】根据给定条件，利用平均数的定义、方差的性质列式计算得解.
【详解】由样本数据
的平均数为4，得
的平均数为4，
由
的平均数为22，得
，
则
的平均数为
，
因此
的方差为
，所以
的方差为
.
故答案为：20
14．在平面直角坐标系中，动点
的轨迹
满足：
到两定点
距离之积等于
，若
是
与
轴的交点，则
面积的最大值为 .
【答案】
【分析】设
，根据题意，求得轨迹
的方程为
，令
，求得
的坐标，
得到
，令
，化简得到方程
，设
，转化为
的图像与
的非负半轴存在公共点，结合二次函数的
性质，求得
，进而求得
的面积的最大值.
【详解】设
为轨迹
上的任意一点，
因为
到两定点
距离之积等于
，
可得
，所以
，
整理得
，
令
，可得
，即
，可得
或
（舍去），
解得
，所以
，则
,
所以
的面积为
，
因为
，令
，可得
，其中
整理得
，
设
，
要使得方程有非负实数根，即函数
的图像与
的非负半轴存在公共点，
因为
的图像开口向上，对称轴为
，
当
，即
，则满足
，解得
，矛盾（舍去）；
当
，即
，则满足
，
可得
，解得
，即
，所以
，
所以
的面积的最大值为
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）已知数列
满足
，
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求
的通项公式，并求
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析 (2)
，
【分析】（1）利用递推式相减得出
的递推关系，进而得出
是等比数列；
（2）求出
的通项公式，再利用递推式相加得出
的递推关系求出
通项公式，进而求出
的通项公式及前
项和
．
【详解】（1）证明：
，
，
两式相减得
，
，
又
，
数列
是首项为2，公比为2 的等比数列．
（2）数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
，
，
，
两式相加得
，
，
，
当
时，
满足上式，
数列
是首项为4，公差为4 的等差数列，即
，
，解得
，
．
16．（15 分）如图，在三棱锥
中，平面
平面
是边长为2 的等边三角形，
．
(1)证明：
；
(2)若线段
上的点
满足直线
与直线
所成角的余弦值为
，求点
到直线
的距离．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）由面面垂直的性质，可得
平面
，据此可得线线垂直；
（2）建立如图所示空间直角坐标，根据异面直线所成的角求出点
的坐标，再由点到直线的距离公式求
解即可.
【详解】（1）在
中，
，
由余弦定理可得：
，
则
，所以有
，则
由平面
平面
，平面
平面
，
且
，
平面
，则
平面
，
又
平面
，则
.
（2）取
中点分别为
，连接
由
为正三角形知，
，
结合（1）中
平面
，由
，可知
平面
，则
两两垂直，
如图所示，以
为原点，
分别为
轴，
轴，
轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则
，
可得
设
，则
，且
，
可得
由
，解得
或
（舍去），
则
，且
故点
到直线
的距离
17．（15 分）已知双曲线
的焦距为2c，渐近线方程为
，右焦点
到直
线
的距离为
．
(1)求
的方程；
(2)已知直线
交
于B，C 两点，
的左顶点记为
，若
，求弦长|BC|．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意建立关于
的方程组，求解即得双曲线的方程；
（2）将直线方程与双曲线方程联立，写出韦达定理，利用
和三角形相似可推得
，与韦达
定理联立求得
，再用弦长公式即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，
，
解得
，
所以
的方程为
（2）联立
，整理得
，
由
，可得
，
设
，则
因为
，
又直线
过点
，且
，
所以
，所以
①，（也可利用斜率相等或向量共线得出
）
将①式代入得
，消去
得
，
解得
，
则
18．（17 分）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪
器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定
为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合
格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3 次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则
最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占
80%，不合格品占20%．
(1)若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率．
(2)若随机抽取1 个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率．
(3)已知生产一个零件的成本为50 元，每个零件被连续检测3 次的总费用为10 元．若某零件最终被判定为
合格品，则以每件120 元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户
全额退款，并赔偿客户40 元．设一个零件的利润为
元，若
的均值小于25，则该工厂将停止生产该零
件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由．
【答案】(1)0.028. (2)0.7224. (3)该工厂不会停止生产该零件，理由见解析
【分析】（1）连续检测3 次该零件的结果中，“合格”的次数不低于2 才能被误判为合格品，再结合二项
分布的概率公式，即可求解；
（2）通过由全概率公式得出即可；
（3）
的所有可能取值为
，60，
，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可.
【详解】（1）设该零件被误判为合格品是事件
．连续检测3 次该零件的结果中，
“合格”的次数不低于2 才能被误判为合格品，
所以
，
所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028.
（2）设被检测的零件为合格品是事件
，被检测的零件为不合格品是事件
，
被检测的零件最终被判定为合格品是事件
，
则
．
由（1）知
，又因为
，
，
所以由全概率公式得
，
故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224.
（3）
的所有可能取值为
，60，
．
，
，
，
则
．
因为
，所以该工厂不会停止生产该零件．
19．（17 分）已知函数
，
，
，
，直
线
的斜率为
，曲线
在点
的切线为.证明：
(1)除点
外，曲线
上的点恒在直线的上方；
(2)若
，则
；
(3)
.
【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)见解析
【分析】（1）首先利用已知条件求出直线的方程，然后利用作差法构造一个新函数，证明新函数恒大于
0 即可.
（2）根据（1）中求出的不等式，进行化简计算即可证明.
（3）首先求出
的表达式，然后利用作差法，构造新函数，并求新函数的单调性，可
求得结果.
【详解】（1）因为函数
，所以求导得
.
所以
，
.
所以切线的斜率为
，
.
所以直线的方程为：
，即：
.
令
，求导得：
，
.
令
，则
，所以
在
上单调递增，
因为
，所以
在
上小于0，在
上大于0，即：
在
上小于0，在
上大于0，所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
又
，所以
，所以
，
因为点
为切线的切点，所以除点
外，曲线
上的点恒在直线的上方.
（2）由（1）知，
，
所以
.
所以
.
因为
，所以
，
所以
.
（3）
，所以
，
.
因为
所以
.
①
令
，则
，所以
，
所以
.
令
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
，从而
，又
，
所以
，所以
.
②
令
，所以求导
令
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
.
所以
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
不等式两边同时除以
得：
，所以
.
综上所述，
.
