文档文本内容
【匠心编题·直击考点】备战2026 年高考数学
仿真必刷卷03·参考答案
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
D
D
B
A
A
C
A
C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
AC
BCD
ABC
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
【详解】（1）
，
，即
，
最小正周期为
，
当
时，
，
当
时，即
时
取得最小值，
.
（2）
，
，
，即
，
，解得：
，
又
，故
，
，
，
，
，
由余弦定理得：
,
故
.
16．（15 分）
【详解】（1）
．
证明：因为点
分别是
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为平面
平面
，
平面
，所以
．
（2）因为
，点
为
的中点，所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，又
所以以
为原点，分别以
为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为
，所以
，又
，
则
．
，
设平面
的法向量为
，
则
，不妨设
，解得
．
由（1）可知
，设
，
得
，所以
．
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
得
或
，
所以线段
的长度为
或
．
17．（15 分）
【详解】（1）初始时甲、乙两盒均装有 1 个白球和 1 个黑球，第一次操作时，从两盒中各取一球交
换，共有 4 种等可能情况：
甲取白、乙取白：交换后甲盒白球数为 1；
甲取白、乙取黑：交换后甲盒白球数为 0；
甲取黑、乙取白：交换后甲盒白球数为 2；
甲取黑、乙取黑：交换后甲盒白球数为 1。
故
（2）记
，则
，
由全概率公式得：
，
，
，
所以
，
，
由 （1） 和（3）知
，结合初始值
，
可得对任意
有
，代入
中，
得：
，
将（4） 代入（2）式得：
，
整理得
，
即：
，又
，
所以数列
是公比为
的等比数列.
（3）由题意知：
的取值为：
，
分布列为：
0
1
2
，
由 (2) 知
，
因此
.
18．（17 分）
【详解】（1）由题可知，
，化简得
，
又因为
在椭圆
上，则
，
联立解得
，故椭圆
的方程为
.
（2）（i）依题意，设直线
的方程为
，
则联立
，消去
得
其中
，即
，
设
，则
.
则
；
（ii）由（i）可得
，解得
，即
，
，且
.
因
，
，
则
令
，则
，
，当且仅当
，即
时等号成立.
的最大值为
.
19．（17 分）
【详解】（1）对于
，有
.
如果存在
，使得
．
则必有
，
令
，则
，
所以
不是“3 阶和函数”.
（2）函数
在区间
上的值域为
．
因为
是
在区间
上的“2 阶和函数”．
所以对任意
，总存在唯一的
，使得
成立，
所以
，
所以
在
上的值域必定包含区间
，且当
时，方程的解在
上是唯一的.
又因为函数
的图象开口向上，对称轴为
，
当
时，
在
上单调递增，则必有
，解得
．
当
时，
在
上单调递减，则必有
，解得
．
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
则必有
，解之得：
；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
则必有
，解之得：
.
综上所述，
的取值范围为
.
（3）对
，有
．
如果存在
，使得
，则必有
，
因为
为区间
上的“2 阶和函数”，
所以
，即
，解得
.
所以当
时，函数
，
所以函数
的定义域为
，且
．
设
，
则
，
因为
，所以
．
所以
在
上单调递增，即
在
上单调递增，而
．
所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增．
而
，当
且
时，
．
所以
.
设
，则
，
所以
，又
，
所以
，所以
．
因为
且
在
上单调递增，
所以
，即
.
设
，则
，
所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
单调递增．
所以
，则
．
因为
，
所以当
时，
，当
时，
.
所以
，
整理得
由①
②得，
，
因为
，所以
，所以
．
综上得证.
